新北师大版九年级数学下册知识点汇总
第一章 直角三角形边的关系
一.锐角三角函数
1.正切:
定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..
,记作tanA , 即的邻边
的对边A A A ∠∠=tan ;
①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;
②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比;
③tanA 不表示“tan”乘以“A”;
④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;
⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
2.正弦..
: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边
的对边A A ∠=sin ; 3.余弦:
定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二.特殊角的三角函数值
图1 图3 图4
三.三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..
2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..
3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。
4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度........... (或坡比..
)。用字母i 表示,即A l
h i tan == 5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...
。如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
6.方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角...
。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是;北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。
7.同角的三角函数间的关系:
①互余关系sinA=cos(90°-A)、cosA=sin(90°-A) ②平方关系:③商数关系:
8.解直角三角形:在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。由直
图2 h i=h:l
A
B C
角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形(须知一条边)。
9.直角三角形变焦关系:
在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,则有
(1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2;
(2)两锐角的关系:∠A +∠B=90°;
(3)边与角之间的关系:
;cot ,tan ,cos ,sin a b A b a A c b A c
a A ==== ;cot ,tan ,cos ,sin b
a B a
b B
c a B c b B ==== (4)面积公式:c ch ab 2
121S ==
?(h c 为C 边上的高); (5)直角三角形的内切圆半径2
c b a r -+= (6)直角三角形的外接圆半径c R 21= 10.三角函数的应用 教材第18页
11.利用三角函数测高 教材第22页
第二章 二次函数
1.概念:一般地,若两个变量x ,y 之间对应关系可以表示成c bx ax y ++=2(a 、b 、c 是常数,a ≠0)的形式,则称y 是x 的二次函数....
。自变量x 的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取.....值范围...
。 2. 图像性质:
(1)二次函数y =ax 2的图象:是一条顶点在原点且关于y 轴对称的抛物线...
。)0(2≠=a ax y 是二次函数c bx ax y ++=2的特例,此时常数b=c=0.
(2)抛物线的描述:开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x 轴的交点。
①函数的取值范围是全体实数;
②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y 轴(或称直线x =0)。
③当a >0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。当a <0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。
④函数的增减性:
A 、当a >0时???≥≤.,0;,0增大而增大
随时增大而减小随时x y x x y x B 、当a <0时???≥≤.,0;,0增大而减小
随时增大而增大随时x y x x y x ⑤当|a |越大,抛物线开口越小;当|a |越小,抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值:当a >0,且x =0时函数有最小值,最小值是0;当a <0,且x =0时函数有最大值,最大值是0。
(3)二次函数c ax y +=2的图象:是一条顶点在y 轴上且与y 轴对称的抛物线,二次函数c ax y +=2的图象中,a 的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c 决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。
(4)二次函数c bx ax y ++=2的图象:是以直线a b x 2-
=为对称轴,顶点坐标为(a
b 2-,a b a
c 442-)的抛物线。(开口方向和大小由a 来决定)
|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y 轴,y 随x 增长(或下降)速度越快; |a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y 轴,y 随x 增长(或下降)速度越慢。
(5)二次函数c bx ax y ++=2的图象与y =ax 2的图象的关系:
c bx ax y ++=2的图象可以由y =ax 2的图象平移得到:(利用顶点坐标)
(6)二次函数k h x a y +-=2)(的图象:是以直线x=h 为对称轴,顶点坐标为(h ,k )的抛物线。(开口方向和大小由a 来决定)
(7)二次函数c bx ax y ++=2的性质:
二次函数c bx ax y ++=2配方成a
b a
c a b x a y 44)2(22-++=则抛物线的 ①对称轴:x=a
b 2- ②顶点坐标:(a b 2-,a b a
c 442-)
③增减性:若a>0,当xa
代数定义: 几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目,只要其中有“││”出现,其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序:A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附:典型例题 1.已知:a、b、x在数轴上的位置如下图,求证:│x-a│+│x-b│ =b-a. 2.已知:a-b=-2且ab<0,(a≠0,b≠0),判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质,代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类: 1.代数式与有理式
最新北师大版九年级数学上册教案 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题。一起看看最新北师大版九年级数学上册教案!欢迎查阅! 最新北师大版九年级数学上册教案1 学习目标 1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用. 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题学习过程
一、温故知新: (学生活动)同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 二、自主学习: 自学教材P90---P93,思考下列问题: 1、什么叫圆周角?圆周角的两个特征: 。 2、在下面空里作一个圆,在同一弧上作一些圆心角及圆周角。通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. (1)一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? (2).同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? (3).同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? 3、默写圆周角定理及推论并证明。 4、能去掉"同圆或等圆"吗?若把"同弧或等弧"改成"同弦或等弦"性质成立吗? 5、教材92页思考?在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?
九(上)数学知识点答案 第一章证明(一) 1、你能证明它吗? (1)三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 (2)等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)(3)等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。 判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 (4)含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。(2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 3、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 (3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。 (2)三角形三条角平分线的性质定理 性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。 (3)如何用尺规作图法作出角平分线
第二十六章 反比例函数 26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地,形如x k y = (k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解: ⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数; ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①x k y = (0k ≠), ②1kx y -=(0k ≠), ③k y x =?(定值)(0k ≠); ⑸函数x k y = (0k ≠)与y k x =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。 (k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,x k y =,就不是反比例函数了。 26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = (0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 26.3知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值 0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但 永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确; ③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。 26.4知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:
新人教版九年级上册数学知识点归纳 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式:ax2+bx+c=0时,应满足(a≠0) 21.2 降次——解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法: 用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=± m. 直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果. 2、配方法 通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。 1.转化:将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式) 2.系数化1:将二次项系数化为1 3.移项:将常数项移到等号右侧 4.配方:等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形:将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方:左右同时开平方 7.求解:整理即可得到原方程的根 3、公式法 公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 21.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决.如果未知数出现二次,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等.
九年级数学下册知识点归纳 第二十六章二次函数 26.1 二次函数及其图像 二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项 式函数。二次函数能够表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的,自变量x和因变量y之间存有如下关系: 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,- (4ac-b∧2)/4a) ; 顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和 图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同,有时题目会指出让你用 配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的 抛物线] ; 重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向, a>0时,开口方向向上,a0时,抛物线向上开口;当a0),对称轴在y 轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0, 所以 b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在 y轴左;当a与b异号时(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 _______ Δ= b^2-4ac0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 特殊值的形式 7.特殊值的形式 ①当x=1时 y=a+b+c ②当x=-1时 y=a-b+c ③当x=2时 y=4a+2b+c ④当x=-2时 y=4a-2b+c 二次函数的性质 8.定义域:R 值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a, 正无穷);②[t,正无穷) 奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数。 周期性:无 解析式: ①y=ax^2+bx+c[一般式]
九年级数学(上)知识点 人教版九年级数学上册主要包括了二次根式、二元一次方程、旋转、圆和概率五个章节的内容。 第二十一章二次根式 一.知识框架 二.知识概念 二次根式:一般地,形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。当a>0时,√a表示a的算数平方根,其中√0=0 对于本章内容,教学中应达到以下几方面要求: 1. 理解二次根式的概念,了解被开方数必须是非负数的理由; 2. 了解最简二次根式的概念; 3. 理解并掌握下列结论: 1)是非负数;(2);(3); 4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关实数的简单四则运算; 5. 了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。 第二十二章一元二次根式 一.知识框架
一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程. 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,?经过整理,?都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下,通过解方程来解决一些实际问题。 (1)运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想. (2)配方法解一元二次方程的一般步骤:现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根. 介绍配方法时,首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程,由平方根的概念,可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举 例说明一元二次方程可以化为形如的方程,引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及二次项系数不是1的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程,学了“公式法”以后,学生对这个内容会有进一步的理解。 (3)一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此: 解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,?将a、b、c代入式子 x= 24 2 b b ac a -±- 就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、 乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 第二十三章旋转 一.知识框架
2014年(新版)九年级数学上册知识点归纳(北师大版) (八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .....,平行四边形不相邻的两顶点连成 的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。