-转动惯量及其计算方法
渤海大学本科毕业论文（设计）
转动惯量及其求法
The Computing Method of Moment of Inertia
学院（系）：数理学院
专业：物理师范
学号：12022004
学生姓名：郝政超
入学年度：2012
指导教师：王春艳
完成日期：2016年3月21日
渤海大学
Bohai University
摘要
随着科学与技术的飞速发展，刚体的转动惯量作为一个十分重要的参数，使他在很多领域里受到了重视，尤其是工业领域。近几年来，伴随着高科技的飞速发展，关于刚体转动惯量的研讨，尤其是对于那些质地不均匀和形状不规则刚体的转动惯量的深入探究，已经全然对将来的军事、航空、以及精密仪器的制作等行业产生了极为深远的影响。本篇文章将在这些知识基础上，遵循着循序渐进的原则，对常见刚体的转动惯量以及不同常见规则的刚体的转动惯量的计算进行深入的研究。
本文主要分为四个部分。首先本文系统介绍了刚体以及刚体的动量矩，转动动能和转动惯量的基础知识。其次介绍了刚体的平行轴定理和垂直轴定理，并且给出了转动惯量常见的的计算方法。接着，本文介绍了几类常见的刚体的转动惯量，其中包括圆环、圆柱体、圆盘、杆、空心圆柱体以及六面体的转动惯量。最后，通过具体实例给出了不规则刚体的转动惯量的测量方法。
【关键词】力矩；角加速度；摩擦力
The compute of moment of inertia
Abstract
Delve into the irregular inhomogeneous along with the science and technology rapid development, the rigid body rotational inertia is a very important parameter, make him in many fields by the attention, especially industrial fields. In recent years, along with the high-tech rapid development of rigid body rotation inertia of research, especially for those texture and shape of rigid body inertia has been completely to the future military, aviation, and precision instrument manufacturing industry produced extremely far-reaching impact. This article will be in the knowledge base, follow the gradual principle of common rigid body inertia and common rules of rigid body rotation The calculation of inertia is deeply studied.
This paper is divided into four parts. First of all, this paper systematically introduced the rigid body and the angular momentum of a rigid body, rotational kinetic energy and rotational inertia based knowledge. Followed by the introduction of the parallel axis theorem of rigid body and vertical axis theorem, and gives the rotation inertia common calculation method. Then, this paper introduces the several common types of rigid body's moment of inertia, which include ring, cylinder, disc, rod, hollow cylinder and hexahedron of the moment of inertia. Finally, through specific examples are given irregular rigid body rotational inertia measurement method.
Key Words：Moment；Angular Acceleration；Friction
目录
摘要 ................................................................................................................................. Abstract ................................................................................................................................. I 引言 . 0
1刚体的转动惯量 (9)
1.1转动惯量的定义与物理意义 (1)
1.2刚体的动量矩 (1)
1.3刚体的转动动能与转动惯量 (3)
2 转动惯量的相关定理及计算方法 (8)
2.1刚体的平行轴定理 (7)
2.2刚体的垂直轴定理与伸展定则 (7)
2.3转动惯量的计算方法 (7)
3 常见刚体的转动惯量 (9)
3.1圆环的转动惯量 (9)
3.2圆柱体的转动惯量 (10)
3.3圆盘的转动惯量 (11)
3.4杆的转动惯量 (12)
3.5空心圆柱及六面体的转动惯量 (12)
4不规则刚体转动惯量的测量 (14)
4.1实验方法测量 (14)
4.2对刚体的转动惯量的误差分析 (15)
参考文献 (18)
引言
在定轴转动过程中刚体的转动惯量是的一个十分重要的概念,在表征刚体的转动定理中刚体的转动惯量是一个不可或缺的概念。物体的大小以及形状保持不变的物体叫做刚体。刚体的转动惯量是表示刚体在转动时惯量的量度，是反应刚体的特性的物理量。刚体的转动惯量会受到刚体的形状、大小、质量、质量的分布以及转动轴的位置的影响。刚体的转动惯量对于许多设计工作、研究都具有极其重要的实际意义。
关于刚体转动惯量的研究与讨论，绝大多数科学家主要集中在对刚体转动惯量的计算方法上。参看了许多关于转动惯量的文献，对于刚体转动惯量的计算主要有下列几种常见的方法，它们分别是：质量投影法[1]、积分法、垂直轴定理、平行轴定理、组合法[2]、标度变换法[3]、量纲分析法[4]等等。本篇文章在不同刚体的转动轴位置相同、质量相同的情况下，从形状方面入手。首先对那些常见的、质地均匀刚体的转动惯量进行计算与分析，随后利用它们在形状方面之间的潜在联系，找出一些具有代表性的固定模型，来代表所有常见的、质地均匀的刚体。然后通过对这些固定模型的转动惯量的变换，就可以十分容易的得到关于质地均匀的刚体的转动惯量。这样会让我们在计算常见质地均匀的刚体转动惯量的过程中，只需要牢牢记住上述常见刚体的固定模型的转动惯量的表达式，然后就可以在刚体转动惯量的计算过程中十分容易地推导出与其他相关的刚体的转动惯量，可以大量减少在计算过程中的工作量，从而使刚体转动惯量的计算更加简单和方便。
1 刚体的转动惯量
1.1 转动惯量的定义与物理意义
刚体是一种特殊的质点系，由一系列质点系组成，任何情况下形状与大小都不改变的物体。即任意两个质点之间的距离保持恒定的质点系，是一种理想模型。
刚体的转动惯量就是刚体围绕一个确定的转动轴转动的惯性度量，其数值可以表示为：
2i i I m r =∑
其中i m 表示刚体中某一个质点的质量，i r 则代表该质点到转动轴的垂直距离。 由刚体的定义式可知转动惯量与以下三个元素有关：
（1） 质量 （2） 质量的分布 （3） 转轴位置
对于刚体转动惯量的物理意义,我们可以从平动动能和转动动能的数学表达式的对比中看出,转动惯量I 就相当于质量m ,与此类似的对应关系还有很多，例如:动量和动量矩m 的对应；动量矩守恒定律∑w I =恒量与动量守恒定律∑w m =恒量的对应,我们可以从数学表达式中的位置与对应关系的比较中看出,I 与m 具有相同的物理意义,由此我们可以得出刚体的转动惯量是表示刚体在转动过程中惯性大小的量度。虽然两者的物理意义有很多相似之处,但是也存在很多不一样的地方。
1.2刚体的动量矩
在质点组动力学与质点动力学的学习过程中，我们经常要用到动量矩定理，所以
我们将使用大量的篇幅，来研究刚体的转动问题。
现在我们先来研究一下，在转动的问题中，动量矩的表达式是什么样的？
图1刚体的定点转动
如图1所示，假设在某一时刻，刚体以恒定角速度ω绕定点转动。在刚体里面任取一个质点称之为i P ，这个质点的质量为i m ，速度为i v （图1中没有画出）。如
果i P 对定点O 的位矢是i
r ，那么此质点对定点O 的动量矩则为
i i i v r m ?
而对于整个刚体来说，对于定点O 的动量矩是刚体中所有的质点对于同一点动量矩的矢量和，即：
∑=?=n
i i i i v r J 1
)(m （1.1）
因为有
i i r ωv ?=
所以
])([1
∑=??=n
i i i i r ωr J m
即
])([1
2∑=?-=n
i i i i i r ωr r ωJ m （1.2）
由（1.2）我们可以得出，动量矩J 与角速度ω一般不在同一条直线上；然而在平动过程中，线速度v 与动量p 总是在同一直线上的；所以在绕定点转动的过程中，动量矩J 才和角速度ω共线的唯一条件是它们均在惯量主轴上。
现在我们先来求出在通常情况下，动量矩J 的分量表达式。我们把角速度矢量ω与动量矩矢量J 都分为沿坐标轴x ，y ，z 方向上的分量，那么由于：
k j i r i i i i z y x ++=
k j i ωz y x ωωω++=
故得出J 在x 方向的分量x
J 为：
i
i n
i i z i i n i i y i i n i i x i z i y i x i i i i x n
i i x z x m y x m z y m z y x x z y x m J ∑∑∑∑====--+=++-++=1
1
221
2221
)()]
()([ωωωωωωω
（1.3）
同理可得：
???
??
??
++--=-++-=∑∑∑∑∑∑======)
()(22111122
11i i n
i i z i i n i i y i i n i i x z i i n
i i z i
i
n i i y i i n i i x y y z m y z m x z m J z y m x z m x y m J ωωωωωω （1.4）
)
()()
(221221221i i n
i i i i n
i i i i n
i i y x m I x z m I z y m I +=+=+=∑∑∑===zz yy xx （1.5） 以及
i
i n
i i yx xy i i n
i i xz zx i
i n
i i zy yz y x m I I x z m I I z y m I I ∑∑∑=========111 （1.6） 其中xx I ，yy I 和zz I 分别叫做刚体对x 轴、y 轴和z 轴的轴转动惯量，而yz I 、zx I 和xy
I 因为式中包含两个坐标的相乘项，所以称它们为惯量积。
把（1.5）式与（1.6）式中带入到（1.3）式和（1.4）两式可以得出：
z
zz y zy x zx z z
yz y yy x xy y z xz y xy x xx x ωI ωI ωI J ωI ωI ωI J ωI ωI ωI J +--=-+-=--=
（1.7）
1.3刚体的转动动能与转动惯量
再来求刚体对定点O 的转动动能，由图1可知：
)()(21
21)(21
)(21212111
112
k j i k j i J ωωωz y x z y x n
i i i i n
i i i i n
i i i i n
i i i J J J r v m r v m v v m r m T ++?++=?=??=
??=?==∑∑∑∑====ωωω
把式（1.7）中的x J ，y J 和z
J 的表达式代入到上式中，即可得到：
)222(2
12
22y x xy x z zx z y yz z zz y yy x xx ωωI ωωI ωωI ωI ωI ωI T ---++=
（1.8） 刚体的转动动能也可以写成：
212212221
2
121sin 21)
()(21ωρωθωI m r m r r m T n
i i i n
i i i i i n
i i i ===???=∑∑∑===ωω
（1.9）
上式中i θ代表角速度矢量ω与i P 的位矢i r 之间的夹角，i ρ表示从i P 到转动瞬轴的垂
直距离（见图1），而I 则表示刚体绕瞬时转动轴的转动惯量。
我们也可以这样认为：刚体在转动过程中与集中在某一点上的一个质点的质量
相等效，用k 来表示这个质点与转动轴线之间的距离，这个等效质点对这一转动轴线的转动惯量即为刚体对于这条条轴线的转动惯量，可以表示为：
2mk I = （1.10）
或者
m
I
k =
（1.11）
上式中的k 表示刚体对该条轴线的回转半径。回转半径是一个等效量，在计算过程中常常用来简化问题，所以质量m 就可以约去了。
刚体的转动惯量还取决于转动轴的位置。对于同一刚体来说，绕不同的转动轴
转动，它们的转动惯量大小也不相同。但是，如果两条转动轴是相互平行的，并且其中一条转动轴线通过刚体的质心，那么另外一条转动轴线的转动惯量，就等于通过其质心转动轴的转动惯量再加上两平行轴之间的垂直距离的平方与物体质量的乘积，即为
2C md I I += （1.12）
上式中I 表示平行于通过质心轴线的转动惯量，C I 表示与通过质心相平行的转动轴线的转动惯量，d 代表两条平行转动轴之间的垂直距离。这个表达式就叫做平行轴定理。
2转动惯量的相关定理及计算方法 2.1 刚体的平行轴定理
在刚体转动时，刚体上的各个质点作曲线运动，因此从刚体的惯性与惯性运动的含义以及动力学来看，可以定义刚体的动量和动量矩均守恒的运动，称为刚体的惯性运动，即：
mv L I ω===常量 , 常量 （2.1）
为了更准确地定义刚体的惯性运动，还需要满足作用在刚体上的合作用力
与合作用力矩均为零，即
0=
=∑
∑M
,
F
?
?
（2.2）由（2.1）（2.2）得出的这一刚体的惯性运动，也是质点惯性运动的推广。根据(2.1)(2.2)式其中的一个就可以判断出一个刚体是否作惯性运动。
如图2所示，我们设
c
Z轴为通过刚体质心的轴线，对于这个轴线来说刚体的转
动惯量为
c
I。假如有另外一条轴线Z与通过质心的轴线
c
Z相互平行，利用平行轴定理可以得出相对于轴线Z的刚体的转动惯量为：
2
c
I I md
=+（2.3）式中m表示刚体的质量，d表示两平行轴之间的距离，这就是平行轴定理，这一定理有助于计算转动惯量的大小，对于研究刚体的滚动有极大的帮助。证明：在图（2）中，Cz轴和Oz轴与纸面垂直，带撇坐标系代表质心坐标系刚体对Oz 轴的转动惯量可表示为：
∑
∑
∑
∑
∑
∑
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
i
c
c
i
i
c
i
i
c
i
i
i
c
i
c
i
i
i
i
i
m
y
x
y
m
y
x
m
x
y
x
m
y
y
x
x
m
y
x
m
I
)
(
'
2
'
2
)'
'
(
]
)
'
(
)
'
[(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
（2.4）
图2刚体绕定轴转动
m表示刚体的总质量。根据质心坐标式，则有
i i c
m x mx
''
=
∑，i i c
m y my
''
=
∑，c x'与c y'分
别表示质心坐标中的坐标，因为这一坐标的原点正在质心，因此0
c c
x y
''
==，则上式中两项消掉，22
()
i i i
m x y
''
+
∑就表示对于Cz'轴刚体的转动惯量c I，且222
c c
x+y=d，可得：
2
12
i i
I m r
+
=∑
22
12
i i i i
m r m r
=+
∑∑
12
I I
=+
由平行轴定理可知，刚体不同转动轴的转动惯量，越靠近质心越小，且质心所在位置的转动惯量最小。
2.2 刚体的垂直轴定理与伸展定则
在物理学中，垂直轴定理[5]（亦称之为“正交轴定理”）可以计算薄片的转动惯量。
设刚体为厚度无穷小的薄片，建立直角坐标系Oxyz ，z 轴与薄片垂直，Oxy 坐标面在薄片平面内，则刚体对z 轴的转动惯量为：
∑=2i i r m I
22i i i i m x m y =+∑∑ （2.5） 等号右方的两部分顺次表示刚体对y 轴和x 轴的转动惯量，即为：
z x y
I I I =+ （2.6）
因此，厚度无穷小的薄片对与其垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄片对薄片平面内另外两直角坐标轴的转动惯量之和，这就是垂直轴定理。
在物理学中，伸展定则表述如下：如果把一个物体上的任意一个点，沿某一直轴平行任意大小的位移，那么刚体对这一转轴的转动惯量保持不变。
我们可以想像，把一个物体平行于直轴向两端拉伸。在物体向外伸展的同时，保证物体上任意一个点离直轴的垂直距离保持不变，那么伸展定则表明这个物体对这一转轴的转动惯量保持不变。
垂直轴定理、平行轴定理和伸展定则，这些定理都可以用来计算出很多不同形状的刚体的转动惯量。
2.3转动惯量的计算方法
根据公式∑=）（2Δi i r m I ，我们可以看出，刚体的转动惯量的求法很简单。并且，如果刚体上的各个质点是连续分布的，那么它的转动惯量就可以使用积分的形式来进行计算，即：
（2.7）
一般的求解转动惯量的步骤如下： （1）在刚体上截取一个质量元：m d ； （2）计算m d 与转动轴的距离r ；
（3）求出其积分。
对于那些形状不规则的刚体来说，它们的转动惯量的求法，我们可以尽量避免大量不易测量的物理量，转而去测量那些相对来说容易测量的物理量。有以下几种方法来供参考：
（1）动力法：用一个大小和方向均固定的力来给刚体提供力矩，通过αJ M =来计算。
2I r dm
=?
（2）三线摆法：根据能量守恒和刚体的转动定律来计算。
（3）复摆法：在重力的作用下，绕水平转轴且在竖直面内小角度摆动时适用。 （4）扭摆法：气垫摆。
已知转动惯量的代数可加性，那么通过转动惯量的代数可加性来计算。例如物体由1和2两个部分组成，用I 来表示1加2对于z 轴的转动惯量，用1I 来表示1部分对于z 轴的转动惯量，用2I 来表示2部分对于z 轴的转动惯量。就可以得出物体的转动惯量：
212
i i I m r +=∑
221
2
i i i i m r m r =+∑∑
12I I =+ （2.8）
如果I 和1I 都很容易计算，那么就可以利用上式（2.8）计算出2I ，而不必对2区域再作积分，从而避免复杂的计算过程。
惯量张量是运用理论力学的知识，已经知道物体在通常情况下惯量张量可表示为：
xx xy xz yx
yy yz zx
zy
zz I I I I I I I I I ??
-- ?
-- ? ?---??
（2.9） 并且将它称做对O 点的惯量张量。这个惯量矩阵里的每一个元素就称作惯量系数，也可以称作惯量张量。（2.9）式中各分量如下：
∑∑∑===+=+=+=n
i i i i zz n
i i i i yy n
i i i i xx y x m I x z m I z y m I 1
22122122)
()()
( （2.10）
∑∑∑=========n
i i
i i yx xy n
i i
i i xz zx n
i i
i i zy yz y x m I I x z m I I z y m I I 1
11 （2.11）
对于形状规则并且质量分布均匀的刚体来说，我们可将上面两个式改写为积分的形式：
dm y z I dm x z I dm
x y I zz yy xx ???+=+=+=)()()(222222 （2.12） ???======xydm
I I zxdm I I yzdm
I I yx xy xz zx zy yz （2.13） 所以xx I ，yy I 与zz I 就可以称为刚体分别对于转动轴x 、y 、z 轴的转动惯量，而
yz I ，zx I ，xy I 则因为包含有两个坐标的乘积项，所以称之为惯量积。
3 常见刚体的转动惯量
3.1圆环的转动惯量
将圆环（图3）分成若干等份质量为m d 的质量元，根据转动惯量的定义式
?=dm
r I 2
可得
22mR I =
（3.1）
图3圆环
在（3.1）式中我们已经求出了圆环绕中心轴的转动惯量，根据垂直轴定理:y x z I I I +=，对于圆环有y x I I =，所以圆环绕直径轴的转动惯量（图3b ）为 ：
22mR I =
（a ）
(b)
把圆盘分为许多半径为x ，宽度为r d 的薄圆环（图4a ），用σ来表示面密度，用m d 表示薄圆环的质量为：xdx dm πσ2?=，薄圆环对轴的转动惯量表示为:
dx x dm r dI 322πσ==
对上式积分可得:
2230mR dx x I R
==?πσ （3.
2）
图4圆盘
在上式中已经求出圆盘绕中心轴的转动惯量，根据垂直轴定理可亦推导出圆盘绕直径轴的转动惯量（图4b ）:
42mR I = （3.3）
3.2圆柱体的转动惯量
我们已经计算出圆盘绕中心轴的转动惯量为：2mR I =，因为对中心轴的转动惯量跟刚体的厚度L 无关，并且厚度归于质量[6]，所以以圆柱体的中心轴线为刚体的转动轴的转动惯量（图5a ）可表示为：
2mR I = （3.4）
图5圆柱体
(a)
（b ） （a ）
如图5b ，将圆柱体分成厚度为x d 的若干等份的薄圆盘，将圆柱体的密度设为ρ，那么薄圆盘的质量可表示为：
dx R dm 2πρ=。
我们知道薄圆盘绕直径轴的转动惯量为42mR I =，根据平行轴定理2
md I I c +=我们可以得出：
dm
x dm R dI 224+=
即：
上式积分可得
12
4)4(222
2
224
mL mR dx
x R R
I L L +=+=
?-πρρπ
3.3圆盘的转动惯量
如图6a ，同理将环形圆盘分为半径为r ，宽度为x d 的若干等份的圆环，并用σ来表示环形圆盘的密度，那么
dr r dm σπ2=
由定义式： dr r dm r dI 322πσ== 上式积分可得
?+==2
1
2)(22
2213R R R R m dr r I σπ （3.6）
图6环形圆盘 在上式中我们已经求出环形圆盘绕中心轴的转动惯量为：2)(2
2211R R m I +=，根据垂直轴定理我么可以求出环形圆盘绕直径轴转动惯量（图6b ）为：
4)(22
2211R R m I I +== （3.7）
dx x R dx R dI 2244πρρπ+=（3
（a ）
（b ）
3.4杆的转动惯量
如图7，在细棒上取长度元为x d ，x d 表示距离转轴z 的距离为x ，那么质量元
dx dm λ=（L m =λ表示线密度），由定义?=dm r I 2可得[7]：
?=
=2
2212
1
2L mL dx r I λ
（3.8）
3.5我们已经知道决定刚体转动惯量的三个要素，分别是刚体的形状、质量、和转动轴位置。所以我们让刚体的转轴的位置与质量相同的情况下，从形状入手。那么以上计算的这些常见的质地均匀的刚体的质量，我们均将它们设为m ，转动轴则可以分为两大类：一类是中心轴线，另一类是中心直径轴线。
通过仔细的分析和对比，我们可以发现这些刚体可通过空心圆柱体绕下面两
类转动轴（如图8a 、b ），变换而得到。
图8空心圆柱体
空心圆柱体围绕中心轴线转动（见图8（a ））时的转动惯量可表示为
2)(2
221R R m I += [8]
（3.9）
经过参量的变换，由上式可以推导出下面几种常见的质地均匀的刚体围绕中心轴线的转动惯量的表达式：
(1) 若21R R =时，可知圆环（见图3a ）的转动惯量可表示为：2mR I =
(2) 若L =0，01=R 时，可得圆盘（见图4a ）的转动惯量可表示为：22mR I =
(3) 若01=R 时，可得实心圆柱体（见图3b ）的转动惯量为：22mR I =
(4) 若L =0时，可得环形圆盘（见图6a ）的转动惯量为：2)(2
221R R m I +=
(5)如果空心圆柱体的转动轴为中心直径时（见图8b ），它的转动惯量可表示为：
图7 杆
(a)
(b)
124)(22212mL R R m I ++=
（3.10）
通过参量的变换，我们可以从上式中推导出以下几种常见的质地均匀的刚体围绕中心直径轴时的转动惯量：
⑴当0=L ，21R R =时，我们可以求出圆环（图3b ）的转动惯量为：2mR I = ⑵当0=L L =0，01=R 时，我们可以求出圆盘（图4b ）的转动惯量可表示为：42mR I = ⑶当01=R 时，我们可以求出实心圆柱体（图5b ）的转动惯量可表示为：12422mL mR I +=
⑷当0=L 时，我们可以求出环形圆盘（图6b ）的转动惯量可以表示为：
4)(2
221R R m I +=
⑸当021==R R 时，我们可以求出棒（图7）的转动惯量为：122mL I =
接下来我们从质地均匀的六面体（图9）的转动惯量来入手[9]，推导出其它几种常见的刚体的转动惯量。运用垂直轴定理与质量投影法我们可以得出质地均匀的六
面体的转动惯量为： ()
122
221L L m I += （3.11）
将质地均匀的六面体的进行变换，我们可以得出以下几种常见刚体，当它们绕
转动轴z 转动时的转动惯量为：
⑴当L L L L ===321时，我们可以得出正方体（图10）绕转动轴z
转动时的
转动惯量为：
⑵当01=
L 时，我们能够得到一个长度为2L ，宽度为3L 的长方形（图11a ）绕转
动轴z 转动时的转动惯量为：122
2mL I =
图9六面体
图11长方形
⑶当3L =0时，我们可以得到一个长度为1L ，宽度为2L 的长方形（图11b ）绕转
动轴z 轴转动时的转动惯量为：12)(2
221L L m I +=
4不规则刚体转动惯量的测量
4.1 实验方法测量
对于那些不规则的刚体来说，我们只能通过实验来测量它们的转动惯量。基本方法与实验装置如图13：
图13不规则刚体转动惯量测量仪器
图13即为测量刚体转动惯量的实验装置，承物台上放置着质量为m 的刚体，再用砝码和细线连接起来。（测量出砝码所下降的距离h ，时间t ，记录下来）滑轮的质量与滑动摩擦力年均可以忽略不计。 实验装置的原理：
此装置中有两种类型的运动，一种是转动，另一种是匀变速机械运动，我们可以运用这两种运动的规律，来计算形状不规则的刚体的转动惯量的大小。
如果用0I 来代表形状不规则的刚体的转动惯量、而圆盘的转动惯量为I '： 所以刚体总的转动惯量就可以表示为：
I I I '+=0 （4.1） 转动部分的运动规律则可以表示为：
βI Fr M ==
（4.2）
1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) 8 2 MD J = 对于钢材：341032-??= g L rD J π ) (1078.0264s cm kgf L D ???- M-圆柱体质量(kg)； D-圆柱体直径(cm)； L-圆柱体长度或厚度(cm)； r-材料比重(gf /cm 3)。 2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量： 2i Js J = (kgf·cm·s 2) J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； i-降速比，1 2 z z i = 3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量 g w 22? ? ? ???=n v J π g w 2s 2 ? ? ? ??=π (kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min)； n-丝杠转速(r/min)； w-工作台重量(kgf)； g-重力加速度，g = 980cm/s 2； s-丝杠螺距(cm) 2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量： ()) s cm (kgf 2g w 1 22 22 1?? ??? ???????? ??+++=πs J J i J J S t J 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2)； J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； s-丝杠螺距，(cm)； w-工件及工作台重量(kfg). 5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 2 g w R J = (kgf·cm·s 2) R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)
6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量 ???? ??++=2221g w 1R J i J J t J 1，J 2-分别为Ⅰ轴， Ⅱ轴上齿轮的转动惯量(kgf·cm·s 2)； R-齿轮z 分度圆半径(cm)； w-工件及工作台重量(kgf)。 马达力矩计算 (1) 快速空载时所需力矩： 0f amax M M M M ++= (2) 最大切削负载时所需力矩： t 0f t a M M M M M +++= (3) 快速进给时所需力矩： 0f M M M += 式中M amax —空载启动时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m)； M f —折算到马达轴上的摩擦力矩(kgf·m)； M 0—由于丝杠预紧引起的折算到马达轴上的附加摩擦力矩(kgf·m)； M at —切削时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m)； M t —折算到马达轴上的切削负载力矩(kgf·m)。 在采用滚动丝杠螺母传动时，M a 、M f 、M 0、M t 的计算公式如下： (4) 加速力矩： 2a 106.9M -?= T n J r (kgf·m) s T 17 1= J r —折算到马达轴上的总惯量； T —系统时间常数(s)； n —马达转速( r/min )； 当 n = n max 时，计算M amax n = n t 时，计算M at n t —切削时的转速( r / min )
转动惯量计算公式 1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) 8 2 MD J = 对于钢材：341032-??= g L rD J π ) (1078.0264s cm kgf L D ???- M-圆柱体质量(kg)； D-圆柱体直径(cm)； L-圆柱体长度或厚度(cm)； r-材料比重(gf /cm 3)。 2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量： 2i Js J = (kgf·cm·s 2) J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； i-降速比，1 2 z z i = 3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量 g w 22? ?? ???=n v J π g w 2s 2 ? ? ? ??=π (kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min)； n-丝杠转速(r/min)； w-工作台重量(kgf)； g-重力加速度，g = 980cm/s 2； s-丝杠螺距(cm) 2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量： ()) s cm (kgf 2g w 122 221??? ??? ??????? ??+++=πs J J i J J S t J 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2)； J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； s-丝杠螺距，(cm)； w-工件及工作台重量(kfg). 5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 2 g w R J = (kgf·cm·s 2) R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)
6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量 ???? ??++=2221g w 1R J i J J t J 1，J 2-分别为Ⅰ轴， Ⅱ轴上齿轮的转动惯量(kgf·cm·s 2)； R-齿轮z 分度圆半径(cm)； w-工件及工作台重量(kgf)。 马达力矩计算 (1) 快速空载时所需力矩： 0f amax M M M M ++= (2) 最大切削负载时所需力矩： t 0f t a M M M M M +++= (3) 快速进给时所需力矩： 0f M M M += 式中M amax —空载启动时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m)； M f —折算到马达轴上的摩擦力矩(kgf·m)； M 0—由于丝杠预紧引起的折算到马达轴上的附加摩擦力矩(kgf·m)； M at —切削时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m)； M t —折算到马达轴上的切削负载力矩(kgf·m)。 在采用滚动丝杠螺母传动时，M a 、M f 、M 0、M t 的计算公式如下： (4) 加速力矩： 2a 106.9M -?= T n J r (kgf·m) s T 17 1= J r —折算到马达轴上的总惯量； T —系统时间常数(s)； n —马达转速( r/min )； 当 n = n max 时，计算M amax
1 2 1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) 3 4 5 8 2 MD J = 6 对于钢材：341032-??= g L rD J π 7 ) (1078.0264s cm kgf L D ???-8 9 M-圆柱体质量(kg)； D-圆柱体直径(cm)； 11 L-圆柱体长度或厚度(cm)； 12 r-材料比重(gf /cm 3)。 13 14 2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量： 15 2i Js J = (kgf·c 16 17 J s –丝杠转动惯量18 (kgf·c m·s 2)； 19 i-降速比，1 2 z z i = 21 22 g w 22 ? ?? ???=n v J π 23 g w 2s 2 ? ?? ??=π (kgf·c m·s 2) 24 25 v -工作台移动速度(cm/min)； 26 n-丝杠转速(r/min)； 27 w-工作台重量(kgf)； 28
g-重力加速度，g = 980cm/s 2； 29 s-丝杠螺距(cm) 30 31 2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量： 32 ()) s cm (kgf 2g w 1 2222 1????????????? ??+++=πs J J i J J S t 33 34 35 36 37 38 39 40 J 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； 41 J 2-齿轮z 2的转动惯量42 (kgf ·cm · s 2)； 43 J s -丝杠转动惯量(kgf ·cm ·s 2)； 44 s-丝杠螺距，(cm)； 45 w-工件及工作台重量(kfg). 46 47 5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 48 2 g w R J = (kgf ·c 49 50 R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf) 53 54 55 56 57 58 6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量 59 ??? ? ??++ =2221g w 1R J i J J t 60 61 62
实验三刚体转动惯量的测定 转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它与刚体的质量、形状大小和转轴的位置有关。形状简单的刚体，可以通过数学计算求得其绕定轴的转动惯量；而形状复杂的刚体的转动惯量，则大都采用实验方法测定。下面介绍一种用刚体转动实验仪测定刚体的转动惯量的方法。 实验目的： 1、理解并掌握根据转动定律测转动惯量的方法； 2、熟悉电子毫秒计的使用。 实验仪器： 刚体转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计。 仪器描述： 刚体转动惯量实验仪如图一，转动体系由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒等（含小滑轮）组成。遮光棒随体系转动，依次通过光电门，每π弧度（半圈）遮光电门一次的光以计数、计时。塔轮上有五个不同半径（r）的绕线轮。砝码钩上可以放置不同数量的砝码，以获得不同的外力矩。 实验原理： 空实验台（仅有承物台）对于中垂轴OO’的转动惯量用J o表示，加上试样（被测物体）后的总转动惯量用J表示，则试样的转动惯量J1： J1 = J –J o (1) 由刚体的转动定律可知：
T r – M r = J α (2) 其中M r 为摩擦力矩。 而 T = m(g -r α) (3) 其中 m —— 砝码质量 g —— 重力加速度 α —— 角加速度 T —— 张力 1． 测量承物台的转动惯量J o 未加试件，未加外力（m=0 , T=0） 令其转动后，在M r 的作用下，体系将作匀减速转动，α=α1，有 -M r1 = J o α1 (4) 加外力后，令α =α2 m(g –r α2)r –M r1 = J o α2 (5) （4）（5）式联立得 J o = 21 2212mr mgr ααααα--- (6) 测出α1 , α2，由（6）式即可得J o 。 2． 测量承物台放上试样后的总转动惯量J ，原理与1.相似。加试样后，有 -M r2=J α3 (7) m(g –r α4)r –Mr 2= J α4 (8) ∴ J = 23 4434mr mgr ααααα--- (9) 注意：α1 , α3值实为负，因此（6）、（9）式中的分母实为相加。 3． 测量的原理 设转动体系的初角速度为ωo ，t = 0 时θ= 0 ∵ θ=ωo t + 2 2 1t α (10) 测得与θ1 , θ2相应的时间t 1 , t 2 由 θ1=ωo t 1 + 2121t α (11) θ2=ωo t 2 + 2 22 1t α (12) 得 2 2112 22112) (2t t t t t t --= θθα (13) ∵ t = 0时，计时次数k=1（θ=л时，k = 2） ∴ []2 2 11222112)1()1(2t t t t t k t k ----= πα (14) k 的取值不局限于固定的k 1 , k 2两个，一般取k =1 , 2 , 3 , …,30,…
常见几何体]转动惯量公式表
对于细杆 当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。
对于圆柱体 当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。 对于细圆环 当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2； 当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2； R为其半径 对于薄圆盘 当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2； 当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2； R为其半径 对于空心圆柱 当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]； R1和R2分别为其内外半径。 对于球壳 当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2； 当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2； R为球壳半径。 对于实心球体 当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2； 当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2； R为球体半径 对于立方体 当回转轴为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2； 当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2； 当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2； L为立方体边长。 只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。 角加速度与合外力矩的关系：
角加速度与合外力矩 式中M为合外力矩，β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。 角动量： 角动量 刚体的定轴转动动能： 转动动能 注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。 只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。 转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。转动惯量的表达式为I=∑ mi*ri^2，若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成I=∫r^2dm=∫r^2ρdV(式中mi表示刚体的某个质元的质量，ri表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。)转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。 平行轴定理 平行轴定理：设刚体质量为m，绕通过质心转轴的转动惯量为Ic，将此轴朝任何方向平行移动一个距离d，则绕新轴的转动惯量I为： I=Ic+md^2 这个定理称为平行轴定理。 一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加
刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J=∑ mi*ri^2， 式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。 ；求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。 描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。 还有垂直轴定理：垂直轴定理 一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。 表达式:Iz=Ix+Iy 刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。 转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。 刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。 补充对转动惯量的详细解释及其物理意义： 先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。 E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方） 把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r) 得到E=(1/2)m(wr)^2 由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替, K=mr^2 得到E=(1/2)Kw^2 K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。 这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。 为什么变换一下公式就可以从能量角度分析转动问题呢？ 1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究对象的运动能量 2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析转动物体的问题，是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。 3、E=(1/2)mv^2除了不包含转动信息，而且还不包含体现局部运动的信息，因为里面的速度v只代表那个物体的质 心运动情况。 4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析，是因为包含了一个物体的所有转动信息，因为转动惯量K=mr^2本身就是一种积 分得到的数，更细一些讲就是综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果K=∑ mr^2 （这里的K和上楼的J一样） 所以，就是因为发现了转动惯量，从能量的角度分析转动问题，就有了价值。 若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成K=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdV 其中dV表示dm的体积元，σ表示该处的密度，r表示该体积元到转轴的距离。 补充转动惯量的计算公式 转动惯量和质量一样，是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性，用字母J表示。 对于杆： 当回转轴过杆的中点并垂直于轴时；J=mL^2/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于轴时：J=mL^2/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。 对与圆柱体： 当回转轴是圆柱体轴线时；J=mr^2/2 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。 转动惯量定理：M=Jβ
nema标准中的计算是如下（转化公式）：J=A×0.055613×（Pn^0.95）÷（n/1000）^2.4-0.004474×（Pn^1.5）÷（n/1000）^1.8 A小于等于1800rpm时取24，A大于1800rpm时取27 Pn为功率（kw） n 为同步转速 高压电动机在设计时，要求计算出转子的转动惯量。下面对计算方法做一分析。 转动惯量是物体在转动时惯性的度量，它不仅与物体质量的大小有关，还与物体质量分体情况有关。机械工程师手册给出了一些简单形状物体的转动惯量。 1、圆柱体沿轴线转动惯量： Kg?m2 (1) 式中：M —圆柱体质量Kg R —圆柱体外径半径 m 2、空心圆柱体沿轴线转动惯量： Kg?m2 (2) 式中： M —空心圆柱体质量Kg R —空心圆柱体外半径 m r —空心圆柱体内半径m 3、薄板沿对称线转动惯量： Kg?m2 (3) 式中：M —薄板质量Kg a —薄板垂直于轴线方向的宽度m 物体的转动惯量除了用J表示外，在工程上有的用物体的重量G和物体的回转直径D的平方的乘积GD2来表示，也称为物体的飞轮力矩或惯量矩，单位N?m2或Kg f m2。 物体的飞轮力矩GD2和转动惯量J之间的关系，用下式表示： N?m2 (4) 式中：g —重力加速度 g=9.81 m/s2 将重力单位N化为习惯上的重力单位Kgf ，则（4）变为： Kg f m2 (5) 由以上公式，可以对鼠笼型高压电机的转动惯量进行计算。计算时，将高压电机转子分解为转子铁心（包括导条和端环）、幅铁、转轴三部分，分别算出各部分的Jn，各部分的转动惯量相加即得电机的转动惯量J。如需要，按（5）式换算成飞轮力矩GD2。一般产品样本中要求给定的是转动惯量J，兰州引进的电磁设计程序计算出的是飞轮力矩GD2。 计算程序如下：
转动惯量指导书 力学实验室 2016年3月
转动惯量的测量 【预习思考】 １．转动惯量的定义式是什么？ ２．转动惯量的单位是什么？ ３．转动惯量与质量分布的关系？ ４．了解单摆中摆长与周期的关系？ ５．摆角对周期的影响。 【仪器照片】 【原理简述】 1、转动惯量的定义 构件中各质点或质量单元的质量与其到给定轴线的距离平方乘积的总和，即
∑=2J mr （1） 转动惯量是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。 图1 电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形 设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。 2、转动惯量的公式推导 测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等。本实验采用的是三线摆，是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是无力图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义本实验的目的就是要求学生掌握用三线摆测定物体转动惯量的方法，并验证转动惯量的平行轴定理。 两半径分别为r '和R '（R '>r '）的刚性均匀圆盘，用均匀分布的三条等长l 的无弹性、无质量的细线相连，半径为r '的圆盘在上，作为启动盘，其悬点到盘心的距离为r ；半径为 R '的圆盘在下，作为悬盘，其悬点到盘心的距离为R 。将启动盘固定，则构成一振动系统， 称为三线摆（图2）。当施加力矩使悬盘转过角0θ后，悬盘将绕中心轴O O ''做角简谐振动。 A 振动法测转动惯量——三线摆
-转动惯量及其计算方法
渤海大学本科毕业论文（设计） 转动惯量及其求法 The Computing Method of Moment of Inertia 学院（系）：数理学院 专业：物理师范 学号：12022004 学生姓名：郝政超 入学年度：2012 指导教师：王春艳 完成日期：2016年3月21日 渤海大学 Bohai University
摘要 随着科学与技术的飞速发展，刚体的转动惯量作为一个十分重要的参数，使他在很多领域里受到了重视，尤其是工业领域。近几年来，伴随着高科技的飞速发展，关于刚体转动惯量的研讨，尤其是对于那些质地不均匀和形状不规则刚体的转动惯量的深入探究，已经全然对将来的军事、航空、以及精密仪器的制作等行业产生了极为深远的影响。本篇文章将在这些知识基础上，遵循着循序渐进的原则，对常见刚体的转动惯量以及不同常见规则的刚体的转动惯量的计算进行深入的研究。 本文主要分为四个部分。首先本文系统介绍了刚体以及刚体的动量矩，转动动能和转动惯量的基础知识。其次介绍了刚体的平行轴定理和垂直轴定理，并且给出了转动惯量常见的的计算方法。接着，本文介绍了几类常见的刚体的转动惯量，其中包括圆环、圆柱体、圆盘、杆、空心圆柱体以及六面体的转动惯量。最后，通过具体实例给出了不规则刚体的转动惯量的测量方法。 【关键词】力矩；角加速度；摩擦力
The compute of moment of inertia Abstract Delve into the irregular inhomogeneous along with the science and technology rapid development, the rigid body rotational inertia is a very important parameter, make him in many fields by the attention, especially industrial fields. In recent years, along with the high-tech rapid development of rigid body rotation inertia of research, especially for those texture and shape of rigid body inertia has been completely to the future military, aviation, and precision instrument manufacturing industry produced extremely far-reaching impact. This article will be in the knowledge base, follow the gradual principle of common rigid body inertia and common rules of rigid body rotation The calculation of inertia is deeply studied. This paper is divided into four parts. First of all, this paper systematically introduced the rigid body and the angular momentum of a rigid body, rotational kinetic energy and rotational inertia based knowledge. Followed by the introduction of the parallel axis theorem of rigid body and vertical axis theorem, and gives the rotation inertia common calculation method. Then, this paper introduces the several common types of rigid body's moment of inertia, which include ring, cylinder, disc, rod, hollow cylinder and hexahedron of the moment of inertia. Finally, through specific examples are given irregular rigid body rotational inertia measurement method. Key Words：Moment；Angular Acceleration；Friction
1.圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) D L 2 MD J M 8 rD 4 L3 对于钢材： J10 32 g 0.78 D 4L 106 ( kgf cm s 2 )M- 圆柱体质量 (kg)； D-圆柱体直径 (cm)； L-圆柱体长度或厚度 (cm)；r-材料比重 (gf /cm3)。 2.丝杠折算到马达轴上的转动惯量： Js2 Z2J2 J (kgf cm··s ) i 2 i J1 Z1 3.工作台折算到丝杠上的转动惯量 2 v w J 2n g 2 s w (kgf cm··s2) 2g J S V W J s–丝杠转动惯量 (kgf cm··s2)；i-降速比，i z 2 z1 v-工作台移动速度 (cm/min)；n- 丝杠转速 (r/min) ； w-工作台重量 (kgf) ；g-重力加 速度， g = 980cm/s2；s-丝杠 螺距 (cm) 2.丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量： 1w 2 J t J1 s2 2J2J S g (kgf cm s ) i2 Z2J2W M i J S J1 Z1 5.齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 J w R 2(kgf cm··s2) g R J1- 齿轮 z1及其轴的转动惯量； J2- 齿轮 z2的转动惯量 (kgf cm··s2 )；J s-丝杠转动惯量 (kgf cm··s2 )；s-丝杠螺距， (cm)； w-工件及工作台重量 (kfg). R-齿轮分度圆半径 (cm); w-工件及工作台重量 (kgf)
6.齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量 J t J 11J 2w R 2 J1，J2- 分别为Ⅰ轴，i2g J 2 ⅡW Ⅱ轴上齿轮的转动惯量 (kgf cm··s2 )； R-齿轮 z 分度圆半径 (cm)； M J 1Z w-工件及工作台重量 (kgf)。 ⅠZ 马达力矩计算(1)快速空载时所需力矩： M M amax M f M (2)最大切削负载时所需力矩： M M a t M f M 0M t (3)快速进给时所需力矩： M M f M 0 式中M amax—空载启动时折算到马达轴上的加速力矩(kgf m)·； M f—折算到马达轴上的摩擦力矩 (kgf ·m)； M 0—由于丝杠预紧引起的折算到马达轴上的附加摩擦力矩(kgf m)·； M at—切削时折算到马达轴上的加速力矩(kgf m)·； M t—折算到马达轴上的切削负载力矩(kgf m)·。 在采用滚动丝杠螺母传动时，M a、M f、 M0、M t的计算公式如下： (4)加速力矩： M a J r n102 (kgf m)· 9.6T 1 T s 17 J r—折算到马达轴上的总惯量； T—系统时间常数 (s)； n—马达转速 ( r/min ) ； 当n = n max时，计算 M amax n = n t时，计算 M at n t—切削时的转速 ( r / min )
转动惯量 负载转动惯量计算 转动惯量和质量一样，是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性，用字母J表示。对于杆： 当回转轴过杆的中点并垂直于轴时；J=mL^2/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于轴时：J=mL^2/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。 对于圆柱体： 当回转轴是圆柱体轴线时；J=m*r^2/2, 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。 对于长方体： 当回转轴是长方体高度轴线时；J=（a^2+b^2)*m/12 ， 其中m是圆柱体的质量，ab是长方体边长。 转动惯量定理： M=Jβ 其中M是扭转力矩 J是转动惯量 β是角加速度=△ω/△t w=2πn/60,n是转速，单位rad/min 负载启动转矩 n—转速，R—转动半径 T=(m.R^2)/2*3.14*D*n/60/R 电机输出转矩 P＝T * n / 9550或者T=9550P/n 式中， P：电机功率（单位：KW） T：电机转矩（单位：Nm） n：电机转速（单位：转/分）
例题1 现在已知：一个直径是80的轴，长度为500，材料是钢材。计算一下，当在0.1秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩？ 分析： 知道轴的直径和长度，以及材料，我们可以查到钢材的密度，进而计算出这个轴的质量m， 由公式ρ=m/v 可以推出 m=ρv=ρπr^2L. 根据在0.1秒达到500转/分的角速度，我们可以算出轴的角加速度 β=△ω/△t=2πn/60/△t 电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线， 所以J=mr^2/2。 所以M=Jβ =（mr^2/2）*(△ω/△t) =(ρπr^2h)*(r^2)/2*(△ω/△t) =(7.8*10^3*3.14)*(0.04^2)*0.5*(0.04^2)/2*(2*3.14*500/60/0.1) 例题2 实心圆柱体中间有轴，由电机驱动旋转。圆柱体半径150mm，长500mm，总重量18Kg，转速60r/min，只知道三个公式：力矩T=9550*P/N ；功率P=FV ；力矩T=FL ； 理论上最终需要的扭矩是多少？（知道扭矩我自然会如何选配电机了） 你没有负载吗？ 从理论上来说，如果没有负载，只有在开始启动到实心圆柱体开始匀速运动这顿时间才存在扭矩。 这段时间扭矩的大小，跟实心圆柱开始转动到匀速转动这个过程所用的时间长短有关， 这个时间越短，扭矩越大。 追问 的确没有负载。只是用电机带动这个圆柱体。 我想让电机启动后，带动圆柱体在最多3秒钟内达到匀速。 那么，这种情况下，所需的启动转矩应该是多大？用什么公式？谢谢~ 回答 假定圆柱体均匀加速： 匀速运动时的角速度 ω=2πn/60
转动惯量公式表 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
常见几何体]转动惯量公式表对于细杆 当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。 对于圆柱体 当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。 对于细圆环 当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2； 当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2； R为其半径 对于薄圆盘 当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2； 当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2； R为其半径 对于空心圆柱 当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]； R1和R2分别为其内外半径。
对于球壳 当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2； 当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2； R为球壳半径。 对于实心球体 当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2； 当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2； R为球体半径 对于立方体 当回为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2； 当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2； 当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2； L为立方体边长。 只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。 角加速度与合外力矩的关系： 角加速度与合外力矩 式中M为合外，β为。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。 角动量： 角动量 刚体的定轴转动动能： 转动动能 注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。
转矩给定百分之十的卷取电机转速曲线，电机参考转速2000rpm，电机参考转矩3008Nm ，根据公式M-Mf=J*△ω/△T 。 △ω=0.09484*2000*2*π÷60=19.863 rad/s △T=2s M=0.1*3008=300.8Nm 300.8－M f＝J*〔19.863÷2 〕①
转矩给定百分之十五的卷取电机转速曲线，电机参考转速2000rpm，电机参考转矩3008Nm ，根据公式M-Mf=J*△ω/△T 。 △ω=0.14735*2000*2*π÷60=30.861rad/s △T=2s M=0.15*3008=451.2Nm 451.2－M f＝J*〔30.861÷2 〕② 根据式①②得到J=27.351 kg·m2M f＝29.161 Nm
根据圆柱刚体绕圆心轴旋转的转动惯量公式：J=mr2÷2 ，假设钢卷外径D1米，内径D2米，带钢宽度b米，密度ρkg/m3, 传动比i 。钢卷的实时转动惯量 J1=π*b*ρ（D14 -D24）÷32 钢卷的实时转动惯量转换到电机侧 J2=J1÷i2=π*b*ρ（D14 -D24）÷32 ÷i2③ 例如钢卷外径D1=1米，钢卷内径D2=0.508米，带钢宽度b=1米，密度ρ=7800kg/m3，传动比i=8，线加速度10米每分钟每秒，那么J2=π*b*ρ（D14 -D24）÷32 ÷i2 =3.14*1*7800*(1-0.0666) ÷32÷64=11.17 kg·m2 此时的转动惯量总和：J=27.351+11.17=38.521kg·m2 角加速度：△ω/△T=10÷（π* D1）*i *2π÷60=2.667 rad/s2 转动惯量力矩：M= J*△ω/△T=38.521*2.667=102.7355Nm
转动惯量计算公式转动惯 量公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) 8 2 MD J = 对于钢材：341032-??= g L rD J π ) (1078.0264s cm kgf L D ???- M-圆柱体质量(kg)； D-圆柱体直径(cm)； L-圆柱体长度或厚度(cm)； r-材料比重(gf /cm 3)。 2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量： 2i Js J = (kgf·cm·s 2) J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； i-降速比，1 2 z z i = 3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量 g w 22 ? ?? ???=n v J π g w 2s 2 ? ?? ??=π (kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min)； n-丝杠转速(r/min)； w-工作台重量(kgf)； g-重力加速度，g = 980cm/s 2； s-丝杠螺距(cm) 2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量： ()) s cm (kgf 2g w 1 22 22 1????? ???????? ??+++=πs J J i J J S t J 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2)； J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； s-丝杠螺距，(cm)； w-工件及工作台重量(kfg). 5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 2 g w R J = (kgf·cm·s 2) R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)
由上看出，转化法的关键是确定等效转动惯量Jv和等效力矩Mv，也即是机械中各构件质量的转化和外力的转化。 比较式(10.2.1-2)和式(10.2.1-5)可知，为保证是“等效”的转化，必须遵守以下两个原则：动能相等原则转化件的等效转动惯量所具有的动能应与原机械的总动能相等。 功率相等原则转化件的等效力矩所作的元功（或瞬时功率）应与原机械上作用的全部外力所作的元功（或瞬时功率）相等。 由此可写出等效转动惯量Jv和等效力矩Mv的普遍公式。 按动能相等的原则，列出转化件与一般机械的动能等式 由此得 (10.2.2-1) (10.2.2-2) 式中ω───—转化件的角速度； n ───机械中的活动构件数； i ───构件号； m i───第i构件的质量； v si───第i构件质心的速度。 ───第i构件的移动动能；J si───第i构件绕质心的转动惯量；ωi───第i构件的角速度； ───第i构件的转动动能； 由式(10.2.2-2)看出，Jv总是为正。 按功率相等的原则，列出转化件与一般机械上作用外力的功率等式 (10.2.2-3) 由此得 (10.2.2-4) 式中Pi ───作用在第i构件上的力； vi ───第i构件上力Pi作用点的速度； ai ───力Pi方向与速度vi方向的夹角； Mi ───作用在第i构件上的力矩； wi ───第i构件的角速度。 思考题 在式(10.2.2-4)中如何反应出作用在第i构件上力Pi或力矩Mi为驱动力还是工作阻力？ 夹角ai<90°，(Pivicosai)为正，说明Pi为驱动力。反之，ai>90°，(Pivicosai)为负，则Pi为工作阻力。 若Mi方向与wi同向，则Mi为驱动力矩，Mi、wi乘积前取“+”号；反之，取“-”
转动惯量的定义 转动惯量 Moment of Inertia 刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J=∑ mi*ri^2， 式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。 ；求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。 描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。 还有垂直轴定理：垂直轴定理 一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。 表达式:Iz=Ix+Iy 刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。 转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。 刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。 补充对转动惯量的详细解释及其物理意义： 先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的 大小）。 E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方） 把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r) 得到E=(1/2)m(wr)^2 由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替, K=mr^2 得到E=(1/2)Kw^2 K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。 这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。
刚体对轴转动惯量的计算 一、转动惯量及回转半径 在第一节中已经知道,刚体对某轴z 的转动惯量就就是刚体内各质点与该点到z 轴距离 平方的乘积的总与,即∑=2 i i z r m J 。如果刚体质量连续分布,则转动惯量可写成 ?=M z dm r J 2 (18-11) 由上面的公式可见,刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况,而与 刚体的运动状态无关,它永远就是一个正的标量。如果不增加物体的质量但使质量分布离轴远一些,就可以使转动惯量增大。例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些,使得大部分质量集中在轮缘上,与转轴距离较远,从而增大转动惯量。相反,某些仪器仪表中的转动零件,为了提高灵敏度,要求零件的转动惯量尽量小一些,设计时除了采用轻金属、塑料以减轻质量外,还要尽量将材料多靠近转轴。 工程中常把转动惯量写成刚体总质量M 与某一当量长度ρ的平方的乘积 2z z M J ρ= (18-12) z ρ称为刚体对于z 轴的回转半径(或惯性半径),它的意义就是,设想刚体的质量集中在与z 轴 相距为z ρ的点上,则此集中质量对z 轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。 具有规则几何形状的均质刚体,其转动惯量可以通过计算得到,形状不规则物体的转动惯量往往不就是由计算得出,而就是根据某些力学规律用实验方法测得。 二、简单形状物体转动惯量的计算 1. 均质细直杆 如图18-7所示,设杆长为l ,质量为M 。取杆上微段dx,其质量为 dx l M dm = ,则此 图18-7 杆对z c 轴的转动惯量为 220 2 20 2 12122Ml dx l M x dm x J l l z c ===?? 对应的回转半径 l l M J c z z 289.03 2== = ρ 2. 均质细圆环 如图18-8所示均质细圆环半径为R,质量为M 。任取圆环上一微段,其质量为dm ,则对z