指数函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小
例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x
f c 的大小关系是_____．
分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x
x
b c ，的取值是否在同一单调区间内．
解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．
∴函数()f x 在(]1-，
∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则3
21x
x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；
若0x <，则321x
x
<<，∴(3)(2)x
x
f f >．
综上可得(3)(2)x
x
f f ≥，即()()x
x
f c f b ≥．
评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2
321(25)
(25)x
x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．
分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2
2
25(1)441a a a ++=++>≥，
∴函数2(25)x
y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >
．∴x 的取值范围是14??
+ ???
，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题
例3 求函数y =
解：由题意可得2
16
0x --≥，即261x -≤，
∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，
∞．
令2
6
x t -=，则y =
又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2
061x -<≤，即01t <≤．
∴011t -<≤，即01y <≤．
∴函数的值域是[)01，
． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数221(01)x
x y a
a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．
分析：令x
t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．
解：令x
t a =，则0t >，函数221x
x y a
a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．
∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，
∴
1x a a a ≤≤，即1
t a a
≤≤． ∴当t a =时，2
max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；
当01a <<时，∵[]11x ∈-，，
∴1x a a a ≤≤
，即1
a t a
≤≤， ∴ 1t a =时，2
max 11214y a ??
=+-= ???
，
解得13a =
或15a =-（舍去），∴a 的值是3或1
3
． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程2
23
380x x +--=．
解：原方程可化为2
9(3)80390x x
?-?-=，令3(0)x
t t =>，上述方程可化为2
98090t t --=，解得9t =或
19
t =-（舍去）
，∴39x
=，∴2x =，经检验原方程的解是2x =． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题
例6 为了得到函数935x
y =?+的图象，可以把函数3x
y =的图象（ ）．
A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
分析：注意先将函数935x
y =?+转化为2
35x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断．
解：∵2
9353
5x x y +=?+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得
到函数935x
y =?+的图象，故选（C ）．
评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题
1、比较下列各组数的大小：
（1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较
与 ；
（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若
，且
，比较a 与b ．
分析：设 均为正数，则 ，即比较两个正数的大小，可比较它们的商与1的大小．掌握指
数函数的图象规律，还要掌握底的变化对图象形状的影响．这主要有两方面：其一是对 ；
对
．用语言叙述即在y 轴右侧，底越大其图象越远离x 轴；在y 轴左侧，底越大，其图
象越接近x 轴．这部分内容即本题（2），（3）所说的内容．其二是当底均大于1时，底越大，其图象越接近y 轴；当底均小于1时，底越小，其图象越接近y 轴．一个便于记忆的方法是：若以离1远者为底，则其图象接近y 轴．当然这是指底数均大于1或均小于1．这部分内容即本题（4）与（5）．
解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．
（2）由，故．又，故．从而．
（3）由，因，故．又，故．从而．
（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．
（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，
且，故．从而，这与已知矛盾．
小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．
2、(1)指数函数①②满足不等式,则它们的图象是( ).
分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.
解:由 可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是
或
,进而再判断①②与
和
的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令 ,①②对
应的函数值分别为 和
,由
可知应选
.
(2)曲线
分别是指数函数 ,
和
的
图象,则 与1的大小关系是 ( ).
(
分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数
值由小到大依次为
,故应选
.
小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值
3 求下列函数的定义域与值域.
(1)y ＝2
3
1-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.
解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝2
3
1-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵3
1
-x ≠0，∴231
-x ≠1，
∴y ＝23
1-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.
(2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1. ∴y ＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.
4 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值 解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以93
1
≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。 5、设
，求函数
的最大值和最小值．
分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间
上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值． 解：设
，由
知，
，函数成为 ， ，对称轴 ，故函
数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为
．
6（9分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.
．解：
)1(122>-+=a a a y x x ， 换元为)1
(122a t a
t t y <<-+=，对称轴为1-=t .
当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略
解得 a =3 (a = －5舍去)
7．已知函数 （
且
） （1）求 的最小值； （2）若
，求
的
取值范
围．
．解：（1） ， 当 即 时， 有最小值
为
（2） ，解得
当 时，
；
当
时，
．
8（10分）（1）已知m x f x +-=
1
32
)(是奇函数，求常数m 的值；
（2）画出函数
|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无
解？有一解？有两解？
解： （1）常数m =1
（2）当k <0时，直线y =k 与函数
|13|-=x y 的图象无交点,即方程无解;
当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数
|13|-=x
y 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;
当0 |13|-=x y 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。 9．若函数 是奇函数，求 的值． ．解： 为奇函数， ， 即 ， 则 ， 10. 已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（ 41）x-1-4·（2 1）x +2的最大值和最小值 解：由已知得（3x ）2-10·3x +9≤0 得（3x -9）（3x -1）≤0 ∴1≤3x ≤9 故0≤x ≤2 而y=( 41)x-1-4·(21)x +2= 4·（21）2x -4·（2 1 ）x +2 令t=（2 1 ）x （141≤≤t ） 则y=f （t ）=4t 2-4t+2=4（t-2 1 ）2+1 当t=2 1 即x=1时，y min =1 当t=1即x=0时，y max =2 11．已知 ，求函数 的值域． 解：由 得 ，即 ，解之得 ，于是 ，即 ，故所求函数的值域为 12. (9分)求函数 2 222 ++-=x x y 的定义域，值域和单调区间 定义域为R 值域（0，8〕。（3）在（-∞， 1〕上是增函数 在〔1，+∞）上是减函数。 13 求函数y ＝2 3231+-?? ? ??x x 的单调区间. 分析 这是复合函数求单调区间的问题 可设y ＝u ? ? ? ??31,u ＝x 2-3x+2，其中y ＝u ? ? ? ??31为减函数 ∴u ＝x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u ＝x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 解：设y ＝u ? ? ? ??31,u ＝x 2-3x+2,y 关于u 递减， 当x ∈(-∞， 2 3 )时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［2 3 ，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数. 14 已知函数f(x)＝1 1 +-x x a a (a>0且a ≠1). (1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性. 解：(1)易得f(x)的定义域为｛x ｜x ∈R ｝. 设y ＝1 1+-x x a a ,解得a x ＝-11-+y y ①∵a x >0当且仅当-11-+y y >0时，方程①有解.解-11-+y y >0得-1 ∴f(x)的值域为｛y ｜-1＜y ＜1}. (2)∵f(-x)＝11+---x x a a ＝ x x a a +-11＝-f(x)且定义域为R ，∴f(x)是奇函数. (3)f(x)＝12)1(+-+x x a a ＝1-1 2 +x a . 1°当a>1时，∵a x +1为增函数，且a x +1>0. ∴12+x a 为减函数，从而f(x)＝1-12 +x a ＝1 1+-x x a a 为增函数.2°当0 15、已知函数f （x ）=a － 1 22 +x （a ∈R ）， （1） 求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数． （2） 若f （x ）为奇函数时，求a 的值。 （1）证明：设x 1＜x 2 f （x 2）－f （x 1）=) 21)(21() 22(22 112x x x x ++-＞0 故对任何a ∈R ，f （x ）为增函数． （2）x R ∈Q ，又f （x ）为奇函数 (0)0f ∴= 得到10a -=。即1a = 16、定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期为2，且)1,0(∈x 时，1 42)(+= x x x f （1）求)(x f 在[－1，1]上的解析式；（2）判断)(x f 在（0，1）上的单调性； （3）当λ为何值时，方程)(x f =λ在]1,1[-∈x 上有实数解. 解（1）∵x ∈R 上的奇函数 ∴ 0)0(=f 又∵2为最小正周期 ∴0)1()1()12()1(=-=-=-=f f f f 设x ∈（－1，0），则－x ∈（0，1），)(1 421 4 2)(x f x f x x x x -=+= +=--- ∴1 42)(+-=x x x f （2）设0 ) 14)(14() 22()22()()(21122212221++-+-= -++x x x x x x x x x x f x f =0) 14)(14()21)(22(2 12121>++--+x x x x x x ∴在（0，1）上为减函数。 （3）∵)(x f 在（0，1）上为减函数。 ∴)0()()1(f x f f << 即)2 1,52()(∈x f 同理)(x f 在（－1，0）时，)5 2,21()(--∈x f 又0)1()0()1(===-f f f ∴当)2 1 ,52()52,21(?-- ∈λ或0=λ时 λ=)(x f 在[－1，1]内有实数解。 ????? ????∈+∈∈+- =(0,1) x 142{-1,0,1} x 0 (-1,0) x 1 42)(x x x x x f 函数y ＝a ｜x ｜(a>1)的图像是( ) 分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1：(分类讨论)： 去绝对值，可得y ＝??? ??<≥).0()1(),0(x a x a x x 又a>1，由指数函数图像易知，应选B. 解法2：因为y ＝a ｜x ｜是偶函数，又a>1，所以当x ≥0时，y ＝a x 是增函数；x ＜0时，y ＝a -x 是减函数. ∴应选B. 学习指数函数定义的两个注意点 指数函数施我们学习的基本函数之一，对于指数函数的学习，概念非常重要，因此一定要弄懂指数函数的定义。 指数函数的定义： 函数 )10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。 注意点1：为什么要规定01a a >≠且呢？ ①若0a =，则当0x >时，0x a =；当当0x <时，x a 无意义. ②若0a <，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义. 如x )2(-，这时对于14x = ，1 2 x =，…等等，在实数范围内函数值不存在. ③若1a =，则对于任何x R ∈，1x a =，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定01a a >≠且。在规定以后，对于任何x R ∈，x a 都有意义，且0x a >. 因 此指数函数的定义域是R ，值域是(0,)+∞ 。 注意点2：函数 x y 32?=是指数函数吗？ 指数函数的解析式 x y a =中，x a 的系数是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 x y a k =+ (01a a >≠且，k Z ∈)；有些函数看起来不像指数函 数，实际上却是，如x y a -= (01a a >≠且)，因为它可以化为1x y a ?? = ? ?? ，其中 10a >，且1 1a ≠。 以上两点在学习中经常会碰到，希望大家在学习中能引起注意，真正理解指数函数的定义。 第五节 指数与指数函数 考纲解读 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质. 3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. 4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲 一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n =a m +n (m ,n ∈R )； (2)m m n n a a a -=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )； (4)(ab )m =a m b m (m ∈R )； (5)p p a a -=1 (p ∈Q ) (6)m m n n a a =(m ,n ∈N +) 二、指数函数 (1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 00 y =1?x =0 y >1?x <0 (5)0 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下： 指数函数平移问题（引导学生作图理解） 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系（作图略）， ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12-=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）1241++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 专题二函数概念与基本初等函数I 第四讲指数函数、对数函数、幂函数答案部分2019 年 1. 解析由题意知，m 太阳 E E 太阳 ，将数据代入，可得lg 太阳10.1 m lg E 天狼星天狼星 2 ， E 天狼星 所以 E .故选A. 太阳 10 10.1 E 天狼星 sin xx , x[ n,n ], 2.解析因为cos x x f x 2 sin x x f x sin x x xcos x x 2 2 所 cos x x 所以f x为 [ n,n ]上的奇函数，因此排除A; n 0 ，因此排除B，C； sin n n f n 又 又 cos n n 2 1 n 2 故选D．3.解析：由函数y ，y log x 1 ，单调性相反，且函数 x 1 log a 1 a 图像恒 a x 2 2 1 可各满足要求的图象为D.故选D.过 ,0 2 2010-2018 年 1 1. D【解析】c log 1 y log x 为增函数， 3 log 5，因为 3 5 3 7 所以 log 5 log 3 3 log 3 1. 3 2 因为函数 1 x 1 1 1 0 y （）为减函数，所以（）（）1,故c a b,故选D. 3 4 2. B【解析】当x 0时，因为 ex 4 ex 4 x 0 ，所以此时 x e e f (x) x 2 1 0 ，故排除A. D； 1 又f (1) e 2 e ，故排除C,选B. 3. B【解析】解法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x, y),则其关于直线x 1的对称 点的坐标为(2 x, y) ,由对称性知点(2 x, y) 在函数f (x) ln x 的图象上,所以y ln(2 x) ,故选B. 解法二由题意知,对称轴上的点(1, 0) 即在函数y ln x 的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验, 排除A, 2(1 x) ，0 x 2知，f (x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, 2) 上 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 第5讲 指数与指数函数 基础知识整合 一、指数及指数运算 1．根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果□ 01x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根 — n >1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个□ 02正数，负数的n 次方根是一个□ 03负数 n a 零的n 次方根是零 当n 为偶数时，正数的n 次方根有□04两个，它们互为□ 05相反数 ±n a (a ＞0) 负数没有偶次方 根 2．分数指数幂 (1)a m n ＝□ n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)； (2)a －m n ＝□ 071 a m n ＝□ 1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 二、指数函数及其性质 1．指数函数的概念 函数□ 09y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 说明：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数． 2．指数函数的图象和性质 底数 a >1 00时，恒有y >1； 当x <0时，恒有0 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． §2.2.1 分数指数幂（1） 【教学目标】 1．理解n 次方根及根式的概念； 2．掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值； 3．提高观察、抽象的能力． 【课前导学】 1．如果2x a =，则x 称为a 的 ； 如果3x a =，则x 称为a 的 ． 2. 如果*(1,)n x a n n N =>∈，则x 称为a 的 ；0的n 次实数方根等于 ． 3. 若n 是奇数，则a 的n 次实数方根记作n a ； 若0>a 则为 数，若o a <则为 数；若n 是偶数，且0>a ，则a 的n 次实数方根为 ；负数没有 次实数方根． 4. 式子n a ()1,n n N * >∈叫 ，n 叫 ，a 叫 ； n = ． 5. 若n = ；若n = ． 【例题讲解】 例1．求下列各式的值： （1）2 （2）3 （3 （4 *变式：解下列方程（1）3216x =-； （2）422240x x --= 例2．设－3 §2.2.1 分数指数幂（2） 【教学目标】 1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化； 2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简． 3．会对根式、分数指数幂进行互化； 4．培养学生用联系观点看问题． 【课前导学】 1．正数的分数指数幂的意义： （1）正数的正分数指数幂的意义是m n a = ()0,,,1a m n N n *>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义m n a -= ()0,,,1a m n N n *>∈>． 2．分数指数幂的运算性质： 即()1r s a a = ()0,,a r s Q >∈， ()()2s r a = ()0,,a r s Q >∈， ()()3r ab = ()0,0,a b r Q >>∈． 3．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 指数幂同样适用. 4. 0的正分数指数幂等于 . 【例题讲解】 例1．求值（1） 12100， （2）23 8， （3）()32 9-， （4） 34 181- ?? ??? ． 例2．用分数指数幂表示下列各式(0)a >： （1）a ；（2 ；（3． 指数函数 【知识点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=ax(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?， 1 2x y =，31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x ==???时，在实数范围 内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质： 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2, 3, (), ()2 3 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜ b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 【例4】解 比较大小与＞且≠，＞． 当＜＜，∵＞，＞， a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 111 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() () 专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数 答案部分 2019年 1. 解析 由题意知，lg 2E m m E 5 -=太阳太阳天狼星天狼星，将数据代入，可得lg 10.1E E =太阳天狼星 ， 所以 10.1 10E E =太阳天狼星 .故选A. 2.解析 因为()2 sin cos x x f x x x +=+，π[]πx ∈-，， 所以()()()22 sin sin cos cos x x x x f x f x x x x x --+-= ==--++， 所以()f x 为[ππ]-，上的奇函数，因此排除A ； 又()22 sin πππ π0cos ππ1π f +==>+-+，因此排除B ，C ； 故选D ． 3.解析：由函数1x y a = ，1log 2a y x ??=+ ???，单调性相反，且函数1log 2a y x ? ?=+ ??? 图像恒 过1 ,02?? ??? 可各满足要求的图象为D .故选D ． 2010-2018年 1．D 【解析】1 33 1 log log 55 c ==，因为3log y x =为增函数， 所以33 37 log 5log log 312 >>=． 因为函数1()4x y =为减函数，所以10311()()144<=，故c a b >>，故选D ． 2．B 【解析】当0 又1 (1)2=- >f e e ，故排除C ，选B ． 3．B 【解析】解法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称 点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以 ln(2)y x =-，故选B ． 解法二 由题意知，对称轴上的点(1,0)即在函数ln y x =的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B ． 4．C 【解析】由2(1) ()(2) x f x x x -'= -，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上 单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=， 所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确． 5．D 【解析】由2 280x x -->，得2x <-或4x >，设2 28u x x =--，则 (,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性 质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 6．C 【解析】函数()f x 为奇函数，所以221 (log )(log 5)5 a f f =-=， 又222log 5log 4.1log 42>>=，0.8 122<<， 由题意，a b c >>，选C ． 7．B 【解析】由11 ()3 ()(3())()33 x x x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选B ． 8．A 【解析】对于A,令()e 2 x x g x -=?,1 1()e (22ln )e 2(1ln )022 x x x x x g x ---'=+=+>， 则()g x 在R 上单调递增，故()f x 具有M 性质,故选A ． 9．D 【解析】设361 80310 M x N ==，两边取对数得， 361 36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810 x ==-=?-≈， 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 指数函数·例题解析【高中数学题型归纳】2.5指数与指数函数
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