第五章 线性微分方程组
[教学目标]
1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，
2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，
4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时
[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [考核目标]
1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理
5.1.1记号和定义 考察形如
1
11112211221122222
1122()()()()()()()()()()()()n n n n n
n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++??
??'=++++? （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n = 和()(1,2,,)i f t i n = 在区间a t b ≤≤上
上是连续的。方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及1
2,,,n x x x ''' 是线性的. 引进下面的记号：
1112121
22
212()()
()()()
()()()()
()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ??????=??
?
?
??
（5.2） 这里()A t 是n n ?矩阵，它的元素是2
n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n = .
12()()()()n f t f t f t f t ??????=?????? 12n x x x x ??????=?????? 1
2n
x x x x '????'??'=????
'?? （5.3）
这里()f t ，x ，x '是1n ?矩阵或n 维列向量。
注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式
()()x A t x f t '=+ （5.4）
引进下面的概念。
一个矩阵或者一个向量在区间a t b ≤≤上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间a t b ≤≤上的连续函数。
一个n n ?矩阵()B t 或者一个n 维列向量()u t ：
1112121
22
212()()()()()
()()()()
()n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t ??????=??
?
??? 12()()()()n u t u t u t u t ??
????=????
??
在区间a t b ≤≤上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间a t b ≤≤上可微。它们的导数分别由下
式给出：
11
12121
22
2
12()()()()()
()()()()()n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t '''????'''??'=??
?
?'''?? 1
2()()()()n u t u t u t u t '????'??'=????'??
不难证明，如果n n ?矩阵()A t ，()B t 及n 维向量()u t ，()v t 是可微的，那么下列等式成立：
（Ⅰ）()()()()()A t B t A t B t '''+=+
()()()()()u t v t u t v t '''+=+
（Ⅱ）()()()()()()()A t B t A t B t A t B t '''?=+ （Ⅲ）()()()()()()()A t u t A t u t A t u t '''=+
类似地，矩阵()B t 或者向量()u t 在区间a t b ≤≤上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间
a t
b ≤≤上可积。它们的积分分别由下式给出：
1112111222112()()()()()()()()()()b b b
n a a a b
b b b
n a a a a b
b b n nn a a a b t dt
b t dt b t dt b t dt b t dt b t dt B t dt b t dt b t dt b t dt ????
????=?
?
??????????????????
12()()()()b a b b a a b n a u t dt u t dt u t dt u t dt ??
????
??=??
????????
???? 现在我们给出（5.4）的解的定义：
定义１设()A t 是区间a t b ≤≤上的连续n n ?矩阵，()f t 是同一区间a t b ≤≤上的连续n 维向量。
方程组
()()x A t x f t '=+ （5.4）
在某区间t αβ≤≤（这里[][],,a b αβ?）的解就是向量()u t ，它的导数()u t '在区间t αβ≤≤上连续且满足
()()()()u t A t u t f t '=+，t αβ≤≤
现在考虑带有初始条件0()x t η=的方程组（５.４），这里0t 是区间a t b ≤≤上的已知数，
η是n 维欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。
定义2 初值问题
()()x A t x f t '=+,0()x t η= （5.5）
的解就是方程组（5.4）在包含0t 的区间t αβ≤≤上的解()u t ，使得0()u t η=。 例2 验证向量
()t t e u t e --??=??-??
是初值问题
0110x x ??'=????,1(0)1x ??=??-??
在区间t -∞<<+∞上的解。
解 显然
001(0)1e u e --????==????--??
??
因为t
e -和t
e --处处有连续导数，我们得到
0101()()1010t t t t e e u t u t e e ----????-????'===????????
-????
???? 因此()u t 是给定初值问题的解。
正如在第而章所看到的，当1n =时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当2n ≥时，情况就复杂多了。
在第四章中，我们讨论了带有初始条件的n 阶线性微分方程的初值问题。现在进一步指出，可以通过下面的方法，将n 阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。
考虑n 阶线性微分方程的初值问题
()(1)11(1)
01020()()()()(),(),,()n n n n n n
x a t x
a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? （5.6）
其中12(),(),,()n a t a t a t ，()f t 是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,,n ηηη 是已知常数。我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题
12112
0010000010000
001()()()()()()n n n n x x a t a t a t a t f t x t ηηη
η--?????
??????????
?'????
=+??
?????????????----??????
???
?????==????
??????
(5.7)
其中
12
n x x x x ??????=?????? 1
2n
x x x x '????'??'=????
'??
事实上，令
(1)123,,,,n n x x x x x x x x -'''====
这时
1
2x x x ''== 2
3x x x '''== (1)1n n
n x x x --'==
()1121()()()()n n
n n n x x a t x a t x a t x f t -'==----+ 而且
(1)010*******()(),()(),,()()n n n x t x t x t x t x t x t ηηη-'======
现在假设()t ψ是在包含0t 的区间a t b ≤≤上（5.6）的任一解。由此，得知()
(),(),,()
n t t t ψψψ' 在a t b ≤≤上存在、连续、满足方程（5.6）且(1)01020(),(),,()n n t t t ψηψηψη-'=== 。令
12()()()()n t t t t ??????????=??????
其中1()()t t ?ψ=,2()()t t ?ψ'=, ,(1)()()n n t t ?ψ-=(a t b ≤≤)，那么，显然有0()t ?η=。此外，
1223(1)1(1)()12311()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()n n n n n n n n n n t t t t t t t t t t t a t t a t t f t t t t t a t t a t t f ??ψ??ψ???ψ?ψψψ?????---''????
????????'''??????'??????===??????'???
?????????'--+??????
=---+
1211210
100()00010()00
001()0()()()()()()()n n n n t t t t a t a t a t a t t f t ????--????????????????????????
????????
=+????????
???????????????
?----????????
这就表示这个特定的向量()t ?是（5.7）的解。反之，假设向量()u t 是在包含0t 的区间a t b ≤≤上（5.7）的解。令
12()()()()n u t u t u t u t ??
????=??????
并定义函数1()()w t u t =，由（5.7）的第一个方程，我们得到1
2()()()w t u t u t ''==，由第二个方程得到2
3()()()w t u t u t '''==, ，由第1n -个方程得到(1)1()()()n n n w t u t u t --'==，由第n 个方程得到 ()1111(1)
(2)
12()()()()()2()2()()()()()()()()()()()()
n n n n n n n n n w t u t a t u t a t u t a t u t a t u t f t a t w
t a t w
t a t w t f t ----'==-----+=----+
由此即得
()(1)(2)12()()()()()()()()n n n n w t a t w t a t w t a t w t f t --++++=
同时，我们也得到
(1)010100()(),,()()n n n w t u t w t u t ηη-====
这就是说，()w t 是（5.6）的一个解。
总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义下是等价的：给定
其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是：每一个n 阶线性微分方程可化为n 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。例如方程组
0110x x ??
'=????
，12x x x ??=????
不能化为一个二阶微分方程。
5.1.2 存在唯一性定理
本节我们研究初值问题
()()x A t x f t '=+，0()x t η= （5.5） 的解的存在唯一性定理。类似与第三章，我们通过五个小命题，采用逐步逼近法来证明定理。因为现在讨论的是方程组（写成向量的形式），所以有些地方稍微复杂些，而且要引进向量、矩阵的“范数”及向量函数序列的收敛性等概念；然而由于方程是线性的，所以有些地方又显得简单些，而且结论也加强了。总之，我们要比较第三章中的证明和现在的证明的异同，从对比中加深对问题的理解。
对于n n ?矩阵ij n n
A a ???=??和n 维向量12n x x x x ????
??=??????
，我们定义它的范数为 ,1
n
ij
i j A a
==
∑
1
n
i i x x ==∑
设,A B 是n n ?矩阵，x ，y 是n 维向量，这时容易验证下面两个性质： １）AB A B ≤?
Ax A x ≤? ２）A B A B +≤+
x y x y +≤+
向量序列{}k x ，12k k k nk x x x x ??????
=?????? ，称为收敛的，如果对每一个(1,2,,)i i n = 数列{}ik x 都是收敛的。
向量函数序列{}()k x t ，12()()()()k k k nk x t x t x t x t ??????=??????
称为在区间a t b ≤≤上收敛的（一致收敛的），如果对于每一个(1,2,,)i i n = 函数序列{}()ik x t 在区间a t b ≤≤上是收敛的（一致收敛的），易知，区间
a t
b ≤≤上的连续向量函数序列{}()k x t 的一致收敛极限向量函数仍是连续的。
向量函数级数
1()k k x t ∞
=∑称为在区间a t b ≤≤上是收敛的（一致收敛的）
，如果其部分和作成的向量函数序列在区间a t b ≤≤上是收敛的（一致收敛的）。
判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也是成立的，这就是说，如果
()k k x t M ≤，a t b ≤≤
而级数
1
k
k M
∞
=∑是收敛的，则
1
()k k x t ∞
=∑在区间a t b ≤≤上是一致收敛的。
积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列{}()k x t 在区间
a t
b ≤≤上是一致收敛的，则
lim ()lim ()b b
k k a
a k k x t dt x t dt →∞→∞
=??
注意，以上谈到的是向量序列的有关定义和结果，对于一般矩阵序列，可以得到类似的定义和结果。
例如，n n ?矩阵序列{}k A ，其中()
k k ij n n A a ???=??称为收敛的，如果对于一切,1,2,,i j n = ，数列{}
()
k ij a 都是收敛的。
无穷矩阵级数
121
k
k k A
A A A ∞
==++++∑
称为收敛的，如果它的部分和所成序列是收敛的。
如果对于每一个整数k ，
k k A M ≤
而数值级数
1
k
k M
∞
=∑是收敛的，则
1
k
k A
∞
=∑也是收敛的。
同样，可以给出无穷矩阵函数级数
1
()k k A t ∞
=∑的一致收敛性的定义和有关结果。
定理１（存在唯一性定理）如果()A t 是n n ?矩阵。()f t 是n 维列向量，它们都在区间a t b ≤≤上连续，则对于区间a t b ≤≤上的任何数0t 及任一常数向量
12n ηηηη??????=??????
方程组
()()x A t x f t '=+ （5.4）
存在唯一解()t ?，定义于整个区间a t b ≤≤上，且满足初始条件
0()t ?η=。
类似于第三章，我们分成五个小命题来证明.
命题１ 设()t ?是方程组（５.４）的定义与区间a t b ≤≤上且满足初始条件0()t ?η=的解，则()t ?是积分方程
[]0
()()()()t
t x t A s x s f s ds η=++?，a t b ≤≤ （5.8）
的定义于a t b ≤≤上的连续解，反之亦然。
证明完全类似于第三章，兹不累赘。
现在取0()t ?η=，构造皮卡逐步逼近向量函数序列如下：
[]0
01()()()()(),1,2,t k k t t t A s s f s ds a t b k ?η?η?-=???
=++≤≤??=???
向量函数()k t ?称为（5.4）的第k 次近似解。应用数学归纳法立刻推得命题２： 命题２ 对于所有的正整数k ，向量函数()k t ?在区间a t b ≤≤上有定义且连续。 命题３ 向量函数序列{}()k t ?在区间a t b ≤≤上是一致收敛的。 命题４ ()t ?是积分方程（5.8）的定义在区间a t b ≤≤上的连续解。
命题５ 设()t ψ是积分方程（5.8）的定义于a t b ≤≤上的一个连续解，则()()t t ?ψ≡（a t b ≤≤）。
综合命题１—５，即得到存在唯一性定理的证明。
值得指出的是，关于线性微分方程组的解()t ?的定义区间是系数矩阵()A t 和非齐次项()f t 在其上连续的整个区间a t b ≤≤。在构造逐步逼近函数序列{}()k t ?时，()k t ?的定义区间已经是整个
a t
b ≤≤，不像第三章对于一般方程那样，解只存在于0t 的某个邻域，然后经过延拓才能使解定义在
较大的区间。
注意到5.1.1中关于n 阶线性方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）的等价性的论述，立即由本节的存在唯一性定理可以推得关于n 阶线性微分方程的解的存在唯一性定理。 推论（即第四章的定理１）如果1(),,()n a t a t ，()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于区间
a t
b ≤≤上的任何数0t 及任何的12,,,n ηηη ，方程
()(1)11()()()()n n n n x a t x a t x a t x f t --'++++=
存在唯一解()w t ，定义于整个区间a t b ≤≤上且满足初始条件：
(1)01020(),(),,()n n w t w t w t ηηη-'=== 。
§5.２ 线性微分方程组的一般理论
现在讨论线性微分方程组
()()x A t x
f t '=+ （5.14）
的一般理论，主要是研究它的解的结构问题。
如果()0f t ≡，则（5.14）称为非齐线性的。 如果()0f t ≡，则方程的形式为
()x A t x '= （5.15）
称（5.15）为齐线性方程组，通常（5.15）称为对应于（5.14）的齐线性方程组。
５.２.１齐线性微分方程组
本段主要研究齐线性方程组（５.１５）的所有解的集合的代数结构问题。我们假设矩阵()A t 在区间a t b ≤≤上是连续的。
设()u t 和()v t 是（5.15）的任意两个解，α和β是两个任意常数。根据向量函数的微分法则，即知()()u t v t αβ+也是（5.15）的解，由此得到齐线性方程组的叠加原理。
定理２（叠加原理）如果()u t 和()v t 是（5.15）的解，则它们的线性组合()()u t v t αβ+也是（5.15）的解，这里α，β是任意常数。
定理２说明，（5.15）的所有解的集合构成一个线性空间。自然要问：此空间的维数是多少呢？为此，我们引进向量函数12(),(),,()m x t x t x t 线性相关与线性无关的概念。
设12(),(),,()m x t x t x t 是定义在区间a t b ≤≤上的向量函数，如果存在不全为零的常数
12,,,m c c c ，使得恒等式
1122()()()0m m c x t c x t c x t +++≡ ，a t b ≤≤
成立；称向量函数12(),(),,()m x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关,否则，称12(),(),,()m x t x t x t 为线性无关的。
设有n 个定义在区间a t b ≤≤上的向量函数
11121211()()()()(),,()()()n n n n nn x t x t x t x t x t x t x t x t ????????????==????????????
由这n 个向量函数构成的行列式
[]1112121
22
21212()()()()()
()(),(),,()()()()
()n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x t x t x t W t x t x t x t ??????≡≡??
?
?
??
称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。
定理３ 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式
()0W t ≡，a t b ≤≤。
证明 由假设可知存在不全为零的常数12,,,n c c c 使得
1122()()()0n n c x t c x t c x t +++≡ ，a t b ≤≤ （5.16）
把（5.16）看成是以12,,,n c c c 为未知量的齐次线性代数方程组，这方程组的系数行列式就是
12(),(),,()n x t x t x t 的伏朗斯基行列式()W t 。由齐次线性代数方程组的理论知道，要此方程组有非零
解，则它的系数行列式应为零，即
()0W t ≡，a t b ≤≤
定理证毕。
定理４ 如果（5.15）的解12(),(),,()n x t x t x t 线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式()0W t ≠，
a t
b ≤≤。
证明 我们采用反证法。设有某一个0t ，0a t b ≤≤，使得0()0W t =。考虑下面的齐次线性代数方程组：
1102200()()()0n n c x t c x t c x t +++≡ （5.17）
它的系数行列式就是0()W t ，因为0()0W t =，所以（5.17）有非零解12,,,n c c c ，以这个非零解12,,,n c
c c 构成向量函数()x t ： 1122()()()()n n x t c
x t c x t c x t ≡+++ （5.18） 根据定理２，易知()x t 是（5.15）的解。注意到（5.17），知道这个解()x t 满足初始条件
0()0x t = （5.19）
但是，在a t b ≤≤上恒等于零的向量函数０也是（5.15）的满足初始条件（5.19）的解。由解的唯一性，知道()0x t ≡，即
1122()()()0n n c
x t c x t c x t +++≡ ，a t b ≤≤
因为12,,,n c
c c 不全为零，这就与12(),(),,()n x t x t x t 线性无关的假设矛盾，定理得证。 由定理３，定理4可以知道，由（5.15）的n 个解12(),(),,()n x t x t x t 作成的伏朗斯基行列式()W t ，或者恒等于零，或者恒不等于零.
定理５ （5.15）一定存在n 个线性无关的解12(),(),,()n x t x t x t .
证明 任取[]0,t a b ∈，根据解的存在唯一性定理，（5.15）分别满足初始条件
10200100010(),(),,()000001n x t x t x t ??????
????????????
??????===????????????????????????
的解12(),(),,()n x t x t x t 一定存在。又因为这n 个解12(),(),,()n x t x t x t 的伏朗斯基行列式
0()10W t =≠，故根据定理３，12(),(),,()n x t x t x t 是线性无关的，定理证毕。
定理６ 如果12(),(),,()n x t x t x t 是（5.15）的n 个线性无关的解，则（5.15）的任一解()x t 均可表为
1122()()()()n n x t c x t c x t c x t =+++
这里12,,,n c c c 是相应的确定常数。 证明 任取[]0,t a b ∈，令
01102200()()()()n n x t c x t c x t c x t =+++ （5.20）
把（5.20）看作是以12,,,n c c c 为未知量的线性代数方程组。这方程组的系数行列式就是0()W t 。因为12(),(),,()n x t x t x t 是线性无关的，根据定理４知道0()0W t ≠。由线性代数方程组的理论，方程组(5.20)有唯一解12,,,n c c c 。以这组确定了的12,,,n c c c 构成向量函数1122()()()n n c x t c x t c x t +++ ，那么，根据叠加原理，它是（5.15）的解。注意到（5.20），可知（5.15）的两个解()x t 及
1122()()()n n c x t c x t c x t +++ 具有相同的初始条件。由解的唯一性，得到
1122()()()()n n x t c x t c x t c x t ≡+++
定理证毕。
推论１ （5.15）的线性无关解的最大个数等于n .
（5.15）的n 个线性无关的解12(),(),,()n x t x t x t 称为（5.15）的一个基本解组。显然，（5.15）具
有无穷多个不同的基本解组.
由定理5和定理6，我们知道（5.15）的解空间的维数是n .即（5.15）的所有解构成了一个n 维的线性空间.
注意到5.1.1节关于n 阶线性微分方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）的等价性，本节的所有定理都可以平行地推论到n 阶线性微分方程上去。
从本节的定理2容易推得第四章的定理2。参看4.1.2中关于纯量函数组的线性相关概念，可以证明：一组1n -次可微的纯量函数12(),(),,()m x t x t x t 线性相关的充要条件是向量函数
1212(1)(1)(1)12()()()()()()()()()m m
n n n m x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---??????
??????
'''????????????
??????
??????
（*） 线性相关。事实上，如果12(),(),,()m x t x t x t 线性相关，则存在不全为零的常数12,,,m c c c 使得
1122()()()0m m c x t c x t c x t +++=
将上式对t 微分一次，二次，…，1n -次，得到
11
2211
22(1)(1)(1)1122()()()0()()()0()()()0
m m m m n n n m m c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---'''+++=''''''+++=+++=
即有
121212(1)(1)(1)12()()()()()()0()()()m m m
n n n m x t x t x t x t x t x t c c c x t x t x t ---??????
??????
'''??????+++=??????
??????
??????
（**） 这就是说，向量函数组（*）是线性相关的。反之，如果向量函数（*）线性相关，则存在不全为零的常数12,,,m c c c 使得（**）成立，当然有1122()()()0m m c x t c x t c x t +++= ，这就表明
12(),(),,()m x t x t x t 线性相关。
推论2 如果12(),(),,()n x t x t x t 是n 阶微分方程
()(1)1()()0n n n x a t x a t x -+++= （5.21）
的n 个线性无关解，其中1(),,()n a t a t 是区间a t b ≤≤上的连续函数，则（5.21）的任一解()x t 均可表为
1122()()()()n n x t c x t c x t c x t ≡+++
这里12,,,n c c c 是相应的确定常数。
如果12(),(),,()n x t x t x t 是（5.21）的n 个线性无关解，根据n 阶微分方程通解的概念及
[]1(),(),,()0n W x t x t x t ≠ ，函数
1122()()()()n n x t c x t c x t c x t ≡+++
就是（5.21）的通解，其中12,,,n c c c 是任意常数。
现在，将本节的定理写成矩阵的形式。
如果一个n n ?矩阵的每一列都是（5.15）的解，称这个矩阵为（5.15）的解矩阵。如果它的列在
a t
b ≤≤上是线性无关的解矩阵,称为在a t b ≤≤上（5.15）的基解矩阵。用()t Φ表示由（5.15）的n 个
线性无关的解12(),(),,()n t t t ??? 作为列构成的基解矩阵。定理５和定例６即可以表述为如下的定理
1*。
定理1* （5.15）一定存在一个基解矩阵()t Φ。如果()t ψ是（5.15）的任一解，那么
()()t t c ψ=Φ （5.22）
这里c 是确定的n 维常数列向量。
定理2*（5.15）的一个解矩阵()t Φ是基解矩阵的充要条件是det ()0t Φ≠（a t b ≤≤）。而且，如果
对某一个[]0,t a b ∈，0det ()0t Φ≠，则d
e t ()0t Φ≠，a t b ≤≤。（d e t ()t Φ表示矩阵()t Φ的行列式）。
要注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。 例１ 验证
()0
t
t t e te t e ??Φ=?
???
是方程组
1101x x ??
'=??
??
，其中12x x x ??=???? 的基解矩阵。
解首先，我们证明()t Φ是解矩阵。令1()t ?表示()t Φ的第一列，这时
111111()()010100t t e e t t ??????????
'===????????
????
???? 这表示1()t ?是一个解。同样，如果以2()t ?表示()t Φ的第二列，我们有
221111(1)()()0101t t t
t te t e t t e e ??????+????'===?????????
???????
这表示2()t ?也是一个解。因此，[]12()(),()t t t ??Φ=是解矩阵。
其次，根据定理2*，因为2det ()0t t e Φ=≠，所以()t Φ是基解矩阵。
推论1* 如果()t Φ是（5.15）在区间a t b ≤≤上的基解矩阵，C 是非奇异n n ?常数矩阵，那么，()t C
Φ也是（5.15）在区间a t b ≤≤上的基解矩阵。
证明 首先，根据解矩阵的定义易知，方程（5.15）的任一解矩阵()X t 必满足关系
()()()X t A t X t '=，
（a t b ≤≤） 反之亦然。现令
()()t t C ψ≡Φ，（a t b ≤
≤） 微分上式，并注意到()t Φ为方程的基解矩阵，C 为常数矩阵，得到
()()()()()()t t C A t t C A t t ψψ''≡Φ≡Φ≡
即()t ψ是（5.15）的解矩阵。又由C 的非奇异性，我们有
det ()det ()det 0t t C ψ=Φ?≠（a t b ≤≤）
因此由定理2*知，()t ψ即()t C Φ是（5.15）的基解矩阵。
推论2* 如果()t Φ，()t ψ在区间a t b ≤≤上是()x A t x '=的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异
n n ?常数矩阵C ，使得在区间a t b ≤≤上()()t t C ψ≡Φ。
证明 因为()t Φ为基解矩阵，故其逆矩阵1
()t -Φ一定存在。现令
1()()()t t X t ψ-Φ≡ （a t b ≤≤）
或
()()()t t X t ψ≡Φ （a t b ≤≤）
易知()X t 是n n ?可微矩阵，且
det ()0X t ≠ （a t b ≤≤）
于是
()()()()()()()
()()()()()()()()()
A t t t t X t t X t A t t X t t X t A t t t X t ψψψ'''≡≡Φ+Φ''≡Φ+Φ≡+Φ （a t b ≤≤）
由此推知()()0t X t 'Φ≡，或()0X t '≡（a t b ≤≤），即()X t 为常数矩阵，记为C 。因此我们有
()()t t C ψ=Φ （a t b ≤≤）
其中1()()C a a ψ-=Φ为非奇异的n n ?常数矩阵推论2*得证。 5.2.2 非齐线性微分方程组 本段讨论非齐线性微分方程组
()()x A t x f t '=+ （5.14）
的解的结构问题，这里()A t 是区间a t b ≤≤上的已知n n ?连续矩阵，()f t 是区间a t b ≤≤上的已知n 维连续列向量，向量()f t 通常称为强迫项，因为如果（5.14）描述一个力学系统，()f t 就代表外力。 容易验证（5.14）的两个简单性质：
性质1 如果()t ?是（5.14）的解，()t ψ是（5.14）对应的齐线性方程组（5.15）的解，则()()t t ?ψ+是（5.14）的解。
性质2 如果()t ?
和()t ?是（5.14）的两个解，则()()t t ??- 是（5.15）的解。 下面的定理7给出（5.14）的解的结构。
定理7 设()t Φ是（5.15）的基解矩阵，()t ?是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解()t ?都可表为
()()()t t c t ??=Φ+ （5.23）
这里c 是确定的常数列向量。
证明 由性质2我们知道()()t t ?
?- 是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到 ()()()t t t c ??-=Φ
这里c 是确定的常数列向量，由此即得
()()()t t c t ??=Φ+
定理证毕。
定理7告诉我们，为了寻求（5.15）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐线性方程组（5.15）的基解矩阵。在知道（5.15）的基解矩阵()t Φ的情况下，寻求（5.14）的解()t ?的简单的方法 常数变易法。
由定理1*可知,如果c 是常数列向量，则()()t t c ?=Φ是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解。因此，将c 变易为t 的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如
()()()t t c t ?=Φ （5.24）
的解。这里()c t 是待定的向量函数。
假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到
()()()()()()()()t c t t c t A t t c t f t ''Φ+Φ=Φ+
因为()t Φ是（5.15）的基解矩阵，所以()()()t A t t 'Φ=Φ，由此上式中含有()()()A t t c t Φ的项消去了。因而()c t 必须满足关系式
()()()t c t f t 'Φ= （5.25）
因为在区间a t b ≤≤上()t Φ是非奇异的，所以1()t -Φ存在。用1()t -Φ左乘（5.25）两边，得到
1()()()t
t c t s f s ds -=Φ?，[]0,,t t a b ∈
其中0()0c t =。这样，（5.24）变为
01()()()()t
t t t s f s ds ?-=ΦΦ?，[]0,,t t a b ∈ （5.26）
因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解()t ?，则()t ?由公式（5.26）决定。
反之，用公式（5.26）决定的向量函数()t ?必定是（5.14）的解。事实上，微分（5.26）得到
111
()()()()()()()
()()()()()
t
t t
t t t s f s ds t t f t A t t s f s ds f t ?---''=ΦΦ+ΦΦ=ΦΦ+??
再利用公式（5.26），即得
()()()()t A t t f t ??'=+
显然，还有0()0t ?=，这样一来，我们就得到了下面的定理8。 定理8 如果()t Φ是（5.15）的基解矩阵，则向量函数
1()()()()t
t t t s f s ds ?-=ΦΦ?
是（5.14）的解，且满足初始条件
0()0t ?=
由定理7和定理8容易看出（5.14）的满足初始条件
0()t ?η=
的解()t ?由下面公式给出
0110()()()()()()t
t t t t t s f s ds ?η--=ΦΦ+ΦΦ? （5.27）
这里10()()()h t t t ?η-≡ΦΦ是（5.15）的满足初始条件
0()h t ?η=
的解。公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。 第五章
例2 11010t e x x -????'=+????
????12x x x ??=????1(0)1x -??
=???? 解 在例1中我们已经知道()0
t
t t e te t e ??
Φ=?
???
是对应的齐线性方程组的基解矩阵。取矩阵()t Φ的逆，我们得到：
1210
()01s
s s s
s
e se s e t e e --????
-???
?Φ==????
这样，由定理8，满足初始条件
0(0)0ψ??
=????
的解就是
20
021()01000
011(1)()220
00t
t s t t s t t s t t t t t t
t t s e te e e te e t e ds ds e e e e e e te e ψ------????
????
??==?
???????????????????
??????--????
==????????
????
??
因为(0)E Φ=，对应的齐线性方程组满足初始条件
1(0)1
h ?-??
=????
的解就是
1(1)()()1t h t t e t t e ?-??
-??=Φ=????????
由公式（5.27），所求解就是
11()()(1)()()()220t t t t t t h t
t e e te e e t e t t t e e ??ψ--????
??--+-????
=+=+=????????????
注意到5.1.1关于n 阶线性微分方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）等价
性的讨论，我们可以得到关于n 阶非齐线性微分方程的常数变易公式。
推论3 如果12(),(),,()n a t a t a t ，()f t 是区间a t b ≤≤上的连续函数，12(),(),,()n x t x t x t 是区间a t b ≤≤上齐线性方程
()(1)1()()0n n n x a t x a t x -+++= （5.21）
的基本解组，那么，非齐线性方程
()(1)1()()()n n n x a t x a t x f t -+++= （5.28）
的满足初始条件
(1)000()0,()0,,()0n t t t ???-'=== []0,t a b ∈
的解由下面公式给出
[][]012112(),(),,()()()()(),(),,()n
t
k n k t k n W x s x s x s t x t f s ds W x s x s x s ?=????
=??????
∑? (5.29) 这里[]12(),(),,()n W x s x s x s 是12(),(),,()n x s x s x s 的伏朗斯基行列式，[]12(),(),,()k n W x s x s x s 是在[]12(),(),,()n W x s x s x s 中的第k 列代以(0,0,,0,1)T 后得到的行列式，而且（5.28）的任一解
()u t 都具有形式
1122()()()()()n n u t c x t c x t c x t t ?=++++ （5.30） 这里12,,,n c c c 是适当选取的常数。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
这时方程（5.28）的通解可以表为1122()()()()n n x c x t c x t c x t t ?=++++ 其中12,,,n c c c 是任意常数。并且由推论3知道，它包括了方程（5.28）的所有解。这就是第四章定理7的结论。
当2n =时，公式（5.29）就是
[][][][]00112212121212(),()(),()()()()()()(),()(),()t
t t t W x s x s W x s x s t x t f s ds x t f s ds W x s x s W x s x s ?????????
=+????????????
??但是 []211222
0()
(),()()1()x s W x s x s x s x s ==-' []121211
()0
(),()()()1x s W x s x s x s x s =
='
因此，当2n =时，常数变易公式变为
[]0211212(),()(),()()()(),()t
t
x t x s x t x s t f s ds W x s x s ???-??
=?
?????
? （5.31）
而通解就是
1122()()()x c x t c x t t ?=++ （5.32）
这里12,c c 是任意常数.
例3 试求方程
x x tgt '''+=
的一个解。
解 易知对应的齐线性方程 0x x '''+=的基本解组为1()cos x t t =，2()sin x t t =。直接利用公式（5.31）来求方程的一个解。这时
[]12cos sin (),()1sin cos t t
W x t x t t t
=
≡-
由公式（5.31）即得（取00t =）
()(sin cos cos sin )sin sin cos sin sin (1cos )cos (sin ln sec )sin cos ln sec t
t t
t t s t s tgsds
t sds t stgsds
t t t t t tgt t t t tgt
?=-=-=-+-+=-+???
注意，因为sin t 是对应的齐线性方程的一个解，所以函数()cos ln sec t t t tgt ?=-+ 也是原方程的一个解。
§5.3 常系数线性微分方程组
本节研究常系数线性微分方程组的问题，主要讨论齐线性微分方程组
x Ax '= （5.33）
的基解矩阵的结构，这里A 是n n ?常数矩阵。我们将通过代数的方法，寻求（5.33）的一个基解矩阵。最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。
5.3.1 矩阵指数exp A 的定义和性质
为了寻求（5.33）的一个基解矩阵，需要定义矩阵指数exp A （或写作A
e ），这要利用5.1.2中关于矩阵序列的有关定义和结果。
如果A 是一个n n ?常数矩阵，我们定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和
20
exp !2!!k m
A k A A A A e E A k m ∞
===+++++∑ （5.34）
其中E 为n 阶单位矩阵，m A 是矩阵A 的m 次幂。这里我们规定0
A E =，0!1=。这个级数对于所有的A 都是收敛的，因而，exp A 是一个确定的矩阵。 事实上，由5.1.2中的性质1
，易知对于一切正整数k ，有
!!
k
k
A A k k ≤ 又因对于任一矩阵A ，A 是一个确定的实数，所以数值级数2
2!!
m
A A E A A m +++++
是收敛的（注意，它的和是1A
n e
-+）。由5.1.2知道，如果一个矩阵级数的每一项的范数都小于一
个收敛的数值级数的对应项，则这个矩阵级数是收敛的，因而（5.34）对于一切矩阵A 都是绝对收敛
的。
级数
0exp !
k k
k A t At k ∞
==∑ （5.35）
在t 的任何有限区间上是一致收敛的。事实上，对于一切正整数k ，当t c ≤（c 是某一正常数）时，有
!!!
k k k
k k k
A t A c A t k k k ≤≤ 而数值级数
()0
!
k
k A c k ∞
=∑
是收敛的，因而（5.35）是一致收敛的。
矩阵指数exp A 有如下性质：
1 如果矩阵A ，B 是可交换的，即AB BA =，则
exp()exp exp A B A B +=+ （5.36）
事实上，由于矩阵级数（5.34）是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数值级数运算的一些定理，
如项的重新排列不改变级数的收敛性和级数的和以及级数的乘法定理等都同样地可以用到矩阵级数中来。由二项式定理及AB BA =，得
()
00exp()!
!()!k
t k t k k k l A B A B A B k l k l -∞
∞
===+??+==??-??
∑
∑∑ （5.37） 另一方面，由绝对收敛级数的乘法定理得
0000exp exp !!!()!i j i j t k t
k
k l A B A B i j A B l k l ∞
∞==-∞
==??
+= ?
??
??=??-??
∑∑∑∑ （5.38）
比较（5.37）和（5.38），推得（5.36）.
2
对于任何矩阵A ，1
(exp )A -存在，且
1
(e x p )e x p ()A A -=
- （5.39）
第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程 式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx (3.20)
其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1 T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2, ,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组 (3.20)化为 1 dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型 1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0 n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ ---= =- 的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.
天津商业大学 一阶拟线性偏微分方程在物理中的应用及 初值问题求解 院系：机械工程学院 专业：XX 姓名：XXX 学号：XXXXX
摘要 本文首先介绍了一阶拟线性偏微分方程的基本概念，及齐次性的划分，并列举了几种典型拟线性偏微分方程在物理中的应用。然后，通过讨论一阶拟线性偏微分方程的几何意义得出其求解方法。最后以齐次连续性方程初值问题的求解为例，介绍了一阶拟线性偏微分方程的基本求解方法。 关键词：一阶拟线性偏微分方程；连续性方程；初值问题；物理意义
ABSTRACT In this paper, we first introduce the basic concepts of first order quasi linear partial differential equations, and the division of homogeneous properties, and the applications of several typical quasi linear partial differential equations in physics. Then, by discussing the geometric meaning of the first order quasi linear partial differential equations, the solving method is obtained. Finally, the solution of the initial value problem of homogeneous continuity equation is solved as an example, and the basic solution of the first order quasi linear partial differential equation is introduced. KEY WORDS:First order quasi linear partial differential equation;Continuity equation;initial value problem;Physical meaning
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n ==L det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-L L M M M L
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλL 这时 12100 n T AT λλλ-??????=?????? 方程组(3.20)变为 11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ??????????????????????=???????????????? ?????? M M (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=????????M 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ????????????????==???????????????? L M M 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ???? ??==?????? M (1,2,,)i n =L
第五章 线性微分方程组 [教学目标] 1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构， 2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法， 4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时 [教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [考核目标] 1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。 §5.1 存在唯一性定理 5.1.1记号和定义 考察形如 1 11112211221122222 1122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++?? ??'=++++? （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n = 和()(1,2,,)i f t i n = 在区间a t b ≤≤上 上是连续的。方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及1 2,,,n x x x ''' 是线性的. 引进下面的记号： 1112121 22 212()() ()()() ()()()() ()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ??????=?? ? ? ?? （5.2） 这里()A t 是n n ?矩阵，它的元素是2 n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n = . 12()()()()n f t f t f t f t ??????=?????? 12n x x x x ??????=?????? 1 2n x x x x '????'??'=???? '?? （5.3）
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=,),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =,),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=
xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为
第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解 本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程（一阶线性偏微分方程）解的特征线方法。 典型的偏微分方程：扩散方程t xx u ku =，t u k u =?；波动方程2tt xx u c u =，2tt u c u =?。这是本课程讨论的主要两类方程。 偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。 §1.1 一维空间中的偏微分方程 例1 （刚性污染流的方程） 假设均匀直线管道中的水流含污染物质的线密度是(,)u x t （即x 处在时刻t 的污染物的密度） 。如果流速是c ，问题：(,)u x t 满足什么样的方程？ 解 如图，在[,]x x x +?内的流体，经过时间t ?，一定处于[,]x c t x x c t +?+?+?。所含污染物应相同，即 (,)(,)x x x x c t x x c t u t d u t t d ξξξξ+?+?+?+?= +?? ? ， 由此 (,)(,)u x t u x c t t t =+?+?， 从而， 0t x u cu +=。 【End 】 可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。 例2 （扩散方程） 假设水流静止，在t ?时间内，流经x 处的污染物质（不计高阶无穷小）与该处浓度的方向导数（浓度变化）成正比，比例系数为k ： ()x u dm t k dt ku dt x ?==?， 所以，在时间段12[,]t t 内，通过12[,]x x 的污染物为 2 1 2 1 [(,)(,)]t x x t k u x t u x t dt -?。 在时刻1t 和2t ，在12[,]x x 内的污染物分别为2 1 1(,)x x u x t dx ?和2 1 2(,)x x u x t dx ? ，由物质守恒定律 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 (,)(,)[(,)(,)]x x t x x x x t u x t dx u x t dx k u x t u x t dt -=-??? 由1t ，2t 的任意性，
第九章 非线性偏微分方程 前面几章索研究的偏微分方程都是线性的，但在实际工程级数及自然科学中索遇到的方程大多都是非线性的，在有些情况下，人们为了研究方便，对问题补充了一些附加的条件或略去一些次要的项，才得到线性方程。在这一章内，我们将从一个具体问题出发引入非线性偏微分方程的概念，然后重点讨论两类重要的非线性方程。 §9.1 极小曲面问题 在第八章内已经说过，求解一个边值问题可以转化成求它所对应的一个泛函的最小值（当然，一般说来变分问题的解只是原边值问题的弱解）。其实，在数学里也已证明了相反的结论，即在一定条件下一个变分问题的解必满足一个微分方程。在这一节内，我们以极小曲面问题为例说明这个事实。 设Ω是平面上有界区域，它的边界?Ω是充分光滑的，其方程为： (),(), x x s y y s ==00s s ≤≤ 其中00(0)(),(0)()x x s y y s ==即?Ω是一条闭曲线。现在在?Ω上给定一条空间曲线l （即作一条空间曲线l ，使它到Ω所在平面的投影为?Ω）： 0(),:(),0,(),x x s l y y s s s u s ?=??=≤≤??=? （9.1） 这里0(0)()s ??=。所谓极小曲面问题就是要确定一张定义在Ω上的曲
面S ，使得 （1）S 以l 为周界； （2）S 的表面积在所有以l 为周界的曲面中是最小的。 假定空间曲面的方程为 (,)v v x y = 则由微积分学可知，这个曲面的表面积为 ()J v =?? （9.2） 于是上述极小曲面问题就变成求一个函数u ，使得 （1）由(,)u u x y =所表示的曲面以l 为周界，即 1(),u C u ??Ω∈Ω=，或者说，u M ?∈， 其中M ?由（8.7）给出； （2）()min ()v M J u J v ? ∈= （9.3） 这是一个变分问题。 如何求出变分问题（9.3）的解？我们先来看看假若u M ?∈是（9.3） 的解，那么u 必需满足什么样的条件。为此，在0M 任取一个元素v ， 即任取0v M ∈，即1(),0v C v ?Ω∈Ω=。对任意(,),u v M ?εε∈-∞+∞+∈，记 ()()j J u v εε=+ （9.4） 其中()J u 由（9.2）确定，从（9.2）可知()j ε是定义在R 上的一个可微函数，由于u 是（9.3）的解，所以对任意R ε∈处取得最小值，故 (0)0j '= （9.5） 不难看出
第十三章二阶线性偏微分方程 的分类 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.
13.1 基本概念 (1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如 22222(,,,,,,,,,,)0u u u u u F x y u x y x y x y ??????????????=??????其中(,,)u x y ???是未知多元函数，而,,x y ???是未知变量；,,u u x y ???????为u 的偏导数. 有时为了书
写方便，通常记 2 2,,,,x y xx u u u u u u x y x ???==???=??????(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．
(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程． (5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．
例13.1.2：方程的通解和特解概念 二阶线性非齐次偏微分方程2xy u y x =?的通解为 2 21(,)()()2u x y xy x y F x G y =?++其中(),()F x G y 是两个独立的任意函数．因为方程为 例13.1.1：偏微分方程的分类（具体见课本P268）
高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.
常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极
§12.4 线性微分方程 一、 线性方程 线性方程: 方程)()(x Q y x P dx dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-) 2(?021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0?y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dx dy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ?0)1(23=+-y x dx dy 或3 2)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法: 齐次线性方程 0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P y dy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=? , 或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=?=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例1 求方程y dx dy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得 2 -=x dx y dy ,
两边积分得 ln|y |=ln|x -2|+lnC , 方程的通解为y =C (x -2). 非齐次线性方程的解法: 将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把 ?=-dx x P e x u y )()( 设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---, 化简得 ?='dx x P e x Q x u )()()(, C dx e x Q x u dx x P +?=?)()()(, 于是非齐次线性方程的通解为 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=? -, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ? ??+?=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 例2 求方程25)1(1 2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程 012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 1 2+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C , 齐次线性方程的通解为 y =C (x +1)2. 用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ?(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得
第二章 二阶线性偏微分方程的分类 1．把下列方程化为标准形式： （1）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解：因为 02 22112 12=?-=-a a a a a a 所以该方程是抛物型方程，其特征方程为 12 2 =-± =a a a a dx dy 。 它只有一族实的特征线 c x y =- 在这种情况下，我们设x y -=ξ，x =η（或令y =η，总之，此处η是与ξ无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η）。 方法一：用抛物型方程的标准形式 ][12122 F Cu u B u B A +++- =ηξηηη 先算出： ? ??? ? ? ?? ? ? ?-====?+?+?+?+?=++++=?+-+?+?+?=++++==?+?+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 2212212112 2122121112 221221122ηηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1 u bu u c b a u +++--=ηξηη 即 01=+ + -+ u a u a b u a b c u ηξηη 方法二：应用特征方程，作自变量变换，求出 ??? ??=+-=+-=+--==+-= ,2 ,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y x 代入原方程得，0)(=++-+u bu u b c au ηξξη
第七章 一阶线性偏微分方程 例7-1 求方程组 ()()()yz B A Cdz xz A C Bdy yz C B Adx -=-=- 通积分，其中C B A ,,为互不 相等的常数。 解 由第一个等式可得 xyz ydy A C B xyz xdx C B A -=-， 即有 0=---ydy A C B xdx C B A ， 两边积分得方程组的一个首次积分 122,C y A C B x C B A z y x Φ=---= ),(。 由第二个等式可得 xyz zdz B A C xyz ydy A C B -=-， 即有 0=---zdz B A C ydy A C B ， 两边积分得方程组的另一个首次积分 222,C z B A C y A C B z y x Ψ=---= ),(。 由于，雅可比矩阵 ? ???? ?????------=????? ???? ????ψ??ψ??ψ ??Φ??Φ ??Φ ?=?ψΦ?z B A C y A C B y A C B x C B A y y x z y x z y x 002),,(),( 的秩为2，这两个首次积分相互独立，于是原方程组的通积分为 122C y A C B x C B A =--- 222C z B A C y A C B =--- 。
评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。要得到通积分需要求得n 个独立的首次积分，n 为组成方程组的方程个数。用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。 例7-2 求方程组 () () ???????-+--=-+-=11d 222 2y x y x dt dy y x x y dt x 的通解。 解 由原方程组可得 )1)((2222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x 即 dt y x y x y x d )1)((2)(2 2 2 2 2 2 -++-=+ 这个方程关于变量t 和2 2 y x +是可以分离的，因此易求得它的通积分为 122 2221),,(C e y x y x t y x t =+-+=Φ 这是原方程组的一个首次积分。 再次利用方程组，得到 )(22y x dt dx y dt dy x +-=-， 即有 1arctan -=?? ? ?? x y dt d 由此得到原方程组的另一个首次积分 2arctan ),,(C t x y t y x =+=ψ 。 由于，雅可比矩阵为 ()( ) ???? ? ?????? ?++-++=????????? ????ψ??ψ ??Φ??Φ ?=?ψΦ?2222 222 222 2222),(),(y x x y x y e y x y e y x x y x y x y x t t ，
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,