数学纠错练习（3）
1. 函数y ＝sin x 和y ＝tan x 的图象在[－2π，2π]上交点的个数为 .5
2. 已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )·cos x
＜0的解集为 .
(－π2
，－
1)∪(0,1)∪(π
2
，3)
3. 已知函数f (x )＝
x －33x ＋1
，设f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f [f n (x )](n ∈N *
)，若集合M ＝{x ∈R |f 2009(x )＝2x ＋3}，则集合M 中的元素个数为 . 1个
4. 在单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP ＋D 1P 取得最小值，则此最小值为 .
2＋ 2
5. 已知向量OB ＝(2，0)， OC ＝(2，2)， CA ＝(cos α，sin α)( α∈R)，则OA 与OB 夹角的取值范围是 [15°,75°]
6. 将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再折起，
做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器底面边长为 时，其容
积最大。
3
2 7. 动点(,)P a b 在不等式2000x y x y y +-≤??
-≥??≥?
表示的平面区域内部及其边界上
运动，则
3
1
a b w a +-=
-的取值范围是 。(－∞,－1]∪[3,＋∞)
8．设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()
()f x g x x
=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ． 21
(,]e e
-∞+
9. 已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，（ n N *
∈，且
2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数列．老师给出下列四个式子：
①1
()
2n
k k n
a b x =+=
∑
；②211(
2n k k x
n =>
∑；
<
=>
．其中一定成立的是 ▲ ①② ．（只需填序号）
10.已知关于x 的函数158)532()(--+-+-=b a x b a x f .如果[]1,1-∈x 时,其图象恒在x 轴的上方,则
a
b 的取值范围是 ),3()23
,(+∞-∞ _
11.当θ
取遍所有值时，直线cos sin )4
x y π
θθθ?+?=++4所围成的图形面积为 。
16π
12. 设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。下列命题：
①集合S ＝{a ＋bi |a,b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S T C ??的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 ①② （写出所有真命题的序号）
13. 若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为
()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是
0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2n a n =，则5()a *= ，(())n a **= 2，2n
14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋2n ．数列{b n }中，b 1＝1，它的第n 项b n 是数列{a n }的第b n －1项(n ≥2)． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若存在常数t 使数列{b n ＋t }是等比数列，求数列{b n }的通项公式； （Ⅲ）求证：①b n +12>b n ；
②
1231111
2n
b b b b ++++< ． （Ⅰ）1n =时，113a S ==，
2n ≥时，221(2)(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，
且1n =时也适合此式，故数列{}n a 的通项公式是21n a n =+； （Ⅱ）依题意，2n ≥时，1121n n b n b a b --==+， ∴112(1)n n b b -+=+，又112b +=， ∴{1}n b +是以2为首项，2为公比的等比数列，
11222n n n b -+=?=，即21n n b =-.
（Ⅲ） ①1
12(2
1)2(21)10n n n n b b ++-=---=> 所以12n n b b +>对一切自然数n 都成立．
②由12n n b b +>得
1112n n b b +<
设1231111
n
S b b b b =++++ 则S 11211111222n b b b b -<
++++ 1111
()2n
S b b =+- 所以121
2n
S b b <
-<． 15．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．
（1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值。
（2）对(0,)x ∈+∞，不等式2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）证明对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e x x >-成立． (1) ()ln 1f x x '=+.
当()10,e
x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，
当()
1,e x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．
因为0t >，所以12e
t +>.
① 当102e t t <<<+，即10e t <<时，[]()
min 11()e e
f x f ==-；
②当12e t t ≤<+，即1e
t ≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，[]min ()()ln f x f t t t ==；
所以[]min
110,e e ()1ln .e t f x t t t ?-<
， ，
(2)22ln 3x x x ax ≥-+-，则3
2ln a x x x
≤++， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2
(3)(1)
'()x x h x x +-=，
当(0,1)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递减，
所以[]min ()(1)4h x h ==，
因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以[]min ()4a h x ≤=； (3)问题等价于证明2ln ((0,))e e
x
x x x x >-∈+∞， 由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1e
x =时取得.
设2()((0,))e e x
x m x x =-∈+∞，则1()e
x x m'x -=，易得[]max 1()(1)e m x m ==-，当且仅当1x =时取到， 从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e x
x x
>-成立