数学纠错练习(4)
1.设0,0,4a b a b ab >>+=,则在以(),a b 为圆心,a b +为半径的圆中,面积最小的圆的标准方程是 .(x -3)2
+(y -6)2
=81
2.设函数2()21f x x x =+-,若1,a b <<-且()(),f a f b = 则ab a b ++的取值范围为 . ()1,1-
3.某学生对函数()2cos f x x x =?的性质进行研究,得出如下的结论:
① 函数()f x 在[],0π-上单调递增,在[]0,π上单调递减;
② 点,02π??
???
是函数()y f x =图像的一个对称中心;
③ 函数()y f x = 图像关于直线x π=对称;
④ 存在常数0M >,使()f x M x ≤对一切实数x 均成立.
其中正确的结论.....
是 .(填写所有你认为正确结论的序号)④ 4.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在一
点P ,使
1221
sin sin a c
PF F PF F =
∠∠,则椭圆离心率的取值范围为
.1,1) 5.已知函数2
()cos f x x x =-,对于ππ22??-????
,上的任意12x x ,,有如下条件:①12x x >;
②22
12x x >; ③12x x >.其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是___②_____;
6.设方程2ln 103x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式023x x -<的最大整数解为_2_____.
7.若函数2
1
2
()m
m f x x ++=(m N ∈),则)18(f )4(f +与)11(2f 的大小关系_________.
)18(f )4(f +<)11(2f
8.若对,[1,2]x y ∈,2xy =,总有不等式24a
x y
-≥
-成立,则实数a 的取值范围是 . 0≤a
9.若关于x 的方程
kx x x =-2||有三个不等实数根,则实数k 的取值范围是 . ??
?
??21,0 10.已知函数f(x)= (31)4(1)
log (1)a a x a x x
x -+?
≥?在R 不是单调函数......,则实数a 的取值范围 是 . ),1()1,3
1[)71
,0(+∞??
11.设定义在R 的函数)(x f 同时满足以下条件:
①0)()(=-+x f x f ; ②)2()(+=x f x f ;③当10<≤x 时,12)(-=x
x f . 则=++++)2
5()2()23()1()21(f f f f f . 21-
12.若存在过点)0,1(的直线与曲线3
x y =和94
15
2
-+
=x ax y 都相切,则a 等于 .
6425
-=a 或1-=a
13.现有一枚均匀的正方体骰子,六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6,连续抛掷两次,朝上的数字分别为a ,b ,已知直线1l :1122y x =
-,直线2l :1
a y x
b b
=+, (1)求直线1l ∥2l 的概率;(2)求直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率。
解:本题共有36种等可能事件()1,1,()1,2,…,()1,6,()2,1,()2,2,…,()2,6,…,
()5,6,()6,6
(2)设事件B 为“直线1l 与2l 的交点位于第一象限”,由于直线1l 与2l 有交点,则2b a ≠.
联立方程组10,210.ax by x y -+=??--=?解得2,21.2b x b a
a y
b a +?=??-?+?=?-?
因为直线1l 与2l 的交点位于第一象限,则0,0.x y >??>? 即20,210.
2b x b a
a y
b a +?
=>??-?+?=>?-?
解得2b a >.
满足条件的实数对(),a b 有()1,3、()1,4、()1,5、()1,6、()2,5、()2,6共六种. 所以()61366P B ==. 答:直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率为1
6
.
14.已知函数4
3
2
()2f x x ax x b =+++(x R ∈),其中R b a ∈,. (Ⅰ)当10
3
a =-
时,讨论函数()f x 的单调性; (Ⅱ)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围;
(Ⅲ)若对于任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立,求b 的取值范围.
(Ⅰ)解:322
()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++.
当103
a =-
时,2
()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--. 令()0f x '=,解得10x =,21
2
x =,32x =.
当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:
所以()f x 在(0,)2,(2,)+∞内是增函数,在(,0)-∞,(,2)2
内是减函数.
(Ⅱ)解:2()(434)f x x x ax '=++,显然0x =不是方程2
4340x ax ++=的根.
为使()f x 仅在0x =处有极值,必须24403x ax +≥+成立,即有2
9640a ?=-≤.
解些不等式,得3
838
a -
≤≤.这时,(0)f b =是唯一极值. 因此满足条件的a 的取值范围是88
[,]33
-.
(Ⅲ)解:由条件[2,2]a ∈-,可知2
9640a ?=-<,从而2
4340x ax ++>恒成立. 当0x <时,()0f x '<;当0x >时,()0f x '>.
因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者.
为使对任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立,当且仅当1
11))1
((f f ≤-≤??
?,即
22b a b a
≤--≤-+??
?
,在[2,2]a ∈-上恒成立. 4b ≤-,因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-