1．计算
2363
12222
+++++
，写出算法的程序.
解：s=1
n=2
i=1
WHILE i＜=63
s=s+n∧i
i=i+1
WEND
PRINT “1+2+2∧2+2∧3+…+2∧63=”；s
END
2．写出已知函数
?
?
?
?
?
<
-
=
>
=
).
(
1
),
(
),
(
1
x
x
x
y输入x的值，求y的值程序.
解：INPUT “请输入x的值：”；x
IF x>0 THEN
y=1
ELSE
IF x=0 THEN
y=0
ELSE
y=－1
END IF
END IF
PRINT “y的值为：”；y
END
3．新课标B版数学必修3教材41页第7题：用100元钱买100只鸡，公鸡每只5元，
母鸡每只3元，小鸡3只一元，问能买多少公鸡，母鸡和小鸡？
程序如下：
for x=1:20 for y=1:33 z=100-x-y; if 5*x+3*y+z/3<>100
else x y z end end end
4．（本小题满分14分）根据下面的要求，求满足1＋2＋3＋…＋n > 500的最小的自然数n。
（1）画出执行该问题的程序框图；（2）以下是解决该问题的一个程序，但有几处错误，请找出错误并予以更正。解：（1
②PRINT n+1 应改为PRINT n ； 12分 ③S=1应改为S=0 14分
5. 儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m ，则不需买票；若身高超过1.1 m 但不超过1.4 m ，则需买半票；若身高超过1.4 m ，则需买全票.试
设计一个买票的算法，并画出相应的程序框图及程序。 解：程序是：INPUT “请输入身高h （米）：”；h
IF h<=1.1 THEN PRINT “免票” ELSE
IF h<=1.4 THEN PRINT “买半票” ELSE PRINT “买全票” END IF END IF END
6．意大利数学家菲波拉契,在1202年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对小兔.问这样下去到年底应有多少对兔子? 试画出解决此问题的程序框图,并编写相应的程序.
解: 分析: 根据题意可知,第一个月有1对小兔,第二个月有1对成年兔子,第三个月有两对兔子,从第三个月开始,每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和,设第N 个月有两F 对兔子,第N －1个月有S 对兔子,第N －2个月有Q 对兔子,则有F=S+Q,一个月后,即第N+1个月时,式中变量S 的新值应变第N 个月兔子的对数(F 的旧值),变量Q 的新值应变为第N －1个月兔子的对数(S 的旧值),这样,用S+Q 求出变量F 的新值就是N+1个月兔子的数,依此类推,可以得到一个数序列,数序列的第12项就是年底应有兔子对数,我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1,以此为基准,构造一个循环程序,让表示“第×个月的I 从3逐次增加1,一直变化到12,最后一次循环得到的F ”就是
7．设计算法求
100
99143131121
1?++?+?+? 的值。要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序。 解：这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法。程序框图如图所示：
1
0==k S
DO
1
))1(/(1+=+*+=k k k k S S
LOOP UNTIL 99>k
S
END
8．求100以内的所有勾股数。 for i=1:100 for j=1:100 for k=2:100 if i*i+j*j<>k*k else i j k end end end end
9. 计算 2363
12222+++++ ，写出算法的程序. 解：s=1
n=2 i=1
WHILE i ＜=63 s=s+n ∧i i=i+1 WEND
PRINT “1+2+2∧2+2∧3+…+2∧63=”；s END
10. 写出已知函数??
?
??<-=>=).
0(1),0(0
),
0(1x x x y 输入x 的值，求y 的值程序. 解：INPUT “请输入x 的值：”；x
IF x>0 THEN y=1 ELSE
IF x=0 THEN y=0 ELSE y=－1 END IF END IF
PRINT “y 的值为：”；y END
11. 2000年我国人口为13亿，如果人口每年的自然增长率为7?，那么多少年 后我国人口将达到15亿？设计一个算法的程序. 解：A=13
R=0.007 i=1 DO
A=A*（1+R ） i=i+1
LOOP UNTIL A ＞=15 i=i －1
PRINT “达到或超过15亿人口需要的年数为：”；i END
12．1982年我国大陆人口10亿3千万，编程上机计算，若人口增长率r=1％，则哪一年我国人口增长到12亿，若r=O ．5％，r=O ．2％又是何年?
INPUT r=O ．01 i=O p=10.3 y=1982 WHILE P ≤12 i=i+1 p=p※(1+ r) y=y+1 WEND PRINT y ，p END
13．假定在银行中存款10000元，按11．25％的利率，一年后连本带息将变为11125元，若将此款继续存人银行，试问多长时间就会连本带利翻一番?请用直到型和当型两种语句写出程序． 用直到型
INPUT“money =”，10000 x=mOney r=11.25／100 y=O
WHILE x≥2r y=y+1 x=x+r*x WEND PRINT y END 用当型 INPUT m=10000 X=m y=O
r=11.25／100 Do m<2*x y=y+1
x=x + r*x
算法语句常见错误解析
夏 文 凯
人教版必修3第一章《算法初步》是新课程标准中的新增内容，是高考考查的内容。程序的设计是本章的一个难点和重点，此难点主要体现在语句的选择、语句的使用、语句的衔接三方面。如果概念不清、运用不当就容易出错，哪怕一个极细小的错误都会导致整个程序无法被计算机运行而宣告失败，所以，我们在设计程序时，一定要时时小心，处处留意，确保准确无误。为帮助同学们防错、识错、纠错，笔者搜集了教学中一些常见的错误，望同学们加深对它们的理解，引以为戒。
一 输入语句常见错误解析
例 判断下列给出的输入语句是否正确，为什么，怎样改正？
（1）INPUT a ; b ; c (2) INPUT x = 2 解：（1）错误，变量之间应该用“，”隔开，应改为：INPUT a ，b ，c 备注：输入语句的一般格式是
如果是输入一个变量，一般可以写成 INPUT “x=”;x 也可以简写为INPUT x ，如果是两个变量，一般可以写为
也可以简写为INPUT a, b 变量中间要用“，”分隔，三个或三个以上的变量以此类推。
（2）错误，输入语句又称“键盘输入语句”，在程序运行过程中，停机等候用户由键盘输入数据，而不需要在写程序时指定，所以INPUT 后面只能是变量，不能是表达式，应改为：INPUT “请输入x 的值
”;x 或INPUT x
二
输出语句常见错误解析
例 判断下列给出的输出语句是否正确，为什么，怎样改正？
(1)PRINT A=3 （2
）解：（1）错误，输出语句的格式为PRINT 语句不能用赋值号“=”，应改为：PRINT A
（2）错误，输出语句可以输出多个表达式，不同的表达式之间用“，”分隔，不能用“；”分隔。所以应改为：PRINT A ，B
三 赋值语句常见错误解析
例 判断下列给出的赋值语句是否正确，为什么，怎样改正？ (1) 3=A (2)x+y+z=0 (3)A=B=4
解：(1) 错误，赋值语句的一般格式是 ， 赋值号的左边只能是变量，右边是一个常数或表达式，所以应改为：A=3
(2) 错误，赋值语句不能给表达式赋值。
（3
例 某同学编了一个交换两个变量A 和B 的值的程序（图一） 解：按照此程序运行,如果输入3，9输出的结果不是 A=B 表示把变量B 的值9赋给变量A, A 的初始值3被“覆盖”， A 的值变为9，变量B 的值保持不变；B=A 表示把刚才变量A 的值9变量B 的值被 “覆盖”，变为9 ，所以最后输出的是 量赋多个不同的值，但是变量的取值总是取最近被赋予的值），所以要交换两个变量的值，必须引如一个 INPUT “a=”;a INPUT “b=”;b
（图一）
例：编写一个程序，对于函数??
?
??>+=<+-=)0(1)0(0)0(1x x x x x y 输入x 的值，输出相应的函数的值。某同学编写了一个程序（图
二），正确吗？如果不对，错在哪里？为什么？
解析：条件语句的格式有两种，一个是只有一个“分支”的条件语句，它的格式见图三，一个是有两
个“分支”的条件语句，它的一般格式见图四，这个同学编写的程序实际上两次运用了两个分支的条件语句，但是第一个条件语句实际上并不完整，少了一个END IF ，所以应在PRINT y 前加一个END IF.
例：闰年是指年份能被4
整除但是不能被100整除，或者能被400整除的年份，编写一个程序，判断输入的年份是否为闰年。
错解：依题意设计的程序如下：
解析：本题是教材上的一道习题，这个错解是教师教学用书给出的答案，错误的原因在于，本程序有两套条件语句，当我们输入一个年份后，要被执行两次判断，结果会输出两次，对有些年份会输出两个相反的结果。如：输入年份2008，按照第一套条件语句，2008是闰年，但是按照第二套条件语句，2008不是闰年。 正解：依题意设计的程序如图六。
备注：本程序把三个判断的条件集中在一起，对输入的年份只判断一次，便
见分晓，有效地避免了错解中自相矛盾的现象，同时本解法还将错解中的赋值语句省略，集中到条件语句中说明是一个（图二） （图三） （图四）
（图六）
例：分别用WHILE 型语句和UNTIL 型语句设计一个求100
1
31211+???+++的值的程序。 错解：设计程序如下：
错解分析：在WHILE 型程序里面i=1、sum=1，控制循环的条件为i ≤100，按此算法最后得到的结果应为
1001312111+???+++
+，而不是题目要求的100
131211+???+++，改正的方法是将sum=1改为sum=0；在UNTIL 型程序里面i=1、sum=0，控制条件为100≥i ，按此算法最后得到的结果是99
1
31211+???+++，而不是题目要求的
100131211+???+++，改正的方法是将100≥i 改为100>i 。
备注：①在含有循环语句的程序里面，变量的初始值和控制循环的条件是两个关键点，它们直接影响程序的输出的结果，在这两点上，同学们一定要注意辨析，谨防出错。一般情况下，把累加变量sum 的初始值定为0,这样，如果是WHILE 型程序，循环的条件一般可以写为n i ≤，如果是UNTIL 型程序，循环条件一般可以写为n i >，其中n 就是数列的总项数，操作简单省心。
②当型)(型while 循环结构，先要在判断框中对循环条件进行判断，保证条件满足就执行循环体，否则就停止；直到
型型）（until 循环结构，就要先执行一次循环体，然后在判断框中对循环条件进行判断，保证条件不满足就执行循环体，满足就停止。
③对同一算法来说，当型循环和直到型循环的条件互为反条件，如果WHILE 型程序的循环条件是n i ≤，则UNTIL 型程序的循环条件是n i >。
例 自然对数的底数e 的近似计算公式为!
1
!31!21!111n e +++++= 。（其中n n ????= 321!），n 的值越大，愈越近e
的真值。某同学编写了一个10=n 时计算e 的程序。正确吗？为什么？
解析：该循环语句的循环体有错误，按照此程序运行得到的结果是
!
91
!21!1111+???++++=e ，所以要把循环体中的a=a /i 改为a=a /（i+1）. 备注：一个程序编写完成之后，最好在草稿纸上“运行”一下，看自己编写的程序是否满足题意，不行，就要找问题，进行调整修改。 WHILE 型 UNTIL 型 （图七） （图八）
浅谈算法在数值计算题中的应用
解决各式各样的问题，着重计算，而计算的方法、过程以及步骤就是算法。由于算法是解决一类问题，因此利用算法我们很容易解决函数和数列相综合的问题，因为这类型问题往往涉及利用函数表达式或数列的通项公式进行数值计算。
对于这类问题，一般涉及选择结构与循环结构，其中应特别注意两种循环语句：“For 循环”和“While 循环”语句，一般“For 循环”是在循环次数已知（循环终止值已知即后测试）时使用（当循环变量不小于“初值”且不大于“终值”时，执行循环体），而“While 循环”在循环次数未知时使用（前测试）。要注意三个环节：一是循环变量的设置，二是循环体中语句的构造，三是循环结构的控制。
常见的问题有：
一、增长率、复利问题：
例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：
(1)写出该城市人口数y （万人）与年份x （年）的函数关系式； (2)用伪代码及流程图表示计算10年以后该城市人口总数的算法；
(3)解；（1）y 2.11(100+=(2)伪代码如下：
(3)伪代码如下：
例1、请设计一个算法求1～分析：符合条件的数有3
S E I
S S I For I S print ndfor
10 to 1 from 2
.11100?←+←←x x x I S S I S print 1 120S while 0x 2.11100+←?←<←+←←
例2、设计一个算法，计算100以内被3除余1的所有正数的积。
分析：符合条件的数为1、4、7、…、100共34个数的积，因为循环次数已定，因此
考虑用For 循环。
评注：For 循环结构比较简单，往往通过计数变量来控制循环结构，但应注意在此结构中，不能对计数变量重复赋初值，其中i 的功能表示求和次数。
三、数列中的求和与积问题 例1、设计算法：求2222
13599++++ 的值。 分析：本题已知终止值，故用For 循环。
解：因为循环变量的取值为从1到99，以2为步长，
故伪代码及其流程图可表示如下：
评析：在这个循环语句中，I 为循环变量，其取值在
循环体中自动出现，不需要对其初值进行赋值。本题的算法具有通用性，若计算
2222246100++++ 只要将I=1,改为I=2即可，若计算3
33313599++++ ，只要
将s s i 2=+，变为s s i 3
=+即可。
例2、设计算法，求使2
2
2
2
1351000n ++++ ＜
成立的最大正整数n 的值。 分析：因为具体的n 的值是需要探求的，所以可以采用前测试的当型循环结构以判断条件是否满足。因为该循环的终值不知道，所以采用While 循环语句表示此算法。
评注：当退出循环体S 是第一个不小于1000的值，因此应该取其前一个S 所对应的n ，要注意到，在得到第一个不
如果将流程图改为下列两种，在第一个流程图中，初始值应改为多少？输出值又是多少？若改为第二个又应该是多少？
例3、设计一个算法求
...n(n )
11111223341++++创?。 分析：本题涉及连续两个自然数的积的倒数的和，可以设计如下的算法，当然
也可以使用裂项相消法设计算法也比较简单。
例4、在科学技术中，常常使用以e 为底的对数， 常数e 是一个无理数，它的计算公式是：
11111112123123412345
e =++
++++?????????? （1）请设计一个e 的近似值算法，要求结果与2.718差的绝对值不超过0.001；
（2）画出流程图； （3）写出伪代码． 解：（1）算法步骤：
S 1 I ←1； S 2 S ←2；
S 3 a I ←1； S 4 如果|S －2.718|＞0.001，那么I ←I ＋1，
a I ←a I ×I ，S ←S ＋1
a I
，重复S 4；
S 5 输出S ．（2）流程图 (3)伪代码： I ←1
S ←2
a I ←1
While |S －2.718|＞0.001
I ←I ＋1
a I ←a I ×I S ←S ＋1a I
End While Print S
例5
、设计一个算法求 (1111112349991000)
-
+-++-的值。 分析：这是一个求正负相间的问题，关键是如何使用选择结构与循环结构，这涉及嵌套问题。
解：设计如下三种算法：
评注：注意算法的简捷与操作的简单，计算步骤要少。
例6、设计一个算法求满足下面条件...___＞135710000创创 的最小正整数。
分析：本题涉及从1开始连续奇数的积大于10000时的最小正整数问题，由于不知道该数是多少（即不知道循环的次数），因此使用“当型循环”。 解：算法如下：
例7、一球从100m 的高度落下，每次落地后又反跳回原来高度的一半，再落下，在
第10次落地时，小球共经过多少路程？
分析：根据题意，可知有如下递推关系：n h ,n ,,,...,1
12392
==1n+1h =100,h ，到
第
10
次
落
地
时
，
共
经
过
的
路
程
为
s h h h ...h (h h ...h )h 12310121012222=++++=+++-，故可将s 作为累加变量，
i 为计数变量。
解：流程图与伪代码如下：
例8、（Fibonacci 数列）设有一对新生兔子，从第三个开始它们每个月都生一对兔子，按此规律，并假设没有兔子死亡，
试设计算法计算一年后兔子的对数。
分析：根据题意可以发现，每月的兔子数组成的数列为：1，1，2，3，5，8，…，其中的规律在于：每个月的兔子数由两部分组成，即上个月的老兔子数与这个月刚生下的新兔子数，而这个月刚生下的兔子数就是上上月兔子数，也就是说从第3个数开始，每个数都是其前面两个相邻数之和，直到第12个数为止，因此在构造循环体的过程中，可依次设定三个变量a ，b ，c ，循环体的语句设定为c ←a+b ，但注意到变量a ，b 的值在向变量c
赋值后要更新，因此循环体中还必须增加语句对两变量重新赋值。
解：伪代码如图
训练题：
1、已知算法（1）、（2）试根据要求分别完成下列两道题：
算法（1） 算法（2）
根据算法（1）的伪代码，指出相应 画出算法（2）的流程图，指出相应算法 算法功能并画出相应的流程图。 功能并求出a=423时S 值； 解：功能是求满足不等式
10000...321
（2）求整数a 的所有比它小的正因数的和
2、设计一个算法，输入一个数n ，求n n --++++L 213521
1222
的值。 End
N While End N N N S S S While S N 2int Pr 1100001
1-+←*←<←← s
S S a I S I I S I
s s I
a
I a S I S s S a S 输出，转 如果 ，则 如果 73
615][41
302241<+←+←=←←←
3、给出30个数：1，2，4，7，…，其规律是：第一个数是1，第二个数比第一个大1，第三个比第二个大2，第四个数比第三个数大3，依次类推，要计算这30个数的和。 解：流程图为：
四、求函数值、解方程
例1、(1)已知函数f (x)x x 321=-+，设计一个 算法求f ()4的值; (2) 已知函数f (x)x ,g(x)x ,2123=-=+
试设计一个算法求f (g())g(f ())02+。
例2、某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为
0.53,50
500.5
3(50)
0.85,50
w w c w w ?
≤
=?+-?>??
?，其中w(单位：kg)为行李的重量．
计算费用c (单位：元)的算法可以用怎样的算法结构来表示? 分析：这是一个分段函数的问题，要使用选择结构。 解：其算法为：
Sl 输入行李的重量w ；
S2 如果w ≤50，那么0.53c w ←， 否则500.53(50)0.85c w ←?+-?；
S3 输出行李重量w 和运费c ．上述算法用流程图表示如图所示． 例3、设计求解一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠ 的一个算法．并用流程图表示。
分析：因为一元二次方程未必总有实数根．所以求方程时先计算判别式2
4b ac ?=-，然后比较判别式与0的大小，再决定能否用求根公式进行求解．因此，在算法中应含有选择结构．
解 算法如下：
S1 输入,,a b c ； S2 2
4b ac ?←-；
S3 如果0?<，那么输出“方程无实数根”，
否则12b x a
-+←
，22b x a
-←
S4 输出,x x ；．根据上述步骤，可以画出流程图
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法（3）13)2(2++=-x x x f D P C P A P B
待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；
含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数 概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量 表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ， 这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+= --∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求 ()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111 ()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+ ≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则 22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22 f x x x = ++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）
数值分析上机题 第一章 17.（上机题）舍入误差与有效数 设∑=-= N j N j S 2 2 11 ，其精确值为）111-23（21+-N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 -1 ···1-311-21222N S N +++=，计算N S 的通用 程序； （2）编制按从小到大的顺序1 21 ···1)1(111 222-++--+ -=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时用单精度）； （4）通过本上机题，你明白了什么？ 解： 程序： （1）从大到小的顺序计算1 -1 ···1-311-21222N S N +++= ： function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long ; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end （2）从小到大计算1 21 ···1)1(111 2 22 -++--+-= N N S N function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end （3） 总的编程程序为： function p203()
clear all format long; n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为sn fprintf('精确值为%f\n',sn); sn1=fromlarge(n); fprintf('从大到小计算的值为%f\n',sn1); sn2=fromsmall(n); fprintf('从小到大计算的值为%f\n',sn2); function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end end 运行结果：
指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2 321(25) (25) x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2 2 25(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2 (25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14 x > ．∴x 的取值范围是1 4 ?? + ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2 16 0x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令2 6x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2 061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01， ．
期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
数值分析上机题目 1、 分别用不动点迭代与Newton 法求解方程250x x e -+=的正根与负根。 2、 Use each of the following methods to find a solution in [0.1,1] accurate to within 10^-4 for 4326005502002010x x x x -+--= a. Bisection method b. Newton’s method c. Secant method d. Method of False Position e. Muller’s method 3、 应用Newton 法求f （x ）的零点，e=10^-6,这里f （x ）=x-sin （x ）。 再用求重根的两种方法求f （x ）的零点。 4、 应用Newton 法求f （x ）的零点，e=10^-6,f(x)=x-sin(x) 再用Steffensen’s method 加速其收敛。 5、 用Neville’s 迭代差值算法，对于函数2 1 (),11125f x x x = -≤≤+进行lagrange 插值。取不同的等分数n=5,10，将区间[-1,1]n 等分，取等距节点。把f(x)和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。 6、 画狗的轮廓图 7、 Use Romberg integration to compute the following approximations to ? a 、 Determine R1,1,R2,1,R3,1,R4,1and R5,1,and use these approximations to predict the value of the integral. b 、 Determine R2,2 ,R3,3 ,R4,4 ,and R5,5,and modify your prediction. c 、 Determine R6,1 ,R6,2 ,R6,3 ,R6,4 ,R6,5 and R6,6,and modify your prediction.
指数函数习题精选精讲
指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则3 21x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵22 25(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14??+ ??? ，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴206 1x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01， ．
数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分
②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(数值分析上机题目详解
第一章 一、题目 设∑ =-= N N j S 2 j 2 1 1，其精确值为)11 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序1 1 13112122 2-+??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn (N=%d)\n',N); fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2); disp('____________________________________________________')
三、结果 从结果可以看出有效位数是6位。 感想：可以得出，算法对误差的传播有一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象，容易产生较大的误差，求和运算从小数到大数所得到的结果才比较准确。
数学练习题抽象函数(含答案)
高考一轮专练——抽象函数 1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1 x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2 x ),试判断f (x )的奇偶 性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m ) 6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0. （1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数. 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ， 当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）若f （k ) 293()3 --+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成 立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知2 2 (sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示. 数值分析上机题1 设2 21 1N N j S j ==-∑ ，其精确值为1311221N N ??-- ?+?? 。 （1）编制按从大到小的顺序222 111 21311 N S N = +++---，计算N S 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序22 21111(1)121 N S N N =+++----，计算N S 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？ 程序代码（matlab 编程）： clc clear a=single(1./([2:10^7].^2-1)); S1(1)=single(0); S1(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S1(N)=a(1); for i=2:N-1 S1(N)=S1(N)+a(i); end end S2(1)=single(0); S2(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S2(N)=a(N-1); for i=linspace(N-2,1,N-2) S2(N)=S2(N)+a(i); end end S1表示按从大到小的顺序的S N S2表示按从小到大的顺序的S N 计算结果 通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低，我们在计算机中进行同号数的加法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的相对误差较小。 求证:恰有一个定义在所有非零实数上的函数f,满足:(1)对任意x≠0，f(x)=x*f(1/x);(2)对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y) 解：首先，令g(x)=f(x)-1，把条件写成 g(x+y)=g(x)+g(y) (1) g(x)+1=xg(1/x)+x (2) (1)称为Cauchy函数方程，一般来讲是需要额外条件(诸如连续性、单调性之类)才能得到g 是线性函数，对于这个问题而言，(2)就是所谓的额外条件，所以不再需要连续性的条件。首先，在(2)当中取x=-1得到g(-1)=-1。 再对(1)取y=-x-1得-1=g(x-x-1)=g(x)+g(-x)+g(-1)，所以g(-x)=-g(x)，即g是奇函数。 将(2)变形为 g(x)-x=x[g(1/x)-1/x] (3) 如果存在a>0使得g(a)>a，那么g(1/a)>1/a，利用奇函数的性质，g(-a)=-g(a)<-a，继续在(3)中取x=-a得到g(-1/a)>-1/a，这样g(1/a)=-g(-1/a)<1/a，矛盾。同理可以证明不存在a>0使得g(a) 第四讲 函数 【例题精讲】 一、选择题 1．下列函数中，不是二次函数的是（ ）． （A ）)32(2-=x x y （B ）2 1 )21(22--=x y （C ）)1)(1(21 +-= x x y （D ）22)2(x x y --= 2．若y 与x 1成反比例，x 与z 1 成正比例，则y 是x 的（ ） （A ）正比例函数 （B ）反比例函数 （C ）一次函数 （D ）二次函数 3．若点),(),,(),,(332211y x y x y x 都在反比例函数x y 1 - =的图象上， 并且3210x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ） （A ）321y y y << （B ）132y y y << （C ）123y y y << （D ）231y y y << 4．直线b kx y +=经过点)1,(m A 和),1(m B -，其中1>m ，则（ ） （A ）0,0<>b k （B ）0,0>>b k （C ）0,0<+-=>= -=-=x x y x x y x y x y ，其中y 随x 的增大而减小的函数有（ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 二、填空题 5．抛物线1322 +-=x x y 的顶点坐标是__________. 6．已知函数c bx ax y ++=2的图象是以点（2，3）为顶点，并且经过点（3，1），求这个函数的解析式_________________. 7．已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象与32 --=x y 的图象形状相同，开口方向也相同，又经过（－1，0），（0，6）两点，求这个二次函数的解析式_________________. 8．已知正比例函数x m y )12(-=的图象上两点),(),,(2211y x B y x A ，当21x x <，有 21y y >，那么m 的取值范围是______________. 9．若k 、b 是一元二次方程02 =-+q px x 的两个实数根)0(≠kb ，在一次函数b kx y +=中，y 随x 的增大而减小，则一次函数的图象一定经过第______________象限. 10．二次函数b ax x y ++=2 2的图象经过（2，3）点，并且其顶点在直线23-=x y 上，则_____________,==b a ． 1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； 解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小， 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制， 即算法是否数值稳定。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2; 幂函数 函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维． 一、分类讨论的思想 例1 已知函数223n n y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象． 解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤， 又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，． 当0n =时，2233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2230n n --=为偶数； 当2n =时，2233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3． 此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示． 二、数形结合的思想 例2 已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上，点124?? - ???，，在幂函数()g x 的图象上． 问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 分析：由幂函数的定义，先求出()f x 与()g x 的解析式，再利用图象判断即可． 解：设()m f x x =，则由题意，得2(2)m =， ∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1 (2)4n =-， ∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出 ()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =； （3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <． 小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中()g x 的隐含条件0x ≠． 三、转化的数学思想 例3 函数1 224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ） ． Ａ．(512)-， Ｂ．(51)-+，∞ 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ，则＝（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足（ ） A ． ＝0， B ． ＝0， C ．＝1， D ． ＝1， 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． B ． C ． D ． π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+= 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则 ， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数 ，那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ，所以 在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=? 如有帮助欢迎下载支持 数值分析上机题 姓名：陈作添 学号： 040816 习题 1 20．（上机题）舍入误差与有效数 N 1 1 3 1 1 设 S N ，其精确值为 。 2 2 2 N N 1 j 2 j 1 （1）编制按从大到小的顺序 1 1 1 ，计算 S 的通用程序。 S N 1 32 1 N 2 1 N 2 2 （2）编制按从小到大的顺序 1 1 1 ，计算 S 的通用程序。 S N 1 (N 1)2 1 22 1 N N 2 （3）按两种顺序分别计算 S 102 ， S 104 ， S 106 ，并指出有效位数。 （编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？ 按从大到小的顺序计算 S N 的通用程序为： 按从小到大的顺序计算 S N 的通用程序为： #include 课题：函数的周期性 考纲要求： 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 教材复习 ()1 周期函数：对于函数()y f x =，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的一个周期. ()2最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中 的正数，那么这个最 小正数就叫作()f x 的最小正周期. 基本知识方法 1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()() 1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1()()1() f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=- +，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1() f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =. ⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； ⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； ⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；东南大学《数值分析》-上机题
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