遵义四中2018届高二第一学期期末测试
数学(理科)
(满分:150分 时间:120分钟)
一、选择题
1. 双曲线822
2=-y x 的实轴长是( )
A .2
B .22
C .4
D .42
2.已知命题p :?x 0∈R ,x 2
0+1<0,则 ( )
A .?p :?x ∈R ,x 2+1>0
B .?p :?x ∈R ,x 2
+1>0
C .?p :?x ∈R ,x 2+1≥0
D .?p :?x ∈R ,x 2
+1≥0
3.某单位有职工75人,其中青年职工35人,中年职工25人,老年职工15人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本容量为15,则样本中的青年职工人数为 ( )
A .7
B .5
C .3
D .10 4. 抛物线2
4x y =的焦点坐标是( )
A.()10,
B.???
??1610, C.()01, D.??
?
??0161, 5.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别是( ).
A .23与26
B .31与26
C .24与30
D .26与30
6.“73< 13 72 2=-+-m y m x 的曲线是椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分条件又不必要条件 7.为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系,得到列联表如下: 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 40 80 120 女 40 140 180 总计 80 220 300 并经计算: 4.5452 ≈K )(2k K P ≥ 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 请判断有( )把握认为性别与喜欢数学课有关. A .5% B .0099.9 C .0099 D .0095 8.阅读右面的程序框图,若输入的n 是100,则输出的变量S 的值 是( ) A .5 049 B .5 050 C .5 051 D .5 052 9.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动,则动点P 到顶点A 的 距离1|| A . 41 B .21 C .4 π D .π 10.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,4AB =,16AA =. 若E ,F 分别是棱1BB ,1CC 上的点,且1BE B E =,111 3 C F CC =,则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为( ) A . 3 B .2 C .3 D .2 11. 已知,A B 分别为双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的左、右顶点, P 是C 上一点, 且直线,AP BP 的斜率之积为2,则C 的离心率为( ) A.2 B.3 C.5 D.6 12.设A ,B 在圆2 2 1x y +=上运动,且||3AB =,点P 在直线34120x y +-=上运动, 则 PB PA +的最小值为( ) A .3 B .4 C . 175 D .195 二、填空题 13. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段: [40,50),[50,60),…,[90,100]后得到频率分布直方图(如下图所示),则分数在[70,80)内的人数是 . 14.从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取2个数字相加,其和为偶数的概率是________. 15. 点P 是椭圆19 162 2=+y x 上一点,21,F F 分别是椭圆的左、右焦点,若12||||21=PF PF ,则21PF F ∠的大小 . 16.已知点P 为双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>右支上的一点,点12,F F 分别为双曲线的左、 右焦点,双曲线的一条渐近线的斜率为3,若M 为12PF F ?的内心,且1212PMF PMF MF F S S S λ???=+,则λ的值为 . 三、解答题 17.(本题满分10分) 设数列{}n a 满足:11=a ,121+=+n n a a . (1)证明:数列{1}n a +为等比数列,并求出数列{}n a 的通项公式; (2)求数列(){}1+?n a n 的前n 项和n T . 18.(本题满分12分) 已知函数()23sin cos cos 2f x x x x =-,x R ∈. (1)求函数()f x 的单调递增区间; (2)在ABC ?中,内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,若()2f A =,4 C π = , 2c =,求ABC ?的面积ABC S ?的值. 19.(本题满分12分) 如图,在四棱锥P ABCD -中, PA ABCD ⊥底面,底面ABCD 为直角梯形, //,90,AD BC BAD ∠=?22PA AD AB BC ====,M 为PB 的中点,平面ADM 交PC 于 N 点. (1)求证://MN BC ; (2)求证:PB DN ⊥; (3)求二面角P DN A --的余弦值. 20.(本题满分12分) 一台机器使用时间较长,但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有 转速x (转/秒) 16 14 12 8 每小时生产有 缺点的零件数y (件) 11 9 8 5 (1)用相关系数r 对变量y 与x 进行相关性检验; (2)如果y 与x 有线性相关关系,求线性回归方程; (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个,那么,机器 的运转速度应控制在什么范围内?(结果保留整数) 参考数据: 4384 1 =∑=i i i y x ,6604 1 2=∑=i i x ,2914 1 2=∑=i i y ,25.62656.25≈. 参考公式:相关系数计算公式 :∑∑∑==- =- --?---= n i n i i i n i i i y y x x y y x x r 1 1 2 21 )()() )(( 回归方程a x b y ?+=∧ ∧中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ∑∑=- =- -∧ ---= n i i n i i i x x y y x x b 1 2 1 )() )((, - ∧∧∧-=x b y a . 21.(本题满分12分) 已知平面内一动点M 到点)01(,F 距离比到直线3-=x 的距离小2. 设动点M 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程; (2)若过点F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,过点B 作直线:1-=x 的垂线,垂足为D , 设),(11y x A , ),(22y x B . 求证:①121=?x x ,421-=?y y ; ②A 、O 、D 三点共线 (O 为坐标原点). 22.(本题满分12分) 已知椭圆C :12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率为 22,左焦点为(1,0)-F ,过点(0,2)D 且斜 率为k 的直线l 交椭圆于,A B 两点. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)在y 轴上,是否存在定点E ,使AE BE ?恒为定值?若存在,求出E 点的坐标和这个定值;若不存在,说明理由. 遵义四中2018届高二第一学期期末测试 数学(理科)参考答案 1—https://www.doczj.com/doc/b82798464.html,A BB B DA C DBD 13.30 14. 52 15.?60 16.2 1 17.解析:(1)证明:()()1121121n n n a a a ++=++=+ 于是 ()11 2*1 n n a n N a ++=∈+ ……4分 即数列{1}n a +是以2为公比的等比数列. 因为()1 1112 2n n n a a -+=+?=,所以21n n a =- ……6分 (2)123 1222322n n T n =?+?+?+ +? ① 2n T = 2311222(1)22n n n n +?+?+ +-?+? ② ……8分 ①-②得 1231121212122n n n T n +-=?+?+?+ +?-? ……10分 12(12)212 n n n +-=-?-12(1)2n n +=---? 故1 (1)22 n n T n +=-?+ ……12分 18.解(1 )∵()cos cos 2f x x x x =-,x R ∈, ∴()2sin(2)6 f x x π =-, ……3分 由2222 6 2 k x k π π π ππ- ≤- ≤+ ,k Z ∈,解得6 3 k x k π π ππ- ≤≤+ ,k Z ∈. ∴函数()f x 的单调递增区间是[]63 k k π π ππ- +,,k Z ∈.……6分 (2)∵在ABC ?中,()2f A =,4 C π =,2c =, ∴2sin(2)26 A π - =,解得3 A k π π=+ ,k Z ∈. 又0A π<<,∴3 A π =. ……8分 依据正弦定理,有 sin sin 3 4 a c π π = ,解得a =……9分 ∴5 12 B A C ππ=--= ,……10分 ∴11 6sin 26 22 4ABC S ac B ?+= ==……12分 19.证明:(1)因为底面ABCD 为直角梯形, 所以//BC AD . 因为,,BC ADNM AD ADNM ??平面平面 所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBC ADNM MN ?=平面平面平面, 所以//MN BC . ……3分 (2)因为,M N 分别为,PB PC 的中点,PA AB =, 所以PB MA ⊥. ……4分 因为90,BAD ∠=? 所以DA AB ⊥. 因为PA ABCD ⊥底面, 所以DA PA ⊥. 因为PA AB A =, 所以DA PAB ⊥平面. 所以PB DA ⊥. ……6分 因为AM DA A =, 所以PB ADNM ⊥平面 因为DN ADNM ?平面, 所以PB DN ⊥. ……7分 (3)如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . 由(II )可知,PB ADNM ⊥平面, 所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……9分 设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n 因为(2,1,2)PC =-,(0,2,2)PD =-, 所以00 PC PD ??=???=??n n .即220220x y z y z +-=??-=?. 令2z =,则2y =,1x =. 所以(1,2,2)=n ……11分 所以2 cos ,223 BP BP BP ???= = = ?n n n . 所以二面角P DN A --的余弦值为 2 6 . ……12分 z y x P A B C D M N 20.解 (1)x =12.5,y =8.25, 4x y =412.5, ……2分 所以r = ∑4 i =1 xiyi -4x y (∑4 i =1x 2i -4x 2 )(∑4 i =1 y 2i -4y 2 ) = 438-412.5 (660-625)×(291-272.25) =25.5656.25≈25.525.62≈0.995. ……4分 因为r >0.75,所以y 与x 有很强的线性相关关系. ……5分 (2)b ^ = ∑4 i =1 x i y i -4x y ∑4 i =1x 2i -4x 2 ≈0.728 6, ……7分 a ^ =y -b ^ x =8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5, ∴所求线性回归方程为y ^ =0.728 6x -0.857 5. ……9分 (3)要使y ^ ≤10?0.728 6x -0.857 5≤10, 所以x ≤14.901 9≈15. 所以机器的转速应控制在15转/秒以下. ……12分 21.解:(1)由题意可知:动点M 到点)01(,F 距离与到直线1-=x 的距离相等, 根据抛物线的定义,动点M 的轨迹是以)01(,F 为焦点,1-=x 为准线的抛物线, 所以动点M 的轨迹方程为x y 42 = ……6分 (2)联立直线与抛物线的方程,可得121=?x x ,421-=?y y ……9分 设),4(121y y A ,),4 (222 y y B ,则),1(2y D -, 041 2 1=+= -y y y k k OD AO , 所以A 、O 、D 三点共线. ……12分 得由的方程为的直线且斜率为设过点分 所求的椭圆方程为,解得由已知可得解: .068)21(212.2)2,0(D )2(412 1 ,2122)1(22.2222 22 2 2=+++?? ???+==++=??=+==?? ???==kx x k kx y y x kx y l k y x b a c a c 1122(,),(,)A x y B x y , 则1212 22 86 ,1212k x x x x k k +=- =++.……6分 又22 12121212224 (2)(2)2()421 k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=-+, 12121224(2)(2)()421 y y kx kx k x x k +=+++=++= +. ……8分 设存在点(0,)E m ,则11(,)AE x m y =--,22(,)BE x m y =--, 所以2121212()AE BE x x m m y y y y ?=+-++ 1 24 2124 126 2222 2 +--+?-++=k k k m m k 2222(22)410 21 m k m m k -+-+=+, ……10分 要使得AE BE t ?=(t 为常数),只要2222 (22)410 21 m k m m t k -+-+=+, 从而2 2 2 (222)4100m t k m m t --+-+-=, 即222220, (1)4100, (2) m t m m t ?--=??-+-=?? ……11分 由(1)得2 1t m =-, 代入(2)解得114m = ,从而105 16 t =, 故存在定点11 (0,)4 E ,使AE BE 恒为定值10516. ……12分