数学选修2-1导学案精编
绿野高中高二数学组
1.1.1 命题及其关系
王少华
【学习目标】
了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式. 【学习重点】
命题的真假判断.
【学习难点】
命题概念的理解.
学习过程
一自主预习导引
见教材P3-4及《学习资源2-1》P3
知识链接：初、高中数学中一些重要定理，如：勾股定理，立体几何定理
阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？
>；
（1）矩形的对角线相等；（2）312
>吗？（4）8是24的约数；
（3）312
（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.
新课探究
1.思考：请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？
（1）若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
（2）2 + 4 = 7；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；
（4）若 x2 = 1 , 则 x = 1 ；
（5）两个全等的三角形面积相等；
（6）3能被2整除.
2.教材概念
（1）命题：
（2）真命题：
（3）假命题：
(4)在数学中，“若p则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的，q叫做命题的二互动展示
1.判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？、
（1）空集是任何集合的子集；
（2）若整数a是素数，则a是奇数；
（3）对数函数是增函数吗？
（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行
=-
（52
（6）x>15
2. 指出下列命题的条件p和结论q：（会区分条件p和结论q）
（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；
（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．
3.将下列命题改写成“若p，则q”的形式.并判断真假
（1）两条直线相交有且只有一个交点；
（2）对顶角相等；
（3）全等的两个三角形面积也相等.
（4）垂直于同一直线的两条直线平行
（5）负数的立方是负数
三总结拓展
知识小结：
四 检测反馈
1.下列语句或式子中命题的个数是
（1）语文和数学 （2） 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 (3)一个数不是合数就是素数 (4) 把
门关上(5)023>-x (6)0432=--x x （ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 5 2.下列语句是命题的是（ ）
A 你能帮我学好数学吗
B 地上有个月亮
C 四边形的对角线
D 整数集和自然数集 3.若A 、B 是两个集合，则下列命题中的真命题是( )
A 、如果A
B ?,那么A B A =? B 、如果A B A =?，那么（?=B A c u )
C 、如果A B ?,那么A B A =
D 、如果A B A = ，那么A B ? 4、设a,b,c 是任意的平面非零向量，且相互不共线，则（1）（a ?b ）c=(c b a )?(2)<-b a b a -(3)
(b
?c)a －(c ?a)b 不于c 垂直（4）
（3a+2b ）?(3a －2b)=92
2
4b a - 中是真命题的是（ ）
A (1)(2) B(2)(3) C (3)(4) D (2)(4) 5．下列语句中，是命题的个数是( )
①|x +2| ②－5∈Z ③π?R ④{0}∈N A.1
B.2
C.3
D.4
6.指出下列命题的条件p 和结论q
(1)如果四面体为正四面体，则定点在底面上的射影为底面的中心 (2)如果两条直线a 和b 都和直线c 平行，则直线a 平行直线b (3) 如果a, b,c 成等差数列，则2b=a+c (4)偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形
7.将下列命题改成“若p 则q ”形式，并判断命题的真假 (1)6是12和18的公约数
（2）当a ＞﹣1时，方程0122
=-+x ax 有两个不等实根 （3）已知x 和y 为非零自然数，当y －x=2时，y=4,x=2 (4)实数的平方是非负数
（5）平行于同一直线的两条直线平行
五 自我评价（见合页作业P83-84）
你完成本节学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差
六 作业
1.将下列命题改成“若p 则q ”形式，并判断命题的真假 （1）ac ＞bc ?a ＞b
(2)已知x 和y 为正整数，当y=x+1时，y=3,x=2 (3)当m ＞
4
1,012
=+-x mx 无实根
(4)当abc=0时，a=0或b=0或c=0
2.已知p:012=++mx mx 有两个不等的负根，q:方程)(01)2(442
R m x m x ∈=+-+无实根，求使p 正确q 且正确的m 的取值范围
1.1.2四种命题及四种命题的相互关系
王少华
【学习目标】
理解四种命题的概念，掌握命题形式的表示. 能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题．
【学习重点】
四种命题的概念
【学习难点】
由原命题写出另外三种命题
学习过程
一自主学习
知识链接
命题的概念:
新课探究
思考
1.下列四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？
（１）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数；
（２）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数；
（３）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数；
（４）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；
2.教材概念
（１）：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做，另一个命题叫做原命题的．
（２）：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的．
（３）：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的
小结：
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．
强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
3.
4.四种命题的相互关系
探究：
四种命题真假性之间的关系
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假： （１） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （２） 若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除； （３） 若x 2
=1,则x=1； (4) 若整数a 是素数，则是a 奇数。
结论一：原命题与它的逆否命题同真假；
结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系
四种命题真假性之间的联系可以为我们进行推理论证带来方便，例如，由于原命题与其逆否命题有相同的真假性，当直接证明一个命题为真命题有困难时，可以通过证明其逆否命题为真命题来简介地证明原命题为真。
二 互动展示
1.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数； （3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （4）若a b >，则a c b c +>+； （5）若220x y +=，则,x y 全为0； （6）全等三角形一定是相似三角形；
2．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ） A.真命题与假命题的个数相同 B.真命题的个数一定是奇数
C.真命题的个数一定是偶数
D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶 3. 有下列四个命题：
①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则2
20x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ） A ①② B ②③ C ①③ D ③④
4．下列命题中正确的是（ ）
①“若x 2
＋y 2
≠0，则x ，y 不全为零”的否命题; ②“等腰三角形都相似”的逆命题; ③“若m>0，则方程x 2
＋x －m=0有实根”的逆否命题; ④“若x －1
2
3是有理数，则x 是无理数”的逆否命题 A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④
5．命题：“若a b ?都是偶数，则b a -不是偶数”逆否命题是
三 总结拓展
知识小结：学生自主小结本节课你学习了哪些知识？如何应用？
四检测反馈
1．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的（）
A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题D．以上判断都不正确2．命题“若A∩B＝A，贝A∪B＝B”的否命题是（）
A．若A∩B＝A，则A∪B≠B B．若A∩B≠A，贝A∪B≠B
C．若A∪B≠B，则A∩B≠A D．若A∩B≠A，则A∪B＝B
3．命题“两条对角线不垂直的四边形不是菱形”的逆否命题是（）
A．若四边形不是菱形，则它的两条对角线不垂直 B．若四边形的两条对角线垂直，则它是菱形
C．若四边形的两条对角线垂直，则它不是菱形 D．若四边形是菱形，则它的两条对角线垂直4．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题（）
A．是真命题 B．是假命题 C．可能是真命题也可能是假命题 D．真假由原命题的真假决定
5.命题“若∠A不等于600,则△ABC不是等边三角形”的否命题是( )
A假命题 B与原命题同真或同假 C与原命题的逆否命题同真或同假 D与原命题的逆命题同真
6.命题“若a >－3,则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
7.原命题是“若x + y = 0，则x，y互为相反数”，则( )
A 逆命题真,否命题假,逆否命题真.
B 逆命题假,否命题真,逆否命题真.
C 逆命题真,否命题真,逆否命题假.
D 逆命题真,否命题真,逆否命题真.
8.命题“若a∈A，则{a}?A”的逆命题是( )
A 若a∈A , 则{a}?A
B 若{a}?A，则a∈A
C 若{a}?A，则a?A
D 若a?A, 则{a}?A
9.用反证法证明命题“a，b∈N，ab能被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容
是( ) (A) a，b都能被5整除 (B) a，b都不能被5整除
(C) a，b不都能被5整除 (D) a都不能被5整除,或b不能被5整除
10.有下列四个命题: (1)“若xy = 1，则x，y互为倒数”的逆命题； (2)“面积相等的三角形全等”
的否命题；(3)“若m≤1，则x2－2x + m = 0有实根”的否命题；(4)“若A∩B = B，则A?B”的逆否命题。其中真命题是( ) (A) (1)(2) (B) (2)(3) (C) (1)(2)(3) (D) (3)(4)
五自我评价（见合页作业P85-86）
你完成本节学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差
六作业
见教材P11，习题1-2：1、2、3、4
1.2充分条件与必要条件（两课时）
王少华
【学习目标】
正确理解充分条件、必要条件的概念，并能判断命题中p是q、q是p的充分或必要条件【学习重点】
理解充分条件和必要条件的概念.
【学习难点】
理解充分条件和必要条件的概念
学习过程
一自主学习
见教材P6-10及《学习资源2-1》P5-6
知识链接
1.判断下面命题它们的真假性：
（1）若x>a 2
＋b 2
，则x>2ab ； （2）若0ab =，则0a = 2.写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假： （1）若0ab =，则0a =；
（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.
新课探究
1.一般地，“若p 则q ”为真命题，即由 通过推理可以得出 。这时，我们就说
记为 并且说p 是q 的 ，q 是p 的 2.如果“若p ，则q ”为假命题，那么由q 推不出q ，记为：p q ，此时我们说q 不是p 的充分条件，q
不是p 的必要条件。
3.一般地，如果既有p q ?，又有q p ?，就记作 . 此时，我们说，p 是q 的 ，简称
4.一般地，若p ?q ,但q ≠> p ，则称p 是q 的充分但不必要条件；
若p ≠>q ，但q ? p ，则称p 是q 的必要但不充分条件； 若p ≠>q ，且q ≠> p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件．
在讨论p 是q 的什么条件时，就是指以下四种之一： ①若p ?q ,但q ≠> p ，则p 是q 的充分但不必要条件； ②若q ?p ，但p ≠> q ，则p 是q 的必要但不充分条件； ③若p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件；
④若p ≠> q ，且q ≠> p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
二 互动展示
1.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x =，则x 2
－4x ＋3＝0； （2）若f （x ）＝x ，则()f x 为增函数； （3）若x 为无理数，则2x 为无理数.
2.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若x y =，则22x y =
（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等； （3）若a b >，则ac bc >；
3.下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？
（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形； （2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数； （3）:p 0,0x y <<，:q 0xy >； （4）:p a b >，:q a c b c +>+.
4.已知：圆〇的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与圆〇相切的充要条件.
5.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？
（1）若1x >，则33x -<-； （2）若1x =，则2320x x -+=；
（3）若()3
x
f x =-，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数.
（5）若12//l l ，则12k k =. 6.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若0a =，则0ab =；
（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等； （3）若a b >，则ac bc >； （4）若x y =，则22x y =.
7.下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？
（1）p:b ＝0,q:函数f(x)＝ax 2
＋bx ＋c 是偶函数； （2）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy ＞ 0；
（3）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c ； （4）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10 （5）p: a ＞ b ,q: a 2
＞ b 2
三 总结拓展
知识小结：学生小结，老师指点
四 检测反馈
1. 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2. p 是q 的充要条件的是 ( )
A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5
B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b
C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形
D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解
3.若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 ( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4. ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 ( )
A ．0＜a ≤1
B ．a ＜1
C ．a ≤1
D ．0＜a ≤1或a ＜0 5.已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜b
e ≤
f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．
6. 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什
么条件？
五 自我评价（见合页作业P85-86）
你完成本节学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 六 作业
1.为使p:}{
2
>∈x x x 是q:}{0)1(2>++-∈a x a x x x 的充分条件，实数a 应该满足什么条
件？能使q 是p 的充分条件吗？为什么？
2.证明关于x 的方程02
=++c bx ax 有一个根为1的充要条件是a+b+c=0
1．3全称量词与存在量词
党腾蛟
【学习目标】
了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。
【学习重点】
理解全称量词、存在量词的概念区别；全称量词与存在量词命题间的转化
【学习难点】
正确使用全称命题、特称命题；隐蔽性否定命题的确定
学习过程
一自主学习
见教材P12-14及《学习资源2-1》P7
知识链接
1.列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x ＋１是整数; (2) x ＞３；
(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； 2.列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？
（1）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A 版的教科书； （2）所有有中国国籍的人都是黄种人；
（3）对所有的x ∈Ｒ, x ＞３； （4）对任意一个x ∈Ｚ，2x ＋１是整数。 思考：以上两题有何不同？
新课探究
下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有何关系？
（1）3>x (2)2x+1是整数 （3）对所有的3,>∈x R x （4）对任意一个12,+∈x z x 是整数
1.短语 、 在逻辑中通常叫做全称量词，用符号 来表示。含有全称量词的命题叫做 。常见的全称量词还有
2.通常将含有变量x 的语句用p （x ），q （x ），r （x ），……表示，变量x 的取值范围用M 表示。那么全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”可用符号简记为 读做
3.短语 、 在逻辑中通常叫做存在量词，用符号 来表示。含有存在量词的命题叫做 。常见的存在量词还有
4.特称命题 “存在M 中一个x ，使p （x ）成立”可以用符号简记为 。读做
5.含有一个量词的命题的否定
全称命题P ：? x ∈M,有P （x ）成立. 其否定命题┓P 为： 全称命题的否定是特称命题
存在性命题P ：?x ∈M ，使P （x ）成立；其否定命题┓P 为： 特称命题的否定是全称命题。
1.判断下列命题是全称命题，还是特称命题？
（1）方程2x=5只有一解； （2）凡是质数都是奇数； （3）方程2x 2
＋1=0有实数根； （4）没有一个无理数不是实数；
（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行； （6）集合A ∩B 是集合A 的子集； 2.判断下列语句是不是全称命题或者特称命题，如果是，用量词符号表达出来。 （1）中国的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向；
3.指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；
（3）?x ∈R ，x 2
-2x+1≥0 （4）p ：? x ∈R ，x 2
＋2x +2≤0；
（5）p ：有的三角形是等边三角形； （6）p ：有些函数没有反函数；
（7）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；
4. 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。
（1）p ：若x ＞y,则5x ＞5y ； （2）p ：若x 2
+x ﹤2,则x 2
-x ﹤2；
（3）p ：正方形的四条边相等； （4）p ：已知a,b 为实数，若x 2
+ax+b≤0有非空实解集，则a 2
-4b≥0。
三 总结拓展
知识小结
四 检测反馈
1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）
A ．所有奇数都是质数
B ．2
,11x R x ?∈+≥ C ．对每个无理数x ，则x 2
也是无理数 D ．每个函数都有反函数 2．将“x 2
+y 2
≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A ．,x y R ?∈，都有2
2
2x y xy +≥ B ．,x y R ?∈，都有2
2
2x y xy +≥ C ．0,0x y ?>>，都有2
2
2x y xy +≥ D ．0,0x y ?<<，都有2
2
2x y xy +≤ 3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是
A ．2
,10x R x ?∈+= B ．2
,10x R x ?∈+= C ．,sin tan x R x x ?∈< D ．,sin tan x R x x ?∈< 4．下列命题中的假命题是（ ）
A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
B ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C ．对任意α和β，使cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β
D ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cos αcos β－sin αsin β
5．命题p ：存在实数m ，使方程x 2
＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ）
A.存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根；
B.不存在实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根； C.对任意的实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根； D.至多有一个实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根；
6．对于下列语句: （1）2,3x Z x ?∈= （2）2,2x R x ?∈= （3）2
,302x R x x ?∈>++ （4）2
,05x R x x ?∈>+- .其中正确的命题序号是 。（全部填上）
7．命题“?x ∈R ，x 2
-x+3>0”的否定是
8．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是 否命题是 5．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p ：?m ∈R ，方程x 2
+x-m=0必有实根； （2）q ：?∈R ，使得x 2
+x+1≤0；
6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：
（1）若m>1，则方程x 2-2x+m=0有实数根． （2）平方和为0的两个实数都为0．
（3）若ABC ?是锐角三角形， 则ABC ?的任何一个内角是锐角．
（4）若abc=0，则a,b,c 中至少有一为0． （5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x ≠1,x ≠2．
五 自我评价（见合页作业P87-88）
你完成本节学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差
六 作业
已知：对,x R ?∈方程2
cos sin 30x x a +-+=有解，求a 的取值范围．
1.4简单的逻辑联结词
党腾蛟
【学习目标】
1．通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义； 2．能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容； 3．知道命题的否定与否命题的区别．
【学习重点】
1．掌握真值表的方法； 2．理解逻辑联结词的含义．
【学习难点】
逻辑联结词的含义．
学习过程
一 自主学习
知识链接
1：判断下面的语句是否为命题？若是命题，指出它的真假．
⑴请全体同学起立！⑵20
x x
+>；
⑶对于任意的实数a，都有210
=-；
a+>；⑷x a
⑸91是素数；⑹中国是世界上人口最多的国家；
⑺这道数学题目有趣吗？（8）10可以被2或5整除；
（9）菱形的对角线互相垂直且平分；（10）0.5非整数．
这里的“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词
新课探究
1.下列各组命题中，三个命题间有什么关系？
（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。
（3）①35能被5整除；②35不能被5整除；
③方程x2+x+1=0有实数根。④方程x2+x+1=0无实数根。
2.归纳定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作读作
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作读作
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作读作
注意：“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
3.命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假、命题“￢p”与命题p的真假间的关系
（1）当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题；（2）当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假
（3）若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；
4.命题的否定与否命题的区别
命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在解题时应分请命题的条件和结论。
二1.将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p ∧q ” 与“p ∨q ”的形式，并判断它们的真假。 （1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线相等。 （2）p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分； （3）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数.
2.选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。 （1）1既是奇数，又是素数； （2）2是素数且3是素数； （3）2≤2．
3.判断下列命题的真假；
（1）6是自然数且是偶数 （2）?是A 的子集且是A 的真子集； （3）集合A 是A ∩B 的子集或是A ∪B 的子集；
（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等． 4.写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1）p ：y ＝ sinx 是周期函数； （2）p ：3＜2； （3）p ：空集是集合A 的子集。
三 总结拓展
知识小结
四 检测反馈
1．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则 （ ）
A ．p 真q 真
B ．p 假q 真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 假
2．若命题p : 0是偶数，命题q : 2是3的约数.则下列命题中为真的是( )
A.p 且q
B.p 或q
C.非p
D.非p 且非q 3．若命题“p q ∧”为假，且“p ?”为假，则（ ） A p 或q 为假 B q 假
C q 真
D 不能判断q 的真假
4．若p ：“平行四边形一定是菱形”，则“非p ”为___ _____． 5 写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）p ：tan y x =是周期函数； ( ) （2）p ：32<； ( ) （3）p ：空集是集合A 的子集； ( ) （4）p ：若220a b +=，则,a b 全为0； ( ) （5）p ：若,a b 都是偶数，则a b +是偶数. ( ) 6：分别指出由下列各组命题构成的“p q ∧”、“p q ∨”、“p ?”形式的复合命题的真假：
（1）p ：9是质数，q ：8是12的约数； ; ; . （2）p ：1{1,2}∈，q ：{1}{1,2}?； ; ; . （3）p ：{0}??，q ：{0}?=； ; ; . （4）p ：平行线不相交. ; ; . 7．写出下列命题的否定，然后判断它们的真假：
⑴225+=； ( ) ⑵3是方程290x -=的根； ( )
1-． ( )
五 自我评价（见合页作业P89-90）
你完成本节学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差
六 作业
1．命题:p 方程2
10x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程2
44(2)10x m x +++=无实数根 若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围 2．给定两个命题,
P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
《常用逻辑用语》复习导学案(两课时)
编写人 王少华 编写时间 2012/11/18
学习目标 1、梳理构建知识网络；2、掌握四种命题及原命题与逆否命题的等价性；
3、理解充分、必要条件概念；
4、掌握全称命题与特称命题真假的判断及否定；
5、掌握含有逻辑连接词“或、且、非”的复合命题真假的判断
重点难点 1、四种命题之间的等价转换；2、简单逻辑连接词；3、命题的否定与否命题；
4、充分条件与必要条件；
5、数学思想方法-----化归思想与数形结合
知识链接 集合交并运算，不等式的解法，数形结合，分类讨论 学法指导 梳理----探究------训练-----小结------运用
一、预习导引：
1、充分条件与必要条件
()()()()
1,________2____3____4____p q p q q p p q q p p q p q q p p q p q q p p q ??≠>??≠>≠>则是的条件，是的条件；且则是的条件；
且则是的条件；且则是的条件
()()()()21________2________3________4________p q A B p q q p A B p q q p A B p q q p A B B A p q q p ??=??、与命题分别成立对应的集合为A,B 时
，则是的条件，是的条件
，则是的条件，是的条件
，则是的条件，是的条件
且，则是的条件，是的条件
3、四种命题及解题过程中的转化
()()()()
()()1____2____3____4____5____6____p q p q p q p q p q p q ????????????若p 是q 的充分不必要条件，则是的条件；若p 是q 的必要不充分条件，则是的条件；若是的充分不必要条件，则p 是q 的条件；
若是的必要不充分条件，则p 是q 的条件；若是的充要条件，则p 是q 的条件；
若是的既不充分也不必要条件，则p 是q 的条件
4_______________________
p q p q ≤≤∧∧、补集思想在复合命题中的应用
因为1x 2的否定为即它的补集，所以的否定是；同理ｘ＜１或ｘ＞２的否定为即它的补集，所以的否定是
二、知识研究：
知识探究一：命题及其关系
例题1、下列命题为真命题的是（ ）
.,0;x A x R e ?∈≤ 2.,2;x
B x R x ?∈> .01a
C a b b
+==-的充要条件是
； .1,11D a b ab >>>是的充分条件
变式训练1：判断下列命题的真与假
()()()()()()()-2126305,234222402,2x A B x B x x a x a x x R a ∈∈<<-<-+--<∈∈ 若，则的逆命题与逆否命题；
若自然数x 能被整除，则自然数x 能被2整除的逆命题；
若则的否命题与逆否命题；
若不等式对一切恒成立， 则的原命题、逆命题
知识探究二：全称命题、特称命题真假的判断与否定
例题2、判断下列命题的真假并写出各命题的“否命题”与“否定命题”然后再次判断真假
()()22
10,020,0
abc a b c x y x y =+=若则、、至少有一个为；
若则、全为
变式训练2：
()１x x x ?∈-+
->命题“对R,２４３”的否定是 __________________
()２x x x ?∈２命题“对R,使得＋２＋５＝０”的否定是 ____________
知识探究三：充分条件、必要条件的判断与证明
310p x y q x p q +≠≠≠例题、：、 ：２或ｙ８，是成立的______ 条件
{}{}
2210,:320,x x ax q B x x x q a ++==-+≤例题4、p:A= 若p 是的充分非必要条件，求实数的取值范围
{}(){}5011
n n n n a n p q p p a q =+≠≠=-例题、已知数列的前项和S 且， 求证：数列为等比数列的充要条件为
变式训练3：
()1{}()2,n n a n an bn a b =+求证：数列为等差数列的充要条件为前项和S 为常数
()()222502x m x m a +--+=若方程的两个根都大于，求实数的取值范围
知识探究四：转化与化归思想的应用
()221
6:12,:2100,3
x p q x x m m p q
m --
≤-+-≤>??例题、已知若是 的必要不充分条件，求实数的取值范围
变式训练4：
()+22221:4300:60280,p x x ax a a q x x x x x p q a -+<<--≤->??设实数满足，其中，
实数满足或且是必要不充分条件，求的取值范围
()()()
==-20.5252 ______
x
x x a R a R p q p q a ++-∨∧2命题p:函数ｙlog 的值域为，q:函数ｙ是上的减函数
若为真，为假，则实数的取值范围是
三、质疑问难：
1、否命题与否定命题相同吗，能否举例说明？你认为本章还有哪些部分（或题型）值得你注意重视？ 如：（1）全（特）称命题的否定与一个命题的否命题有什么类似的地方？
（2）有同学说“双重否定等于肯定，所以一个命题的否命题与原命题等价”对吗？
2、我们学习过的数学定理中，有些条件是结论的充分条件、有些条件是结论的充要条件，你能各举出一个例子吗？(提示：在代数或立体几何问题内找)
四、达标检测：
()(
)
()2
1120102.,20;.,10;.,lg 1;.,tan 2
x A x R B x N x C x R x D x R x -*?∈>?∈->?∈
()111:0,,;23x x
p x ????
?∈+∞< ? ????? ()21123:0,1,log log p x x x ?∈>
()312
1:0,,log ;2x
p x x ??
?∈+∞> ??? 41311:0,,log 32x
p x x ?????∈< ? ?????
其中真命题是（ ）
A. 1P 3P
B. 1P 4P
C. 2P 3P
D. 2P 4P
()()()()33.201230,1,2x a a x a x a x >≠-山东则“f =在R 上单调递增”是“g =在R 上单调递增”
必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空 1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是 6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5 ．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的
高二数学导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x x f x x f ?-?+) ()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间 的 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究 这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： （1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )
2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174)
第一章 立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定 与性质定理证明与应用。 第一课时 棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用 名称的含义。 3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何 体简单作图方法 4．了解多面体的概念和分类． 【课堂互动】 自学评价 1． 棱柱的定义： 表示法： 思考:棱柱的特点：. 【答】 2． 棱锥的定义： 表示法： 思考:棱锥的特点：. 【答】 3．棱台的定义： 表示法： 思考:棱台的特点：. 【答】
4．多面体的定义： 5．多面体的分类： ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1：设有三个命题： 甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱； 乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥； 丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。 以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3 例2：画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法： ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形； ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段； ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考７页例１ ⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去． 互助参考７页例１ 点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔： 解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点： 例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能． 点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？ 答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到． 2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？ 答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。 答：４个面，四面体． 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球 【学习导航】 知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1
班级： 组别： 组号：___________ 姓名： 2.2.1对数（1） 【学习目标】 1. 理解对数的概念； 2. 能够进行对数式与指数式的互化； 3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。 【自主学习】认真阅读教材62页至63页例2，探究并思考: 1.问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？ 请问：（1）问题具有怎样的共性？ （2）已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x . 2.一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）. 记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 试试：将问题1中的指数式化为对数式. 3我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技 术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义. 4.思考： （1）指数与对数间的关系？ 0,1a a >≠时，x a N =? . （2）负数与零是否有对数？为什么？ （3）log 1a = ， log a a = . (4) log ____;n a a = log _____a N a = 5. 1)将下列指数式写成对数式： （1）4 216=； （2）3 1 3 27 -= ； （3）520a =； （4）10.452b ??= ??? ． 2)将下列对数式写成指数式： （1）5log 1253=； （2） log 32=-； （3）lg 0.012=-； （4） 2.303=． 小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 【合作探究】 1．求下列各式的值： ⑴2log 64； ⑵2 1 log 16 ； (3)lg10000；
§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、课前准备 （预习教材P2~ P4，找出疑惑之处） 引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧! 二、基础探究 1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？ 图1 2.【研读课本】 （1）多面体的概念：叫多面体， 叫多面体的面，叫多面体的棱， 叫多面体的顶点。 ①棱柱:两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四 边形的公共边都，这些面围成的几何体叫作棱柱 ②棱锥：有一个面是，其余各面都是的三角形，这些面 围成的几何体叫作棱锥 ③棱台：用一个棱锥底面的平面去截棱锥，， 叫作棱台。 （2）旋转体的概念： 叫旋转体，叫旋转体的轴。
①圆柱：所围成的 几何体叫做圆柱. ②圆锥：所围成的 几何体叫做圆锥. ③圆台：的部分叫 圆台. ④球的定义 三、能力探究 例1．（1）如图，观察四个几何体，其中判断正确的是（） A.（1）是棱台 B.（2）是圆台 C.（3）是棱锥 D.（4）不是棱柱 （2）下列说法错误的是（） A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 （3）下列命题中正确的是（） A.棱台各侧棱的延长线交于一点 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 （4）下列几个命题中， ①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台; ②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体; ④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. 其中正确的有__________个.（） A.1 B.2 C.3 D.4 （5）下列说法中不正确的是（） A 棱与侧棱是同一概念 B 三棱锥与四面体是同一概念 C四棱柱有4条体对角线 D 存在这样的棱锥，它的各个面都是直角三角形 （6）一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为______cm. 例2有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？如果不是，请举例说明。
§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着 顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） ． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它 的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中， 已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．
新人教版高中数学必修五导学案（全册） 目录 1.1.1正弦定理 (2) 1.1.2余弦定理 (4) 1.1 正弦定理和余弦定理习题课 (6) 1．2 应用举例 (8) 2.1数列的概念与简单表示法 (11) 2.2等差数列 (14) 2.3等差数列的前n项和 (17) 2.4等比数列 (20) 2.4等比数列的性质 (22) 2.5等比数列的前n项和（1） (24) 2.5等比数列的前n项和（2） (26) 3.1不等关系与不等式 (28) 3.2一元二次不等式及其解法 (30) 3.3.1二元一次不等式组与平面区域 (33) 3.3.2简单的线性规划问题(1) (36) 3.3.2简单的线性规划问题(2) (38) 3．4基本不等式： 2b a a b + ≤（学案1） (40) 3．4基本不等式： 2b a a b + ≤（学案2） (42)
1.1.1正弦定理 课前预习学案 一、 预习目标 了解正弦定理的内容及解三角形的概念 二、预习内容 1、推导正弦定理 正弦定理： 变形： 正弦定理可用于两类： （1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角； （2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边. 2、了解“解三角形”的概念 三、提出困惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 课标要求： 掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题和实际问题。 一、学习目标：掌握三角形中边长和角度之间的数量关系 在已有知识基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，掌握正弦定理. 通过对本节的学习，能够运用正弦定理等知识，解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 重点：正弦定理的证明和解三角形. 难点：正弦定理的证明. 二、学习过程 例1：在ABC ?中，已知3=b ， 60=B ,1=c ，求C A a 及,
高中数学必修二复习全册导学案
必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)）
§3.1.2 空间向量的数乘运算（一） 班级：二年级 组名：数学 设计人： 审核人： 领导审批： 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简：⑴ 5（32a b - ）+4（23b a - ）； ⑵ ()()63a b c a b c -+--+- . 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件 学习探究（由学生完成） 问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关 系？ 新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线： 定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b 的充要条件是存在唯一 实数λ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠ ，注意零向 量与任何向量共线. 知识应用：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线. 精讲例题 例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若O P xO A yO B =+ ，且x +y ＝1， 试判断A,B,P 三点是否共线？
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12 O P O A tO B =+ ， 那么t ＝ 例2 已知平行六面体''''ABC D A B C D -，点M 是棱AA ' 的中点，点G 在 对角线A ' C 上，且CG:GA ' =2:1,设CD =a ，' ,CB b CC c == ，试用向量,,a b c 表示向量' ,,,C A C A C M C G . 变式1：已知长方体''''ABC D A B C D -，M 是对角线AC ' 中点，化简下列 表达式：⑴ ' AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++ ⑶ ' 111222 AD AB A A +- 变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32O Q O A AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+- ⑷ 23OS OA AB AC =+- . 小结（由学生完成）空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. ※ 动手试试（由学生完成） 练1. 下列说法正确的是（ ） A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量a 与b 共线，则a b λ= . 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ，0a ≠ ，若//a b ，求实数.x 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
§1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.
第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 【自主学习】 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； b c，则a和c是方向相同的向量； （4）向量a和b是共线向量，//
第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1．角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边； 终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类：
1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限． 三、终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．() (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．() 提示：(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)下列各组角中，终边不相同的是() A．60°与－300°B．230°与950° C．1050°与－300°D．－1000°与80° 答案 C (2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 答案195°＋(－3)×360°
课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系？ 提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍． 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？ 提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)； 终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)； 第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． 题型一正确理解角的概念 例1下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)． [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、
课题：1．1．1集合的含义与表示(1) 一、三维目标： 知识与技能:了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；掌握常用数集及其记法、集合中元素的三个特征。 过程与方法:通过实例了解,体会元素与集合的属于关系。 情感态度与价值观:培养学生的应用意识。 二、学习重、难点： 重点：掌握集合的基本概念。 难点：元素与集合的关系。 三、学法指导：认真阅读教材P1-P3，对照学习目标，完成导学案，适当总结。 四、知识链接： 军训前学校通知：8月13日8点，高一年级在操场集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 初中时你听说过“集合”这一词吗？你在学习那些知识点中提到了“集合”这一词？（试举几例） 五、学习过程： 1、阅读教材P2页8个例子 问题1：总结出集合与元素的概念： 问题2：集合中元素的三个特征： 问题3：集合相等： 问题4：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子。 2、集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 问题5：元素与集合之间的关系？ A例1：设A表示“1----20以内的所有质数”组成的集合，则3、4与A的关系？
B 例2：若+∈N x ，则N x ∈，对吗？ 六、达标检测： A 1.判断以下元素的全体是否组成集合： （1）大于3小于11的偶数； （ ） （2）我国的小河流； （ ） （3）非负奇数； （ ） （4）本校2009级新生； （ ） （5）血压很高的人； （ ） （6）著名的数学家； （ ） （7）平面直角坐标系内所有第三象限的点 （ ） A 2.用“∈”或“?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A ； B 3.下面有四个语句:①集合N 中最小的数是1;②若N a ?-，则N a ∈;③若N a ∈，N b ∈，则b a +的最小值是2;④x x 442 =+的解集中含有2个元素； 其中正确语句的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 B 4.已知集合S 中的三个元素a,b,c 是?AB C 的三边长，那么?ABC 一定不是 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 B 5. 已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当A a ∈，有6-a ∈A ，那么a 为 （ ） A ．2 B.2或4 C.4 D.0 B 6. 设双元素集合A 是方程x 2-4x+m=0的解集,求实数m 的取值范围。 C 7. 已知集合A 由1,x,x 2三个元素构成,集合B 由1,2,x 三个元素构成,若集合A 与集合B 相等,求x 的值。 七、学习小结： 1.集合的概念 2.集合元素的三个特征：其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的. 3.常见数集的专用符号。 八、课后反思:
高中数学必修2：直线与方程导学案 3.1.1直线的倾斜角与斜率 一、学习目标: 知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系. 过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式． 情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 二、学习重、难点 学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围. 三、学法指导及要求: 1、认真研读教材82---85页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,不会的先绕过,做好记号. 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆.（尤其是正切的三角函数值,斜率的计算公式必须牢记） 3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升 4、小班、重点班完成全部,平行班至少完成A.B类题.平行班的A 级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上. 四、知识链接： 1：一次函数的图象的形状是---（一条直线）
2：确定一次函数的图象的条件是---（两个点） 3：锐角正切函数的定义--- （对边比邻边） 五、学习过程：问题的导入： 大家想一下当一高一矮两人抬一根圆木,会出现什么现象？（倾斜）本节课我们就重点研究有关直线的倾斜问题. A问题1：对平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由那些条件确定？（两点）B问题2：一点能确定一条直线吗？经过一点的直线的位置能够确定吗？它的位置会怎样？ （观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜）直线在倾斜时与那个量有关？怎样描述直线的倾斜程度呢？ A问题3：什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？写出并背熟,记牢倾斜角及范围！ α 当直线L与x轴垂直时, = A问题4：除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗？什么是直线的斜率？只有倾斜角或斜率能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件？ B问题5：直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？（牢记公式） 【温馨提示】（1）
人教版高中数学必修二全册导学案 目录 第一章第一节柱锥台球的结构特征第一课时 (1) 第一章第一节柱锥台球的结构特征第二课时 (3) 第一章第二节空间几何体的三视图和直观图第一课时 (6) 第一章第二节空间几何体的三视图和直观图第二课时 (11) 第一章第三节球的表面积与体积 (15) 第一章第三节柱体锥体台体的表面积 (20) 第一章第三节柱体锥体台体的体积 (25) 第一章空间几何体复习 (30) 第二章第一节空间中平面与平面之间的位置关系 (34) 第二章第一节空间中直线与平面之间的位置关系 (39) 第二章第一节空间中直线与直线之间的位置关系 (44) 第二章第一节两条直线平行与垂直的判定 (49) 第二章第一节平面 (54) 第二章第二节平面与平面平行的判定 (59) 第二章第二节直线与平面平行的判定 (64) 第二章第二节直线与平面平面与平面平行的性质 (70) 第二章第三节平面与平面垂直的判定 (75) 第二章第三节平面与平面垂直的性质 (82) 第二章第三节直线与平面垂直的判定 (87) 第二章第三节直线与平面垂直的性质 (94) 第二章空间点直线平面之间的位置关系复习 (99) 第三章第一节倾斜角与斜率 (104) 第三章第二节直线的一般式方程 (109) 第三章第二节直线的点斜式方程 (114) 第三章第二节直线的两点式方程 (116) 第三章第三节点到直线的距离两条平行直线间的距离 (121) 第三章第三节两点间的距离 (125) 第三章第三节两条直线的交点坐标 (129) 第三章直线与方程复习 (134) 第四章第一节圆的一般方程 (139) 第四章第一节圆的标准方程 (144) 第四章第二节圆与圆的位置关系 (149) 第四章第二节直线与圆的方程应用 (154) 第四章第二节直线与圆的位置关系 (159) 第四章第三节空间两点间距离 (164) 第四章第三节空间直角坐标系导学精要 (169) 第四章直线与圆的方程复习 (174)