3.1车轮为什么做成圆形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.
2.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系.
【重点难点】
1.圆及其有关概念，点与圆的位置关系.
2.用集合的观念描述圆.
新课导引
【生活链接】 在现实生活中，通过观察你会发现，像车轮、齿轮等都做成圆形，家用餐具中，锅、碗、盆等多数也是圆形．
【问题探究】 在现实生活中，还有许多物品都是做成圆形的．那么，你能描述出什么样的图形叫做圆吗?
【点拨】 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆． 教材精华
知识点1 圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．如图3－1所示，OA 为半径，以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”．
拓展 确定一个圆需要两个要素：一是圆心；二是半径．圆
心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽然圆
的位置固定，但大小不确定，因而圆不确定；只有半径没有圆
心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不确定，因而圆也不确
定．只有圆心和半径都固定了，圆才被唯一确定．
探究交流 (1)以已知点O 为圆心，可以画 个
圆；
(2)以已知线段AB 的长为半径，可以画 个圆．
点拨 由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，而两个问题中都只有一个条件，这样的圆不能确定．故都应填“无数”．
同时要注意到(1)中的圆都有相同的圆心，称为同心圆；(2)中的圆都有相同的半径，称为等圆．
知识点2 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内，
如图3－2所示．
点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径(OA ＞r )；
点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径(OB ＝r )；
点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径(OC ＜r )．
拓展 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关
系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．即：如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆外?d＞r；(2)点在圆上?d ＝r；(3)点在圆内?d＜r．
探究交流设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形．
(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；
(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．
点拨(1)到点A的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，即为点P、点Q(如图3－3所示)．
(2)满足条件的点为既在⊙A内，又在⊙B内的点，即如图3－4所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界．
规律方法小结1．本节运用的思想方法有分类讨论思想和转化思想．如：在分析点与圆的位置关系时，运用了分类讨论思想，而在判断点与圆的位置关系时，把问题转化为用点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断，运用了转化思想．
2．(1)确定一个圆需要圆心和半径两个要素．(2)点与圆的位置关系可由点到圆心的距离与半径之间的数量关系来确定．
课堂检测
基本概念题
1、求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
基础知识应用题
2、两个圆的圆心都是O，半径分别为r和R(R＞r)，点A满足r＜OM＜R，那么点A在 ( )
A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．小圆内大圆外
综合应用题
3、如图3－6所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．
(1)以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何?
(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么?
4、如图3－7所示，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)，判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和⊙O′的位置关系．
探索与创新题
5、爆破时，导火索燃烧时的速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全?
6、已知线段AB＝4 cm，试用阴影表示到点A的距离不小于3 cm，而到点B 的距离小于2 cm的点的集合．
体验中考
1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm．则点P与⊙O的位置关系是．
2、如图3－11所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB
的度数为 ．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、已知：如图3－5所示，四边形ABCD 为矩形，O 是对角线AC 和BD 的交点．
求证：A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．
分析 欲证A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上，需证
明OA ＝OB ＝OC ＝OD ．
证明：因为四边形ABCD 是矩形，
所以AC ＝BD ，OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝OD ＝2
1BD ， 所以OA ＝OB ＝OC ＝OD ．所以A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．
【解题策略】 解此类题要把文字语言转化为数学语言，根据题意画出图形，写出已知、求证，再进行证明，这是解此类问题的一般步骤．
2、分析 由于r ＜OA ，所以点A 在小圆外，而OA ＜R ，所以点A 在大圆内．故选C ．
【解题策略】 要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可．
3、分析 要判断B ，C ，D 与⊙A 的位置关系，只需比较AB ，AC ，AD 的长与半径4 cm 的大小．
解：(1)连接AC ．∵AB ＝3 cm ＜4 cm ，∴点B 在⊙A 内．
∵AD ＝4 cm ，∴点D 在⊙A 上． 在Rt △ABC 中，∵AC ＝222243+=+BC AB ＝5 cm ＞4 cm ，
∴点C 在⊙A 外．
(2)∵AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，
∴点B 到圆心A 的距离3 cm 是最短的距离，点C 到圆心A 的距离5 cm 是最长的距离．
要使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是3 cm ＜r ＜5 cm ．
【解题策略】 要确定⊙A 的半径r 的取值范围，需要知道B ，C ，D 三点到点A 的距离，即确定出最短距离和最长距离，才能确定半径r 的取值范围．
4、分析 解此题的关键是先求出⊙O ′的半径，即OO ′的长，其次要分别求出点P 、点Q 、点R 到圆心O ′的距离PO ′，QO ′和RO ′的长，再用OO ′的长与PO ′，QO ′和RO ′的长比较，即可得结论．
解：⊙O ′的半径r ＝OO ′＝21122=+，
2)11()11(22=-+--='O P ，
1QO '==，
2)12()12(22=-+-='O R .
∵PO ′＞r ．∴点P 在⊙O ′外；
∵QO ′＜r ．∴点Q 在⊙O ′内；
∵RO ′＝r ．∴点R 在⊙O ′上．
【解题策略】 本题在解题中应用了平面内任意两点间的距离公式．设平面内任意两点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(y y x x AB -+-=．
5、分析 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，120米为半径的圆的圆外部分．
解：导火索燃烧的时间为9
.018＝20(秒)，人跑的路程为20×6．5＝130(米)．
∵130米＞120米，∴点导火索的人是安全的．
【解题策略】 解此题的关键是求人跑的路程，再与120米
相比较．
6、分析 到点A 的距离不小于3 cm ．即所求点应在以A 为圆
心、3 cm 长为半径的⊙A 的圆上及其外部；而到点B 的距离小于2
cm 的点应在以B 为圆心、2 cm 长为半径的⊙B 的内部．
解：根据题意画出图形如图3－8所示，其中阴影部分即为所求．
体验中考
1、分析 因为点P 到圆心O 的距离为3 cm ＜5 cm ，所以点P 在⊙O 内．故填点P 在⊙O 内．
2、分析 本题比较容易，考查圆的相关性质，根据∠ACO ＝32°可知∠CAO ＝32°，从而∠COB ＝∠ACO ＋∠CAO ＝32°＋32°＝64°．故填
3.2圆的对称性
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程．
2．理解圆的对称性及相关知识．
3．理解并掌握垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．
【重点难点】
1.垂径定理及其逆定理．
2.垂径定理及其逆定理的证明.
新课导引
【生活链接】 对于现实生活中的各种圆形物体，我们可以发现它们的对称美．
教材精华
知识点1 圆的轴对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
拓展 圆的对称轴有无数条．不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴．
知识点2 与圆有关的概念
(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号
“⌒”表示，如图3－13所示，以A ，B 为端点的弧记作“ AB ”
．读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．
(2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧
都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示，如图3－14所示的 BAC
)；小于半圆的弧叫做劣弧(如图3－14所示的 BDC )．
(3)连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图3－14所示的线段CD )．
(4)经过圆心的弦叫做直径(如图3－14所示的AB)．直径
等于半径的2倍．
拓展 (1)直径是弦，但弦不一定是直径．(2)半圆是弧，
但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
知识点3 垂径定理及其逆定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
的弧．
如图3－15所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：
,,,,.
AE BE CD O AD BD CD AB AC BC =????=??⊥??=?经过圆心垂足为E 拓展 (1)这里的“垂径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段．(2)条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧．
垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
如图3－15所示，垂径定理的逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：
,,(,()(.
CD AB CD O CD ACB AC BC CD AB AB CD ADB AD BD ?????=????=??垂直于弦经过圆心平分即平分弦不是直径平分即 拓展 一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直．
由垂径定理及其逆定理可得的其他结论．
对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧；⑤过圆心．
知识点4 圆的旋转不变性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．实际上，一个圆绕
着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性
质是圆的旋转不变性．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．
如图3－16所示，⊙O 绕圆心O 旋转任意一个角度α，⊙O
上的任意点A 与A ′重合，即⊙O 上的所有点旋转α角后，都与
⊙O 上的点重合．
知识点5 圆心角、弦心距的概念
顶点在圆心的角叫做圆心角．
圆心到弦的距离叫做弦心距．
如图3－17所示，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，垂线段OC 的长为弦AB 的弦心距．
知识点6 圆心角、弧、弦之间的关系
圆的一个特性：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个
圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的
其余各组量都分别相等．
如图3－18所示，若下列三个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②
AB ＝CD ，③ AB CD
=中有一个等式成立，则其他两个等式也成立．
拓展 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若
丢掉这个前提条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相
等．(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所
对”一词的含义，否则易错用此关系．(3)上述关系中的“弧”
一般指劣弧．(4)在具体运用上述关系解决问题时，可根据需要
选择其有关部分．如：在同圆中，相等的弦所对的弧相等；在等
圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
(5)上面的定理可以扩充为“圆心角、弧、
弦、弦心距之间相等关系的定理”——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条
弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－19所示，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，若下列四个等式：①∠
AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③ AB CD
=，④OE ＝OF 中有一个等式成立，则其他三个等式也成立．
探究交流 长度相等的弧是等弧．
点拨 因为在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧，所以等弧必须是在同圆或等圆中的弧，也只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合．因此长度相等的弧不一定是等弧．
规律方法小结 1．本节解决问题的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂径定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化．如垂径定理的应用，解题过程中使用列方程的方法，用代数方法解决几何问题．
角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．在理解定理的前提下，
要把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、弦心距、
弦长及弓形的高之间的关系式．
如图3－20所示，对于一个圆中的弦长a 、弦心距d 、半径r
及弓形的高h ，我们利用垂径定理和勾股定理，由a ，d ，r ，h
中的任意两个可求其他两个．
①若已知r ，d ，则a ＝
h =r －d ．
②若已知r ，h ，则a ＝；d ＝r －h ．
③若已知r ，a ，则d =
h r =
． ④若已知d ，h ，则r ＝h ＋d
；
a ．
⑤若已知a ，d ，则r =h d =．
⑥若已知a ，h ，则2222a h d h ??- ???=；2
222a h r h
??+ ???=． 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．如图3－21所示，弦AB
与 AB 及 ACB 组成两个不同的弓形．
弧的中点到弦的距离叫做弓形的高．如图3－22所示，C 为 ACB 的中点，CD ⊥AB 于D ，则CD 为弓形ACB 的高．
(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的相等关系可以概括为：圆心角相等?弧相等?弦相等?弦心距相等． 课堂检测
基本概念题
1、下列语句中，不正确的有 ( )
①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．
A ．①③④
B ．②③
C ．②
D ．②④
基础知识应用题
2、如图3－23所示，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，直径MN ⊥AB 于E ，MN 交CD 于F
，根据垂径定理，请你至少写出五个结论．
3、如图3－25所示，在⊙O 中，弦AB 的长为8 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则⊙O 的半径长为 cm ．
4、如图3－26所示，在⊙O 中，过圆周上一点A 作弦AB 和AC ，且AB ＝AC ，M 和N 分别为弦AB 及AC 的中点，连接MN 并向两方延长，交圆于P 和Q 两点，求证PM ＝NQ ．
综合应用题
5、如图3－27所示⊙O1和⊙O2相交于A和B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C，D两点，已知O1O2＝20 cm，求CD的长．
6、如图3－28所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径画圆，分别交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证
．
GE EF
探索与创新题
7、如图3－29所示，在半圆O中，半径OF⊥AB于O，OF交CD于点E，CD ∥AB，则弦AC与BD是否相等?
8、如图3－30所示，∠APC＝∠BPC，PC过圆心O，请判断PA与PB之间的大小关系．
北师大版七年级上册数学知识点总结 第一章丰富的图形世界 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、生活中的立体图形 圆柱 柱 生活中的立体图形球棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、 正方体）、五棱柱、…… (按名称分) 锥圆锥 棱锥 4、棱柱及其有关概念： 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧
棱；2n 个顶点。 5、正方体的平面展开图：11种 6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 7、三视图 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。 第二章 有理数及其运算 1、有理数的分类 ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 整数和分数统称为有理数。 注意：因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和 无限循环小数都看作分数． 2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零 3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时） 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?
三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB 的值. 四、随堂练习： 1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗? 2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则 tanθ＝______. 5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习： 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.