常微分方程 2.1
1.
xy dx
dy
2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得
。
故它的特解为代入得
把即两边同时积分得：e e x
x y c y x x c y c y xdx dy y
2
2
,11,0,ln ,21
2
=====+==
,0)1(.22
=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得：
。
故特解是
时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x
y c y x y x c y c y x y dy dx x y
++=====++=+=+≠=+-
1ln 11
,11,001ln 1
,11ln 0,1112
3
y
xy dx dy x y 32
1++
=
解：原式可化为：
x x y x x y
x y
x y
y
x
y
c c c c x dx x dy y y
x y
dx
dy 2
2
2
2
22
2
2
3
22
3
2
)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2
1
1
1,0111=++
=++
≠++-=+
+=+≠+
?
+
=+）
故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然
.0;0;ln ,ln ,ln ln 0
110000
)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0
ln 0
)ln (ln :931:8.
cos ln sin ln 0
7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1
sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2
11
11,11,,,0
)()(:5332
2
22
2
22
2
22
2
c dx dy dx dy x
y
cy u
d u
u dx x x y u dx x
y
dy x y ydx dy y x x c dy y
y y
y
dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c
x x x
y
c
x x u dx
x x du x
dx
du dx
du
x u dx dy ux y u x y y dx dy x
c x arctgu dx
x du u u u dx du x u dx
du x
u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e
e x y u
u x
y x u u x y
x
y
y x x
x
+===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++
=++-++=++===+-==-++-+--
两边积分解：变量分离：。
代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得
两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。
另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：
解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：
c
x y x arctg c
x arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dx
dy c
dx dy dx
dy t
t y x e e e e e x y
x
y
y
x +=++==++=+==+=+===+-)(,1
11
1
1,.112
22)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，
12．2)
(1y x dx dy += 解
c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1
11122
2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则
令
变量分离
，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X Y
X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'
22,31,313
1
,31;012,0121
212.
132
-+-=
=--=+=-==
-==+-=--+---=
.
7)5(721
772
17)7(,71,1,52
5,
14)5(22
c x y x c
x t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=
+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则
解：令
15．1
8)14()1(22+++++=xy y x dx dy
原方程的解。
，是
，两边积分得分离变量，
，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx
dy
+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38
3232(9
414
9
4141412
)14(1818161222222 16．2
252
622y
x xy x y dx dy +-= 解：，则原方程化为，，令u y x
xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32
322332322232]2)[(32(2)( 126326322
2
22+-=+-=x
u x u x
xu x u dx du ，这是齐次方程，令
c
x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d
z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735
372
233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，，，，所以，则
17. y
y y x x xy x dx dy -+++=3
232332 解：原方程化为1
231
32;;;;;)123()132(2
2
22222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(1
231
32;;;;;;;;;;;;,22-+++===u v u v dv du v x u y 则
方程组，
，，）；令，的解为（111101230
132+=-=-?
??=-+=++u Y v Z u v u v 则有???
???
?
++==+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（ 令
)2.( (232223322)
，，，，，所以，，则有t
t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++== 当
是原方程的解
或的解。得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当
c x y x y dz z dt t
t t 522222
2)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得 另外
c x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为，包含在其通解中，故，或