第五章 相似理论与量纲分析
5．1基本要求
本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。
5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义，
量纲的定义。
5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。 5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。 重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。 难点：量纲分析法，模型律。
5．2基本知识点
5．2．1相似的基本概念
为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。 1. 几何相似
两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。即
n n
l m m L d C L d == n m θθ=
相应有 222n n
A l m m A L C C A L === 333n n V l m m
V L C C V L ===
2. 运动相似
两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。
n n
u m m
u C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2
u u a t l
C C C C C == 3. 动力相似
两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。
Im pn n In n Gn En
F m m Gm pm Em
F F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 5．2．2相似准则
描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，利用该方程可得到模型流动和原型流动在满足动力相似时各比例系数之间的约束关系即相似准则。常用的相似准数为: 1. 雷诺数Re
Re uL uL
ρμν
=
=
，Re 数表征了惯性力与粘滞力作用的对比关系。 2. 弗汝德数Fr
2
u Fr gL
=，Fr 数表征惯性力与重力作用的对比关系。
3. 欧拉数Eu
2
p
Eu u ρ?=
，Eu 数表征压力与惯性力作用的对比关系。 4. 斯特劳哈勒数St
2L u t
St tu u L
=
=，St 数是时变加速度与位变加速度的比值，标志流动的非定常性。 5．2．3模型律 1. 模型律的选择
动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全相似。但同时满足所有相似准数都相等，在实际上是很困难的，有时也
是不必要的。实际上我们往往只需要考虑主要动力相似，即只要起主导作用的相似准数相等即可。要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来选择恰当的相似准数。 2. 模型试验
模型试验步骤：①选定l C ；②求模型的几何边界；③选模型律；④实现相似，计算相应物理量。 5．2．4量纲分析法 1. 量纲分析 1） 量纲
量纲是物理量的单位种类。注意量纲与单位的区别！
基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有三个基本量纲：长度量纲L 、时间量纲T 和质量量纲M 。
导出量纲由基本量纲组合表示。
任一物理量均可由基本量纲的指数乘积的形式来描述：[]q M L T αβγ
??=????
2） 无量纲量
无量纲量指物理量的量纲为1，用00
M L T 表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量。无量纲量可由几个有量纲量通过乘除组合而成或由同类量的比值组成。
无量纲量的优点：①客观；②不受运动规模的影响；③可进行超越函数的运算。 3） 量纲和谐原理
量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中各项的量纲应该是一致的。
推论：
（1）凡正确反映客观规律的物理方程，都可表示成由无量纲项组成的无量纲方程。 （2）量纲和谐原理规定了一个物理过程与有关物理量之间的关系。 2.
定理：
对于某个物理现象，如果存在n 个变量互为函数，即12(,,
,)0n F A A A =
。而这些变量中含有m 个基本量，则可把这n 个变量成（n-m ）个无量纲数的函数关系12(,,,)0n f πππ=
，即可合并n 个物理量为（n-m ）个无量纲π数。
定理解题步骤如下：
1） 确定关系式：确定所研究流动问题所包含的各个物理量及其关系式：
121211(,,
,)0,(,,
,,,
,)n i i i n F A A A A F A A A A A -+== 或
2） 确定基本量：从n 个物理量中选取m 个基本物理量作为基本量纲，一般3m =，如
A 1，A 2，A 3；
3） 确定无量纲变量π数的数目(n-m )，并写出其余物理量与基本物理量组成的π表达式：
123
1,2,...,,i
i
i
i i i i i A A A A i n m αβγ
παβγ==-；为待定指数
4） 确定无量纲π数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数,,αβγ，从而定出各无量纲π参数。
5） 写出描述物理现象的关系式：
12(,,
,)0n f πππ= 或者1211(,,,,,,)i i i n m f ππππππ-+-=
5．3典型例题
例5－1 某水库以长度比尺100l C =做底孔放空模型实验，今在模型上测得放空时间为12小时，求原型上放空水库所需的时间。
【解】 取 n m Fr Fr =，即 22n m
gl gl υυ????
= ? ?????
所以
n m m
υ=
=
10C υ===
又 1001010
l t C C C υ=
== 所以 1012120h n t m t C t ==?=
讨论：弗汝德数的适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明渠流动与隧洞流动等。 本题中水库内水的出流是重力出流，因此选择重力相似准则，即弗汝德数相等。 例5－2 已知某船体长122 m ， 航行速度15 m/s ，现用船模在水池中实验船模长3.05 m 。求船模应以多大速度运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力为20 N ，实物船所受阻力等于多少。
【解】 取 n m Fr Fr =，即 22n m
gl gl υυ????
= ? ?????
所以
15 2.37m/s m υυ=== 又 2
222(
)()n
m
F
F
l
l
ρυρυ=
所以 2336
12
()122()20() 1.2810N () 3.05
n n n m m m m l l F F F l l υυ===?=? 例5－3 有一直径20cm d =的输油管道，输送运动粘滞系数为62
4010m /s ν-=?油的油，
其流量10l/s Q =。若在模型中采用直径为5cm 的圆管，求模型中用运动粘滞系数为
621710m /s ν-=?水的水做试验时的流量。
【解】 选用雷诺数相似准则，即
n n m m
n m
d d υυνν＝
又Q
d υπ=
2
4，∴ n n m m n n m m Q d Q d d d πνπν2244＝
.l/s m m m n n n d Q Q d νν??=?=??10106-6
-6
51710＝204010
讨论：雷诺数的适用范围：主要是受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类流动相似要求雷诺数相等。另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证动力相似的。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。
例5－4 一建筑物模型在风速为5 m/s 时，迎风面压强为50 N/m 2，
，背风面压强为－30 N/m 2
，若气温不变，风速增至15 m/s 时，建筑物迎风面和背风面的压强各为多少
【解】采用Eu 相似准则，
n
m
n n
m m p p ρυρυ=
2
2
因为 n m ρρ=
所以，迎风面压强2N/m m n n p p υυ++==?=22
2215504505
背风面压强2()N/m m n n p p υυ--==?-=-22
2215302705
讨论：一般，两流动的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗劳德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证流动相似。
例5－5 假设流量Q 与管径D 、喉管直径d 、流体密度ρ、压强差P ?及流体的动力粘滞系数μ有关，试用π定理分析文丘里管的流量表达式。
【解】 据题意拟定函数关系式：(),,,,,0F Q D d p ρμ?=
选择 D ，,
ρμ为独立变量，则可建立3个无量纲π数：
1
1
1
2
2
2
3
3
3
123D d D P D Q
αβγαβγαβγπρμπρμπρμ==?=
对1π： 1＝(
)()1
1
13111L ML
ML T L βγα
--=
111111:31:0
:0
L M T αβγβγγ--=??
+=??=?
求解上述方程组可得：1111,0,0αβγ=-== 所以 1d D
π= 同理可得 222
P
D
ρπμ?=
3DQ ρ
πμ
=
将各π数代入312(,)f πππ= 得
22(
.)DQ d P
f D D ρ
ρμ
μ
?= 22(.)d P Q f D D D μρρμ
?=
讨论：从本例题可以看出，利用π定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。但是用量纲分析法所确定的物理方程中包含待定系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。
例5－6 试用量纲分析法证明风洞运行时所需功率为()23N L f L ρυρυμ=，式中N 为功率，
ρ为流体密度，μ为动力粘性系数，L 为风洞的特征长度。
【解】 本题共5个变量，选3个基本量纲，则无量纲π数为2。
选定ρ、L 、υ 为基本量，则
1
1
1
1L αβγ
πμρυ=，显见 1L
ρυπμ
=
2
2
2
2N L αβγπρυ=
[]2
2
20002332
M L T ML T ML L LT αγβ
---????????=???????????
???
??-=-=-=??????--=++-=+=32130320102
2222222γβαγγβαα
所以 223
23
,()N
N L
f L L ρυπμρυρυ=
=即
23(
)L
N L f ρυρυμ
=
5．4习题
1. 当水温为20℃，平均速度为4.5 m/s ，直径为0.3 m 水平管线某段的压降为 kN/m 2
。如
果用比例为6的模型管线，以空气为工作流体，当平均流速为30 m/s 时，要求在相应段产生 kN/m 2
的压强降。计算力学相似所要求的空气压强，设空气温度为20℃。
（答案：15 at ）
2. 为了确定吸风口附近的速度分布，取比例为10作为模型设计。模型吸风口的流速为13
m/s ，距风口轴线0.2 m 处测得流速为0.5 m/s 。若实际风速为18 m/s ，怎样换算成原型流动的速度
（答案：0.69 m/s ）
3. 为研究输水管道上直径600 mm 阀门的阻力特性，采用直径300 mm 的阀门用气流做模型
实验。已知输水管道的流量为0.283 m 3
/s ，水的运动粘度-62
10m /s ν?水=1，空气的运
动粘度-62
1.610m /s ν?空气=，试求模型的气流量。
（答案：2.26 m 3
/s ）
4. 潜艇长50 m ，水面航速6 m/s.在水池中作模型试验，以确定该潜艇在水面航行时的阻
力。若船模的几何尺度是实船的l/50，求船模在水池中的拖曳速度。
（答案：0.85 m/s ）
5. 溢水堰模型设计比例为20，当在模型上测得模型流量为300l/s m Q =时，水流推力
300N m P =，求实际流量n Q 和推力n P 。
（答案：537 m 3
/s ；2400 kN ）
6. 为了研究汽车的性能，在风洞中进行汽车的模型试验。已知风洞风速45m/s m υ=，测
得模型上的阻力 1.5kN m F =。若汽车高 1.5m n h =，行车速度108km/h n υ=。试求模型的高度m h 及汽车所受到的阻力n F 。
（答案：1 m ； kN ）
7. 溢流坝泄流模型实验，模型长度比尺为60，溢流坝的泄流量为500m 3
／s 。试求：
(1)模型的泄流量；
(2)模型的堰上水头6m m h =，原型对应的堰上水头是多少
题5－7图
（答案：3
0.0179m /s m Q =； 3.6m n h =）
8. 用油泵抽贮油池中的石油，现需用实验方法确定最小油位h 。已知原型设备中吸入管直
径250mm n d =，运动粘度42
0.7510m /s n ν-=?，流量140L/s n Q =，长度比尺
5l C =，试确定：
（1）模型中运动粘度?m ν=，流量?m Q =，流速?m υ= （2）若模型中出现漩涡的最小液柱高度60mm m h =，求?n h =
（答案：42
0.06810m /s m ν-=?， 2.5L/s m Q =， 1.27m/s m υ=，300mm n h =）
9. 假设自由落体的下落距离s 与落体的质量m 、重力加速度g 及下落时间t 有关，试用量
纲分析法导出自由落体下落距离的关系式。
（答案：2
s kgt =）
10. 一长度为l 的物体以速度U 在密度为ρ，粘性系数为μ的流体中运动，试以量纲分析
的方法导出物体所受到的阻力D 的无量纲数的表示式。
（答案：()2Re D f U ρ=）
11. 球形固体颗粒在流体中自由沉降速度f u 与颗粒直径d 、密度s ρ以及流体的密度ρ、动
力粘度μ、重力加速度g 有关，试用量纲分析法求解自由沉降速度关系式。
（答案：()12
1s u F gd ρρ??
=
?）
12. 圆形孔口出流的流速可与作用水头H 、孔口直径d 、水的密度ρ和动力粘度μ、重力
加速度g 有关，试用量纲分析法推导孔口流量公式。
（答案：()21
2,4H d d Q F gH H ρυπμ??
??= ? ?????
）
13. 若螺旋桨的推进力F 与其直径d ，推进速度V ，每秒转数n ，以及流体密度ρ和粘性系
数μ有关，试用定理证明推力F 的表达式为：
22,dn F d V dV V μρρ??
=Φ ???