用函数观点看一元二次方程—知识讲解(提高)
【学习目标】
1.会用图象法求一元二次方程的近似解;掌握二次函数与一元二次方程的关系;
2.会求抛物线与x 轴交点的坐标,掌握二次函数与不等式之间的联系;
3.经历探索验证二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程,学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题. 【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数2
y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标,就是令y =0,求2
0ax bx c ++=中
x 的值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程,因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数,它们的关系如下表: 判别式
2
4b ac
=-△
二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠
图象
与x 轴的交点坐标
根的情况
△>0
a >
抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于1(,0)x ,2(,0)x 12()x x <两
点,且21,242b b ac
x a
-±-=,
此时称抛物线与x 轴相交
一元二次方程
20(0)
ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根
21,242b b ac x a
-±-=
a <
△=0
a >
抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ??
-
???这一点,此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程
20(0)
ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b
x x a
==-
a <
△<0
a >
抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与x
轴无交点,此时称抛物线与x 轴相离 一元二次方程
20(0)
ax bx c a ++=≠在实数范围内无解(或称
无实数根)
a <
要点诠释:
二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时,,方程有两个不相等的实根;
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时,,方程有两个相等的实根;
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时,
,方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题.我们把它延伸到求抛物线
2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题.
抛物线2
y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0,c).
抛物线2
y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12
,y kx b y ax bx c
=+??=++?的解的个数决定.
当方程组有两组不同的解时?两函数图象有两个交点; 当方程组有两组相同的解时?两函数图象只有一个交点; 当方程组无解时?两函数图象没有交点.
总之,探究直线与抛物线的交点的问题,最终是讨论方程(组)的解的问题. 要点诠释:
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想,即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤:
1.作二次函数的图象,由图象确定交点个数,即方程解的个数;
2. 确定一元二次方程
的根的取值范围.即确定抛物线
与x 轴交点的横坐标的大致范围;
3. 在(2)确定的范围内,用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内,从大到小或从小到大依次取值,用表格的形式求出相应的y 值.
4.确定一元二次方程的近似根.在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元
二次方的近似根.
要点诠释:
求一元二次方程的近似解的方法(图象法):
(1)直接作出函数的图象,则图象与x 轴交点的横坐标就是方程
的
根;
(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点
的横坐标就是方程的根; (3)将方程化为,移项后得,设和,在同一坐
标系中画出抛物线
和直线
的图象,图象交点的横坐标即为方程
的
根.
要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式
当△>0时,设抛物线2
y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ,0),B(2x ,0),则1x 、2x 是一元二次方程2
=0ax bx c ++的两个根.由根与系数的关系得12b x x a +=-
,12c x x a
=. ∴ 22121||||()AB x x x x =-=-2
1212()4x x x x =+-2
4??=-? ???
b c a a 22
4b ac a -=24b ac -= 即 ||||
AB a =
△
(△>0). 要点四、抛物线与不等式的关系
二次函数2
y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及2
0ax bx c ++<(a ≠
0)之间的关系如下12()x x <:
判别式 0a >
抛物线2y ax bx c =++与
x 轴的交点
不等式2
0ax bx c ++>的解集
不等式2
0ax bx c ++<的解
集
△>0
1x x <或2x x > 12x x x <<
△=0
1x x ≠(或2x x ≠)
无解
△<0
全体实数 无解
注:a <0的情况请同学们自己完成. 要点诠释:
抛物线2
y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的x 的所有值就是不等式
20ax bx c ++>的解集;在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负,所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集.不等式中如果带有等号,其解集也相应带有等号.
【典型例题】
类型一、二次函数图象与坐标轴交点
1. 已知抛物线2
2(1)423y k x kx k =+++-.求:(1)k 为何值时,抛物线与x 轴有两个交点; (2)k 为何值时,抛物线与x 轴有唯一交点;(3)k 为何值时,抛物线与x 轴没有交点. 【答案与解析】
2222
4(4)42(1)(23)168(23)824b ac k k k k k k k -=-?+-=---=+.
(1)当2
48240b ac k -=+>,且2(1)0k +≠,即当k >-3且k ≠-1时,抛物线与x 轴有两个交点. (2)当2
48240b ac k -=+=,且2(k+1)≠0.即当k =-3时,抛物线与x 轴有唯一交点. (3)当b 2
-4ac =8k+24<0,且2(k+1)≠0.即当k <-3时,抛物线与x 轴不相交.
【总结升华】根据抛物线与x 轴的交点个数可确定字母系数的取值范围,其方法是根据抛物线与x 轴的
交点个数,推出△值的性质,即列出关于字母系数的方程(或不等式),通过方程(或不等式)求解.
特别提醒:易忽视二次项系数2(k+1)≠0这一隐含条件.
举一反三:
【变式】(越秀区期末)二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题: (1)写出方程ax 2+bx+c=0的两个根;
(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;
(3)求y的取值范围.
【答案】
解:(1)如图所示:方程ax2+bx+c=0的两个根为:﹣5和1;
(2)如图所示:不等式ax2+bx+c>0的解集为:﹣5<x<1;
(3)∵抛物线与坐标轴分别交于点A(﹣5,0),B(1,0),C(0,5),设抛物线解析式为:y=a(x+5)(x﹣1),
∵抛物线过点C(0,5),
∴5=a×5×(﹣1),
解得:a=﹣1,
∴抛物线解析式为:y=﹣(x+5)(x﹣1)=﹣x2﹣4x+5,
∵a=﹣1<0,
∴当x=﹣=﹣2时,
y最大=﹣(﹣2+5)(﹣2﹣1)=9,
∴y的取值范围为:y≤9.
类型二、利用图象法求一元二次方程的解
2.利用函数的图象,求方程组的解.
【答案与解析】
在同一直角坐标系中画出函数和的图象,
如图,得到它们的交点坐标(-2,0),(3,15),
则方程组
的解为
.
【总结升华】可以通过画出函数
和
的图象,得到它们的交点,从而得到方程组
的解.
类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用
3. 已知关于x 的二次函数2
2
(21)34
y x m x m m =--+++.
(1)探究m 满足什么条件时,二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数为2,1,0.
(2)设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A(1x ,0),B(2x ,0),且22
125x x +=与y 轴的交点为C ,
它的顶点为M ,求直线CM 的解析式.
【答案与解析】
(1)令y =0,得:22(21)340x m x m x --+++=,△=22
[(21)]4(34)1615m m m m ---++=--,
当△>0时,方程有两个不相等的实数根,即16150m -->,∴ 15
16
m <-. 此时,y 的图象与x 轴有两个交点.
当△=0时,方程有两个相等的实数根,即16150m --=,∴ 1516
m =-. 此时,y 的图象与x 轴只有一个交点.
当△<0时,方程没有实数根,即16150m --<,∴ 1516
m >-. 此时,y 的图象与x 轴没有交点.
∴ 当15
16
m <-时,y 的图象与x 轴的交点的个数为2; 当15
16m =-
时,y 的图象与x 轴的交点的个数为1; 当15
16
m >-时,y 的图象与x 轴的交点的个数为0.
(2)由根与系数的关系得1221x x m +=-,2
1234x x m m =++.
22
2222121212()2(21)2(34)2107x x x x x x m m m m m +=+-=--++=--. ∵ 22125x x +=,∴ 221075m m --=,∴ 2
560m m --=,
解得:16m =,21m =-. ∵ 1516
m <-
,∴ m =-1.∴ 2
32y x x =++.
令x =0,得2y =,∴ 二次函数y 的图象与y 轴的交点C 的坐标为(0,2).
又2
2313224y x x x ?
?=++=+- ??
?,∴ 顶点M 的坐标为31,24??-- ???.
设过C(0,2)与M 31,24??
-
- ??
?的直线解析式为y kx b =+, 则2,13
,42b k b =???--=+?? 解得3,22.
k b ?
=???=? ∴ 直线CM 的解析式为3
22
y x =
+. 【总结升华】根据二次函数与一元二次方程的关系,将函数转化为一元二次方程,再利用判别式,讨论
二次函数的图象与x 轴的交点个数,利用根与系数关系建立关于m 的方程,求出m 值,得二次函数解析式,分别求出C 点、M 点坐标,进而求出直线方程.
举一反三:
【变式】已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)若
1
55
m <<,且抛物线与x 轴交于整数点,求此抛物线的解析式. 【答案】
(1)依题意,得0≠m , ∴2242=--=-
=m
m a b x , m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m
∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-. (2)∵抛物线与x 轴交于整数点,
∴02442=-+-m mx mx 的根是整数.
∴22x m
==±
. ∵0m >
,∴2x =±
∴2
m 是完全平方数. ∵155m <<, ∴22105m <<,∴2
m 取1,4,9,
22x m
==±
. 当21m =时,2=m ; 当24m =时,2
1
=m ;
当
29m =时,29m =. ∴m 的值为2或21或29
. ∴抛物线的解析式为6822
+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999
y x x =--.
4.(中山模拟)如图,二次函数的图象与x 轴交于A (﹣3,0)和B (1,0)两点,交y 轴于点C
(0,3),点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B 、D . (1)求二次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围; (3)若直线与y 轴的交点为E ,连结AD 、AE ,求△ADE 的面积.
【答案与解析】 解:(1)设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a≠0,a 、b 、c 常数),
根据题意得 ,
解得:,
所以二次函数的解析式为:y=﹣x 2﹣2x+3;
(2)如图,一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是:x <﹣2或x >1. (3)∵对称轴:x=﹣1.∴D (﹣2,3); 设直线BD :y=mx+n 代入B (1,0),D (﹣2,3):
,
解得:
,
故直线BD 的解析式为:y=﹣x+1, 把x=0代入求得E (0,1) ∴OE=1, 又∵AB=4
∴S△ADE=×4×3﹣×4×1=4.
【总结升华】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式,利用数形结合得出是解题关键.
二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0c ,与y 轴交于正半轴;③0 黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二 二次函数知识点详解(最新原创助记口诀) 内含 <全文看完后 再决定下不下载> 十二个知识点 最新原创助记口诀 用心背后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考高分 知识点一、平面直角坐标系 1,平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O (即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x 轴和y 轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a ,b )表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当b a ≠时,(a ,b )和(b ,a )是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ,x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ,y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上,又在y 轴上?x ,y 同时为零,即点P 坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等,纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等,横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到x 轴的距离等于y (2)点P(x,y)到y 轴的距离等于x (3)点P(x,y)到原点的距离等于22y x + 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 一次函数知识点总结 ?变量和函数 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定 的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y 是x的函数。例如:y=±x,当x=1时,y有两个对应值,所以y=±x不是函数关系。 对于不同的自变量x的取值,y的值可以相同,例如,函数:y=|x|,当x=±1时,y的对应值都是1 3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数取值范围的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义 ?函数的表示方法 1、三种表示方法 列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。 公式法:即函数解析式,简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。 图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 2、列表法:列一张表,第一行表示自变量取的各个值,第二行表示相应的函数值(即应变 量的对应值) 3、公式法:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。一般情况下, 等号右边的变量是自变量,等号左边的变量是因变量。用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。 4、函数的图像 ┃知识归纳┃ 1.一元二次方程的概念 只含有个未知数(一元),并且未知数的最高次数是的方程,叫做一元二次方程.[注意] 一元二次方程判定的条件是:(1)必须是整式方程;(2)二次项系数不为零;(3)未知数的最高次数是2,且只含有一个未知数. 2.一元二次方程的解法 一元二次方程有四种解法:法、法、法和法. [注意] 公式法其实质是配方法,只不过省去了配方的过程,但用公式时应注意:(1)将一元二次方程化为一般形式,即先确定a、b、c的值;(2)牢记使用公式的前提是b2-4ac≥0. 3.一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac (1)Δ>0?ax2+bx+c=0(a≠0)有的实数根; (2)Δ=0?ax2+bx+c=0(a≠0)有的实数根; (3)Δ<0?ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根. 4.一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则两根与方程系数之间有如下关系:x1+x2=,x1·x2=. [注意] 它成立的条件:①二次项系数不能为0;②方程根的判别式大于或等于0. 四大解法 一、开平方法 方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0) 二、配方法 “配方法”的基本步骤:一化、二移、三配、四化、五解 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成 5.开平方,求解 三、公式法 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0. 四、因式分解法 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零,至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 解题技巧: 先考虑开平方法, 二次函数知识点整理: 1.二次函数的图象特征与a ,b ,c 及判别式ac b 42-的符号之间的关系 (1)字母a 决定抛物线的形状. 即开口方向和开口大小;决定二次函数有最大值或最小值. a >0时开口向上,函数有最小值; a <0时开口向下,函数有最大值; a 相同,抛物线形状相同,可通过平移、对称相互得到; a 越大,开口越小. (2)字母b 、a 的符号一起决定抛物线对称轴的位置. ab=0 (a ≠0,b=0), 对称轴为y 轴; ab >0(a 与b 同号),对称轴在y 轴左侧; ab <0(a 与b 异号),对称轴在y 轴右侧. (3)字母c 决定抛物线与y 轴交点的位置. c=0, 抛物线经过原点; c >0,抛物线与y 轴正半轴相交; c <0,抛物线与y 轴负半轴相交. (4)ac b 42-决定抛物线与x 轴交点的个数. ac b 42-=0,抛物线与x 轴有唯一交点(顶点); ac b 42->0抛物线与x 轴有两个不同的交点; ac b 42-<0抛物线与x 轴无交点. 2.任意抛物线()k h x a y +-=2 都可以由抛物线2ax y =经过平移得到,具体平移方法如 下: 【注意】 二次函数图象间的平移,可看作是顶点间的平移,因此只要掌握了顶点是如何平移的,就掌握了二次函数间的平移. 二次函数图象间对称变换也是同样的道理. 3.用待定系数法求二次函数的解析式 确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件,根据不同条件选不同的设法 (1)设一般式:c bx ax y ++=2 (a ,b ,c 为常数、a ≠0) 若已知条件是图象上的三点,将已知条件代入所设一般式,求出a,b,c 的值 (2)设顶点式:()k h x a y +-=2 (a,h,k 为常数,a ≠0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),将已知条件代入所设顶点式,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式. (3)设两点式:()()21x x x x a y --=(a ≠0,a 、1x 、2x 为常数) 若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为()()0,0,21x x ,将第三点(m,n ) 的坐标(其中m ,n 为已知数)或其他已知条件代入所设交点式,求出待定系数a ,最后将解析式化为一般形式. 4. 二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)与一元二次方程02=++c bx ax 的关系 (1)二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)中,当y=0时,就变成了一元二次方程02=++c bx ax (2)一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标. (3)二次函数的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致. (4)在它俩的关系中,判别式△=ac b 42-起着重要作用. 二次函数的图象与x 轴有两个交点?对应方程的△>0 二次函数的图象与x 轴有一个交点?对应方程的△=0 二次函数的图象与x 轴无交点 ?对应方程的△<0 5.二次函数应用 包括两方面 (1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系; (2)用二次函数解决最大化问题即最值问题.二次函数知识点详解和巧记口诀
一次函数知识点总结41712
一元二次方程及解法经典习题及解析
二次函数知识点整理
二次函数知识点总结及典型题目