江苏扬州市第一中学10-11学年高二上学期期末考试试题（数学）
本卷共 20 题，时间 120 分钟，满分 160 分；分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分
注意：答案全部写在答卷上
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1．经过点M (2,1)-，N (1,3)-的直线的斜率为 ▲ ．2
2．“012>++∈?x x R x ，”的否定为“ ▲ ”． 210x R x x ?∈++≤， 3．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，则=a ▲ ．6- 4．已知点B 是点A （2，-3，5）关于平面xOy 的对称点，则AB= ▲ 10
5．已知1F ，2F 是椭圆2212516
x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，则△12PF F 的周长为
▲ 16
6．直线l ：210kx y k -++=必过定点 ▲ ．()2,1-
7．圆心为)43(- ，且与直线0543=--y x 相切的圆的标准方程为 ▲ ． ()()2
2
3416x y -++=
8．在某次比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的3名增至5名，但只任取其中2
名裁判的评分作为有效分.若5名裁判中有1人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是___ ▲ __.（结果用数值表示）3/5
9．右边程序运行后的输出结果为 ▲ 21
10．直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b = ▲ 2
11. 椭圆22
162
x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21cos PF F ∠的值是 ▲
1
3
12．过点A （-1，10）且被圆2
2
42200x y x y +---=截得的弦长为8的直线方程是 ▲
43260x y +-=或1x =-
提示：圆2
2
42200x y x y +---=化为标准方程为2
2
(2)(1)25x y -+-=
当所求直线的斜率存在时，设为k，则直线方程为10(1)
y k x
-=+，即100
k x y k
-++=
∴圆心（2，1）到直线的距离
d==
又∵弦长为8，圆半径r=5，∴弦心距d=3，3
=，
4
3
k
∴=-
∴此时直线方程为43260
x y
+-=
当所求直线的斜率不存在时，方程为10
x+=，此时圆心（2，1）到直线的距离为3，弦长为8综上所述，所求直线的方程为43260
x y
+-=或1
x=-。
13．在集合{(,)|0 5 ,04}
x y x y
≤≤≤≤
且内任取一个元素，能使代数式34190
x y
+-≥的概率为▲
解：如右图，集合{}
()|0504
x y x y
，，且
≤≤≤≤为矩形内（包括边界）的点的集合，34190
x y
+-≥
上方（包括直线）所有点的集合，所以所求概率
1
433
2
4510
S
S
??
===
?
阴影
矩形
．
14．椭圆
22
1
169
x y
+=的左、右焦点分别为
1
F、
2
F, 过焦点F1的直线交椭圆于,A B两点，若
2
ABF
?的内切圆的面积为π，A，B两点的坐标分别为11
(,)
x y和
22
(,)
x y，则
21
y y
-的值为▲
（如右图所示．由
2
ABF
?的内切圆的
面积为π，可得内切圆M的半径为1,
则
2
22
11
(111)428
22
ABF
S AB BF AF a a
?
=?+?+?=?==
又
2
122121
11
22
ABF
S F F y y y y
?
=???-=?-=
∴
21
y y
-=）、
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
或演算步骤. 15．（本小题满分14分）
已知双曲线C 的方程为： 221916
x y -=
（1）求双曲线C 的离心率；
（2）求与双曲线C 有公共的渐近线，且经过点A
（-）的双曲线的方程 解：略
16. （本小题满分14分）
已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
2
2
19x y +=.联立方程组2219
2
x y y x ?+=???=+?,消去y 得, 21036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )那么: 12185
x x +=-,0x =129
25x x +=
所以0y =0x +2=
1
5
. 也就是说线段AB 中点坐标为(-95,15
). 17．（本小题满分14分）
盒中有10只晶体管，其中2只是次品，每次随机地抽取1只，作不放回抽样，连抽两次，试分别求下列事件的概率：
（1）2只都是正品； （2）2只都是次品；
（3）1只正品，1只次品；
（4）第二次取出的是次品。
解：记“连抽两次2只都是正品”为A ，“连抽两次2只都是次品”为B ，
“连抽两次1只正品，1只次品”为C ，“连抽两次第二次取出的是次品”为D
则 8728()10945p A ?=
=? 211
()10945p B ?==? 822816
()10945p C ?+?==?
291
()1095
p D ?=
=?
18．（本小题满分16分）
已知p ：0)10)(2(≤-+x x ，q ：)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x ，若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
解：因为p ?是?q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件,由p ：0)10)(2(≤-+x x 可得
102≤≤-x ,由q ：)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x 可得)0(11>+≤≤-m m x m ,因为p 是q
的充分不必要条件，所以 ???≥+-≤-10
12
1m m ，得9≥m
19. （本小题满分16分）
已知平面区域00240x y x y ≥??
≥??+-≤?
恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内
部所覆盖．
（1）试求圆C 的方程；
（2）若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.
解：(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,
故圆心是(2,1),
所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=. (2)设直线l 的方程是:y x b =+.
因为CA CB ⊥,所以圆心C 到直线l
,
=
解得
:1b =- 所以直线l 的方程是
:1y x =-±.
20. （本小题满分16分）
已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>
，直线l
：0x y -与椭圆1C 相切．
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直与椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；
（3）若1(,2)A x ，22(,)B x y ，00(,)C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，求实数0y 的取值范围．
解：（1）因为c e a =
=
,a b ， 椭圆1C 的方程可设为22
22132x y c c +=·····································2分
与直线方程0x y -=联立，消去y ，可得2251560x c ++-=，
因为直线与椭圆相切，所以2245(156)0c ?=-?-=， 又因为0c >，所以1c =，
所以，椭圆1C 的方程为22
132x y +=；
····································4分 （2）由题意可知，2PM MF =，
又PM 为点M 到直线1l 的距离，·······································5分
所以，点M 到直线1l 的距离与到点2F 的距离相等，即点M 的轨迹2C 是以直线1l 为准线，点2F 为
焦点的抛物线，···········································7分 因为直线1l 的方程为1x =-，点P 的坐标为(1,0)，
所以，点M 的轨迹2C 的方程为24y x =；································9分 （3）由题意可知A 点坐标为(1,2)·········································10分 因为AB BC ⊥，所以0AB BC ?=，
即220202(1,2)(,)0x y x x y y --?--=···································11分 又因为22220011
,44
x y x y ==， 所以
2222022021
(4)()(2)()016
y y y y y y --+--=， 因为2202,y y y ≠≠，所以
2021
(2)()1016
y y y +++=，
····················13分 方法一：整理可得：22020(2)(216)0y y y y ++++=， 关于2y 的方程有不为2的解，所以
200(2)4(216)0y y ?=++-≥，且06y ≠- 所以， 2004600y y --≥且06y ≠-
解得0y 的取值范围为06y <-或010y ≥．······················16分
方法二：整理可得：022162
y y y =--+， 当220y +>
时02216[
(2)]2262y y y =-+++-=-+≤， 又因为224y +≠，所以06y <- 当220y +<
时02216[(2)]2210(2)
y y y =+-++=-+≥， 所以，0y 的取值范围为06y <-或010y ≥．····················16分
学习资料https://www.doczj.com/doc/3e18936052.html, 崩孞尛