第五章 相似理论与量纲分析
5．1基本要求
本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。
5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义，
量纲的定义。
5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。 5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。 重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。 难点：量纲分析法，模型律。
5．2基本知识点
5．2．1相似的基本概念
为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。 1. 几何相似
两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。即
n n
l m m L d C L d == n m θθ=
相应有 222n n
A l m m A L C C A L === 333n n V l m m
V L C C V L ===
2. 运动相似
两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。
n n
u m m
u C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2
u u a t l
C C C C C == 3. 动力相似
两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。
Im pn n In n Gn En
F m m Gm pm Em
F F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 5．2．2相似准则
描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，利用该方程可得到模型流动和原型流动在满足动力相似时各比例系数之间的约束关系即相似准则。常用的相似准数为: 1. 雷诺数Re
Re uL uL
ρμν
=
=
，Re 数表征了惯性力与粘滞力作用的对比关系。 2. 弗汝德数Fr
2
u Fr gL
=，Fr 数表征惯性力与重力作用的对比关系。
3. 欧拉数Eu
2
p
Eu u ρ?=
，Eu 数表征压力与惯性力作用的对比关系。 4. 斯特劳哈勒数St
2L u t
St tu u L
=
=，St 数是时变加速度与位变加速度的比值，标志流动的非定常性。 5．2．3模型律 1. 模型律的选择
动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全相似。但同时满足所有相似准数都相等，在实际上是很困难的，有时也
是不必要的。实际上我们往往只需要考虑主要动力相似，即只要起主导作用的相似准数相等即可。要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来选择恰当的相似准数。 2. 模型试验
模型试验步骤：①选定l C ；②求模型的几何边界；③选模型律；④实现相似，计算相应物理量。 5．2．4量纲分析法 1. 量纲分析 1） 量纲
量纲是物理量的单位种类。注意量纲与单位的区别！
基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有三个基本量纲：长度量纲L 、时间量纲T 和质量量纲M 。
导出量纲由基本量纲组合表示。
任一物理量均可由基本量纲的指数乘积的形式来描述：[]q M L T αβγ
??=????
2） 无量纲量
无量纲量指物理量的量纲为1，用00
M L T 表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量。无量纲量可由几个有量纲量通过乘除组合而成或由同类量的比值组成。
无量纲量的优点：①客观；②不受运动规模的影响；③可进行超越函数的运算。 3） 量纲和谐原理
量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中各项的量纲应该是一致的。
推论：
（1）凡正确反映客观规律的物理方程，都可表示成由无量纲项组成的无量纲方程。 （2）量纲和谐原理规定了一个物理过程与有关物理量之间的关系。 2.
定理：
对于某个物理现象，如果存在n 个变量互为函数，即12(,,,)0n F A A A =L 。而这些变量中含有m 个基本量，则可把这n 个变量成（n-m ）个无量纲数的函数关系12(,,,)0n f πππ=L ，即可合并n 个物理量为（n-m ）个无量纲π数。
定理解题步骤如下：
1） 确定关系式：确定所研究流动问题所包含的各个物理量及其关系式：
121211(,,,)0,(,,,,,,)n i i i n F A A A A F A A A A A -+==L L L 或
2） 确定基本量：从n 个物理量中选取m 个基本物理量作为基本量纲，一般3m =，如A 1，A 2，A 3；
3） 确定无量纲变量π数的数目(n-m )，并写出其余物理量与基本物理量组成的π表达式：
123
1,2,...,,i
i
i
i i i i i A A A A i n m αβγ
παβγ==-；为待定指数
4） 确定无量纲π数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数,,αβγ，从而定出各无量纲π参数。
5） 写出描述物理现象的关系式：
12(,,,)0n f πππ=L
或者1211(,,,,,,)i i i n m f ππππππ-+-=L L
5．3典型例题
例5－1 某水库以长度比尺100l C =做底孔放空模型实验，今在模型上测得放空时间为12小时，求原型上放空水库所需的时间。
【解】 取 n m Fr Fr =，即 22n m
gl gl υυ????
= ? ?????
所以
n m m
υ=
=
10C υ===
又 1001010
l t C C C υ=
== 所以 1012120h n t m t C t ==?=
讨论：弗汝德数的适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明渠流动与隧洞流动等。 本题中水库内水的出流是重力出流，因此选择重力相似准则，即弗汝德数相等。 例5－2 已知某船体长122 m ， 航行速度15 m/s ，现用船模在水池中实验船模长3.05 m 。求船模应以多大速度运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力为20 N ，实物船所受阻力等于多少。
【解】 取 n m Fr Fr =，即 22n m
gl gl υυ????
= ? ?????
所以
15 2.37m/s m υυ=== 又 2
222(
)()n
m
F
F
l
l
ρυρυ=
所以 2336
12
()122()20() 1.2810N () 3.05
n n n m m m m l l F F F l l υυ===?=? 例5－3 有一直径20cm d =的输油管道，输送运动粘滞系数为62
4010m /s ν-=?油的油，
其流量10l/s Q =。若在模型中采用直径为5cm 的圆管，求模型中用运动粘滞系数为
621710m /s ν-=?水的水做试验时的流量。
【解】 选用雷诺数相似准则，即
n n m m
n m
d d υυνν＝
又Q
d υπ=
2
4，∴ n n m m n n m m Q d Q d d d πνπν2244＝
.l/s m m m n n n d Q Q d νν??=?=??10106-6
-6
51710＝204010
讨论：雷诺数的适用范围：主要是受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类流动相似要求雷诺数相等。另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证动力相似的。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。
例5－4 一建筑物模型在风速为5 m/s 时，迎风面压强为50 N/m 2，
，背风面压强为－30 N/m 2，若气温不变，风速增至15 m/s 时，建筑物迎风面和背风面的压强各为多少
【解】采用Eu 相似准则，
n
m
n n
m m p p ρυρυ=
2
2
因为 n m ρρ=
所以，迎风面压强2N/m m n n p p υυ++==?=22
2215504505
背风面压强2()N/m m n n p p υυ--==?-=-22
2215302705
讨论：一般，两流动的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗劳德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证流动相似。
例5－5 假设流量Q 与管径D 、喉管直径d 、流体密度ρ、压强差P ?及流体的动力粘滞系数μ有关，试用π定理分析文丘里管的流量表达式。
【解】 据题意拟定函数关系式：(),,,,,0F Q D d p ρμ?=
选择 D ，,
ρμ为独立变量，则可建立3个无量纲π数：
1
1
1
2
2
2
3
3
3
123D d D P D Q
αβγαβγαβγπρμπρμπρμ==?=
对1π： 1＝(
)()1
1
13111L ML
ML T L βγα
--=
111111:31:0
:0
L M T αβγβγγ--=??
+=??=?
求解上述方程组可得：1111,0,0αβγ=-== 所以 1d D
π= 同理可得 222
P
D
ρπμ?=
3DQ ρ
πμ
=
将各π数代入312(,)f πππ= 得
22(
.)DQ d P
f D D ρ
ρμ
μ
?= 22(.)d P Q f D D D μρρμ
?=
讨论：从本例题可以看出，利用π定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。但是用量纲分析法所确定的物理方程中包含待定系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。
例5－6 试用量纲分析法证明风洞运行时所需功率为()23N L f L ρυρυμ=，式中N 为功率，ρ为流体密度，μ为动力粘性系数，L 为风洞的特征长度。
【解】 本题共5个变量，选3个基本量纲，则无量纲π数为2。
选定ρ、L 、υ 为基本量，则
1
1
1
1L αβγ
πμρυ=，显见 1L
ρυπμ
=
2
2
2
2N L αβγπρυ=
[]2
2
20002332
M L T ML T ML L LT αγβ
---????????=???????????
???
??-=-=-=??????--=++-=+=32130320102
2222222γβαγγβαα
所以 223
23
,()N
N L
f L L ρυπμρυρυ=
=即
23(
)L
N L f ρυρυμ
=
5．4习题
1. 当水温为20℃，平均速度为4.5 m/s ，直径为0.3 m 水平管线某段的压降为 kN/m 2。如
果用比例为6的模型管线，以空气为工作流体，当平均流速为30 m/s 时，要求在相应段产生 kN/m 2的压强降。计算力学相似所要求的空气压强，设空气温度为20℃。
（答案：15 at ）
2. 为了确定吸风口附近的速度分布，取比例为10作为模型设计。模型吸风口的流速为13
m/s ，距风口轴线0.2 m 处测得流速为0.5 m/s 。若实际风速为18 m/s ，怎样换算成原型流动的速度
（答案：0.69 m/s ）
3. 为研究输水管道上直径600 mm 阀门的阻力特性，采用直径300 mm 的阀门用气流做模
型实验。已知输水管道的流量为0.283 m 3/s ，水的运动粘度-6
2
10m /s ν?水=1，空气的运动粘度-6
2
1.610m /s ν?空气=，试求模型的气流量。
（答案：2.26 m 3/s ）
4. 潜艇长50 m ，水面航速6 m/s.在水池中作模型试验，以确定该潜艇在水面航行时的阻
力。若船模的几何尺度是实船的l/50，求船模在水池中的拖曳速度。
（答案：0.85 m/s ）
5. 溢水堰模型设计比例为20，当在模型上测得模型流量为300l/s m Q =时，水流推力
300N m P =，求实际流量n Q 和推力n P 。
（答案：537 m 3/s ；2400 kN ）
6. 为了研究汽车的性能，在风洞中进行汽车的模型试验。已知风洞风速45m/s m υ=，测
得模型上的阻力 1.5kN m F =。若汽车高 1.5m n h =，行车速度108km/h n υ=。试求模型的高度m h 及汽车所受到的阻力n F 。
（答案：1 m ； kN ）
7. 溢流坝泄流模型实验，模型长度比尺为60，溢流坝的泄流量为500m 3／s 。试求：
(1)模型的泄流量；
(2)模型的堰上水头6m m h =，原型对应的堰上水头是多少
题5－7图
（答案：3
0.0179m /s m Q =； 3.6m n h =）
8. 用油泵抽贮油池中的石油，现需用实验方法确定最小油位h 。已知原型设备中吸入管直
径250mm n d =，运动粘度42
0.7510m /s n ν-=?，流量140L/s n Q =，长度比尺
5l C =，试确定：
（1）模型中运动粘度?m ν=，流量?m Q =，流速?m υ= （2）若模型中出现漩涡的最小液柱高度60mm m h =，求?n h =
（答案：42
0.06810m /s m ν-=?， 2.5L/s m Q =， 1.27m/s m υ=，300mm n h =）
9. 假设自由落体的下落距离s 与落体的质量m 、重力加速度g 及下落时间t 有关，试用量
纲分析法导出自由落体下落距离的关系式。
（答案：2
s kgt =）
10. 一长度为l 的物体以速度U 在密度为ρ，粘性系数为μ的流体中运动，试以量纲分析的
方法导出物体所受到的阻力D 的无量纲数的表示式。
（答案：()2Re D f U ρ=）
11. 球形固体颗粒在流体中自由沉降速度f u 与颗粒直径d 、密度s ρ以及流体的密度ρ、动
力粘度μ、重力加速度g 有关，试用量纲分析法求解自由沉降速度关系式。
（答案：()12
1s u F gd ρρ??
=
?）
12. 圆形孔口出流的流速可与作用水头H 、孔口直径d 、水的密度ρ和动力粘度μ、重力加
速度g 有关，试用量纲分析法推导孔口流量公式。
（答案：()21
2,4H d d Q F gH H ρυπμ??
??= ? ?????
）
13. 若螺旋桨的推进力F 与其直径d ，推进速度V ，每秒转数n ，以及流体密度ρ和粘性系
数μ有关，试用定理证明推力F 的表达式为：
22,dn F d V dV V μρρ??
=Φ ???
对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析 包思远 摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。相似原理与量纲分析的主要内容为物理方程的量纲齐次性，π定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。 关键字模型试验，相似原理，量纲分析 1 模型实验相似原理基础 模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N倍，进行相应的实验，得到相应的规律，来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。 模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。 实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以求出无量纲的二数。这种方法对实验者知识的掌握程度要求较高。而且在计算机
第五章 相似理论与量纲分析 5．1基本要求 本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。 5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义， 量纲的定义。 5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。 5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。 重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。 难点：量纲分析法，模型律。 5．2基本知识点 5．2．1相似的基本概念 为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。 1. 几何相似 两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。即 n n l m m L d C L d == n m θθ= 相应有 222n n A l m m A L C C A L === 333n n V l m m V L C C V L === 2. 运动相似 两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。 n n u m m u C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2 u u a t l C C C C C == 3. 动力相似 两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。 Im pn n In n Gn En F m m Gm pm Em F F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
相似原理与量纲分析
对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析 包思远 摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。相似原理与量纲分析的主要内容为物理方程的量纲齐次性， 定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。 关键字模型试验，相似原理，量纲分析 1 模型实验相似原理基础 模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N 倍，进行相应的实验，得到相应的规律， 来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。 模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安
装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高 能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。 实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以
第五章相似原理与量纲分析 （1）第三章是理论研究方法，但除了极少数问题外，很难得到理论解析解，而必须借助于实验方法。（2）实验研究方法有实物实验、比拟实验和模型实验三大类。（3）实物实验是用仪器实测原型系统的流动参数，它对于较小的模型系统比较合适，对大型系统就很难；比拟实验有水电比拟和水气比拟，是利用电磁场来模拟流场和用液体来模拟气体，实施起来也有诸多限制；模拟实验是最常用的实验方法，此法是在测试中把原型按一定比例缩小后的模型，此外还可能要变更流体的性质和流动条件等等。（4）模拟实验研究的理论指导基础是相似原理。具体实践方法是通过量纲分析。（5）流动相似是几何相似的推广。 §1 流动相似原理 几何相似——对应边成同一比例；对角边相等。当边上有粗糙度时还要求粗糙度相似。 运动相似——（1）几何相似的流动系统中，对应点的速度大小成同一比例，方向相同。即流线是相似的。（2）几何相似未必运动相似。如同一模型的亚超音速流动。（3）速度相似，和几何相似，则加速度相似。 动力相似——（1）几何相似和运动相似的两个流场中，对应点处的作用的性质相同的力，其大小成同一比例，方向相同。（2）力相似，则力矩和其他与力相关的物理量也相似。 时间相似——流体动力所对应的时间间隔成比例。这是对非定常问题而言的，意思是相应的非定常时间尺度成比例。 其他相似——热力相似；化学相似等。 §2 相似准则与量纲分析 相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、运动相似和动力相似三个方面都得到满足，两者才可以比拟。但在实际应用中，并不能用这些定义来验证流动是否相似，因为通常原型流动的详情是未知的。这就产生一个问题：有什么其他办法能保证两个流动系统相似呢？有，这就是相似准则。利用相似准则，不必详细判断流场各点的几何、运动和动力量是否相似，而直接可判断流场是否相似。 （一）量纲
水力学教学辅导 第10章 相似原理和量纲分析 【教学基本要求】 1、了解相似现象和流动相似的特征。 2、了解水力学模型设计的相似原理和重力相似准则、阻力相似准则，能进行模型比尺和对应物理量的计算。 3、了解量纲和谐原理的基本概念。 【内容提要和学习指导】 实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。通过本章学习，会根据不同的水流模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺设计和原型与模型对应的物理量的计算。 这一章要求重点掌握重力相似准则、阻力相似准则以及模型比尺和对应物理量的计算。掌握正确组合无量纲量的组合方法。 10.1 相似现象和流动相似的特征 相似是人们常遇到的概念，最常见的是指图形的相似，即两个几何图形的对应边成比例，对应的角都相等。 流动相似是图形相似的推广。流动相似具有三个特征，或者说要满足三个条件，即：几何相似，运动相似，动力相似。其中几何相似是前提，动力相似是保证，才能实现运动相似这个目的。运动相似和动力相似是表示原型和模型两个流动对应的点速度、压强和所受的作用力都分别满足确定的比例关系。 10.2相似理论和牛顿相似准则 相似原理是进行水力学模型试验的基础，它是指实现流动相似所必需遵循的基本关系和准则。 在满足几何相似的前提下，动力相似是实现流动相似的必要条件，即要求模型和原型中作用在液体上的各种力都成比例。用数学式可以表达为： （Ne ）P =（Ne ）M （10—1） 式中牛顿数 表示某种力与惯性力的比值，F 可以是任何种类的力，下 标P 和M 分别表示是原型和模型的物理量。这就是实现流动动力相似的牛顿相似准则。 22Ne υρL F =
第五章相似原理与量纲分析 对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等。 第一节流动相似 原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。 水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。 水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。 关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似，应满足： 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似 1.几何相似 几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。 长度比尺：（5-1） 面积比尺：（5-2） 体积比尺：（5-3）
2. 运动相似 运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。 速度比尺：（5-4） 加速度比尺：（5-5） 3.动力相似 动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。 力的比尺： （5-6） 4.初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。 流动相似的含义： 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。 第二节动力相似准则 动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。
第十三章相似原理及量纲分析 实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。 而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水的试验)。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很小，也可利用放大的模型进行实验。而进行模型实验，首先必须解决两类问题。 (1) 如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定，介质的选取。 (2) 如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。 相似原理就是解决上述问题的基础。本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及工程传热学等有关学科。 §13-1 相似的概念 相似的概念最早出现在几何学中，如两个相似三角形，应具有对应夹角相等，对应边互成比例，那么，这两个三角形便是几何相似的。 在流体力学的研究中，所谓相似，主要是指流动的力学相似，而构成力学相似的两个流动，一个是指实际的流动现象，称为原型；另一个是在实验室中进行重演或预演的流动现象，称为模型。所谓力学相似是指原型流动与模型流动在对应物理量之间应互应平行(指矢量物理量如力，加速度等)并保持一定的比例关系(指矢量与标量物理量的数值，如力的数值，时间与压力的数值等)。对一般的流体运动，力学相似应包括以下三个方面。 一、几何相似 几何相似又叫空间相似。即要求模型的边界形状与原型的边界形状相似，且对应的线性尺寸成相同的比例。 如果以下标1表示原型流动，下标2表示模型流动，则几何相似包括：
第四章 相似原理与量纲分析 量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。 §6—1 量纲分析 一、量纲、无量纲量 量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。 是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征。 ● 在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数 值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。 ● 量纲可分为基本量纲和诱导量纲 基本量纲（dim ）：互不依赖，互相独立的量纲。 基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度[L]、时间[T]和质量[M]为基本量纲。 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出，如][][γβαM T L x =，γβα,, 称为量纲指数。1） 1） 若0,0,0==≠γβα，则x 为几何学的量； 2）若0,0,0=≠≠γβα，则x 为运动学的量，如运动粘性系数][][12-=T L ν； 3）若0,0,0≠≠≠γβα，则x 为动力学的量，如动力粘性系数][][11M T L --=μ. ● 纯数 如果一个物理量的所有量纲指数为零，就称为无量纲（量纲为一）量。 无量纲量可以是相同量纲量的比值（如角度，三角函数），也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成（如压力系数22 1∞∞-=U p p C p ρ）. 二、量纲和谐原理 一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲是一致的，这就是量纲一致性原理。 ● 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。
第三节流动相似条件 流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。 相似流动必然满足以下条件： 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件； 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。 模型实验主要解决的问题： 1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。 第四节近似模拟试验 完全相似和不完全相似 动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。 例如： 粘滞力相似：由得 重力相似：由得 由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。 在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。 有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则已失去判别相似的作用。称这种状态为自模化状态，称自模化状态的雷诺数范围为自模化区。 一、物理方程量纲一致性原则 第五节量纲分析 1、量纲 量纲是物理量的一种本质属性，是同一物理量各种不同单位的集中抽象。 如：
5-1、想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？ 答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。 5-2、判断：惯性力是所有外力的矢量和。你的回答：B A对； B错 5-3、想一想：牛顿相似准则说明了完全的什么相似。动力 5-4、算一算：如模型比尺为1:20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中的流速为m/s。 2.5 5-5、进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：A A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则； D.其他准则。 5-6、雷诺数的物理意义表示：C A. 粘滞力与重力之比； B.重力与惯性力之比； C.惯性力与粘滞力之比； D.压力与粘滞力之比。5-7、压力输水管模型实验，长度比尺为8，模型水管的流量应为原型输水管流量的：C A.1／2； B.1／4； C.1／8； D.1／16。 5-9、进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：B A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则； D. 其它准则。 5-10、明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的: D A.1／2； B.1／4； C.1／8； D. 1／32。 5-11、长度比尺λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进，测得波浪阻力为0.02N，则原型中需要的功率N p为：B A.2.17kW； B.32.4kW； C.17.8kW； D.13.8kW。 5-12、设模型比尺为1:100，符合重力相似准则，如果模型流量为100cm3/s，则原型流量为多少cm3/s？ C A.0.01； B.108； C.10； D.10000。 5-13、进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选择的相似准则是：A A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则。 5-14、判断：当运动流体主要受粘滞力和压力作用时，若满足雷诺准则，则欧拉相似准则会自动满足。你的回答：A A对；B错 5-15、想一想：欧拉数与韦伯数的物理意义是什么？ 答：欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。 5-16、判断：对于恒定流也应考虑斯特哈罗数准则。你的回答：B A对；B错 5-17、想一想：马赫数与斯特哈罗数的物理意义是什么？ 答案:马赫数为弹性力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与弹性力之比，马赫数相等则弹性力相似。斯特哈罗数是在非恒定流体流动中，因当地加速度不为零，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。 5-18、为什么每个相似准则都要表征惯性力？ 答案: 作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形