习题1.2
1.dx
dy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y
dy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0
原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1
特解为y= e
2x .
2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1
1+x dx 两边积分: -y
1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e
特解:y=|
)1(|ln 1+x c 3.dx dy =y
x xy y 32
1++ 解:原方程为:dx
dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3
1x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0
解:原方程为: y y -1dy=-x
x 1+dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5.(y+x )dy+(x-y)dx=0
解:原方程为:
dx dy =-y
x y x +- 令
x
y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu
即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg
2x y . 6. x dx
dy -y+22y x -=0 解:原方程为:
dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x
y =u dx dy =u+ x dx du 2
11
u - du=sgnx x 1dx arcsin x
y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:
tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x
c cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y
e x
y 32+=0 解:原方程为:dx dy =y
e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0
解:原方程为:dx dy =x y ln x
y 令x
y =u ,则dx dy =u+ x dx du
u+ x dx
du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln
x y =cy. 10. dx
dy =e y x - 解:原方程为:
dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dx
dy =(x+y)2 解:令x+y=u,则
dx dy =dx du -1 dx
du -1=u 2 211u
+du=dx arctgu=x+c
arctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2
)(1y x + 解:令x+y=u,则
dx dy =dx du -1 dx du -1=21u
u-arctgu=x+c
y-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1
212+-+-y x y x 解: 原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dx
xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
dxy-d(y 2-y)-dx 2
+x=c
xy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =2
5--+-y x y x 解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dx
xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0
dxy-d(21y 2+2y)-d(2
1x 2+5x)=0
y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:
dx
dy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解:原方程为:dx
dy =(x+4y )2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4
1 41dx du -4
1=u 2+3 dx
du =4 u 2+13 u=2
3tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dx
dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程,并由此求下列方程: 1) y(1+x 2y 2)dx=xdy
2) y x dx dy =2
222x -2 y x 2y + 证明: 令xy=u,则x
dx dy +y=dx
du 则dx dy =x 1dx du -2x
u ,有: u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x
1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
1) 令xy=u 则dx dy =x 1dx du -2
x u (1) 原方程可化为:dx dy =x
y [1+(xy )2] (2) 将1代入2式有:x 1dx du -2x u =x
u (1+u 2) u=22+u +cx
17.求一曲线,使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解:设(x +y )为所求曲线上任意一点,则切线方程为:y=y ’(x- x )+ y 则与x 轴,y 轴交点分别为:
x= x 0 - '
0y y y= y 0 - x 0 y’ 则 x=2 x 0 = x 0 -
'0y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程,其中α =4
π 。 解:由题意得:y ’=
x y y 1dy=x 1 dx ln|y|=ln|xc| y=cx.
α =4
π 则y=tg αx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明:设(x,y)为所求曲线上的任意一点,则y ’=kx
则:y=kx 2 +c 即为所求。
习题2.1
1.xy dx
dy 2=,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得
。故它的特解为代入得把即两边同时积分得:e e x x y c y x x c y c y xdx dy y
22
,11,0,ln ,212=====+== ,0)1(.22
=++dy x dx y 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.
解:对原式进行变量分离得: 。故特解是
时,代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当x
y c y x y x c y c y x y dy dx x y
++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,1112
3 y xy dx dy x y 321++
= 解:原式可化为: x x y x x y x y x y
y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2
222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,011
1=++=++≠++-=++=+≠+?+=+)故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然
.
0;0;ln ,
ln ,ln ln 0110000
)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y
y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:
10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0
)ln (ln :931:8.
cos ln sin ln 0
7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2
111
1,11,,,0
)()(:53322
222222222
c dx
dy dx
dy x
y cy u d u
u dx x x y u dx x
y dy x y ydx dy y x x c dy y
y y y dx dy c x y tgxdx
ctgydy ctgxdy tgydx c x x x
y c
x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx
dy x
c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx
du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e
x y u
u x y x u u x y x y y x x x
+===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解:变量分离:。代回原变量得:则有:令解:方程可变为:解:变量分离,得
两边积分得:解:变量分离,得::也是方程的解。另外,代回原来变量,得两边积分得:分离变量得:则原方程化为:解:令:。两边积分得:变量分离,得:则令解:
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1.任意微分方程都有通解。( ) 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4.函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9. 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1.在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3.x e y 2-=''的通解是 。 4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6.微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7.y 1 = 所满足的微分方程是 。
8.x y y 2='的通解为 。 9. 0=+x dy y dx 的通解为 。 10.()2511 2+=+-x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。 11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1.微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A .3 B .4 C .5 D . 2 2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A .3 B .5 C .4 D . 2 3.下列函数中,哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A .x y 2= B .2x y = C .x y 2-= D . x y -= 4.微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A .13+=x y B .()3 2+=x y C .()2 C x y += D . ()3 1x C y += 5.函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A .0=+'y y B .02=+'y y C .0=+y y n D . x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。 A .通解 B .特解 C .是方程所有的解 D . 上述都不对 7.y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A .1+=x e y B .x e y 2= C .2 2x e y ?= D . x e y ?=3 8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A .x a y sin *= B .x a y cos *?= C .()x b x a x y cos sin *+= D . x b x a y sin cos *+= 9.下列微分方程中,( )是二阶常系数齐次线性微分方程。
习题2.5 2.ydy x xdy ydx 2=- 。 解: 2x ,得: ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4. xy x y dx dy -= 解:两边同除以x ,得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=, 即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6.()01=-+xdy ydx xy 解:0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21
即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解:令 u x y = 则: 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10. 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解:令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=,c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解: y x xe dx dy +=+1
常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
习题 1. dx dy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解: y dy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y= | )1(|ln 1 +x c 3.dx dy =y x xy y 321++ 解:原方程为:dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为: y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5.(y+x )dy+(x-y)dx=0 解:原方程为: dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解:原方程为: dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为: tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解:原方程为:dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解.
习题2.2 求下列方程的解。 1.dx dy =x y sin + 解: y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2.dt dx +3x=e t 2 解:原方程可化为: dt dx =-3x+e t 2 所以:x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3.dt ds =-s t cos +21t 2sin 解:s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4. dx dy n x x e y n x =- , n 为常数. 解:原方程可化为:dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5. dx dy +1212--y x x =0 解:原方程可化为:dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6. dx dy 234xy x x += 解:dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此:dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 (*) 将x y u =带入 (*)中 得:3433cx x y =-是原方程的解.
常微分方程习题2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得:e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得: 。 故特解是 时,代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解:原式可化为: x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 22 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 2 1ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+)故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然
.0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:
习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解; 解: 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解; 解: 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题: ?????=-=0 )1(2y x dx dy R :1+x ≤1,y ≤1 的解的存在区间,并求解第二次近似解,给出在解的存在空间的误差估计; 解: 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则:误差估计为:)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程:31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件, 并求通过点(0,0)的一切解; 解:因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续; 而312 3y 在y 0φσ≥上连续 由 3123y dx dy =有:y =(x+c )23 又 因为y(0)=0 所以:y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解; 故 方程的解为:y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式: 设K 为非负整数,f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数,
习题2.2 求下列方程的解 1. dx dy =x y sin + 解: y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2. dt dx +3x=e t 2 解:原方程可化为: dt dx =-3x+e t 2 所以:x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3. dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解:s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4. dx dy n x x e y n x =- , n 为常数. 解:原方程可化为: dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5. dx dy + 1212 --y x x =0 解:原方程可化为: dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6. dx dy 2 3 4xy x x += 解: dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此:dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 (*) 将 x y u =带入 (*)中 得:3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.
《常微分方程》第三版答案 习题1.2 1. dx dy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。解: y dy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。解:y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e 特解:y= | )1(|ln 1 +x c 3.dx dy =y x xy y 321++ 解:原方程为:dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分:x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为: y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c 另外x=0,y=0也是原方程的解。 5.(y+x )dy+(x-y)dx=0 解:原方程为: dx dy =-y x y x +-
令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解:原方程为: dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解:原方程为:dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.
常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得:e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得: 。 故特解是 时,代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解:原式可化为:
x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+) 故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:
10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解:变量分离:。 代回原变量得:则有:令解:方程可变为:解:变量分离,得 两边积分得:解:变量分离,得::也是方程的解。 另外,代回原来变量,得两边积分得:分离变量得:则原方程化为: 解:令:。两边积分得:变量分离,得:则令解:
常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得:e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得: 。 故特解是 时,代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解:原式可化为: x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+) 故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:
10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解:变量分离:。 代回原变量得:则有:令解:方程可变为:解:变量分离,得 两边积分得:解:变量分离,得::也是方程的解。 另外,代回原来变量,得两边积分得:分离变量得:则原方程化为: 解:令:。两边积分得:变量分离,得:则令解:
常微分方程(第三版) 答案
常微分方程习题答案 2.1 1.?Skip Record If...?,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得 ?Skip Record If...??Skip Record If...?并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得: ?Skip Record If...?3 ?Skip Record If...? 解:原式可化为: ?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? 12.?Skip Record If...? 解?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? 15.?Skip Record If...? ?Skip Record If...?16.?Skip Record If...? 解:?Skip Record If...? ?Skip Record If...?,这是齐次方程,令?Skip Record If...? 17. ?Skip Record If...? 解:原方程化为?Skip Record If...? 令?Skip Record If...? 方程组?Skip Record If...??Skip Record If...? 则有?Skip Record If...? 令?Skip Record If...? 当?Skip Record If...?当?Skip Record If...? 另外 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?
习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解; 解: 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解; 解: 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题: ?????=--=0 )1(22y y x dx dy R :1+x ≤1,y ≤1 的解的存在区间,并求解第二次近似解,给出在解的存在空间的误差估计; 解: 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则:误差估计为:)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程:31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件, 并求通过点(0,0)的一切解; 解:因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续; 而312 3y 在y 0 σ≥上连续 由 3123y dx dy =有:y =(x+c )23 又 因为y(0)=0 所以:y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解; 故 方程的解为:y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式: 设K 为非负整数,f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数,
常微分方程习题答案 2.1 1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得:e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== , 0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得: 。 故特解是 时,代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解:原式可化为: x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+) 故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:
习题1.2 1. dx dy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解: y dy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y= | )1(|ln 1 +x c 3.dx dy =y x xy y 321++ 解:原方程为:dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分:x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为: y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5.(y+x )dy+(x-y)dx=0
解:原方程为: dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解:原方程为: dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为: tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解:原方程为:dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解:原方程为: dx dy =x y ln x y
习题1.2 1.dx dy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y dy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y=| )1(|ln 1+x c 3.dx dy =y x xy y 32 1++ 解:原方程为:dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为: y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5.(y+x )dy+(x-y)dx=0
解:原方程为:
dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解:原方程为: dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为: tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解:原方程为:dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解:原方程为:dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du
习题2.2 求下列方程的解 1.dx dy =x y sin + 解: y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2.dt dx +3x=e t 2 解:原方程可化为: dt dx =-3x+e t 2 所以:x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3.dt ds =-s t cos +21t 2sin 解:s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4. dx dy n x x e y n x =- , n 为常数. 解:原方程可化为:dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5. dx dy +1212--y x x =0 解:原方程可化为:dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 21 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6. dx dy 234xy x x += 解:dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = d x d y =u dx du x + 因此:dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 (*) 将x y u =带入 (*)中 得:3433cx x y =-是原方程的解.
习题3.3 1.Proof 若(1)成立则0ε?>及00x x >,0(,)x δδε?=,使当 000|||(,,)|y y x x y δ=≤ 时,初值问题 0000(,)()(,,) dy f x y dx y x y y x x y ?=? ??==? 的解00(,,)y y x x y =满足对一切0x x ≥有00|(,,)|y x x y ε<, 由解关于初值的对称性,(3,1)的两个解00(,,)y y x x y =及00(,,)y y x x y =都过点 00(,)x y ,由解的存在唯一性 0000(,,)(,,)y x x y y x x y =,当0x x ≥时 故000|(,,)|,y x x y x x ε<≥ 若(2)成立,取定00x x >,则0ε?>,10(,)()x δδεδε?==,使当 001|(,,)|y x x y δ≤ 时,对一切0x x ≥有 00|(,,)|y x x y ε < 因初值问题0(,)()0 dy f x y dx y x ?=? ??=? 的解为0y =,由解对初值的连续依赖性, 对以上0ε>,000(,,)(,)x x x δδεδε?==,使当 0||y δ ≤时 对一切00(,]x x x ∈有 001|(,,)|m in{,}y x x y εδε << 而当0x x ≥时,因
0011|(,,)|min{,}y x x y εδδ≤< 故00|(,,)|y x x y ε< 这样证明了对一切0x x ≥有 00|(,,)|y x x y ε < 2.Proof :因(,)f x y 及 f y ??都在G 内连续,从而(,)f x y 在G 内关于y 满足局部 Lipschitz 条件,因此解00(,,)y x x y ?=在它的存在范围内关于00,,x x y 是连续的。 设由初值00(,)x y 和000(,)x y y +?0(||,y αα?≤足够小)所确定的方程解分别为 00(,,)y x x y ?? =≡,000(,,)y x x y y ψψ=+?≡ 即0 0(,)x x y f x dx ??≡+?,0 00(,)x x y y f x dx ψψ≡+?+? 于是 00((,)(,))x x y f x f x dx ψ??ψ-≡?+-? 0(,()) ()01x x f x y dx y ?θψ?ψ?θ?+-=?+ -<? 因 f y ??及?、ψ连续,因此 1(,()) (,)f x f x r y y ?θψ???+-?= +?? 这里1r 具有性质:当00y ?→时,;10r →且当00y ?=时10r =,因此对00y ?≠有 10 (,)1( ) x x f x r dx y y y ψ? ?ψ? -?-≡+ +???? 即0 z y ψ? -= ? 是初值问题 100(,)[]()1dz f x r z dy y z x z ???=+? ???==?