专题七“数形结合”在初中数学中的运用
一、以数助形
“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．
要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．
例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =计算．利用这个公式计算原点到直线210y x =+的距离．
解：设( 210)P x x +，是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是
当4x =-时，OP =最小
所以原点到直线210y x =+的距离为
【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．
例2．已知ABC ?的三边长分别为22m n -、2mn 和22
m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ?的面积（用含m 、n 的代数式表示）．
【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：2
22
2
22
2
2
2
()()(2)(2)(2)m n m n m n mn +--==，也就是说，
ABC ?的三边满足勾股定理，即ABC ?是一个直角三角形．
“海伦公式”：三角形三边长为a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积S 为：
S
解：由三边的关系：2
22
2
2
22
()(2)()m n mn m n -+=+． 所以ABC ?是直角三角形． 所以ABC ?的面积22221
()(2)()2
m n mn mn m n =
?-=-． 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．
例3．直线y bx c =+与抛物线2
y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：
312
111x x x =+． 【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a 、b 、c 的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．
解：∵直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ， ∴30bx c +=． ∴3
c x b
=-．
31b x c
=-． ∵直线y bx c =+与抛物线2
y ax =两交点的横坐标分别为1x 、2x ， ∴1x 、2x 为关于x 的一元二次方程20ax bx c --=的两个不等实根．
∴12
b x x a +=
，12c
x x a
=-． ∴12121211b
x x b a c x x x x c a
++===--．
∴
312
111x x x =+． 例4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”
5．现在
的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是我们只需要在图中找出来一段边长为5的线段，以此为一边作一个正方形（如
图），我们就不难设计出各种剪裁方法了．
【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎
所有的剪
拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现． 二、以形助数
几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：
（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如： 正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；
将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．
（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：
绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；
数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围； 互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a 与b 在数轴上关于2
a b
+对称，换句话说，数轴上实数a 关于b 的对称点为2b a -）；
利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；
一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x 轴的交点； 函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与
y 轴的交点（函数在0x =时有意义）；
锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．
例5．已知正实数x
，求y =
分析
：可以把
，
即看作是坐标系中一动点( 0)x ，到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是
本问题转化为求最短距离问题．
解
：
y =
令( 0)P x ，、A （0，2）和B （2，1），则y PA PB =+． 作B 点关于x 轴的对称点'(2 1)B -，，则y
的最小值为
'AB ==
例6．已知1tan 2α
=
，1
tan 3
β=，求证：45αβ+=?． 【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角α、β（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键．将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角αβ+也就构成了．
证明：如图（2），连接BC ，易证：ABD ?≌CBE ?，从而ABC ?是等腰直角三角形，于是：45αβ+=?．
图（1）图（2）
例7．求函数
123y x x x =++-+-的最小值．
【分析】如图，设数轴上表示数－1、2、3、x 的点分别为A 、B 、C 、P （P
为动点），则表示P 到A 、B 、C 三点之间的距离之和，即
y PA PB PC =++．
容易看出：当且仅当点P 和点B 重合时，PA PB PC ++最
小，所以
4y AB BC =+=最小．
x
例8．若关于x 的方程2
230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围．
【分析】令2
()23f x x kx k =++，其图象与x 轴的横坐标就是方程()0f x =的解．由()y f x =的图象可知，要使两根都在－1和3之间，只须：
(1)0f ->，(3)0f >，()()02b
f f k a
-
=-≤同时成立，由此即可解得10k -<≤或3k ≥． 其中，(1)f -表示1x =-时的函数值．
解：令2
()23f x x kx k =++，由题意及二次函数的图象可知：
(1)0(3)0()0f f f k ->??
>??-≤?即2
22
(1)2(1)30
32330
()2()30k k k k k k k k ?-+-+>?+?+>??-+-+≤?
解得：10k -<≤或3k ≥．
【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果．
例9．若0a >，且b a c >+，求证：方程2
0ax bx c ++=有两个相异实数根．
【分析】首先可以想到的思路当然是证明2
40b ac ?=->，但这并不容易．注意到二次方程与二次函数的关系，把“二次方程有两个相异的实根”这个代数命题“翻译”成几何命题就是“二次函数的图象与x 轴有两个交点”．考虑到此时0a >，抛物线开口向上，这个几何命题可以进一步等价转化成“二次函数的图象有一部分位于x 轴的下方，再把它翻译成代数命题就是“二次函数至少在某一点上的函数值小于0”．
证明：考查函数2
y ax bx c =++， ∵0a >，
∴此抛物线开口向上．
又∵b a c >+，即0a b c -+<， ∴当1x =-时，二次函数的值(1)0f -<．
故抛物线与x 轴有两个交点，从而方程有两个不等实根．
例10．已知：对于满足04p ≤≤的所有实数p ，不等式2
43x px x p +>+-恒成立，求x 的取值范围． 【分析】不等式243x px x p +>+-可以变形为2
43(1)x x p x -+>--． 考查二次函数2
2
143(2)1y x x x =-+=--和一次函数2(1)y p x =--．
原不等式的几何意义是“二次函数1y 的图象在一次函数2y 的图象的上方”．原题条件的几何意义是“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”．
把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x 取那些实数时，可以保证“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”这个命题正确．
现在我们研究这两个函数的图象（如图）：二次函数1y 的图
象是一条固定不变的抛物线．但是一次函数2y 的图象随之p 的变化绕（1，0）旋转，
当0p =，20y =时，是与x 轴重合的一条直线；当4p =，
244y x =-+是一条截距为4的直线，它与抛物线1y 的交点坐标
为（－1，8）．当实数q 取遍04p ≤≤之内的所有实数时，直线2y 所过了图中的阴
影区域．
结合图形，我们再一次把原问题重新表述一下：当x 取哪些实数时，
可以保证“二次函数1y 的图象总是在图中的阴影区域的上方”．观察图象，我们不难得到1x <-或3x >，所以原问题的结论就是：x 的取值
范围是
1x <-或3x >．
【说明】本题一开始为什么要对不等式作这样的变形？希望大家在完全理解这道题的解题思路后认真思考一下这个问题，习惯对这类问题的反思在高中数学学习中非常重要．
利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．
初三数学“数形结合”习题（1）
1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，
之间的距离可以用公式AB =算．利用这个公式计算原点到直线210y x =+的距离．
2．已知ABC ?的三边长分别为2
2
m n -、2mn 和2
2
m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ?的面积（用含m 、
n 的代数式表示）．
3．直线y bx c =+与抛物线2
y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：
312
111
x x x =+． 4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 5．已知正实数x
，求y =
6．已知1tan 2α=
，1
tan 3
β=，求证：45αβ+=?． 7．求函数
123y x x x =++-+-的最小值．
8．若关于x 的方程2
230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围． 9．若0a >，且b a c >+，求证：方程2
0ax bx c ++=有两个相异实数根．
初三数学“数形结合”习题（2）
1．设0k b +=，则直线
y kx b =+与抛物线2y kx bx =+的位置关系是（）．
A ．有两个不重合的交点
B ．有且只有一个公共点
x
C ．没有公共点
D ．无法确定
2．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）．
A ．3、3、11、 C ．8、15、17D ．3.5、4.5、5.5
3．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（）．
A ．玩具店
B ．文具店
C ．文具店西边40米
D ．玩具店东边－60米
4．已知实数a 、b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么（）．
A ．ab b <
B ．ab b >
C ．0a b +>
D ．0a b -> 5．函数
35y x x =-++的最小值为（）．
A ．8
B ．5
C ．3
D ．2
6．已知函数
y x =和y =的图象如图所示，则不等式x >的解集为（）．
A ．22x -≤<
B ．22x -≤≤
C ．2x <
D ．2x >
6题图7题图
7．如图所示，在ABC ?中，90C ∠=?，点D 在BC 上，4BD =，AD BC =，3
cos 5
ADC
∠=，则DC =，sin B =． 8．在数轴上数a 和3的对应点分别为点A 和点B ，点A 到原点的距离为1.5，则点A 关于点B 的对称点所对应的数是． 9．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米，桥下的水深为2米．为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米．问水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？ 10．如图，已知ABC ?内接于圆O ，AD 是圆O 直径交BC 于E ．求证：tan tan AE
B C
DE
?=
． 11．如图所示，已知矩形AOBC 中，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，A （0，4），60OAB ∠=?，以
AB 为轴对称后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标．
12．已知两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），线段AB 中点坐标可用公式（
122x x +，12
2
y y +）计算．现已知M （－1，2），N （5，14）．
（1）计算MN 中点的坐标；
（2）试研究：怎样不画图计算出线段MN 的两个三等分点的坐标？
初三数学“数形结合”习题（2）
【参考答案】
1．B2．D3．B4．D5．A6．A
7．6，
41
8．4.5或7.59．2.76米 10．提示：可以作AG BC ⊥于F ，交圆O 于G ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可得．（或连结BD 、CD ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可证得）
11．（2）
12．（1）（2，8）；（2）（1，6）和（3，10）. 提示:可推得两个三等分点的坐标公式（
1223x x +，1223y y +）、（1223x x +，12
23
y y +）
1 数形结合思想 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位． 一、以数助形 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1、如图，在正△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别有点D 、E 、F.若DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点D 在AB 上的位置. 例2、如图，△ABC 三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC 内的点P 向△ABC 的三边分别作垂线PD 、PE 、PF （D 、E 、F 为垂足）. 若27.BD CE AF ++=求：BD BF +的长. 例3、已知ABC ?的三边长分别为22n m -、mn 2及22n m +（m 、n 为正 整数，且 n m >）。求ABC ?的面积（用含m 、n 的代数式表示）。 【海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，设2c b a p ++=，则))()((c p b p a p p S ---=。】 例4、将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 例5、如图，ABC ?是一块锐角三角形余料，边80=AD 毫米，120=BC 毫 米， 要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个定点分 别在AC AB ,上，设该矩形的长y QM =毫米，宽x MN =毫米．当x 与y 分别取什么值时，矩形PQMN 的面积最大？最大面积是多少？ 例6、如图,点P 是矩形ABCD 内一点，3=PA ，PB=4，PC=5，求PD 的长． A D E F C B A P F E D C B
浅谈初中数学中的数形结合思想 在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。 如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。 二、由形思数数形结合。解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性；将图形信息转化为代数信息，利用数（量）特征将图形问题转化为代数问题来解决。这类问题在初中数学中运用的也比较多，如： 1.用数（量）表示角的大小和线段的大小，用数（量）的大小比较角的大小
浅谈初中数学中的“数形结合”思想 新街初中丁耀华 教材在发展过程中，不断地改进，不断地整合，不断地优化。还记得十几年前的几何与代数是分开上的，甚至两者所属的教师都不同，实践证明这是行不通的，是对代数的“数”与几何的“形”的误解。数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠联璧合，相映生辉。在十五年的教学中，我深刻的感受到数与形不可分割的特点，她们就像孪生兄妹一样“形影不离”，在教学体系中“无处不在”。 下面，我们就从几个方面来感受一下“数形结合”的魅力。 一、数形结合在有理数有关内容的体现 初中阶段最早感受数形结合思想的就是通过数轴来理解相反数、绝对值的概念，特别是在出现了负数之后，解决如何进行有理数加法运算时，借助数轴这种最简单的图形，利用点在数字轴上的移动，可生动、形象、直观地使学生更深地理解有理数的运算。相反数、绝对值的概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的。尽管学的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则。 二、数形结合思想在函数方面的体现。 对于初中生来说，学习函数是个难点，通过教学中绘制图像，加上计算所显示的数量关系，变换图像，观察数值变化，使学生能够得到具体、生动、直观的感性认识，更好的理解函数的开口、形状、对称顶点与函数解析式中系数的关系。函数反映一种运动变化的过程，它有三种表示方式———解析式法、图像法、表格法，但通常情况下是前两种方式结合在一起解决问题。 例如：甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400 千米的B 地，l1，l2分别表示甲、乙两车行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图2 所示），根据图一像提供的信息，可以解答下列问题：（1）l1，l2的函数表达式；（2）甲、乙两车是否同时出发，哪辆车晚走，比前一辆车晚走多长时间？（3）甲、乙两车哪一辆先到达B 地，该车比另一辆车早多长时间到达B 地？（4）晚出发的车经过多长时间追赶上了前面的车？ 图一图二 三、数形结合思想在方程、函数与不等式三者间关系方面的体现。 数形结合思想将这三种看似独立的知识有机紧密地联系在了一起，体现了数与形之间的和谐与统一。例如，一次函数y=32x- 3 的图像如图二所示，根据方程、函数与不等式三者之的关系可知，一元一次方程32x- 3=0 的解应该是该函数图像与x 轴交点坐标的横坐标，也就是说可从图中直观地得出方程的解为x=2，一元一次不等式32x- 3＞0 的解集也可从图中直观地得出为x＞2。 四、数形结合思想在验证平方差公式、完全平方公式方面的体现。
(x - x )2 + ( y - y )2 1 2 1 2 (x - 0)2 + (2x +10 - 0)2 5 5 p ( p - a )( p - b )( p - c ) 一、以数助形 “数形结合”在初中数学中的运用 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系 的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左 右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应 该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要， “数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的 地位． 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例 1． 已知平面直角坐标系中任意两点 A (x 1小 y 1 ) 和 B (x 2小 y 2 ) 之间的距离可以用公式 AB = 计算．利用这个公式计算原点到直线 y = 2x +10 的距离． 解：设 P (x 小 2x +10) 是直线 y = 2x +10 上的任意一点，它到原点的距离是 OP = = 当 x = -4 时， OP 小 小 = 2 ． 所以原点到直线 y = 2x +10 的距离为2 ． 【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化． 例 2．已知?ABC 的三边长分别为 m 2 - n 2 、 2mn 和 m 2 + n 2 （m 、n 为正整数，且 m > n ）．求 ?ABC 的面积（用含 m 、n 的代数式表示）． 【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有 没 有 特 殊 之 处 ． 代 数 运 算 比 较 过 硬 的 人 可 能 利 用 平 方 差 公 式 就 可 以 心 算 出 来 ： (m 2 + n 2 )2 - (m 2 - n 2 )2 = (2m 2 )(2n 2 ) = (2mn )2 ， 也就是说， ?ABC 的三边满足勾股定理， 即 ?ABC 是一个直角三角形． “海伦公式”：三角形三边长为 a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积 S 为： S = ． 解：由三边的关系： (m 2 - n 2 )2 + (2mn )2 = (m 2 + n 2 )2 ． 所以?ABC 是直角三角形． 所以?ABC 的面积= 1 ? (m 2 - n 2 )(2mn ) = mn (m 2 - n 2 ) ． 2 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算 5(x + 4)2 + 20
初中数学中的数形结合思想 “数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一.数形结合思想通过“以数助形，以形解数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学的规律性和灵活性的有机结合. 一、以数助形 例1如图1，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（5，1），C（1，4）是三角形ABC的三个顶点，求BC的长. 这一题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离.而在本题中△ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可BC=AB2+AC2=5. 这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公式.利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式：平面上点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2=（x1-x2）2+（y1-y2）2. 例2在直角坐标系中，已知直线l经过点（4，0），与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于8，若一个二次函数的图象经过直线l与两坐标轴的交点，以x=3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式，并求最大值. 分析如果不画出图象，本题很难理解.由三角形的面积来
确定点B的坐标时，就需要把几何问题化为代数问题，确定OB的长度后，由绝对值的双值性来决定点B的纵坐标. 设直线l与x轴交点A（4，0），与y轴交点坐标B（0，m）， 则OA=4，OB=|m|. 如由图，S△AOB=12OA?OB=12×4|m|=8， 所以|m|=4.因此，B（0，4）或B′（0，-4）. 由二次函数图象的对称轴为x=3，可知点A的对称点A′（2，0），则图象经过A、A′、B，或A、A′、B′. 设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4）. 把点B或B′坐标代入，得a=12或a=-12. 因为开口向下，所以，a=12不符合题意. 故y=-12（x-2）（x-4），即y=-12（x-3）2+12， 所以当x=3时，y最大=12. 二、以形助数 例3已知a、b均为正数，且a+b=2，求W=a2+4+b2+1的最小值. 在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角 形利用勾股定理进行处理.如图作线段ED，在ED上截取EP，DP，过点E作AC⊥ED，且使得AE=2，过点D作DB⊥ED，且使得DB=1.这种构图后可以得到两个直角三角形，所以可以使用勾股定理得到AP=a2+4，BP=（2-a）2+1，所以本题中
中考数学专题复习——数形结合思想 一、知识梳理 数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。 华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想。 二、典型例题 （一）在数与式中的应用 例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2 ||a a b +-=_________。 （二）在方程、不等式中的应用 例2、已知关于x 的不等式组0 20x a x ->?? ->? 的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。 例3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ） A ．203210x y x y +-=??--=?， B ．2103210x y x y --=??--=? ， C ．2103250x y x y --=?? +-=? ， D ．20210x y x y +-=?? --=? ， （三）在锐角三角函数中的应用 例4、画△ABC ，使cosA=2 1 ，AB ＝2cm ，∠A 的对边可以在长为1cm 、2cm 、3cm 中任选，这 样的三角形可以画_______个。 （四）在函数中的应用 例5、如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中： ①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =； ③0a b c ++>；④当1x >时，y 随着x 的增大而增大． a b 0 · P （1，1） 1 1 2 2 3 3 －1 －1 O x y x y O 3 -1
数形结合思想在初中数学教学中渗透 内容提要：数形结合思想是初中课本中的基本的数学思想，在初中数学教学和解题中起着十分重要的角色。本文结合了本人的一些教学体会，讲述分析了如何充分的利用数形结合思想在教学中的运用以及去解常见数学题目，本文主要分为三个部分来分析：数转化为形，形转化为数，数形结合。使学生充分认识“数”和“形”之间的内在联系，把问题化繁为简，化难为易，使学生在学习数学知识中，充分了解和掌握数形结合这种解决问题的策略和方法。 关键字：数形结合，思想，解题 数形结合思想，就是根据数与形之间的一一对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，优化解题途径的思想。[1] 在初中教学中经常用到数形结合思想。如有理数内容体现着数形结合思想。数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的一个重要方面。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助七年级学生正确理解有理数的性质及其运算法则。 又如应用题内容隐含着数形结合思想。列方程解应用题的难点是如何根据
题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如，北师大版七年级数学上册的第五章第七节课题是“能追上小明吗”，是一个研究行程问题的课题，教学中，老师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助七年级学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。 再如不等式内容蕴藏着数形结合思想。北师大版八年级数学下册第一章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深八年级学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想方法。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，也让学生理解的更深刻。 函数及其图象内容凸显了数形结合思想。由于在直角坐标系中，有序实数对（x ，y）与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。 如果说上述的例子是初中代数的内容体现了数形结合思想，那么初中几何教学中也离不开数形结合思想。如比较两条线段（或两个角）的大小，我们常用的方法是重叠法和度量法，重叠法是几何方法，顾名思义将两条线段（或两个角）放在一起比较长短（大小），度量法是代数方法，即用刻度尺（量角器）测量两条线段的长度（两个角的大小）。体现了数形结合思想。
专题七“数形结合”在初中数学中的运用 一、以数助形 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位． 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =计算．利用这个公式计算原点到直线210y x =+的距离． 解：设( 210)P x x +，是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是 当4x =-时，OP =最小 所以原点到直线210y x =+的距离为 【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化． 例2．已知ABC ?的三边长分别为22m n -、2mn 和22 m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ?的面积（用含m 、n 的代数式表示）． 【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：2 22 2 22 2 2 2 ()()(2)(2)(2)m n m n m n mn +--==，也就是说， ABC ?的三边满足勾股定理，即ABC ?是一个直角三角形． “海伦公式”：三角形三边长为a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积S 为： S 解：由三边的关系：2 22 2 2 22 ()(2)()m n mn m n -+=+． 所以ABC ?是直角三角形． 所以ABC ?的面积22221 ()(2)()2 m n mn mn m n = ?-=-． 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．
初中数学中的数形结合 思想 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
浅谈初中数学中的数形结合思想 在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。 如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。
第九讲数形结合思想 【中考热点分析】 数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。 【经典考题讲练】 例1.（2015衢州）如图，已知直线334 y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21252 y x x =-++的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334 y x =-+于点Q ，则当PQ =BQ 时，a 的值是 ． 例2.（2014?广州）已知平面直角坐标系中两定点A （-1，0），B （4，0），抛物线（）过点A 、B ，顶点为C ．点P （m ，n ）（n <0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标． （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围． （3）若，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （）个单位，点P 、C 移动后对应的点分别记为、，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由． 解析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可． （2）因为AB 为直径，所以当抛物线上的点P 在⊙C 的内部时，满足∠APB 为钝角，所以-1＜m ＜0，或3＜m ＜4． （3）左右平移时，使A ′D+DB ″最短即可，那么作出点C ′关于x 轴对称点的坐标为C ″，得到直线P ″C ″的解析式，然后把A 点的坐标代入即可． 答案：(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得: 抛物线解析式为 顶点横坐标,将代入抛物线得
“数形结合”在初中数学中的运用 一、以数助形 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位． 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式 AB =210y x =+的距离． 解：设( 210)P x x +， 是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是 OP == 当4x =-时，OP =最小 所以原点到直线210y x =+的距离为 【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是 平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化． 例2．已知ABC ?的三边长分别为22m n -、2mn 和22 m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ?的面积（用含m 、n 的代数式表示）． 【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来： 22222222()()(2)(2) (2) m n m n m n m n +--==，也就是说，ABC ?的三边满足勾股定理，即ABC ?是一个直角三角形． “海伦公式”：三角形三边长为a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积S 为： S 解：由三边的关系：2 22 2 2 22 ()(2)()m n mn m n -+=+． 所以ABC ?是直角三角形． 所以ABC ?的面积22221 ()(2)()2 m n mn mn m n = ?-=-． 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内
谈数形结合思想在初中数学教学中的应用 数形结合是把握数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。它将“静态”为“动态”，变“无形”为“有形”。它一方面是解题的过程，又是学生形象思维与抽象思维协同运用互相促进，共同发展的过程，对提高学生的观察能力和思维能力是非常有帮助的。数形结合思想在初中数学中的应用范畴包涵以下几个方面： 1、有理数中的数学结合思想 数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉．对于每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的(实数的大小比较也是如此)．相反数、绝对值概念则是通过数轴上的点与原点的位置关系来刻画的．尽管我们学习的是有理数，但要时刻牢记它的形(数轴上的点)，通过数形结合的思想方法的运用，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则．相关内容的中考试题，应用数形结合的思想也可顺利得以解决。 例如：有理数的加法与减法教学时，安排下列数学活动：（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向正方向移动3个单位长度，在向负方向移动2个单位长度，这时笔尖停在表示“1”的位置上。用数轴和算式可以将以上过程及结果表示。
（2）把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向负方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？请用数轴和算式表示以上过程及结果。 这样设计教学让学生从“形”上感受有理数的加法运算法则，采用人人都可以动手操作的笔尖在数轴上两次移动的方法，直观感受两次连续运动中，点的运动方向与移动的距离对实际移动效果产生的影响，通过“形与数”的转换，加深学生对有理数加法运算法则的理解。在学生充分自由活动的基础上，用“数形结合”的观点审视在数轴上的连续两次运动，探寻有理数加法的几何解释。由表示两次连续运动结果的点与原点的位置关系，确定两数和的符号；由表示两次连续运动结果的点到原点的距离，确定两数和的绝对值。 2、方程中隐含的数形结合思想 列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图．这里隐含着数形结合的思想方法．例如，行程问题教学中，老师应渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图．才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。 3、不等式中蕴藏着数形结合思想 教材在安排“解一元一次不等式组”的内容时，创设了这样的问题情境“杜鹃花种植问题”，意图是想让学生理解解一
初中数学中的数形结合 思想 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
浅谈初中数学中的数形结合思想 在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。 如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。
数形结合思想方法 ［知识要点］ 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。 数形结合的思想方法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 ［典型应用］ 在初中数学教材中，数形结合问题占有不小比例，代数中学过的代数式、方程、不等式、函数，几何中己经学过点、线、三角形、四边形、圆的知识，都是密切联系，互相统一的，不论用代数方法研究几何问题，还是用几何图形研究数或式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想，其中比较典型的有： 1、数轴 数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，它的建立，不仅使最简单的形——直线上的点与实数间建立一一对应关系，还揭示了数形间的内在联系，使实数的许多性质，可由数轴上相应点的位置关系得到形象生动的说明，也为学习具有相反意义的量、相反数、绝对值、有理数运算等作好了准备。 不等式的解集可以在数轴上直观、形象地表示出来，不等式组的解更要借助数轴来求解。 圆与圆的位置关系也可以用数轴来直观表示，设圆心距为d，两圆半径为R、r（R＞r），则五种位置关系表示为： 2、平面直角坐标系与函数 平面直角坐标系把“点”和“有序实数对” 对应起来，使抽象的“数”与直观的“形”有 了统一，开创了研究数学问题的新途径。 函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点。同时又是“数形结合”的思想方法体现得最充分的一个章节。如，一次函数y＝kx＋b的图象中，k与直线的倾斜程度有关，b与直线和y轴的交点有关；又比如，二次函数中抛物线的开口、对称轴、顶点及与坐标轴交点更是与系数a 、b、 c 关系密切。 3、几何的本身就可以看作是数与形的结合 如：锐角三角函数的定义是借助于几何图形：直角三角形来定义的；圆是到定点的距离等于定长的点的集合，借助代数来定义的等等。 ［典例解析］ 一、以形助数 例1、已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有（）。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 分析：画出数轴如图，当点A 在＋2时，离A点距离是3的点有 点B或C；当点A在－2时，离A 点距离是3的点有D或E，所以有4个，选（D）。 例2、求｜x－1｜＋｜x－2｜＋｜x－3｜的最小值是（） （A）1（B）2（C）3（D）4
专题八：初中数学数形结合思想 九年级数学集备组组员：郑步群、张彩霞、方国财 知识梳理 通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的． 华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想． 典型例题 一、在数与式中的应用 【例1】实数a 、b a b -=_________． 【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴________根． 二、在方程、不等式中的应用 【例3】已知关于x 的不等式组0 20x a x ->??->? 的整数 解共有2个，则a 的取值范围是 ． 【例4】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是( ) A ．203210x y x y +-=??--=? B ．2103210x y x y --=??--=? C ．2103250x y x y --=??+-=? D ．20210 x y x y +-=??--=? 【例5】已知二次函数y=a x 2+bx+c 的图象如图所示，若关于x 的方程a x 2+bx+c －k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ( ) A ．k>3 B ．k=3 C ．k<3 D ．无法确定 三、在函数中的应用 【例6】如图为二次函数y=a x 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①a c<0 ②方程a x 2+bx+c=0的根是x 1=－1，x 2=3 ③a +b+c>0 ④当x>1时，y 随x 的增大而增大。正确的说法有_________．(把正确的答案的序号都填在横线上)
数形结合 Ⅰ、专题精讲： 数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，嘉峪关，10分）某公司推销一种产品，设x （件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1 已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解 答下列问题： （1）求y1与y2的函数解析式； （2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？ （3）果你是推销员，应如何选择付费方案？ 解：（1）y1=20x，y2=10x+300． （2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元． （3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案． 点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的. 【例2】（2005，某农场种植一种蔬菜，销售员张平 根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进 行了预测，预测情况如图3－3－2，图中的抛物线（部 分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图 象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？ 答题要求： （1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析． 解：（1）2月份每千克销售价是3．5元；7对月份 每千克销售价是0．5元；（3）l月到7月的销售 价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升； （5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同． 点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．【例3】（2005，江西课改，8分）某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情
中考数学专题 数形结合 知识梳理 数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的． 华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想． 典型例题 一、在数与式中的应用 【例1】实数a 、b a b -=_________． 【分析】 由数轴上a ，b 的位置可以得到a <0，b>0且a ??->? 的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________． 【分析】解不等式组得解集为2 x a x >?? 初中数学专题复习数形结合(含答案)
专题复习三数形结合 Ⅰ、专题精讲： 数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，嘉峪关，10分）某公司推销一种产品，设x （件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1 已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解 答下列问题： （1）求y1与y2的函数解析式； （2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？ （3）果你是推销员，应如何选择付费方案？ 解：（1）y1=20x，y2=10x+300． （2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元． （3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案． 点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的. 【例2】（2005，某农场种植一种蔬菜，销售员张平 根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进 行了预测，预测情况如图3－3－2，图中的抛物线（部 分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图 象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？ 答题要求： （1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析． 解：（1）2月份每千克销售价是3．5元；7对月份 每千克销售价是0．5元；（3）l月到7月的销售 价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升； （5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同． 点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．【例3】（2005，江西课改，8分）某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情