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【A 级 基础题练熟快】
1．(多选)(2019·山东临沂调研)猜想一下，如果太阳的质量不断减小，则关于地球绕日公转的情况，以下说法正确的是( )
A ．轨道半径不断变大
B ．轨道半径不断变小
C ．公转周期不断变大
D ．公转周期不断变小
解析：选AC.若太阳的质量不断减小，则太阳对地球的引力逐渐减小，则地球将做离心运
动，则地球绕太阳公转的轨道半径将变大；根据G mM r 2＝mr 4π2T
2可知T ＝4π2r 3GM
可知，公转周期不断变大，故选项A 、C 正确．
2．(2019·安徽芜湖模拟)一宇航员在一星球表面高度为h 处以水平速度为v 0抛出一物体，经时间t 落到地面，已知该星球半径为R ，忽略星球的自转．下列说法正确的是( ) A ．该星球的质量为R 2h Gt
2 B ．该星球的质量为R 2v 0Gt
C ．该星球的第一宇宙速度为
2Rh t D ．该星球的第一宇宙速度为v 0R t 解析：选C.小球在星球表面做平抛运动，由h ＝12gt 2得该星球表面的重力加速度g ＝2h t
2；设该星球的质量为M ，则由GMm R 2＝mg 得：M ＝2R 2h Gt 2，故A 、B 错误；根据G Mm r 2＝m v 2r
，知v ＝GM r ，求第一宇宙速度时取 r ＝R ，得v ＝G R ·2R 2h Gt 2＝2Rh t
，故C 正确，D 错误． 3．(多选)(2019·云南玉溪调研)我国发射的“神舟八号”飞船与先期发射的“天宫一号”空间站实现了完美对接．已知“天宫一号”绕地球做圆轨道运动，轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G .假设沿椭圆轨道运动的“神舟八号”环绕地球的运动方向与“天宫一号”相同，远地点与“天宫一号”的圆轨道相切于某点P ，并在这点附近实现对接，如图所示．则下列说法正确的是( )
A ．根据题设条件可以计算出地球对“天宫一号”的引力大小
B ．根据题中条件可以计算出地球的质量
C ．要实现在远地点P 处对接，“神舟八号”需在靠近P 处之前点火减速
D ．“神舟八号”的运行周期比“天宫一号”的小
解析：选BD.根据G Mm r 2＝m ????2πT 2r 知，地球的质量M ＝4π2r 3GT 2，由于“天宫一号”的质量未知，无法求出地球对“天宫一号”的引力大小，故A 错误，B 正确；要实现在远地点P 处对接，“神舟八号”在靠近P 处之前应该点火加速，使得万有引力等于向心力，故C 错误；
根据开普勒第三定律知，r 3
T
2＝C ，由于“神舟八号”轨道的半长轴小于“天宫一号”的轨道半径，则“神舟八号”的运动周期比“天宫一号”的小，故D 正确． 4．如图甲所示，一质量为m 的卫星绕地球在椭圆轨道Ⅰ上运转，运转周期为T 0，轨道Ⅰ上的近地点A 到地球球心的距离为a ，远地点C 到地球球心的距离为b ，BD 为椭圆轨道的短轴，A 、C 两点的曲率半径均为ka (通过该点和曲线上紧邻该点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做该点的曲率圆，如图乙中的虚线圆，其半径ρ叫做该点的曲率半径)．若地球的质量为M ，引力常量为G .则( )
A ．卫星在轨道Ⅰ上运行时的机械能等于在轨道Ⅱ上运行时的机械能
B ．如果卫星要从轨道Ⅱ返回到轨道Ⅰ，则在
C 位置时动力气源要向后喷气
C ．卫星从C →
D →A 的运动过程中，万有引力对其做的功为12
GMmk ????2a －a b 2 D ．卫星从C →D →A 的运动过程中，万有引力对其做的功为12
GMmk ????1a －a b 2 解析：选D.由题图甲可知，卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，要有外力对卫星做功，所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能小于其在轨道Ⅱ上的，A 错误；若卫星要从轨道Ⅱ上的C 位置变轨到轨道Ⅰ上，则在C 位置时卫星要减速，动力气源要向前喷气，B 错误；在A 、C 两点卫星的运
动可近似看做半径均为ka ，速度分别为v A 、v C 的圆周运动，则有G Mm a 2＝m v 2A ka ，G Mm b 2＝m v 2C ka
，
从C →D →A 的运动过程中，由动能定理得W ＝12m v 2A －12m v 2C ，联立解得W ＝12
GMmk ????1a －a b 2，D 正确，C 错误．
5．(2019·北京二中模拟)如图所示，一航天器围绕地球沿椭圆形轨道运动，地球的球心位于该椭圆的一个焦点上，A 、B 两点分别是航天器运行轨道上的近地点和远地点．若航天器所受阻力可以忽略不计，则该航天器( )
A ．运动到A 点时其速度一定等于第一宇宙速度
B ．由近地点A 运动到远地点B 的过程中动能减小
C ．由近地点A 运动到远地点B 的过程中万有引力做正功
D ．在近地点A 的加速度小于它在远地点B 的加速度
解析：选B.若运动到A 点时其速度等于第一宇宙速度，则卫星将做匀速圆周运动，因卫星沿椭圆轨道运动，可知运动到A 点时其速度一定大于第一宇宙速度，选项A 错误； 根据开普勒第二定律可知：在近地点的速度大于远地点的速度，所以A 点的速度大于B 点的速度，即由近地点A 运动到远地点B 的过程中动能减小，故B 正确；万有引力指向地心，从A 到B 的过程，位移的方向与万有引力的方向相反，故万有引力做负功，故C 错误；根据牛顿第二定律和万有引力定律得：a ＝GM r 2
，因为A 的轨道半径小于B 的轨道半径，所以在近地点A 的加速度大于它在远地点B 的加速度，故D 错误．
6．(多选)(2019·云南曲靖质检)据中国卫星导航系统管理办公室公布的计划，在2020年，我国将完成35颗北斗三号卫星的组网，向全球提供相关服务．北斗三号卫星导航系统空间段由5颗地球同步轨道卫星(以下简称“同卫”)和30颗中轨道卫星(以下简称“中卫”)组成，中
轨道卫星轨道高度为同步卫星轨道高度的35.下列说法正确的是( ) A ．“同卫”和“中卫”的轨道都必须是在赤道上空
B ．“同卫”的机械能不一定大于“中卫”的机械能
C ．若“同卫”与“中卫”质量相等，则两者动能之比为3∶5
D ．“同卫”的运行周期大于“中卫”的运行周期
解析：选BD.同步卫星只能定点在赤道的上空，而中轨道卫星不一定在赤道的上空，选项A 错误；因卫星的质量关系不确定，则无法比较两种卫星的机械能的关系，选项B 正确；根
据GmM r 2＝m v 2r 可得：E k ＝12m v 2＝GmM 2r ＝GmM 2（h ＋R ）.因h 中卫h 同卫＝35
，则两者动能之比不等于3∶5，选项C 错误；根据r 3
T
2＝k 可知，因r 同卫>r 中卫，则“同卫”的运行周期大于“中卫”的运行周期，
选项D 正确．
7．(2019·四川成都模拟)我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱，飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343 km 处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343 km 的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90 min.下列判断正确的是( )
A ．飞船变轨前后的机械能相等
B ．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C ．飞船在此圆轨道上运动的角速度小于同步卫星运动的角速度
D ．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
解析：选B.因为飞船在远地点点火加速，发动机对飞船做功，故飞船变轨前后机械能不等，故A 错误；飞船在圆轨道上时，航天员出舱前后，航天员所受地球的万有引力提供航天员做圆周运动的向心力，航天员此时的加速度就是万有引力加速度，即航天员出舱前后均处于完全失重状态，故B 正确；因为飞船在圆形轨道上的周期为90 min 小于同步卫星的周期，
根据ω＝2πT
可知角速度与周期成反比，所以飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，故C 错误；飞船变轨前后通过椭圆轨道远地点时的加速度均由万有引力产生，
据a ＝GM r
2可知加速度相同，故D 错误． 8．(多选)(2019·重庆巴蜀模拟)如图，赤道上空有2颗人造卫星A 、B 绕地球做同方向的匀速圆周运动，地球半径为R ，卫星A 、B 的轨道半径分别为2R 、8R ，卫星B 的运动周期为T ，某时刻2颗卫星与地心在同一直线上且距离最近．则( )
A ．卫星A 的角速度大于
B 的角速度
B ．卫星A 的加速度小于B 的加速度
C ．卫星A 的机械能小于B 的机械能
D ．再经过T 7
，卫星A 、B 又相距最近
解析：选AD.根据G mM r 2＝mω2r ＝ma 可得ω＝GM r 3，a ＝GM r
2，则卫星A 的角速度大于B 的角速度，卫星A 的加速度大于B 的加速度，选项A 正确，B 错误；因两卫星的质量关系不确定，则不能比较机械能的关系，选项C 错误；根据开普勒第三定律可知：T A ＝
????2R 8R 3
T B ＝18T ，当两卫星再次相距最近时：2πT A t －2πT B t ＝2π，解得t ＝T 7
，选项D 正确． 9．(2019·云南广南模拟)物体A 从距离地面某高度处由静止开始下落，落地时速度刚好等于地球的第一宇宙速度．已知地球半径为R ，以无穷远为零势能面，物体在距地球球心为
r (r ≥R )的位置处重力势能为E p ＝－G Mm r
(其中M 为地球质量，m 为物体的质量)，不计物体运动中所受的阻力，则物体A 从距地面多高处下落？( )
A ．R
B ．2R
C ．3R
D ．4R 解析：选 A.设第一宇宙速度为v ，由牛顿第二定律可得：G Mm R 2＝m v 2R ；故有：
E k ＝12
m v 2＝GMm 2R ；物体在地球表面的重力势能为：E p ＝－GMm R
；故此时物体的机械能总量为：E ＝E k ＋E p ＝－GMm 2R ；所以，设物体下落高度为h ，则有：－GMm （R ＋h ）
＝－GMm 2R ，故有h ＝R . 10．(多选)美国在2016年2月11日宣布“探测到引力波的存在”．天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是两个黑洞并合的事件．该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞，绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小．若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是( )
A ．甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29
B ．甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等
C ．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小
D ．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
解析：选BC.由牛顿第三定律知，两个黑洞做圆周运动的向心力相等，又甲、乙两个黑洞的运行周期始终相等，则它们的角速度ω总相等，由F n ＝mω2r 可知，甲、乙两个黑洞做圆周运动的半径与质量成反比，由v ＝ωr 知，线速度之比为29∶36，故A 项错误，B 项正确；设
甲、乙两个黑洞质量分别为m 1和m 2，轨道半径分别为r 1和r 2，有Gm 1m 2（r 1＋r 2）2
＝m 1????2πT 2r 1，Gm 1m 2（r 1＋r 2）2
＝m 2????2πT 2r 2，联立可得T 24π2＝（r 1＋r 2）3G （m 1＋m 2），故C 项正确；甲、乙两个黑洞之间
的万有引力大小设为
F ，则它们的向心加速度大小分别为F m 1、F m 2
，故D 项错误． 【B 级 能力题练稳准】
11．(2019·四川眉山模拟)如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图，“北斗系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O 做匀速圆周运动，卫星“G1”和“G3”的轨道半径均为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，高分一号在C 位置，若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力．则以下说法正确的是( )
A ．卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等均为R 2
r
g B ．卫星“G1”由位置A 运动到位置B 所需要的时间为2π
3R r R
C ．如果调动“高分一号”卫星到达卫星“G3”所在的轨道，必须对其减速
D ．高分一号是低轨道卫星，其所在高度存在稀薄气体，运行一段时间后，高度会降低，速度增大，机械能会减小
解析：选D.根据万有引力提供向心力：GMm r 2＝ma ，根据在地球表面有：G Mm R
2＝mg ，联立可得：卫星“G 1”和“G 3”的加速度大小为a ＝gR 2
r
2，故A 错误；根据万有引力提供向心力：G Mm r
2＝mrω2，解得：ω＝GM r 3＝gR 2r 3，所以卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间t ＝π
3ω＝πr 3R r g
，故B 错误；如果调动“高分一号”卫星到达卫星“G 3”所在的轨道，“高分一号”卫星必须加速，使其做离心运动，故C 错误；“高分一号”是低轨道卫星，其所在高度有稀薄气体，克服阻力做功，速度减小，所需要的向心力小于万有引力，将做近心运动，高度降低，机械能减小，故D 正确．
12．(多选)(2019·黑龙江绥化模拟)我国在发射“嫦娥三号”之后，开始建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示为航天飞机飞行图，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下经椭圆轨道向月球靠近．并将与空间站在B 处对接，已知空间站绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为r ，周期为T ，万有引力常量为G ，下列说法中正确的是( )
A ．图中航天飞机在飞向
B 处的过程中，月球引力做正功
B ．航天飞机在B 处由椭圆轨道可直接进入空间站轨道
C ．航天飞机经过B 处时的加速度与空间站经过B 处时的加速度不相等
D ．根据题中条件可以算出月球质量
解析：选AD.航天飞机在飞向B 处的过程中，飞船与月球的引力的方向和飞船的运动方向之间的夹角小于90°，所以月球引力做正功，故A 正确；椭圆轨道和圆轨道是不同的轨道，航天飞机不可能自主改变轨道，只有在减速后，才能进入空间站轨道，故B 错误；航天飞机
经过B 处时的加速度与空间站经过B 处时的加速度都是由万有引力产生，根据a ＝G Mm r 2m ＝GM r
2可知，它们的加速度是相等的，故C 错误；万有引力提供向心力：G mM r 2＝mr 4π2T 2，得M ＝4π2r 3GT 2
，即可根据轨道半径为r ，周期为T ，万有引力常量为G 计算出月球的质量，故D 正确．
13．(多选)(2019·安徽皖南八校联考)有a 、b 、c 、d 四地球卫星，a 还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b 是近地轨道卫星，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，方向均与地球自转方向一致，各卫星排列位置如图所示，则( )
A ．卫星a 的向心加速度近似等于重力加速度g
B ．在相同时间内卫星b 转过的弧长最长
C ．卫星c 的速度一定比卫星d 的速度大
D ．卫星d 的角速度比卫星c 的角速度大
解析：选BC.由GMm r 2＝ma ，得a ＝GM r
2，可知卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则地球同步卫星c 的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，a 的向心加速
度小于c 的向心加速度，故a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 错误；由GMm r 2＝m v 2r
，得v ＝GM r
，则知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以b 的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B 、C 正确； 由GMm r
2＝mω2r ，得ω＝GM r 3，则知卫星的轨道半径越大，
角速度越小，所以卫星d 的角速度比卫星c 的角速度小，故D 错误．
14．(2019·安徽芜湖模拟)我国自行研制的“神舟”六号载人飞船，于2005年10月12日在酒泉发射场由长征二号F 型火箭发射升空．并按预定轨道环绕地球飞行5天后，安全返回，在内蒙古的主着陆场着陆．
(1)设“神舟”六号飞船在飞行过程中绕地球沿圆轨道运行，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，时间t 秒内飞船绕地球运行的圈数为N ，求飞船离地面的平均高度h .
(2)已知质量为m 的飞船在太空中的引力势能可表示为：E p ＝－G Mm r
，式中G 为万有引力常量，M 为地球的质量，r 为飞船到地球中心的距离．那么将质量为m 的飞船从地面发射到距离地面高度为h 的圆形轨道上，长征二号F 型火箭至少要对飞船做多少功？(不考虑地球自转对发射的影响)
解析：(1)飞船飞行时间为t ，绕地球飞行的圈数为N ，飞船绕地球飞行的周期：
T ＝t N
① 设飞船质量m ，地球质量M ，由万有引力定律和牛顿第二定律得
G mM （R ＋h ）2
＝m ????2πT 2(R ＋h )② 又因为GM R 2＝g ③ 由①②③式得h ＝???
?gR 2t 24π2N 213－R . (2)飞船在轨道上满足
G Mm （R ＋h ）2＝m v 2R ＋h
变换后可得飞船达至(R ＋h )的轨道上时动能E k 为
E k ＝12m v 2＝GMm 2（R ＋h ）
由题给条件知飞船在到达轨道上增加的引力势能E p 为
E p ＝－GMm R ＋h
－????－GMm R ＝GMm ????1R －1R ＋h 所以火箭至少要对飞船做的功W 为
W ＝E p ＋E k ＝GMm ????1R －1R ＋h ＋G Mm 2（R ＋h ）＝GMm （R ＋2h ）2R （R ＋h ）
. 答案：(1)????gR 2t 24π2N 213－R (2)GMm （R ＋2h ）2R （R ＋h ）