广东省湛江一中2010届高三第一次摸底
（数学理）
A . 1
B . 2 2.已知命题P ： a,b
(0, ),当a b 恒成立，则下列命题是假命题的是（
A .
P V Q
B .
P A Q
2
3.已知圆 O 1 :(x a)2
(y b)2 4Q
两圆的位置关系是 （
)
A ?内容
B . 内切
a 、
b 、C, A
, a . 3,b 1,则 C (
)
3
C . .3 1
D . 3
1时
丄
1
3;命题Q x
2
R, x x
1 0
a b
)
C .
P V Q
D .
P A Q
:(x
a 1) 2 (y b
2) 2 1,(a,b R)
那么 C . 相交
D . 外切
4?右图为一个几何体的三视
国科，尺寸如图所示，则该几何体的表面积（不考虑接触点）
为（ )
A
. 6+ . 3 + B
. 18+ 3 +4 C
.
18+2 .3 + D .
32+
kx 1,
5.函数y
2sin( x
C . k 2, 、选择（本大题共 8个小题，每小题 5分，共40分）
(3x0)
8 的图象如下图，则
）,（0 x y ）
1.在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 ( )
6?如果函数f （x ）在区间D 上是“凸函数”，则对于区间 D 内任意的X 1,X 2, ,X n ，有
7?某种游戏中，黑、黄两个 电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A I B I C I D I 的顶点A 出发沿 棱向前爬行，每爬完一条棱称为 爬完一段”，黑 电子狗”爬行的路线是AA I T A I D I T …，黄 电子狗”爬行的路线是 AB T BB —…，它们都遵循如下规则：所爬行的第
段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄 电子狗”间的距离是 （ ） 8. 如果一对兔子每月能生产一对（一雌一雄）小兔子，而每一对小兔子在它出生的第三个 月里，又能生产一对小兔子.假定在不发生死亡的情况下，由一对初生的小兔子从第一个月 开始，如果用a 1表示初生小兔子的对数，a n 表示第n 个月的兔子总对数，
（n N *）,记b n |a 2 a n 1a n 1 |,（n 2,且n N *）那么以下结论正确的是（
）
A . b n 是n 无关的常量
B. b n 是n 有关的变量，且既有最大值，又有最小值
C. b n 是n 有关的变量，且有最小值，但无最大值
D. b n 是n 有关的变量，且既有最大值，但无最小值 二、填空题（本大题共 6个小题，每小题5分，共30分）.一 9.
一个高中研究性学习小组对本地区 2002年至2004年快餐
公司发展情况进行了调查，制
成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图 （如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 _______
万盒。
f(X i )
f (X 2)
f(X n )
f （ __X 2 --------- ）成立.已知函数y sin x 在区间
n
[0 ,n ]上是“凸函数” ，则在△ ABC 中，si nA sin B si nC 的最大值是（
A.丄 B .三C ?
2 2
3
D.
2
3. 3 2
i +2段与第i 段所
在直线必须成异面直线 （其中i 是正整数）.设黑电子狗”爬完2006段、黄
电子狗”爬完2005
A.0
B.1
C.、2
D. .3
万盒/个
I
----
?■
90
4530
2002年 2003年 2004年 年
快餐公司个数情况图 2002年 2003年 2004年 年
快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图
10.对于函数y=f（x）, x D,若存在常数c,使对任意X1 D,存在唯一的X2 D,满足
C，则称函数f（x）在D上的均值为c,现已知函数：① y=2X，②y=x5，③
y=2sinx,④y=lgx，则满足在其定义域上均值为_________________ 2的函数的序号是（填上所有符
合要求的函数的序号）。
11. 等比数列｛a n｝的公比为q，其前n项的积为人，并且满足条件印1，
a 1 ——
玄99引00 10,」0。给出下列结论：①0 q 1 ?，②a99 a101 1 0③丁他的值a100 1
是T n中最大的；④使T n 1成立的最大自然数n等于198。-
其中正确的结论是_______ ?
12. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标
边长，由勾股定理有：c2a2b2.
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用s-|, S2, S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那
13.在极坐标系中，定点 A 2,3，点B在直线cos . 3 sin
2
项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（本题满分12分）
23
24
53
54
22 5 2 52
23 5 2 53
14.考察卜列一组不等式：5511
2252225222 52
AB最短时，点B的极坐标为 ____________
将上述不等式在左右两端视为两f(X i) f(X2)
2
0上运动，当线段么你类比得到的结论是 _______________________
15.设向量a (sin x, . 3 cosx), b(cosx, cosx), (0 x ).
2
(1) 若a//b，求tanx 的值；
(2) 求函数f(x) a b的最大值及相应x的值.
16. (本题满分12分)
如图：四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄底面ABCD , PA=AB=1 , AD= . 3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.
(I)点E为BC的中点时，试判断EF与平面
PAC的位置关系，并说明理由；
(n)证明：无论点E在BC边的何处，都有PE丄AF;
45
(川)当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为
17. (本小题满分14分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.
(I)如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(只要求写出算式即可，不
必计算出结果)?(n )随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、
80、85、90、95,物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.
(1)若规定85分以上(包括85分)为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；(2)若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：
学生编号12345678
数学分数x6065707580859095
物理分数y7277808488909395
具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01);如果
不具有线性相关性，请说明理由?
n
(X i x)(y i y)
参考公式：相关系数r j ：1;回归直线的方程是：? bx a，
■区 x)2(y i y)2
n
i 1
(X i x)(y i y)
其中b i1n,a y bx;其中？是与x i对应的回归估计值
i 1
(X i x)2
8_ 8
参考数据：x77.5,y85,
i 1(X1 x)21050, (y1
i 1
y)2456,
8
(X1 x)(y1
i 1
y) 688,105032.4, .456 21.4, . 55023.5.
18. (本小题满分14分)
2 2
已知点C为圆(x 1) y 8的圆心，点A (1, 0), P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且MQ AP 0, AP 2AM.
(I)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
(n)若直线y kx .. k21与(I)中所求点Q
的轨迹交于不同两点 F , H , O是坐标原点,
且- OF OH 3，求△ FOH的面积. 3 4
19. (本小题满分14分)
各项均为正数的数列｛a n｝的前n项和S n,函数f(x)丄px2(p q)x q In x. 2 (其中p、q均为常数，且p>q> 0 )，当X a1时，函数f(x)取得极小值，点
(n,2S n )(n N )均在函数y
2
q
2 px
X
f
(X)
q 的图象
上，
(其中 f ' (x)是函数
f(x)的导函数) (1 )求a 1的值；
(2)求数列｛a n ｝的通项公式；
4S
(3)记b n
q ,求数列 {b n }的前n
项和T n .
n 3
20. (本小题满分14分)
设f (x)是定义在［0,1］上的函数，若存在x * (0,1)，使得f (x)在［0, x *］上单调递增，在［x *,1］上 单
调递减，则称f (x)为［0,1］上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对 任意的
［0,1］上的单峰函数f (x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法
(1)
证明：对任意的x 「X 2 (0,1)，X 1
X 2，若f(xj
f(X 2)，则(0,X 2)为含峰区间；若
f(X 1) f(X 2)，则(X 1,1)为含峰区间；-
(2)
对给定的r(0 r 0.5)，证明：存在X 1,X 2 (0,1)，满足x ? X 1 2r ，使得由(1)
所 确定的含峰区间的长度不大于 0.5 r ；
参考答案
题号 1 2 3 4
5 6 7 8 答案 B B C C
A
D
D
A
9. 85
10.
②④
11.
①②④
12. S ； S ； S ； S 4
? EB 丄平面PAB ,
又 AF 平面 PAB ,? AF 丄 BE. ”
?/ PE 平面 PBE ,? AF 丄 PE. ................................ 8 分
（川）过 A 作AG 丄DE 于G ,连PG ,又T DE 丄PA ，贝U DE 丄平面PAG , 于是，平面 PAG
丄平面PDE ，它们的交线是 PG ,过A 作AM 丄PG ,垂足为 M , 贝U AM 丄平面 PDE ,即PA 在平面 PDE 的射影是 PM ,所以PA 与平面 PDE 所成 的角是/ APG=45 ° .
“ 11
13
?(1,-
) 14.
m n
m a
b
n
m
a b i n m
a b a, b °, a b, m, n
0 6
15?解：（ I )T
a//b, sin xcosx
3
cos 2
x 0,…
…3分
°
x — ,cosx °,
sin x .3 cosx
°, tan x sin x
一 3 (6)
分
2
cosx
(n)
f(x)
—F
sin xcosx
.3
cos 2
x .........
?- 8分
1 .
\ 3
-
3 .,
3
=sin 2x cos2x sin(2x —)
.................. 10 分 2 2
2
3
2
x (
°,~), 2x
3
当2x
3 丁即x
/ 时,
f （x
）
取得最大值，最大值为
V3
sin —
2 2
16?解法 1:（ I ）当点E 为BC 的中点时,
EF 与平面 PAC 平行?在△ PBC 中, E 、F 分别为BC 、PB 的中点, ??? EF//PC 又 EF 平面 PAC ,
而PC 平面PAC ? EF//平面PAC.…4分 (II )证明：T PA 丄平面ABCD , BE
EB 丄 PA.又 EB 丄 AB AB AP=A AB 又PA=AB=1，点F 是PB 的中点, ? AF 丄PB ,
又??? PB n BE=B , PB , BE 平面PBE ,? AF 丄平面 PBE.
平面
???在 RtPAG 中，PA=AG=1，二 DG= . 2 , .................... 10 分 设 BE=x ,：A AGE ◎△ ABE ，贝U GE=x , CE=「3 — x ,
在 Rt △ DCE 中,(.2+x)2=( 3 — x)2+12,得 BE=x= , 3 — .2 .……12 分
解法二： （II ）建立图示空间直角坐标系，
则 P （ 0，0，1），B （ 0,1，0），
F （O,2,2）,D （ . 3,0,0）设 BE x,则 E （x,1,0） 1 1
PE AF （x,1, 1） （0,32）0 ?- AF 丄 PE …8 分
（川）设平面 PDE 的法向量为
而 AP = ( 0, 0, 1) 依题意PA
与平面PDE 所成角为45 °,
所以 sin45° =-—
2
|m AP | |m| |AP 「
得 BE= x= . 3 —、2，或 BE=x=、3 + . 2 (舍) ..... ................ 12 分
8 8 17.解：（I ）应选女生25X =5 （个），男生15X =3 （个），可以得到不同的样本
40
40
个数是C ；5C ；5.……4分（II ） （1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀， 则需要先从物理的4个优秀分数中选出 3个与数学优秀分数对应， 种数是C ：A ；（或A J ）,然 后剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是
A 55。根据乘法原理，满足条件的种数
是 C 43A 35A 5 ............................................................. 6 分
- m PD m (p,q,1).由 _ _
m PE
(1
3'1
,1)
物理与数学成绩是高度正相关.若以数学成绩x 为横坐标, 物理成绩y 为纵坐标做散点图如下
.(1
从散点图可以看出这些点大至分布 在一条直线附近，并且在逐步上升， 故物理与数学成绩是高度正相关
.
......................................... 12分 设y 与x 线性回归方程y=bx+a 、 根据所给的数据，可以计算出
b 輕=0.65 , a=85 - 0.65X 77.5=34.63 ,
1050
所以y 与x 的回归方程是 ?
0.65x 34.63.
|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2 2 >|CA|=2，于是点 Q 的轨迹是以点 C , A 为焦 点，半焦距c=1，长半轴a=.. 2的椭圆，短半轴b . a 2
2
点Q 的轨迹E 方程是：—
2
(2)设卩(X 1, y 1)H (X 2, y 2),则由
kx
又点O 到直线FH 的距离d=1 , S ^d|FH|
产
￥ ■ °K K K K K K 12分
14分
18.
解：(1)由题意MQ 是线段AP 的垂直平分线，于是
c 2 1,
消去 y 得(2k 2
1)x 2 4k . k 2
1x 2k 2
0, 8k 2
0( k 0)
x 1 x 2
4k 、k 2 1 2k 2 1 ,X 1X
2
2k 2 2k 2 1
OF OH X 1X 2 (k 2 1)x 1x 2 (k 2 1) 2k 2 2k 2 1 y 1 y 2 X 1X 2
k . k 2 1(% 4k 2(k 2 1) (kx 1 k 2 1)(kx 2
■. k 2 1)
2k 2
X 2) k 2 k 2 1 1 J
2k 2 1 k 2 1 2k 2
1
k 2
1,
10分
|FH |
；(X 1
2 2
X 2) (y 1 y 2)
(X 1
2
y 2 2 X 2) [1 (y 1 y2
)]
X-I x 2
2 2
k )[(X 1 X 2)
4x 1X 2
.(1 k 2)
2 . 2k 2 2k 2
1
2k 2
1
4
又 2S n 1
2a ； 1 a n 1 1 ②。
①一②得 2 a n
2(a 2 a n 1 )
a n 2( a 2
(a n 0,
1
(a
n a n1)(a n a n1
2) 0,
由于a n
a n 1
0, a n
a n
1
，所以｛a n ｝是以a 1=1，公差为一的等差数列,
2 2
(出) 所以，T n qT n q 2
a n
S n
2q 2 (n 1) 10分
n(n 2
3q 3
2q 3 3q 4 K
竺由b n
(n 1)q n
(n 1)q n nq
n
nq 4S n
n 3
n
nq ,
由 n n p q 0,而 p 1n ,故 q 1,
1
令t 2k 2 1 t [2,3], n k 2 — (t 1),
令 f (x) 0,得x 1 或x 9,
0 9 1,
p
p
当
(0, q )
p
q_ p
(-,1) p
1
(1, +m )
f ' (x)
+
0 一
+
f(x)
极大值
、
极小值
所以f(x)在x=1处取得最小值，即 a 1=1. ............................................... 5分
2
2S n 2a n a n
1 1 1 1 2
S jt 1
)[2(t 1
)1
)t \2(t "
1
1 1
J3 /~1
Q 2
t 3,
2
1 _2
9 t 4 4 y t
/ S 2
.K K K K K K 14分
4 3
19.
解：(I )解：f (x) px (p q)
2
q Px (p q)x q (x 1)( px q)
XX x
(II )
y 2px 2
q
x
(x)
q 2
px 2
px
2 *
p, 2S n 2p a n p a n p,(n N ),
由于a 1=1，所以 2a 1
c
2
2p a 1
p a 1
p,得 p 1.
(1 q)T n q
2 q 3
q
n 1
K q q
n
n 1
q(1 q ) n 1
nq
nq
1 q
T q(1 q
1 n
2
n
) n 1
nq K K K K K K K K K 14 分
(1 q ) 1 q
20. (1)证明 :设 *
X 为 f (x)的峰点 ,则由单峰函数定义可知
，f (x)在［0,x *］上单调递增，在
[x *,1]上单调递减,
* * *
当 f(xj
f(X 2)时,假设 x (0,X 2),则 X !
X 2 < x ,从而 f(x )
f(X 2)
f(xj
这与
f(Xj
f (X 2)矛盾，所以X * (0,X 2),即(0,X 2)为含峰区间?
当 f(xj
f (
X 2 )时,假设 X
(X !,1),则 X X ! X 2 ,从而 f(x ) f(xj f (X 2),这与
f(X i ) f (X 2)矛盾，所以 X * (X i ,1), 即 (X 1,1)为含峰区间 ...................... .(分)
(2)证明：由(1)的结论可知 当f (X 1) f (X 2)时，含峰区间的长度为11
X 2 ；
当f (X 1)
f (
X 2)时，含峰区间的长度为丨2 1 X 1 ；
由①得 1 x 2 x 1 1 2r,即 x 2 x 1 2r , 又因为x 2
x 1
2r ，所以x 2 x 1 2r 将②代入①得x 1
0.5- r , x 2
0.5 r ,
由①和③解得x 1 = 0.5— r , x 2= 0.5 r , 所以这时含峰区间的长度 11 12 0.5 r ,
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对于上述两种情况，由题意得
X 2 0.5 r 1 x 1
0.5 r
即存在X 1 , X 2使得所确定的含峰区间的长度不大于
0.5 r ......................................
(1分)