第 2 章符号计算
符号计算：
解算数学表达式、方程不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式，数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。
符号计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础之上，所得结果完全准确。
特点：
一．相对于MATLAB的数值计算“引擎”和“函数库”而言，符号计算的“引擎”和“函数库”是独立的。
二．在相当一些场合，符号计算解算问题的命令和过程，显得比数值计算更自然、更简明。
三．大多数理工科的本科学生在学过高等数学和其他专业基础课以后，比较习惯符号计算的解题理念和模式。
2.1符号对象和符号表达式
MATLAB依靠基本符号对象（包括数字、参数、变量）、运算符及一些预定义函数来构造和衍生符号表达式和符号方程。
2.1.1基本符号对象和运算算符
1.生成符号对象的基本规则
●任何基本符号对象（数字、参数、变量、表达式、函数）都必须借助
专门的符号命令sym、syms、symfun定义。
●任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性。
2.精准符号数字和符号常数
符号（类）数字的定义：
sym(Num) 采用精准数值类数创建精准的符号数字（推荐格式!）
sc=sym(Num) 采用精准数值类数创建精准的符号常数sc（推荐格式!）
说明：若输入量Num是精准的浮点数（如0.321、10/3等），能生成精准的符号数字；
若输入量Num是诸如sin(0.3)的数值表达式，那么就只能生成由数字表达式获得的16位精度的近似符号数字。
sym('Num') 采用有理分数字符串创建精准的符号数字
sc=sym('Num') 采用有理分数字符串创建精准的符号常数sc
说明： Num必须处于（英文状态下的）单引号内，构成字符串（关于字符串参见附录A）；
只有当字符串数字'Num'采用诸如321/1000、10/3等整数构成的有理分数形式表达时，sym('Num') 才能生成精准的符号数字；
若字符串数字用诸如0.321、3.21e-1等“普通小数或科学记述数”表达，那么只能产生“近似符号数字”。在默认情况下，该近似符号数字为32位精度。
【例2.1-1】
（1）创建完全精准的符号数字或数字表达式
clear all
R1=sin(sym(0.3)) % 输入量为普通小数
R2=sin(sym(3e-1)) % 输入量为科学记述数
R3=sin(sym(3/10)) % 输入量为有理分数
R4=sin(sym('3/10')) % 输入量为“整数构成的有理分数”字符串数字
disp(['R1属于什么类别？答：',class(R1)])
disp(['R1与R4是否相等？（是为1，否为0）答：',int2str(logical(R1==R4))]) R1 =
sin(3/10)
R2 =
sin(3/10)
R3 =
sin(3/10)
R4 =
sin(3/10)
R1属于什么类别？答：sym
R1与R4是否相等？（是为1，否为0）答：1
（2）产生具有32位精度的“近似”符号数字（杜绝使用！）
S1=sin(sym('0.3')) % sym的输入量是字符串小数，生成32位精度下的
% 近似符号数，进而在sin作用下给出近似符号数。
S2=sin(sym('3e-1')) % syms的输入量是字符串科学记述数。
eRS=vpa(abs(R1-S1),64);
disp(['S1属于什么类别？答：',class(S1)])
disp(['S1与R1是否相同？答: ',int2str(logical(R1==S1))])
disp('S1与R1的误差为')
disp(double(eRS))
S1 =
0.29552020666133957510532074568503
S2 =
0.29552020666133957510532074568503
S1属于什么类别？答：sym
S1与R1是否相同？答: 0
S1与R1的误差为
6.3494e-41
（3）产生具有16位精度的“近似”符号数字（杜绝使用！）
F1=sym(sin(3/10)) % sym的输入量为双精度表达式sin(3/10)，
% 就只能创建出仅16位精度的近似符号数。
F2=sym(sin(0.3)) % 同上
eFS=vpa(abs(F1-S1),32);
disp(['F1属于什么类别？答：',class(F1)])
disp(['S1与F1是否相同？答: ',int2str(logical(F1==S1))])
disp('F1与S1的误差为')
disp(double(eFS))
F1 =
5323618770401843/18014398509481984
F2 =
5323618770401843/18014398509481984
F1属于什么类别？答：sym
S1与F1是否相同？答: 0
F1与S1的误差为
2.8922e-17
3.基本符号变量
经典教科书里，表达式e-ax sinbx中的a,b称为参数，x为变量。在MATLAB的符号计算中，a、b、x统称为基本符号变量，其中，x总被默认为“待解（自由）符号变量”，其他被作为“符号参数”处理。
定义基本符号变量的命令格式：
para=sym(' para') 定义单个复数域符号变量para
para=sym(' para', 'Flag') 定义单个Flag指定域符号变量para
syms para 定义单个复数域符号变量para的另一种方式syms para Flag 定义单个Flag指定域符号变量para的另一种方式
syms para1 para2 paraN 定义多个复数域符号变量para1 para2 paraN syms para1 para2 paraN Flag 定义多个Flag指定域符号变量para1 para2 paraN
●符号参数名不要用处于“字母表中小写字母x及其两侧的英文字母”开头。
●Flag表示数域的限定性假设，可具体取以下词条：
positive 正实数域；
real 实数域。
●默认值是复数域符号变量
●sym命令只能对单变量作用，syms不能用于对数值、常数相关的定义。
4.符号计算中的各种算符
●与数值计算中的算符在形状、名称和使用方法上相同。
2.1.2符号计算中的函数命令
2.1.3符号表达式和符号函数
1. 符号表达式和符号函数
（1）为表达某种数学算式、实现某种计算目的，采用基本符号对象（数字、常数、变量）、运算符、MATLAB函数命令等基本要素编写而成的M码。
（2）为表达变量间抽象（或具体）约束关系而编写的M码。在符号函数中，构成函数关系的变量名必须明确指定。即，在定义符号函数时，不仅要指定函数名，而且要指定变量名。比如syms f（x,y）就定义了一个以x、y为变量的抽象符号函数f。
2 自由符号变量
解题通常是围绕自由符号变量进行。
确定自由符号变量的规则：
●在专门指定变量名的符号运算中，解题一定围绕指定变量名进行。
●x是首选自由符号变量，其后的次序规则是：与x的ASCII码值之差
的绝对值小的字母优先；差绝对值相同时，ASCII码值大的字母优先。
●自动识别符号变量时，字母的优先次序为x,y,w,z,v等，大写后排。自动识别表达式中自由、独立的符号变量的命令：
symvar(expression) 列出表达式中的所有基本符号变量
symvar(expression, n) 列出表达式中n个认定的自由变量
【例2.1-2】
1）各种符号对象的创建
clear
syms a b c x y u v % 定义基本符号对象 syms F(X,Y,Z) % 定义“抽象”符号函数 k=sym(3) % 定义符号常数 G=sym('p*sqrt(q)+r*sin(t)') % 创建符号表达式
EXPR=a*G*u+(b*x^2+k)*v % 创建“衍生”符号表达式 f(x,y)=a*x^2+b*y^2-c % 创建“具体”符号函数 disp(F) % 显示抽象符号函数 k = 3 G =
p*q^(1/2) + r*sin(t) EXPR =
v*(b*x^2 + 3) + a*u*(p*q^(1/2) + r*sin(t)) f(x, y) =
a*x^2 + b*y^2 - c F(X, Y, Z)
symbolic function inputs: X, Y, Z
2）symvar 对EXPR 符号表达式的作用
symvar(EXPR) % % ans =
[ a, b, p, q, r, t, u, v, x]
symvar(EXPR,20) % ans =
[ x, v, u, t, r, q, p, b, a]
symvar(EXPR,1) % ans = x
3）symvar 对符号函数的作用
disp(symvar(f)) % [ a, b, c, x, y]
disp(symvar(f,2)) % [ x, y]
【例2.1-3】用符号法求方程2uw zw v +=的解。 1）产生符号表达式和符号函数
clear
syms u v w z %
Eq=u*w^2+z*w-v % 表达式 g(z)=u*w^2+z*w ==v % 函数
Eq =
u*w^2 + z*w - v g(z) =
u*w^2 + z*w == v
2）symvar 认定的自由变量
symvar(Eq,1) %
<5>
ans =
w
symvar(g(z),1) % <6>
ans =
w
3）solve对默认自由变量解方程
R1=solve(Eq) % 关于w解方程u*w^2+z*w-v=0 <7>
R2=solve(g) % 关于w解g（z）所表达的方程 <8>
R1 =
-(z + (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u)
-(z - (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u)
R2 =
-(z + (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u)
-(z - (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u)
4）对变量z求解
S1=solve(Eq,z) % <9> S2=solve(g(z),z) % <10> S1 =
(- u*w^2 + v)/w
S2 =
(- u*w^2 + v)/w
5）检验求解结果的正确性
disp(simplify(subs(Eq,z,S1))) % S1代替z，观察Eq是否为0
disp(simplify(g(S2))) % S2代替z，观察g(S2)方程式是否成立
TRUE
〖说明〗不要把g(z)理解为以z为自由变量的符号函数。
【例2.1-4】symvar确定自由变量是对整个矩阵进行的。
syms a b t u v x y
A=[a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+v] %
symvar(A,1) %
A =
[ a + b*x, u + sin(t)]
[ x*exp(-t), v + log(y)]
ans =
x
2.1.4符号对象的识别
为了函数命令与数据对象的适配，MATLAB提供了用于识别数据对象属性的命令：
class(var) 给出变量var的数据类别（如double，sym等）
isa(var, 'Obj') 若变量var是Obj代表的类型，给出1，表示“真”
whos 给出所有MATLAB内存变量的属性
【例2.1-5】数据对象及其识别命令的使用。
（1）
clear
a=1;b=2;c=3;d=4; % 产生4个数值变量
Mn=[a,b;c,d] % 利用已赋值变量构成数值矩阵
Mc='[a,b;c,d]' % 字符串中的a,b,c,d与前面输入的数值变量无关Ms=sym(Mc) %Ms是一个符号矩阵，它与前面各变量无关
Mn =
1 2
3 4
Mc =
[a,b;c,d]
Ms =
[ a, b]
[ c, d]
（2）
SizeMn=size(Mn)
SizeMc=size(Mc)
SizeMs=size(Ms)
SizeMn =
2 2
SizeMc =
1 9
SizeMs =
2 2
（3）
CMn=class(Mn)
CMc=class(Mc)
CMs=class(Ms)
CMn =
double
CMc =
char
CMs =
sym
（4）
isa(Mn,'double')
isa(Mc,'char')
isa(Ms,'sym')
ans =
1
ans =
1
ans =
1
（5）
whos Mn Mc Ms
Name Size Bytes Class Attributes
Mc 1x9 18 char
Mn 2x2 32 double
Ms 2x2 60 sym
2.1.5符号运算机理和变量假设
1.符号运算的工作机理
符号计算是由MuPAD引擎在其专有的内存工作空间中执行，而只是把计算结果送回到MATLAB的内存空间。
每当借助sym或syms命令定义一个带限定性假设的符号变量时，就发生以下过程：
●启动MuPAD引擎，并开启一个专供MuPAD使用的内存空间
●被定义变量保存至Matlab内存空间
●对变量的限定性假设被保存在MuPAD内存空间中，并对此后的MuPAD的工作方式进
行约束。
2.对符号变量的限定性假设
assume（assumption）清空后由assumption定义的新假设
assume（expr,set）清空后进行“符号表达式expr属于集合set”的新假设设置
assumeAlso(assumption) 继续追加由assumption定义的新假设
assumeAlso(expr,set) 继续追加由“符号表达式expr属于集合set”的新假设
a=sym('a',res) 创建带res限定性假设的符号变量a
syms a res 同上
说明：
●在不对符号变量进行专门设置的情况下，MuPAD符号计算总把变量默认为“复数变量”。
●assumption是那些可以用符号表达式、符号方程、符号关系、符号逻辑描述的假设。
●set可取字符串'integer'、'rational'、'real'中的任何一个，分别表示整数集、有理数集、实数集。
●res只能取字符串'positive'或'real'中的任何一个，表示创建变量是实数或正数。
3.清除变量和撤销假设
由于符号变量和其假设存放在不同的内存空间，因此删除符号变量和撤销关于变量的假设是两件需要分别处理的事。具体执行命令如下：
clear x % 清除MATLAB内存中的x变量
syms x clear % 撤销MuPAD内存中对变量x的任何假设，而恢复为“复数”变量syms（'x','clear'）% 功能同上
assumptions(x) % 显示符号变量x的限定性假设
assumptions % 显示MuPUD内存中已带限定性假设的全部符号变量
reset(symengine) % 重启MuPUD引擎，清空MuPUD内存中所有内容
【例2.1-6】符号变量的默认数域是复数域。
1）在默认的复数域求根
clear all % 清空MATLAB内存，清除MuPAD中的所有假设
syms x %
f=x^3+475*x/100+5/2; %
r=solve(f,x) %求使f=0的全部根
r =
-1/2
(79^(1/2)*i)/4 + 1/4
1/4 - (79^(1/2)*i)/4
assumptions(x) % 获悉MuPAD内存中关于x的假设
ans =
Empty sym: 1-by-0
2）求实数根
assume(x,'real') % 限定x为实数的方法一
r21=solve(f,x) %
r21 =
-1/2
syms x clear %
assume(imag(x)==0) % 限定x为实数的方法二
r22=solve(f,x)
r22 =
-1/2
disp(assumptions(x)) %
imag(x) == 0
3）第一、四象限根
sym(x,'clear') %
assume(real(x)>0) %
r3=solve(f,x)
ans =
x
r3 =
(79^(1/2)*i)/4 + 1/4
1/4 - (79^(1/2)*i)/4
disp(assumptions(x)) %
0 < real(x)
4）第一象限根
assumeAlso(imag(x)>0) %
r4=solve(f,x)
r4 =
(79^(1/2)*i)/4 + 1/4
disp(assumptions(x))
[ 0 < imag(x), 0 < real(x)]
2.2符号数字及表达式的操作
2.2.1 符号数字转换成双精度数字
Nd=double(Num_sym) 把符号数字Num_sym转换为双精度数字Nd 说明：
●一般情况下，Nd是符号数字Num_sym双精度近似。
● 2.1.1-2节中，已经介绍了sym(Num)能把数字类数字转换成符号数字
●注意：命令double('Num')是把字符串数字'Num'转换为各数字字符的
ASCII码值数组。
2.2.2符号数字的任意精度表达形式
为了兼顾计算精度和速度，或使某些无法用“封闭解析式”表达的计算结果以简洁的“任意精度符号数”表达。MATLAB提供了控制符号数字或表达式数字精度的命令：
digits 显示当前环境下十进制符号数字的有效位数
digits(n) 把十进制符号数字有效位数设定为n
xs=vpa(x) 据表达式x得到digits指定精度下的符号数字xs
xs=vpa(x,n) 据表达式x得到n位有效数字的符号数字xs
说明：
·MATLAB对digits命令的默认精度设置是32位。
·vpa(x,n)只在运行的当时起作用。
【例2.2-1】digits, vpa命令的使用。
（1）重新启动符号计算引擎，产生准确符号数字
reset(symengine) % 重新启动符号计算引擎
sa=sym('1/3+sqrt(2)') % 定义准确符号数字表达式
sa =
2^(1/2) + 1/3
（2）变精度算法的计算结果，有效位数的含义
digits %观察当前有效位数
Digits = 32
format long
a=1/3+sqrt(2) % 定义双精度数
sa_Plus_a=vpa(sa+a,20) % 给出20位有效数字结果
sa_Minus_a=vpa(sa-a,20) %
a =
1.747546895706428
sa_Plus_a =
3.4950937914128567869
sa_Minus_a =
-0.000000000000000022658064826339973669
（3）digits设置和vpa指定对“数位”的不同影响
sa32=vpa(sa) % 采用默认设置的32位有效数字
digits(48) % 设置48位有效数字
sa5=vpa(sa,5) % 仅影响sa5数位，对其后无影响。
sa48=vpa(sa) %仍为48位有效数字
sa32 =
1.747546895706428382135022057543
sa5 =
1.7475
sa48 =
1.74754689570642838213502205754303141190300520871
2.2.3 符号表达式的基本操作
collect （合并同类项）
factor （进行因式或因子分解） numden （提取公因式）等 最常用：
simplify(EXPR) 对EXPR （符号表达式或矩阵）运用多种方法进行一轮简化
simplify(EXPR,'Steps',value,'IgnoreAnalyticConstraints',true) 多轮纯粹表达形式简化
【例2.2-2】简化3
2381261+++=
x
x x f 。 syms x
f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3) g1=simplify (f) f =
(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) g1 =
((2*x + 1)^3/x^3)^(1/3)
g2=simplify(f,'Steps',10,'IgnoreAnalyticConstraints', true) % g2 =
1/x + 2
2.2.4 表达式中的置换操作
1. 公因子法简化表达
RS=subexpr(S) 从S 中自动提取公因子sigma ，并把采用sigma 重写的S 赋给RS RS=subexpr(S,'w') 从S 中自动提取公因子，记为w ，并把采用w 重写的S 赋给RS [RS,w]=subexpr(S,'w') 该调用格式的效果与RS=subexpr(S, 'w')相同 说明：S ：符号表达式、符号表达式矩阵 【例2.2-3】对符号矩阵?
?
?
???d c b a 进行特征向量分解。 （１）
clear % 清空所有内存变量
A=sym('[a b;c d]') % 经字符串直接定义符号矩阵
[V,D]=eig(A) % 符号矩阵的特征值、特征向量分解 A =
[ a, b] [ c, d] V =
[(a/2+d/2-a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)/2)/c-d/c, (a/2+d/2+(a^2-2*a*d+ d^2+4*b*c)^(1/2)/2)/c-d/c] [ 1, 1] D = [a/2 + d/2 - (a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)/2, 0] [ 0, a/2 + d/2 + (a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)/2]
（2）
subexpr([V;D]) % 自动提取公因式 who % 列出工作内存中的变量 sigma =
(a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)
ans =
[ (a/2 + d/2 - sigma/2)/c - d/c, (a/2 + d/2 + sigma/2)/c - d/c]
[ 1, 1]
[ a/2 + d/2 - sigma/2, 0]
[ 0, a/2 + d/2 + sigma/2]
Your variables are:
A D V ans sigma
（3）
Dw=subexpr(D,'w') % 把自动提取的公因式记为w,Dw是用w重记D后的表达w =
(a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)
Dw =
[ a/2 + d/2 - w/2, 0]
[ 0, a/2 + d/2 + w/2]
（4）
[RVD,w]=subexpr([V;D],'w') % <7> % 给出合成矩阵[V;D]的公因式表达方式
RVD =
[ (a/2 + d/2 - w/2)/c - d/c, (a/2 + d/2 + w/2)/c - d/c]
[ 1, 1]
[ a/2 + d/2 - w/2, 0]
[ 0, a/2 + d/2 + w/2]
w =
(a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)
2.通用置换命令
RES=subs(ES,old,new) 用new置换ES中的old后产生符号结果RES
RES=subs(ES,new) 用new置换ES中的自由变量后产生符号结果RES
【例2.2-4】用简单算例演示subs的置换规则。
1）产生符号函数
clear
syms a b x;
f1=a*sin(x)+b
f1 =
b + a*sin(x)
2）被字符串置换
f2=subs(f1,sin(x),'log(y)') %<4>
class(f2) %
f2 =
b + a*log(y)
ans =
sym
3）单个符号参数被置换
f3=subs(f1,a,sym(3.11)) %<6>
class(f3) %
f3 =
b + (311*sin(x))/100
ans =
sym
4）单个符号变量被数组置换
f4=subs(f1,x,[0,pi/2,pi]) %<8>
class(f4)
f4 =
[ b, a + b, b]
ans =
sym
5）所有变量被置换
format % 恢复双精度数字显示的默认设置format compact % 在Notebook中紧凑显示
t=0:pi/10:2*pi; % （1*21）双精度数组
f5=subs(f1,{a,b,x},{2,3,t}); %<13> 置换得到符号数字数组class(f5)
plot(t,f5,'r:','LineWidth',5) %<15>
%
ans =
sym
6）两次置换
k=[0.6;0.8;1]; %（3*1）数组
f6=subs(subs(f1,{a,b},{k,2}),x,t);%<17>
class(f6)
plot(t,f6) %<19>
ans =
sym
2.3 符号微积分
2.3.1 极限和导数的符号计算
大学本科高等数学中的大多数微积分问题，都能用符号计算解决，手工笔算演绎的烦劳都可以由计算机完成。
limit(f,v,a) 求极限 )(lim v f a
v →
limit(f,v,a,'right') 求右极限 lim ()v a
f v +
→
limit(f,v,a,'left') 求左极限 lim ()v a
f v -
→
【例2.3-1】两种重要极限kt kt t sin lim 0→和kx
x x ??? ?
?-∞→11lim 。
syms t x k
s=sin(k*t)/(k*t); f=(1-1/x)^(k*x);
Lsk=limit(s,0) % t 趋于0 Ls1=subs(Lsk,k,1) % Lf=limit(f,x,inf) %
Lf1=vpa(subs(Lf,k,sym('-1')),48) %给出48位精度的自然数 Lsk = 1
Ls1 = 1 Lf = exp(-k) Lf1 =
2.7182818284590452353602874713526624977572470937
diff(f,v,n) 求n
n dv
f
d (n 缺省时，默认n=1)
【例2.3-2】已知??
????=x x t t a f ln cos 3，求dx df
、 22dt f d 、dtdx f d 2。
syms a t x;
f=[a,t^3;t*cos(x), log(x)]; df=diff(f) % dfdt2=diff(f,t,2) % dfdxdt=diff(diff(f,x),t) % df =
[ 0, 0] [ -t*sin(x), 1/x] dfdt2 = [ 0, 6*t] [ 0, 0] dfdxdt =
[ 0, 0] [ -sin(x), 0]
2.3.2 序列/级数的符号求和
symsum(f,v,a,b) 求f 在变量v 取遍[a, b]中所有整数时的和。a,b 缺省时默认求和区间[0, v-1]。
【例2.3-3】求∑-=1
03
],[t t k t ，∑∞
=??
?
???--12
)1(,)12(1k k k k 。 syms k t;f1=[t k^3];f2=[1/(2*k-1)^2,(-1)^k/k];
s1=symsum(f1) % f1的自变量被确认为t s2=symsum(f2,1,inf) % f1的自变量被确认为k s1 =
[ t^2/2 - t/2, k^3*t] s2 =
[ pi^2/8, -log(2)]
2.3.3 符号积分
intf=int(f,v) 求f 对变量v 的不定积分 intf=int(f,v,a,b) 求f 对变量v 的定积分
【例2.3-4】求
dx x x
x +?11。
clear syms x
f=sqrt((1+x)/x)/x s=int(f,x) f =
((x + 1)/x)^(1/2)/x s =
2*atanh((1/x + 1)^(1/2)) - 2*(1/x + 1)^(1/2)
【例2.3-5】
???
++2
1
22222)(x x y
x xy
dzdydx z y x 。
syms x y z
F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) VF2=vpa(F2) % F2 =
(14912*2^(1/4))/4641 - (6072064*2^(1/2))/348075 + (64*2^(3/4))/225 + 1610027357/6563700 VF2 =
224.92153573331143159790710032805
第二章作业题：
1．说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度”对象，还是“符号”
对象？
3/7+0.1, sym(3/7+0.1), vpa(sym(3/7+0.1),4), vpa(sym(3/7+0.1))
2．已知a1=sin(sym(pi/4)+exp(sym(0.7)+sym(pi/3)))产生精准符号数字，请回答：以下产生的
各种符号数哪些是精准的？若不精准，误差又是多少？能说出产生误差的原因吗？ a2=sin(sym(pi/4)+exp(sym(0.7))*exp(sym(pi/3))) a3=sin(sym('pi/4')+exp(sym('0.7'))*exp(sym('pi/3'))) a4=sin(sym('pi/4')+exp(sym('0.7+pi/3'))) a5=sin(sym(pi/4)+exp(sym(0.7+pi/3))) a6=sin(sym(pi/4)+sym(exp(0.7+pi/3))) a7=sin(sym(pi/4+exp(0.7+pi/3))) a8=sym(sin(pi/4+exp(0.7+pi/3)))
（提示：可用vpa 观察误差；注意数位的设置）。
3．在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认为是独立自由变量。
sym('sin(w*t)') , sym('a*exp(-X)' ) , sym('z*exp(j*th)')
实验四符号计算 符号计算的特点：一，运算以推理解析的方式进行，因此不受计算误差积累问题困扰；二，符号计算，或给出完全正确的封闭解，或给出任意精度的数值解（当封闭解不存在时）；三，符号计算指令的调用比较简单，经典教科书公式相近；四，计算所需时间较长，有时难以忍受。 在MATLAB中，符号计算虽以数值计算的补充身份出现，但涉及符号计算的指令使用、运算符操作、计算结果可视化、程序编制以及在线帮助系统都是十分完整、便捷的。 MATLAB的升级和符号计算内核Maple的升级，决定着符号计算工具包的升级。但从用户使用角度看，这些升级所引起的变化相当细微。即使这样，本章还是及时作了相应的更新和说明。如MATLAB 6.5+ 版开始启用Maple VIII的计算引擎，从而克服了Maple V计算“广义Fourier变换”时的错误（详见第5.4.1节）。 5.1符号对象和符号表达式 5.1.1符号对象的生成和使用 【例5.1.1-1】符号常数形成中的差异 a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] % <1> a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) % <2> a3=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)],'e') % <3> a4=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') % <4> a24=a2-a4 a1 = 0.3333 0.4488 2.2361 5.3777 a2 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), 6054707603575008*2^(-50)] a3 = [ 1/3-eps/12, pi/7-13*eps/165, sqrt(5)+137*eps/280, 6054707603575008*2^(-50)] a4 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), pi+sqrt(5)] a24 = [ 0, 0, 0, 189209612611719/35184372088832-pi-5^(1/2)] 【例5.1.1-2】演示：几种输入下产生矩阵的异同。 a1=sym([1/3,0.2+sqrt(2),pi]) % <1> a2=sym('[1/3,0.2+sqrt(2),pi]') % <2> a3=sym('[1/3 0.2+sqrt(2) pi]') % <3> a1_a2=a1-a2 % a1 = [ 1/3, 7269771597999872*2^(-52), pi] a2 = [ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi] a3 = [ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi] a1_a2 = [ 0, 1.4142135623730951010657008737326-2^(1/2), 0]
m a t l a b符号运算函数大 全 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
算术符号操作 命令 +、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 功能符号矩阵的算术操作 用法如下： A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B 符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵 A的列数等于矩阵B的行数。即：若 A n*k* B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m= C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则 将返回一出错信息。 A.*B 符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型 阵列，或至少有一个为标量。即： A n*m.* B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij， i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。 A\B 矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近 似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信 息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方 程组必须是相容的。 A.\B 数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m.\ B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为 与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A/B 矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗 略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信 息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方 程组必须是相容的。 A./B 数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m./ B n*m=(a ij)n*m./(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij/b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与 另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A^B 矩阵的方幂。
第 2 章符号计算 符号计算： 解算数学表达式、方程不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式，数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。 符号计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础之上，所得结果完全准确。 特点： 一．相对于MATLAB的数值计算“引擎”和“函数库”而言，符号计算的“引擎”和“函数库”是独立的。 二．在相当一些场合，符号计算解算问题的命令和过程，显得比数值计算更自然、更简明。 三．大多数理工科的本科学生在学过高等数学和其他专业基础课以后，比较习惯符号计算的解题理念和模式。 2.1符号对象和符号表达式 MATLAB依靠基本符号对象（包括数字、参数、变量）、运算符及一些预定义函数来构造和衍生符号表达式和符号方程。 2.1.1基本符号对象和运算算符 1.生成符号对象的基本规则 ●任何基本符号对象（数字、参数、变量、表达式、函数）都必须借助 专门的符号命令sym、syms、symfun定义。 ●任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性。
2.精准符号数字和符号常数 符号（类）数字的定义： sym(Num) 采用精准数值类数创建精准的符号数字（推荐格式!） sc=sym(Num) 采用精准数值类数创建精准的符号常数sc（推荐格式!） 说明：若输入量Num是精准的浮点数（如0.321、10/3等），能生成精准的符号数字； 若输入量Num是诸如sin(0.3)的数值表达式，那么就只能生成由数字表达式获得的16位精度的近似符号数字。 sym('Num') 采用有理分数字符串创建精准的符号数字 sc=sym('Num') 采用有理分数字符串创建精准的符号常数sc 说明： Num必须处于（英文状态下的）单引号内，构成字符串（关于字符串参见附录A）； 只有当字符串数字'Num'采用诸如321/1000、10/3等整数构成的有理分数形式表达时，sym('Num') 才能生成精准的符号数字； 若字符串数字用诸如0.321、3.21e-1等“普通小数或科学记述数”表达，那么只能产生“近似符号数字”。在默认情况下，该近似符号数字为32位精度。 【例2.1-1】 （1）创建完全精准的符号数字或数字表达式 clear all R1=sin(sym(0.3)) % 输入量为普通小数 R2=sin(sym(3e-1)) % 输入量为科学记述数 R3=sin(sym(3/10)) % 输入量为有理分数 R4=sin(sym('3/10')) % 输入量为“整数构成的有理分数”字符串数字 disp(['R1属于什么类别？答：',class(R1)]) disp(['R1与R4是否相等？（是为1，否为0）答：',int2str(logical(R1==R4))]) R1 = sin(3/10) R2 = sin(3/10) R3 = sin(3/10) R4 = sin(3/10) R1属于什么类别？答：sym R1与R4是否相等？（是为1，否为0）答：1 （2）产生具有32位精度的“近似”符号数字（杜绝使用！） S1=sin(sym('0.3')) % sym的输入量是字符串小数，生成32位精度下的 % 近似符号数，进而在sin作用下给出近似符号数。 S2=sin(sym('3e-1')) % syms的输入量是字符串科学记述数。 eRS=vpa(abs(R1-S1),64); disp(['S1属于什么类别？答：',class(S1)]) disp(['S1与R1是否相同？答: ',int2str(logical(R1==S1))]) disp('S1与R1的误差为') disp(double(eRS)) S1 = 0.29552020666133957510532074568503
符号运算 科学计算包括数值计算和符号计算两种计算，数值计算是近似计算；而符号计算则是绝对精确的计算。 符号变量的生成和使用 1、符号变量、符号表达式和符号方程的生成 （1）、使用sym函数定义符号变量和符号表达式 单个符号变量 sqrt(2) sym(sqrt(2)) %显示精确结果 a=sqrt(sym(2)) %显示精确结果 double(a) sym(2)/sym(3) %显示精确结果 2/5+1/3 sym(2/5+1/3) %显示精确结果 sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) %显示精确结果 sym函数定义符号表达式：单个变量定义法，整体定义法 单个变量定义法 a=sym('a') b=sym('b') c=sym('c') x=sym('x') f=a*x^2+b*x+c 整体定义法 f=sym('a*x^2+b*x+c') g=f^2+4*f-2 （2）、使用syms函数定义符号变量和符号表达式 一次可以创建任意多个符号变量syms var1 var2 var3… syms a b c x f=a*x^2+b*x+c g=f^2+4*f-2 （3）、符号方程的生成 函数：数字和变量组陈的代数式 方程：函数和等号组成的等式 用sym函数生成符号方程： equation1=sym('sin(x)+cos(x)=1') 2、符号变量的基本操作 （1）、findsym函数用于寻找符号变量 findsym(f)：找出f表达式中的符号变量 findsym(s,n)：找出表达式s中n个与x接近的变量 syms a alpha b x1 y findsym(alpha+a+b)
Matlab符号运算符的使用 一、&&/||/&/| |：数组逻辑或 ||：先决逻辑或 &：数组逻辑与 &&：先决逻辑与 &&和||被称为&和|的short circuit形式。 先决逻辑符号含义： 先判断左边是否为真；若为真，则不再判断右边；若为假，才继续进行或运算 先判断左边是否为假；若为假，则不再判断右边；若为真，才继续进行与运算两种运算符号的区别： 先决逻辑运算的运算对象只能是标量 数组逻辑运算可为任何维数组，运算符两边维数要相同 举例分析： A&B ：首先判断A的逻辑值，然后判断B的值，然后进行逻辑与的计算。 A&&B：首先判断A的逻辑值，如果A的值为假，就可以判断整个表达式的值为假， 就可以判断整个表达式的值为假，就不需要再判断B的值。这种用法非常有用， 如果A是一个计算量较小的函数，B是一个计算量较大的函数，那么首先判断A 对减少计算量是有好处的。 另外这也可以防止类似被0除的错误。 Matlab中的if和while语句中的逻辑与和逻辑或都是默认使用short-circuit形式。// 这可能就是有时候用&和| 会报错的原因。
二、系统结构体内的变量 一般都是小写。 matlab区分大小写。 三、== 表示逻辑相等，返回结果，相等为1，不等为0。 四、.*（times）点乘 times Array multiply 数组乘 Syntax c = a.*b c = times(a,b) Description c = a.*b multiplies arrays a an d b element-by-element and returns th e result in c. Inputs a and b must have the same size unless one is a scalar. 注释：a、b要同尺寸，或其中一个为标量。 c = times(a,b) is calle d for th e syntax a.*b when a or b is an object. Example a = [1 2 3]'; b = [5 6 7]'; c = a.*b; 五、矩阵或向量共轭转置“’”和转置“.’” 若矩阵由实数构成，二者作用一样；
MATLAB符号计算函数用法总结 符号计算是对未赋值的符号对象（可以是常数、变量、表达式）进行运算和处理。MTALAB具有符号数学工具箱（Symbolic Math toolbox），将符号运算结合到MATLAB的属具运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。 算术符号操作： 命令有：+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 用法如下： A+B、A-B符号阵列的加法和减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。即：若 An*k*Bk*m=(aij)n*k.*(bij)k*m=Cn*m=(cij)n*m，则，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。 或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错 信息。 A.*B符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。即： An*m.*Bn*m=(aij)n*m.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij* bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。 A\B矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要
求方程组必须是相容的。 A.\B数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， An*m.\Bn*m=(aij)n*m.\(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij\ bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A/B矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。 A./B数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， An*m./Bn*m=(aij)n*m./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij/bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A^B矩阵的方幂。 计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。 A.^B数组的方幂。 A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若A与B为同型阵列时， An*m..^Bn*m=(aij)n*m..^(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij^bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A'矩阵的Hermition转置。 若A为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。即，若A=(aij)=(xij+i*yij)，则 。
3.1算术符号操作 命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 功能符号矩阵的算术操作 用法如下： A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B 符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩 阵B的行数。即：若A n*k*B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m=C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信 息。 A.*B 符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一 个为标量。即：A n*m.*B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。 A\B 矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。 若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方 形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。 A.\B 数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m.\ B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若若 A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应 的分量进行操作。 A/B 矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。 若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方 形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。 A./B 数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m./ B n*m=(a ij)n*m./(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij/b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A 与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的 分量进行操作。 A^B 矩阵的方幂。 计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值 与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。 A.^B 数组的方幂。 A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若A与B为同型阵列时， A n*m..^ B n*m=(a ij)n*m..^(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij^b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若 A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应 的分量进行操作。
3.1 算术符号操作 命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 功能符号矩阵的算术操作 用法如下： A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B 符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A 的列数等于矩阵B的行数。即：若 A n*k* B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m= C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将 返回一出错信息。 A.*B 符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列， 或至少有一个为标量。即： A n*m.* B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij， i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。 A\B 矩阵的左除法。
X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似 地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩 阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须 是相容的。 A.\B 数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m.\ B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij， i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标 量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A/B 矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略 地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩 阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须 是相容的。 A./B 数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m./ B n*m=(a ij)n*m./(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij/b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另 外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A^B 矩阵的方幂。