微分方程建模
一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：
1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；
2.列方程。可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；
3.解微分方程；
4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。 下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。
一.增长模型
在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间的增量都与该量自身当时的大小成正比。运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。
1.马尔萨斯人口模型
严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。
最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )（1766—1834）。他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。于是，设t 时刻的人口总数为)(t y ，则单位时间人口的增长量即为
t
t y t t y ?-?+)()( 根据基本假设，有
t
t y t t y ?-?+)()()(t y r ?= （r 为比例系数） 令0→?t ，可得微分方程
y r dt
dy ?= （4.1） 这就是著名的马尔萨斯人口方程。若假设0t t =时的人口总数为0y ，则不难求得该方程的特解为 )(00t t r e y y -?= (4.2) 即任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长。人们曾用这个公式对1700—1961达二百六十余年世界的人口资料进行了检验，发现计算结果与人口的实际情况竟然是惊人的吻合！
2.放射性元素衰变模型
放射性元素的质量随时间的推移而逐渐减少（负增长），这种现象称为衰变。由物理学定律知，放射性元素任一时刻的衰变速度与该时刻放射性元素的质量成正比。根据这一原理，我们也可以通过微分方程研究放射性元素衰变的规律。
设放射性元素t 时刻的质量)(t m m =，则其衰变速度就是dt
dm ，于是可得 m dt
dm λ-= (4.3) 其中0>λ是比例常数，可由该元素的半衰期（质量蜕变到一半所需要的时间）确定；λ前置负号表明放射性元素的质量m 是随时刻t 递减的。
如果在初始时刻（0=t ）放射性元素的质量0m m =，则可求得该方程的特解为
t e m t m λ-?=0)( (4.4)
这说明放射性元素的质量也是随时刻按指数规律递减的。
为了能将求得的放射性元素衰变规律应用于实际，还必须确定上式中的比例常数λ。这时，我们可以假设放射性元素的半衰期为T ，从而有
T e m m λ-?=002
解之，得T
2ln =λ，于是反映放射性元素衰变规律的（4.4）式又可以表示为 t T e
m t m 2ln 0)(-?= (4.5)
并由此可解得 )
(ln 2ln 0t m m T t = (4.6) 它所反映的是放射性元素由初始时刻的质量0m 衰减到)(t m 所需要的时间。
放射性元素的衰变规律常被考古、地质方面的专家用于测定文物和地质的年代，其中最常用的是C 14
（碳-12的同位素）测定法。 这种方法的原理是：大气层在宇宙射线不断的轰
击下所产生的中子与氮气作用生成了具有放射性的C 14，并进一步氧化为二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物，于是放射性碳就被带到了各种动植物的体。对于具有放射性的C 14来说，不论是存在于空气中还是生物体，它都在不断地蜕变。由于活着的生物通过新代不断地摄取C 14，因而使得生物体的C 14与空气中的C 14有相同的百分含量；一旦生物死亡之后，随着新代的停止，尸体的C 14就会不断地蜕变而逐渐减少，因此根据C 14蜕变减少量的变化情况并利用（4.6）式，就可以判定生物死亡的时间。
下面，我们就来看一个运用C 14测定法确定年代的具体实例：
1972年8月，出土了马王堆一号墓（注：出土时因墓中女尸历经千年而未腐曾经轰动世界）。经测定，出土的木炭标本中C 14的平均原子蜕变速度为29.78次/分，而新砍伐烧成的木炭中C 14的平均原子蜕变速度为38.37次/分；如果C 14的半衰期取为5568年（注：C 14的半衰期在各种资料中说法不一，分别有5568年、5580年和5730年不等），那么，怎样才能根据以上数据确定这座墓葬的大致年代呢？
在确定衰变时间的公式（4.6）中，由于0m 和)(t m 表示的分别是该墓下葬时和出土时木炭标本中C 14的含量，而测量到的是标本中C 14
的平均原子蜕变速度，所有我们还要对（4.6）式作进一步的修改：
对（4.4）式求导，得 )()(0t m e m t m t λλλ-=-='- 从而有
0)0()0(m m m λλ-=-='
上面两式相除，得
)
()()0(0t m m t m m ='' 代入（4.6），得
)()0(ln 2ln t m m T t ''=
(4.7) 于是，衰变时间由(4.6)式根据C 14含量的变化情况确定就转化为由（4.7）式根据C 14衰变速
度的变化情况来确定，这就给实际操作带来了很大的方便。
在本例中，5568=T 年，78.29)(='t m 次/分，)0(m '虽然表示的是下葬时所烧制的木炭中C 14
的衰变速度，但考虑到宇宙射线的强度在数千年的变化不会很大，因而可以假设现代生物体中C 14的衰变速度与马王堆墓葬时代生物体中C 14的衰变速度相同，即可以用新砍伐烧成的木炭中C 14的平均原子蜕变速度38.37次/分替代)0(m '。代入（4.7）可求得 203678
.2937.38ln 2ln 5568)()0(ln 2ln ≈=''=t m m T t （年）
若以5580=T 年或5730=T 年计算，则可分别算得2040≈t 年或2095≈t 年，即马王堆一号墓大约是2000多年前我国汉代的墓葬。 ( 注：后经进一步考证，确定墓主人为汉代国丞相利仓的夫人，名辛追。)
3.固定资产折旧模型
企业在进行成本核算的时候，经常要计算固定资产的折旧。一般说来，固定资产在任一单位时刻的折旧额与当时固定资产的价值都是成正比的。试研究固定资产价值P 与时间t 的函数关系。假定某固定资产五年前购买时的价格是10000元，而现在的价值为6000元，试估算再过10年后的价值。
首先我们可以假设t 时刻该固定资产的价值为)(t P P =，则在],[t t t ?+这段时间该固定资产单位时刻的折旧额可表示为t
t P t t P ?-?+)()(，由题意可得 )()()(t P k t
t P t t P -=?-?+ )0(>k 令0→?t ，即得
P k dt
dP -= 不难求得该方程的通解为
t k e C t P -=)(
为方便计算，记五年前的时刻为0=t ，于是有初始条件
10000)0(=P
代入通解，可求得10000=C ，故原方程的特解为
t k e t P -=10000)(
为确定比例常数k ，可将另一个条件6000)5(=P 代入上式，得
k e 5100006000-=
解出k ，得
3
5ln 51=
k 从而有 535ln 5)35(1000010000)(t
t e t P --== 这就是价值P 与时间t 之间的函数关系。于是，再过10年（即15=t ）该固定资产的价值即为 2160)3
5(10000)15(3==-P （元）
二.阻滞增长模型
与以上所讨论的增长模型不同，实际中存在着大量的另一类增长模型：
1.弗尔哈斯特人口模型
在人口模型的研究中，马尔萨斯得出了“任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长”的结论，并得到了一段时期人口数据的验证，然而，随着人口基数的增大，公式（4.2）所暴露的不足之处也越来越明显了。
根据公式（4.2）我们不难计算出，世界人口大约35年就要翻一番。事实上，设某时刻的世界人口数为0y ，人口增长率为2%，且经过T 年就要翻一番，则有
T e y y 02.0002= 即 202.0=T e
解之，即得 6.342ln 50≈=T （年）。
于是，我们以1965年的世界人口33.4亿为基数进行计算，可以得到如下的一系列人口数据：
2515年 200万亿
2625年 1800万亿
2660年 3600万亿
………
若按人均地球表面积（包括水面、船上）计算，2625年仅为0.09平方米/人，也就是说必须人挨着人站着才能挤得下；而35年后的2660年，人口又翻了一番，那就要人的肩上再站人了。而且随着时间的推移，我们有
+∞→t lim +∞=-)(00t t r e y
这显然不符合人口发展的实际。这说明，在人口基数不是很大的时候，马尔萨斯人口方程还能比较精确地反映人口增长的实际情况，但当人口数量变得很大时，其精确程度就大大降低了。究其根源，是随着人口的迅速膨胀，资源短缺、环境恶化等问题越来越突出，这些都将限制人口的增长。如果考虑到这些因素，就必须对马尔萨斯人口方程进行修改。
1845年，荷兰的数学、生物学家弗尔哈斯特(Verhulst)提出了一个修改方案，即将方程修改为
2by y r dt
dy -?= )0(r b <<< 其中r 、b 称为“生命系数”。由于r b <<，因此当y 不太大时，2by -这一项相对于y r ?可
以忽略不计；而当y 很大时，2
by -这一项所起的作用就不容忽视了，它降低了人口的增长速度。
于是，我们就有了下面的人口模型：
??
???=-?==020y y by y r dt dy t t （4.8）
这是一个可分离变量的一阶微分方程。解之，可得
)(0000)(t t r e
by r by y r y --?-+?= （4.9） 这就是人口y 随时间t 的变化规律。下面，我们就对（4.9）作进一步的讨论，并根据它对人口的发展情况作一些预测。
首先，由于
b r e by r by y r y t t r t t =?-+?=--+∞→+∞→)(0
000)(lim lim 即不论人口的基数如何，随着时间的推移，人口总量最终将趋于一个确定的极限值
b r ； 其次，由 2by y r dt
dy -?= 可得 y by r y by y r y '?-='?-'?='')2(2 令0=''y ，得b
r y 2=，易知这正是函数（4.9）的图象（称为“人口增长曲线”或“S 型曲线”）拐点的纵坐标，它恰好位于人口总量极限值
b r
一半的位置（如图所示）。 由于b r y 2<时0>''y ，故dt
dy 是递增的，此时 称为人口的“加速增长期”；而当b r y 2>
时0<''y ，故dt dy 是递减的，此时称为人口的“缓慢增长期”。
在利用（4.9）式对人口的发展情况进行预测之前，还必须确定恰当的b 值，它可以按以下方法来计算：
由方程（4.8）可得
by r y
dt dy
-=
其中，dt
dy 表示人口的理论增长率，而y dt dy
则表示人口的实际增长率。如果我们以1965年的人口数91034.3?为初值，并把某些生态学家估计的r 的自然值0.029及人口的实际增长率0.02代入上式，有
)1034.3(029.002.09??-=b
即可求得 1210695.2-?=b 。于是，世界人口的极限值
b r 6.10710
695.2029.012≈?=-（亿） 若以1965年的人口数91034.3?为初值，则2000年的世界人口将达到
6.5902.0009.01034.3029.0)19652000(029.092000
≈+??=--=e
y t （亿） 2.单种群动物模型
所谓单种群动物模型指的是某单一种群动物在一个相对封闭环境中生长衰亡规律的模型。这个模型可以运用微元分析法建立和求解。
假设某动物种群t 时刻的数量为)(t N N =，出生率与死亡率分别为m 、n ，且任一时刻的出生数与死亡数都与当时的动物数量成正比，则在时间间隔],[dt t t +，该动物的出生量与死亡量就分别为mNdt 与nNdt ，由于
增量 ＝ 出生量 — 死亡量
故有
Ndt n m nNdt mNdt dN )(-=-=
即 N n m dt
dN )(-= （4.10） 这也是一个可分离变量的微分方程，显然，它与马尔萨斯人口方程（4.1）在本质上是完全相同的。如果初始时刻该动物种群的数量为0N ，即00N N t ==，则易求得该方程的特解为
t n m e N N )(0-=
这说明该动物种群的数量也是遵循指数规律增长的，其中n m -称为“自然增长率”。
从以上的结果中可以看出，如果n m >，则该动物种群的数量随着时间的推移将会无限制地增加，这显然是不可能的。之所以产生这样的谬误，是因为我们把m 、n 当成了常量，即视出生率与死亡率一成不变，而事实却并非如此。因为随着动物数量的增加，食品短缺、环境恶化、瘟疫流行等问题都将导致出生率的降低和死亡率的升高，为此，可令
qN p n bN a m +=-=,
其中a 、b 、p 、q 均为正常数。这说明出生率与死亡率不再是常数，而是N 的线性函数（这是最简单的情形），前者随N 均匀减少，后者随N 均匀增加。于是方程（4.10）就被修正为
N N q
b p a q b N N q b p a N qN p bN a dt
dN )()(])()[()]()[(-+-+=+--=+--=
若记q b k +=、q
b p a A +-=，则上式可简记为 )(N A kN dt
dN -= （4.11） 这就是描述动物种群数量N 与时间t 之间函数关系的微分方程。
分离变量并积分，得
t k A e C N
A N =- 将初始条件00N N t ==代入上式，可求得0
0N A N C -=，故方程（4.11）的特解即为 t k A e N A N N A N 0
0-=- 解出N 并化简，可得
t t k A t
k A t
k A e B A e N A A e N N A e AN N λ--+=-+=+-=1)1(10000 （4.12） 其中10
-=N A B ，k A =λ。 由于A e B A N t
t t =+=-+∞→+∞→λ1lim lim ，这说明该种群中动物的数量N 不再随时间的推移无限增加，而是逐渐接近于一个固定的上限A ，因此它还是比较符合实际情况的。事实上，自然界各种动物（包括人类）的生长规律，以及传染病的发病人数、商品销售量的变化趋势等问题，都可以用这个模型来描述。
形如（4.11）的微分方程称为逻辑斯蒂(Logistic )方程，该方程的解（4.12）所表示的曲线称为逻辑斯蒂曲线，即所谓的“S 型曲线”。
三.传染病模型
现代医学的发展已经能够有效地控制和预防许多传染病，如以前曾经肆虐一时的天花上个世纪就已经在世界围被消灭，鼠疫、霍乱等恶性传染病也得到了控制，但是一些常见的传染病并没有完全绝迹，一遇到合适的气候就会不断地爆发和流行，至今仍然威胁着人类。而且随着时间的推移，还会出现一些新的传染病，如AIDS 、SARS 等。有些传染病传染得很快，导致很高的致残率和死亡率，危害极大，因而对传染病在人群中传播过程的定量研究并应用于传染病的防治就具有了重要的现实意义。
传染病流行过程的研究与其它学科的研究有所不同，科学的数据只能通过以往传染病流行时的报告来获取而不能在人群中实验，而报告的数据往往难于满足研究的需要，因而通过建立数学模型与计算机仿真就成为研究传染病流行过程的重要途径之一。
1.相对封闭环境中的传染病模型
假设N 个人共同生活在一个相对封闭的环境中，如果其中的一个人感染了某种传染病，而这种传染病又有一定的潜伏期，因而未发病时人们（包括患者自己）是不知道的。一旦患者发病被隔离时，这种传染病实际上已经在传播了。在这种情况下，传染病在人群中的传播过程是怎样的呢？
如果我们以)(t I 表示发现首例病人后t 时刻被感染的人数，则)(t I N -就表示此时刻未被感染的人数。在传染病流行的初期，由于)(t I 较小，能接触到感染者的人数少，单位时间被感染的人数也比较少，因而传播速度较慢；而在传染病流行的后期，由于大多数人已经被感染（)(t I 较大），未被感染的人数)(t I N -已经不多了，所以此时单位时间被感染的人数也不多，因而传播速度也很慢。排除上述两种极端的情况，当有很多的感染者和很多的未感染者时，传染病的传播速度是很快的。因此，传染病的发病率一方面受感染人数的影响，另一方面也受未感染人数的制约。基于以上的分析，我们就可以建立微分方程如下：
)(I N kI dt
dI -= （4.13） 其中k 是比例常数，可根据发病情况的统计数据来确定。（注）
不难看出，这个方程与（4.11）完全相同，因而它的通解为
t k N e C I
N I =- 注意到1)0(=I ，代入上式，可求得1
1-=N C ，故该方程的特解为 t k N e N I N I 1
1-=- 即
t
k N e N N I --+=)1(1 （4.14） 这就是该传染病的传播规律。显然，)(t I 单调增，且当+∞→t 时，有A I →，这表明如果任其发展而不采取积极有效的措施，最终所有的人都将被感染。尽管这与实际情况有一定的距离，但在传染病流行的前期这个模型还是可用的，因而传染病学者曾用它来预报过传染病高潮到来的时刻。
（注：假设发现首例病人24小时后被感染的人数为3人，则将24=t 、3=I 代入特解（4.14），即可求出比例常数k 的值。）
2. 传染病的SIR 模型
在上一个模型中，我们实际上只是对人群进行了简单的划分：感染者与健康人。如果我们把病愈免疫和死亡者也考虑在，情况就会有很大的不同。
首先，我们把人群分成三类：
S 类：称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫力，可以被感染；
I 类：称为传染类，该类成员已经染上了传染病，而且可以传播给S 类成员；
R 类：称为恢复类或排除类，该类成员具有免疫能力或者已经死亡。
记以上三类人员在t 时刻的人数分别为)(t S 、)(t I 和)(t R ，总人数为N ，显然在任一时刻，都有
N t R t I t S =++)()()(
为了建立数学模型，我们作出以下的两点假设：
（1）单位时间，一个病人传染的人数与当时健康者的人数成正比，比例系数为k （称为传染系数）；
（2）单位时间，病愈免疫（包括死亡）的人数与当时感染者的人数成正比，比例系数为λ（称为恢复系数）。
由假设（1）， 可知S 类成员中在t 时刻的单位时间被感染的人数为)()(t I t kS ?；由假设（2），可知t 时刻的单位时间由I 类成员转化为R 类的人数为)(t I λ。由于t 时刻单位时间各类人员的人数就是该类人员总人数的变化率，故有
I I S k dt
dI λ-= 且
I S k dt
dS -= 如果初始时刻的感染人数为0I ，即0)0(I I =，则0)0(I N S -=（此时0)0(=R ），于是我们就可以得到如下的传染病模型：
?????-=-=I S k dt
dS I I S k dt dI λ （4.15） 其初始条件为 0)0(I I =， 0)0(I N S -= （4.16）
虽然微分方程组（4.15）的解析解难以求得，但是我们可以通过对I 、S 之间函数关系的研究讨论（4.15）解的性态。为此，将（4.15）中的两个方程相除，得
1-=--=S
k I S k I I S k dS dI λλ （4.17） 若将k
λ记作ρ，则称k λ=ρ为“特征指数”，且对于同一地区、同一种传染病，ρ为常数。于是方程（4.17）可表示为
1-=S
dS dI ρ （4.18） 其初始条件为 00)(S N S I -=
方程（4.18）是一个可分离变量的微分方程，易求得其满足初始条件的解为
S N S S S I -+=0
ln )(ρ (4.19) （4.19）表示的只是患者数量I 与健康人数量S 之间的函数关系，为了建立它们与时刻t 之间的函数关系以便作进一步的分析，我们可以利用（4.19）式求)(S I 对t 的导数：
dt
dS S dt dS dS dI dt dI ?-=?=)1(ρ 即 )()1()(t S S t I '?-='ρ
由于)(t S 是单调减函数，即0)(≤'t S ，故由上式可以看出，当ρ>S 时，0)(≥'t I ，从而)(t I 单调增加；当ρ≤S 时，0)(≤'t I ，这时)(t I 单调减少。这也就是说，仅当传染病开始流行时健康人数0S 超过ρ的情况下，传染病才会蔓延。因此ρ是一个“阀值”（俗称“门槛”）。注意到00I N S -=，而通常0I 是很小的，所以可近似地认为N S ≈0，于是在总人数N 不变的情况下，提高门槛ρ的数值，对制止传染病的蔓延是十分有利的。由于k
λ=ρ，因此一方面要及时采取隔离措施，想方设法降低传染系数k ，另一方面要努力增大恢复系数λ，不断提高该地区的医疗水平、免疫水平和卫生保健水平，以避免传染病的大规模爆发和流行。
四.弱肉强食模型
在生态环境中，所有的动物都要通过食物来生存，不是吃其它的动物，就是吃植物。从这种意义上讲，没有一种动物是完全孤立生活的，而且彼此之间一定是相互影响的。为了搞清楚它们之间相互依存的关系，就必须把它们合在一起进行研究，这就产生了多种群模型。弱肉强食模型就是其中较简单的一种。
假设有一个包含两个群体的系统，其中的一个以另一个为食，比如狐狸与兔子、鲸鱼与磷虾、天敌与害虫、正常细胞与肿瘤细胞……等等，我们把这种系统笼统地称为“捕食者－被食者”系统。
设)(t x 、)(t y 分别表示t 时刻被食者与捕食者的数量。如果它们各自单独生活，则被食者的增长速率正比与当时的数量，即
)0(>=λλx dt dx (4.20)
而捕食者由于没有捕食对象，其数量减少的速率也正比与当时的数量，即
)0(>-=μμy dt dy (4.21)
现在两者生活在一起，被食者有一部分遭到了捕食者的捕食，增长速率要变缓，即(4.20)式中的λ将减少，而且减少的量正比于捕食者的数量，所以(4.20)式应修改为
)0()(>-=ααλx y dt dx
类似地，捕食者有了捕食对象，减少的速率也要变缓，即(4.21)式中的μ也减少，而且减少的量正比于被食者的数量，所以(4.21)式应修改为
)0()(>--=ββμy x dt
dy
将修改后的两个方程联立，可得方程组 ???????--=-=y x dt
dy x y dt dx )()(βμαλ （4.22） 称为Volterra -Lotka 方程，其初始条件是
00)0(,)0(y y x x ==
虽然这个方程组是非线性方程组，不易直接求出它的解析解，但是我们可以采用传染病模型中使用过的方法，通过对x 、y 之间函数关系的研究讨论（4.22）解的性态。为此，将（4.22）中的两个方程相除，得
x
y y x dx dy )()(αλμβ--= （4.23） 分离变量并积分，可得通解
C x y x y ln ln ln =++--μλβα
利用y e y ααln = 及 x e x ββln =，可将上式化为
C e x e y x
y =?βμ
αλ 这就是方程（4.23）的隐式通解；当0x x =、0y y =时，0
000x y e x e y C βμαλ?=，于是 =?x y e x e y βμ
αλ0000x y e
x e y βμαλ? 就是方程（4.23）的一个隐式特解，它的图象是xy 平面上的一条闭曲线（示意图如下）。只要初始值0x 和0y 不为零，这条闭曲线就永远不
通过零点。当被食者较多时，由于食物丰富使捕
食者不断增加，于是被食者又开始减少；被食者
减少使捕食者也随之减少，从而被食者又会增多。
如此，两者的数量循环起伏，周而复始，维持着 O x 生态的平衡。
下面我们再进一步讨论这个模型的另一个问题：假如由于某种外界的因素（比如天灾）使得捕食者与被食者同时按比例消亡，那么一旦这种因素的作用停止，是被食者恢复得快，还是捕食者恢复得快呢？
这个问题可以从方程（4.22）中找到答案。在方程组（4.22）
???????--=-=y x dt dy x y dt dx )()(βμαλ 即 ???
????+-=-=y x y dt dy y x x dt dx βμαλ 中，乘积项xy 对被食者来说是消亡项，对捕食者来说是生长项。当)(t x 、)(t y 都减小，譬如说x 、y 都减半时，则x λ、y μ也随之减半，但xy α和xy β却只减为原来的四分之一。这说明数量减半以后，被食者增长速度的减少还不到一半，而捕食者生长的速度却开始变缓，因而被食者受到的损失比捕食者要小。所以灾难过后，被食者的恢复要比捕食者恢复得快。这个推断来自Volterra 方程，因而也称之为Volterra 原理。
这个原理在杀虫剂的施用方面得到了证实。1968年，澳洲的吹棉蚧（一种昆虫）偶然传入美国后，严重地威胁着美国的柑桔业，为此，人们又引入了它的天敌澳洲瓢虫，才使吹棉蚧的数量得到了控制。后来，园艺家们使用了DDT ，以期能进一步减少吹棉蚧。然而，
由于DDT 在杀灭吹棉蚧的同时也杀死了它的天敌，一段时间过后，人们发现吹棉蚧的数量反而增多了。
上述原理在临床医学上也是有意义的。癌症患者体的正常细胞与癌细胞就构成了一个“捕食者－被食者”系统，某些具有较高毒性的药物既能抑制癌细胞的生长，同时也能抑制正常细胞的生长。癌症患者在进行化疗的时候，药物的毒性使作为捕食者的正常细胞也受到了较大的伤害，一定停止用药，作为被食者的癌细胞可能会变本加厉地增长起来。这始终是癌症化疗中需要解决的一个难题。
五. 溶液浓度模型
溶液浓度问题是工农业生产和治理环境污染中经常要碰到的问题，此类问题通常都可以描述为如下的实验室模型：一个容器有一个入口，一个出口，里面盛满了某种溶液。如果从入口以不变的速率向容器注入一定浓度的相同溶液（或清水），搅拌均匀后以同样的速率从出口排出，假设搅拌是在瞬间完成的，那么容器溶液浓度的变化规律是怎样的呢？
为了讨论的方便，我们来看一个具体的例子。
已知容器盛有1000公斤的清水，如果以每分钟5公斤的速率注入浓度为0.2的盐水且不停地搅拌，并以同样的速率排出搅拌后的盐水，那么经过多少时间能使容器的含盐量达到100公斤？
这个问题我们可以采用微元分析的方法建立微分方程求解。为此，可以设t 时刻容器的含盐量为)(t y ，则此时溶液的浓度为
1000
)(t y 即 )(001.0t y ， 于是，在时间间隔],[dt t t +，有
进盐量： dt dt =??52.0
出盐量： ydt dt y 005.05001.0=??
从而含盐量的微元即为
ydt dt dy 005.0-= 或 1005.0=+y dt
dy 这是一个一阶线性非齐次微分方程，易求得该方程满足初始条件为0)0(=y 的特解为
)1(200005.0t e y --=
这就是容器的含盐量y 随时刻t 变化的规律。将100=y 代入上式，可求得
62.138005
.06931.0005.02ln =≈=t （分） 即经过约2小时18分37秒可使容器的含盐量达到100公斤。
第五章微分方程建模案例 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型 这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模 型。 例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型
我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运 动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。 例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型， 设物体质量为m ，空气阻 力 系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微 分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ， 为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物 、mg(exp[2t 1)
第3章微分方程模型 3.1 微分方程模型的建模步骤 在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。 例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤?天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。 模型分析 在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W ）关于时间t 的 函数。如果我们把体重W 看作是时间t 的连续可微函数，我们就能找到一个含有的dt dW 微分方程。 模型假设 1.以)(t W 表示t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为0W 。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 )(t W 是关于t 连续而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。 模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天” 体重的变化=输入-输出。 由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得 体重的变化/天=输入/天—输出/天。 代入具体的数值，得 输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天）， 输出/天 = 69（焦/公斤?天）×W （公斤）= 69W （焦/天）。 体重的变化/天=t W ??（公斤/天）dt dW t =→?0 考虑单位的匹配，利用 “公斤/天=公斤焦天 焦/41868 /”, 可建立如下微分方程模型
常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9 1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 ) 1961(02.09 e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人 口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）． 但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地
微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。 建模：t 到t t +?病人人数增加 ()()()x t t x t x t t λ+?-=?（1） 0,(0)dx x x x dt λ==（2） 解得： 0()t x t x e λ=（3） 所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型
假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ=（4） 由于 ()()1s t i t +=（5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-=（6） 解得： 01()111kt i t e i -= ??+- ??? （7） 用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt 图形如下， 结论：在不考虑治愈情况下 ①当12i = 时di dt 达到最大值m di dt ?? ???，这时101ln 1m t i λ-??=- ???
微分方程模型建模实例 1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变） （2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ 3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？ 4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。 5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？ 6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？ 7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落 伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。 8． 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。 9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常 数，（）
31微分方程与微分方 程建模法
第三章微分方程模型 3.1微分方程与微分方程建模法 一、微分方程知识简介 我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程） ?Skip Record If...?(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） ?Skip Record If...?(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。 0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。 1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 分离变量法：（1）可分离变量方程： ?Skip Record If...? (2) 齐次方程：?Skip Record If...? 常数变易法：(1) 线性方程，?Skip Record If...??Skip Record If...?
(2) 伯努里方程，?Skip Record If...??Skip Record If...? 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。 对于一阶隐式微分方程?Skip Record If...?有 参数法：(1) 不含x或y的方程:?Skip Record If...? (2) 可解出x或y的方程：?Skip Record If...? 对于高阶方程，有 降阶法：?Skip Record If...? 恰当导数方程 一阶方程的应用问题（即建模问题）。 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； n阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特
微分方程建模简介
第三章微分方程模型 3.1微分方程与微分方程建模法 一、微分方程知识简介 我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程） ?Skip Record If...?(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） ?Skip Record If...?(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。 0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。 1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 分离变量法：（1）可分离变量方程： ?Skip Record If...? (2) 齐次方程：?Skip Record If...? 常数变易法：(1) 线性方程，?Skip Record If...??Skip Record If...?
(2) 伯努里方程，?Skip Record If...??Skip Record If...? 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。 对于一阶隐式微分方程?Skip Record If...?有 参数法：(1) 不含x或y的方程:?Skip Record If...? (2) 可解出x或y的方程：?Skip Record If...? 对于高阶方程，有 降阶法：?Skip Record If...? 恰当导数方程 一阶方程的应用问题（即建模问题）。 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； n阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特
实验07 微分方程模型（2学时） （第5章 微分方程模型） 1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138 传染病模型2（SI 模型）： 0(1),(0)di k i i i i dt =-= 其中， i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。 k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。 i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。 1.1 画~di i dt 曲线图p136~138 取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dt di 达到最大值，并在曲线图上标注。 参考程序：
提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图 用fplot函数，调用格式如下： fplot(fun,lims) fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。 若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。 若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。 本题可用 fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]); 2）求最大值 用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2) fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。 返回自变量x在区间x1 常微分方程的建模训练 各位同学： 欢迎大家开始《高等数学》课程的第二阶段的学习。本次辅导材料是关于建立微分方程的模型，主要目的有2个。一是开阔大家的视野，二是练习如何将一个实际问题用数学语言描述出来，也就是平时讲的建模，这是一个理工科学生的最重要的基本功之一。希望大家努力掌握之。 建立微分方程的途径主要有： 1）根据问题的性质，利用相应学科已经知道的客观规律，比如研究物体的运动，在已知外力的情况下，可运用著名的牛顿第二定律；研究热力学问题，可以用热力学定律，研究电路问题就可以用电路的基尔霍夫定律等。 2）对于一些没有明显规律可用时，可以考虑应用微元法（上学期学习积分时已经学习过），这时，需要考虑的是在自变量[,d] +的微段d x中，函数的增 x x x 量的微分表达式。 本次材料包括的题目不少，你可能没有太多的时间做。没有关系，可以边学边做，或有空时做，拳不离手，曲不离口，功夫是逐渐炼成的。要注意的是，对一个确定的问题，仅仅列出微分方程是不够的，还要有一组初始条件或边界条件，才能使微分方程的通解具体化，称为一个对应与问题本身的特解！如何列出这样的条件，也需要训练你的观察能力，因为很多题目中，这些条件常隐含在题目的叙述中。 本次练习不要求你去求解这些方程，但随着我们课堂的进度，当你学会微分方程的求解后，你再去求解它们。 好，开始吧！ 1. 有一类物质具有放射性，根据观察，放射性元素的质量随时间推移而逐渐减少，这种现象称为衰变。由实验测定，每一时刻放射性元素镭的衰变率（即质量减少的速率）与该时刻 λ>。求镭的衰变规律。 的镭的质量成正比，比例系数0 又由经验判断，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，求镭的质量R与时间t的函数关系。 2. 物理上把已知物体质量和外力的条件下，求物体的运动规律的问题称为动力学问题。物 s t来表示。 体的运动可用它的位移量() 已知物体质量为m的物体在外力F的作用下沿外力的方向作直线运动。试根据下列提供的外力特点，求物体的运动规律： 1）外力为地球重力； 2）外力为与其速度的平方成反比的阻力； 3）外力为与其位移成正比，但方向相反的弹性恢复力； 微分方程建模 一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤： 1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间； 2.列方程。可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）； 3.解微分方程； 4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。 下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。 一.增长模型 在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间的增量都与该量自身当时的大小成正比。运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。 1.马尔萨斯人口模型 严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。 最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )（1766—1834）。他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。于是，设t 时刻的人口总数为)(t y ，则单位时间人口的增长量即为 t t y t t y ?-?+)()( 根据基本假设，有 t t y t t y ?-?+)()()(t y r ?= （r 为比例系数） 令0→?t ，可得微分方程 第二章 微分方程方法 在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题. 利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究. 2.1 微分方程的一般理论 2.1.1微分方程简介 所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.若未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.而未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 例如 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- （2.1.1） 2''12'50x y xy y -+= （2.1.2） 2(')0y xy += （2.1.3） 2'''0y y xy += （2.1.4） 01)(=+n y （2.1.5） 2t xx u a u = （2.1.6） 其中，方程（2.1.6）是偏微分方程，其他都是常微分方程. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.例如，方程（2.1.1）是四阶微分方程，（2.1.3）是一阶微分方程.一般n 阶微分方程具有形式 F (x , y , y ', ? ? ? , y (n ) )=0 或 第三章微分方程模型 3.1微分方程与微分方程建模法 微分方程知识简介 我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方 程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系： （1）初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程） 一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） （3）高阶线性微分方程 （高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理 0.常数变易法： 常数变易法在上面的（1） （2） （3）三部分中都出现过，它是 由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次 方程或方程组的解的一种方法。 1.初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法， 掌握全微 分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参 数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 dx f(x)g(y); M(x)N(y)dx P(x)Q(y)dy 0; 常数变易法：（1）线性方程，y p （x ）y f （x ）, (2)伯努里方程，y p(x)y f (x)y n , 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。 对于一阶隐式微分方程F （x,y, y ） 0,有 参数法：（1）不含x 或y 的方程:F （x,y ） 0,F （y,y ） 0; 对于高阶方程，有 分离变量法：（1）可分离变量方程: （2）齐次方程: dy dx dy dx f(ax by C ); ux vy w ⑵可解出x或y的方程：y f（x,y）,x f （ y, y ）; 降阶法：F(x,y(k),y(k 1), ,y(n)) F(y,y,y) 0; 恰当导数方程 一阶方程的应用问题（即建模问题） 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本 理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根［待定系数法］），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。 3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次 微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； n 阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特殊型非齐次常系数线性方程解的待定系数法；（4）求解初值问题的拉普拉斯变换法；（5）求二阶线性方程的幂级数解法。 4．常微分方程的基本定理：常微分方程的几何解释（线素场），初值问题解的存在与唯一性定理（条件与结论），求方程的近似解（欧拉折线法与毕卡逐次逼近法），解的延展定理与比较定理、唯一性定理证明解的存在区间（如为左右无穷大），奇解与包络线，克莱罗方程。 5．常微分方程的稳定性理论：掌握稳定性的一些基本概念，以及运用特征根法判断常系数线性方程（组）的解的稳定性，运用李雅普诺夫函数法判断一般方程（组）的解的稳定性。 6．常微分方程的定性理论：掌握定性理论的一些基本概念，运用特征根法判断奇点类型，极限环。 7．差分方程。 8．偏微分方程。 二、数学建模的微分方程方法 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现 一个数学问题都可以用不同的方法来求解的，不同的方法做出来效果不同，效率也不同。下面就微分方程模型建模展开建模。下面给出些微分方程建立模型的实例，供大家参考。 1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ 3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？ 4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。 5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？ 6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。 8．1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。 9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（） 10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？ 11．生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06×）而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？ 12．早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（=λV，其中λ为常数），（1）求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ (7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式 D = 13．正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg.，（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭。 14．设药物吸收系数（k为药物的分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度的峰值（峰浓度）级达峰时间。 15．医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会 实验一SDH网元基本配置 一、实验目的： 通过本实验，了解SDH光传输的原理和系统组成，了解ZXMP S325设备的硬件构成和单板功能，学习ZXONM 300 网管软件的使用方法，掌握SDH 网元配置的基本操作。 二、实验器材： 1、SDH 设备：3 套ZXMP 325； 2、实验用维护终端。 三、实验原理 1、SDH 原理 同步数字体制（SDH）是为高速同步通信网络制定的一个国际标准，其基础在于直接同步复用。按照SDH 组建的网络是一个高度统一的、标准化的、智能化的网络，采用全球统一的接口以实现多环境的兼容，管理操作协调一致，组网与业务调度灵活方便，并且具有网络自愈功能，能够传输所有常见的支路信号，应用于多种领域（如光纤传输，微波和卫星传输等）。 SDH 具有以下特点： （1）接口：接口的规范化是设备互联的关键。SDH对网络节点接口（NNI）作了统一的规范，内容包括数字信号数率等级、帧结构、复接方法、线路接口、监控管理等。 电接口：STM-1是SDH的第一个等级，又叫基本同步传送模块，比特率为155.520Mb/s；STM-N是SDH第N个等级的同步传送模块，比特率是STM-1的N 倍(N=4n=1，4，16，- - -)。 光接口：采用国际统一标准规范。SDH仅对电信号扰码，光口信号码型是加扰的NRZ 码，信号数率与SDH 电口标准信号数率相一致。 （2）复用方式 a）低速SDH----高速SDH，字节间插； b) 低速PDH-----SDH，同步复用和灵活的映射。 （3）运行维护:用于运行维护（OAM）的开销多，OAM功能强——这也是线路编码不用加冗余的原因. （4）兼容性:SDH 具有很强的兼容性，可传送PDH 业务，异步转移模式信号（ATM）及其他体制的信号。 （5）SDH 复用映射示意图 数学建模试验报告（四） 姓名学号班级 问题：（微分方程） 讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系. （1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的. （2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果. . 问题的分析和假设： 问题分析： 人口增长与国民收入增长的关系决定人均国民收入指标的变化，人均国民收入与人口增长成反比，与国民收入增长成正比。总资金增长与人口增长都满足指数增长，由题意知：国民平均收入与人口平均资金积累成正比，设此比例系数为a。 在国家统计局网站查询得：2012年，我国大陆总人口数为134735万人，总资金（国内生产总值）总量为47.1564万亿元，则a的值约为1。 问题假设： x t为t时刻总资金积累量 1() x t为t时刻的人口数量 2() x t为t时刻国民平均收入量 3() Y t为人口平均资金积累 () k为总资金的相对增长率 r为人口的相对增长率 建模： 由分析及假设可列出如下方程： 一定时期后，增长的人口数量为：22x rx =；总资金增长量为11x kx =； 由题意知：3()()x t a Y t =? 12()()()Y t x t x t = 由上述公式，微分得：33()()()dx t a k r x t dt =- 所以当k>r 时，国民收入0,()x x t ?>增加，即国民平均收入增加。 列微分方程如下： 11dx k x dt = 22dx r x dt = 33()()()dx t a k r x t dt =- 第七节 扩散问题的偏微分方程模型 物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决. ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程. 本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程. §1 抛物型方程的导出 设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +?时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为 2 221(cos cos cos )dSd t t t S u u u M a b c t x y z αβγ+????=++???? ??. 由高斯公式得 2222 221222()d d d d t t t u u u M a b c x y z t x y z +?Ω ???=++???? ???. （1） 其中，2 2 2 ,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为 2 2d d d d t t t M k u x y z t +?Ω =? ???， （2） 其中2 k 是衰减系数. 由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -. 换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为 3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t t t M u x y z t t u x y z t x y z u x y z t t Ω +?Ω =+?-?=????? ??? 显然312M M M =-，即常微分方程的建模训练
微分方程建模学习
常微分方程建模方法概要
微分方程与微分方程建模法
微分方程型建模实例题
扩散问题的偏微分方程模型_数学建模
数学建模试验报告-微分方程
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