理解切线长的概念－掌握切线长定理－并运用它
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第十八讲
知识要点：
１、理解切线长的概念，掌握切线长定理,并运用它解决有关问题；
2、理解弦切角的定义，掌握弦切角定理及其推论,并运用它解决有关角的问题;
3、掌握圆的相交弦定理及推论，能进行有关计算、证明,会作两条线段的比例中项；
4、掌握切割线定理及其推论,并会利用它进行有关的计算和证明；
难题解疑：
例题1：⊙Ｏ是△ABC 的内切圆，D 、Ｅ、F 为切点，AB ＝12c ｍ，BC ＝14cm,CA=１8c ｍ,求A Ｅ、B Ｆ、CD 的长;
例题２：ＰA 、P Ｂ切⊙O 于点A 、Ｂ，ＣＤ切⊙Ｏ于点Q,交ＰA 、
PB 于点C 、D,求证：(1)△P ＣD 的周长=2ＰA ；
(2）∠COD ＝90°－21∠P ；
例题3:△ABC 是⊙O 的内接三角形,B Ｔ为⊙Ｏ的切线，B 为切点,P 为直线AB 上一点,过P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交线段AC 于点F ，
(1）如图（１)，当点P 在线段AB 上时,求证:PA ·PB ＝PE ·PF ；
（2)如图（2）,当点P 在线段BA 延长线时,第（1）题的结论还成立吗？如果成立,请证明；如果不成立，请说明理由;
例题4：从不在⊙O上的一点A作⊙O的割线,交⊙O于B、Ｃ,且ＡB·ＡC=６4，ＯA=10,求⊙Ｏ的半径;
例题5：小张、小李、小王三位同学解下列作图题:“已知线段ａ、ｂ,求作线段x,使
2=”，他们所作的图形如下:
“ab
x2
他们作图的方法：
A．小张正确,小李、小王都不正确B．小王正确，小张、小李都不正确
C．小张、小李都正确,小王不正确 D.小张、小李、小王都正确
例题6:如图,PQ切⊙Ｏ于点Q，PAB、ＰCD是⊙O的两条割线，连结AＣ、ＡＤ，且∠Ｐ
2
AC=∠ＢＡD，求证：AD
=
-2
PQ?
PA
AC
例题7：已知ＡＤ是⊙O的直径,AB是⊙O的切线,割线BＭN交AD的延长线于C,且BM=ＭN＝ＮC，若AB＝２，求（１）BＣ；(2)半径r;
基础训练：
1、如图,在△ABC 中,AB ＝18ｃｍ,BC=1６cm ，ＡC=2２ cm,⊙O 为△ＡＢC 的内切圆,切点分别为D 、E 、F,M 为⊙O 上一点，过点M 作⊙O 的切线PN 分别交A Ｂ、AC 于P 、N ，则△AP Ｎ的周长是 ;
2、如图，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边B Ｃ、ＣＤ、ＤA 相切,若ＢC=2，DA=3，则AB 的长为 ;
3、如图，半圆与两直角边相切,且圆心Ｏ在直角三角形A ＢC 的斜边AB 上，若直角三角形面积为Ｓ，斜边长为c ，则半圆的半径r ＝ ；
4、已知PA 切⊙O 于点A,割线ＰＢC 与⊙O 相交于点B 、C ，PA －P Ｂ=ＢＣ-PA=10cm ，则P Ａ= cm;
5、如图，A Ｂ是半圆O 的直径，ＡC 是弦,Ｄ是ＣＢ弧的中点，过点D 的切线与AC 的延长线相交于点P ，若PA=9,P Ｄ=6，则⊙Ｏ的半径为 ；
６、如图,AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，过点A 、C 的切线相交于点P ，PB 交半圆于E,若∠AP Ｃ=60°,AB=２,则BE= ；
7、如图，P Ａ和⊙O 相切于点A ，割线P ＢC 与⊙O 相交于
点B 、C ，弦ＡD 与BC 相交于点Ｅ，若PB ＝ＢE=2，AE ＝
3,ＥD ＝4，则PA 的长为（ ）
A ．４ Ｂ．52 C ．62 D ．33
8、如图，在△ABC 中,∠C=90°，点Ｏ在A Ｃ上，以Ｏ为
圆心，OC 为半径的⊙Ｏ与O Ａ相交于点Ｅ,与A Ｂ相切于点
D,若AD=３AE ，则2
tan B 的值等于( ） A ．31 Ｂ.32 Ｃ．2
1 D.33 ９、如图,在△ABC 中，∠C=９0°，半圆直径MN 在ＡＢ上,分别切AC 、B Ｃ于D 、E,若AC=6，ＢC ＝８,则ＡM+BN 值为( ）
Ａ．722 Ｂ.8 C.１4 D ．10 1０、如图，PA 切⊙O 于点A,PO 交⊙Ｏ于点B ，若PA=６，PB=４,则⊙O 的半径为( ) A.
45 B ．２ Ｃ.2
5 D.5 １1、如图，A Ｂ、ＡC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧A Ｃ上
一点，D Ｅ⊥AB 于点H,交⊙Ｏ于点E ，交A Ｃ于点Ｆ，Ｐ为ED
的延长线上一点，
（１)当△P ＣF 满足什么条件时,PC 与⊙O 相切，为什么? （2)当点D 在劣弧AC 的什么位置时,才能使2AD ＝DE ·ＤF 。
为什么？
12、如图，BC 是半圆的直径，Ｏ是圆心，P 是BC 延长线上一点,ＰＡ切半圆于点Ａ，A Ｄ⊥BC 于点Ｄ，
（１）若∠B=３0°,问：AB 与A Ｐ是否相等？请说明理由；
（２）求证:PD ·PO=ＰＣ·PB ；
(3）若B Ｄ：D Ｃ=4:１，且ＢC=１0,求ＰC 的长；
1３、如图，PA 切⊙Ｏ于A ，ＰBC 是⊙Ｏ的割线，弦DB ∥AP ，PD 交⊙O 于E,ＣE 交P Ａ于Ｆ。
(1)求证:PF=ＡF ；
(2）如果A 、Ｆ、P 不在同一条直线上，如图２，AF 仍为⊙O 的切线，PF 仍平行于BD,那么上述结论成立吗?
(3）在第（１）问中，连结ＡＣ，如果A Ｃ⊥ＡP,且ＰB=BC,其他条件不变，如图3,连结BF ，设AC 、BD 相交于H ，你能猜想四边形AHB Ｆ是什么样的特殊四边形吗?证明你的猜想；
14、如图,以R ｔ△ABC 的直角边ＡB 为直径作⊙O,与斜边AC 交
于点D ，过点D 作⊙O 的切线交B Ｃ边于点Ｅ,
（1）求证：EB ＝E Ｃ＝E Ｄ；
（2）若DE ∥AB,连结AE ，求ｓin ∠A ＥO 的值；
本期参考答案:1、24cm ；２、5;3、242c S c -+;4、2０ cm ；5、6.5;6、7
74；7、Ｂ;8、A;9、A ；10、C;１1、(1）P Ｃ＝ＰF ；（２）D 为劣弧AC 的中点;12、(1)相等；(2)2PA PO PD =?;
（3）3
10；１3、(1)FC FE FA ?=2，△ＰF Ｅ∽△CFP;(２)成立；（3)正方形;14、（１)连结B Ｄ，∵∠B=９0°,∴CB 是⊙Ｏ的切线,EB ＝ED ，∴∠EDB=∠E ＢD,∵A Ｂ是⊙Ｏ的直径,∴∠CDB ＝∠ADB=90°，∴∠ＥDC ＋∠E ＤB=∠C+∠EBD=9０°,∴∠ED Ｃ=∠C ，∴ＥC ＝E Ｄ，∴EB=ＥＣ=ED;（2)连结OD ，∵ＤE 是切线,∴ＤＥ⊥OD ，∵ＤE ∥AB ，∴A Ｂ⊥O Ｄ,∴△DAO 是等腰直角三角形，又ＯE ∥CA,∴△EOB 也是等腰直角三角形，过O 作ＯH ⊥ＡE 于H ，设B Ｅ=x ，则ＯE=x 2，A Ｂ=2 ｘ,由△AOH ∽△ＡＥＢ，
AB AH EB OH =,∴
21==AB EB AH OH ,∴x OH x OH OH 55,)2(222==+，∴1010sin ==∠OE OH AEO ；
专题：切线长定理的应用 重难点易错点解析 题一： 题面：⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A 、B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P =60°，求∠ACB 的度数. 金题精讲 题一： 题面：如图1，△ABC 中，CA =CB ，点O 在高CH 上，OD ⊥CA 于点D ，OE ⊥CB 于点E ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ． （1）求证：⊙O 与CB 相切于点E ； （2）如图2，若⊙O 过点H ，且AC =5，AB =6，连结EH ，求△BHE 的面积． 图1 图2 满分冲刺 题一： 题面：如图，直角梯形ABCD 中，以AD 为直径的半圆与BC 相切于E ，BO 交半圆于F ，DF 的延 长线交AB 于点P ，连DE ．以下结论：①DE ∥OF ；②AB +CD =BC ；③PB =PF ；④AD 2 =4AB ?DC ．其中正确的是（ ） A ．①②③④ B ．只有①② C ．只有①②④ D ．只有③④
题二： 题面：如图①所示，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE 延长线上一点，且CE＝CB. (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示)．若AB＝25，AD＝2，求线段BC和EG的长． 课后练习详解 重难点易错点解析 题一： 答案：60或120度 解析：连接OA、OB， ∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B， ∴OA⊥AP，OB⊥PB， ∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=60°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°， 当点C在优弧AC上时，如图
[文件] sxc3jja0008.doc [科目] 数学 [年级] 初三 [章节] [关键词] 圆/圆幂定理/应用 [标题] 圆幂定理及其应用 [内容] 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方 法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程， 从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)
二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一 点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的 切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋 转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2；
中考复习专题——切线长定理与弦切角定理 【知识要点】 1.切线长定理：过圆外一点P做该圆的两条切线，切点为A、B。AB交PO于点C，则有如下结论： （1）PA=PB （2）PO⊥AB,且PO平分AB （3）APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠ 2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 【典型例题】 【例1】如图1，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C、D是优弧 ?BC上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______. 图1 图2 图3 举一反三： 1.如图2，AB是⊙O的弦，AD是⊙O的切线，C为 ?AB上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 2.如图3，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC⊥PB，且与⊙O相交于D，若∠DBC=220，则∠APB=________. 【例2】如图，已知圆上的弧?? AC BD =，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD . C B O A D A D P O
举一反三： 1.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC. 【例3】已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为 A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个． 【例4】如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
切线长定理 教材分析： 本节内容是切线长的概念和切线长定理。通过本节教学应使学生理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，这个定理经常用到，因此，它是本节的重点。灵活运用图形语言、文字语言、符号语言三种语言表述切线长定理，学生感觉困难;用切线长定理解决有关问题中，准确应用数学语言进行表述，学生感觉困难;从实际情境中抽象出切线长定理模型解决问题，学生感觉困难;在综合题中迅速找出切线长定理模型, 学生感觉困难;因此,综合应用切线长定理及有关知识解决问题，是本节的难点。本节内容是在学习了“切线的判定和性质”之后，并进一步了解了“三角形的内切圆”这一内容的基础上进行研究的。是前面内容的必然延伸，也是后面学习切割线定理等重要内容的基础。切线长定理的出现，可以让我们对直线与圆位置关系的研究由定性分析深入到定量研究。再次让我们感触到了圆的轴对称性。它为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据。通过本节内容的学习，会让学生更客观地认识切线的有关问题。同时，该定理的学习对我们解决一些实际问题很有指导意义。因此，本节内容在这部分中具
有非常重要的作用，是“直线与圆的位置关系”这部分内容的纽带和桥梁。同时,它综合运用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识解决问题。切线长定理及其研究方法又是研究两圆相切问题的基础，因此，本节内容在整个初中几何教材体系中，起着承上启下的作用。 学生分析： 1、经过前面几节的学习，学生对圆的轴对称性已经有了初步了解，掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识，具备了学习本节内容的知识基础。 2、经过前面的学习，学生已经对合情推理和逻辑推理都有了一定的认识,具备了证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等的基本技能。 3、初三学生已经具备了一定的探索解决问题方法的经验，从心理学的角度分析：他们正处于想成为大人，想得到别人肯定的年龄阶段，因此，他们会不遗余力地提出他们自己的看法并能较有条例地申述自己的理由，这些是很必要的情感准备；但由于特定年龄阶段的关系，他们对问题的分析还不是很全面，用数学语言表述看法，有时还欠准确贴切。有待于教师不断地加以培养。 设计理念： 1、本着“人人都能学好数学”，“人人都学有价值的数
切线长定理—知识讲解 【学习目标】 1.了解切线长定义,掌握切线长定理； 2.了解圆外切四边形定义及性质； 3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、圆外切四边形的性质 1.圆外切四边形 四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【典型例题】 类型一、切线长定理 1．（2015秋?湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D． （1）若PA=6，求△PCD的周长． （2）若∠P=50°求∠DOC． 【答案与解析】 解：（1）连接OE， ∵P A、PB与圆O相切， ∴PA=PB=6， 同理可得：AC=CE，BD=DE， △PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；
（2）∵PA PB与圆O相切， ∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°， ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°， 在Rt△AOC和Rt△EOC中， ， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL）， ∴∠AOC=∠COE， 同理：∠DOE=∠BOD， ∴∠COD=∠AOB=65°． 【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键． 2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点. 求证：DE是⊙O切线. 【答案与解析】 连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC， ∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形. ∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED， ∴DE是⊙O切线. 【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE. 举一反三： 【变式】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线. F C F C 【答案】连接AO. ∵ AO BO =，∴ 23 ∠=∠.
A 第20题 N C B D E F M O O 切线长和切线长定理的应用 例（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。 （1） 求证：OD ∥BE; (2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。 解：（1）证明：连接OE ∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分 ∴∠AOD=∠EOD=2 1 ∠AOE …………2分 ∵∠ABE=2 1 ∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF = 2 1 CD …………4分 理由：连接OC ∵BE 、CE 是⊙O 的切线 ∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO ∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =2 1 CD ……7分 巩固提高 1、如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。 （1） 求证：CD 是圆O 的切线； （2）若2OA =且6AD OC +=，求CD 的长？ C O D B A
2、在Rt ABC ?中，90A ∠=?，点O 在BC 上，以O 为圆心的圆O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若A B a =， AC b =，则圆O 的半径为（ ） A 、ab B 、a b ab + C 、ab a b + D 、2 a b + C E O F B A C E O D B A P E O F D B A 例1图 例2图 例3图 3、如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，BC 与以AD 为直径的圆O 相切于点E ，9AB =，4CD =，则四边形ABCD 的面积为 。 4、如图，过O 外一点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD BE =，BD AF =，连结DE 、DF 、EF ，则EDF ∠=（ ） A 、90P ?∠－ B 、1902P ?-∠ C 、180P ?-∠ D 、1 452 P ?∠- 5、如图，已知ABC ?中，AC BC =， CAB α∠=（定值），圆O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。 （1）求POQ ∠； （2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断DOE ∠的大小是否保持不变，并说明理由。 N Q P O D C B A 6、如图，圆O 为Rt ABC ?的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若6AD =，4BD =，则ABC ?的面积为 。 C E O F D B A
切线长定理及其应用 一、基础知识总结 1.内切圆和内心 定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点,叫做三角形的内心. 总结：判断一个多边形是否有内切圆，就是判断能否找到一个点到各边距离都 相等。 2.直角三角形的内切圆半径与三边关系 （１）一个基本图形； （２）两个结论： 1）四边形OECF 是正方形 2）r=(a+b-c)∕2或r=ab ∕(a+b+c) （３）两个方法 代数法（方程思想）；面积法 3.切线长定义：过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段长叫做切线长。 4.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的交角。 二、典型例题解析 【例1】如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相交于点D 、E 、F ，且AB=9 cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长 D E F O C B A 112 12902 a b c A B C A B C S s r p a b c p C r a b c ?∠∠∠==++∠=?=+-设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径（），其中（）； （），则（）
【例2】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE＝1， CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r． 【例3】如图，以等腰ABC ?中的腰A B为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作⊥，垂足为E． D E A C （I）求证：D E为⊙O的切线； （II）若⊙O的半径为5，60 ∠= ，求D E的长． B A C 【例4】如上图等边三角形的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是⌒BC的中点．（1）试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；（2）设直线 CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△ BDE的面积．
. 切线长定理第24章圆切线的性质及判定 小题）一．选择题（共21D，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点?1．（2015衢州）如图，已知△ABC ，CE=4，则⊙O的半径是（）的切线交的⊙OBC于点E．若CD=5 4 3 ．C．A．DB ． 与为切点，POO的切线，A枣庄校级模拟）如图，P是⊙O外一点，PA2．（2015?是⊙，则∠C 的度数为（上一点，连接CA，CB），⊙O相交于B点，已知∠P=28°C为⊙O 28°62°31°56°A．B．C．D． 3．（2015?河西区一模）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为（） 40°50°55°60°A．B．C ．D． 4．（2015?杭州模拟）如图，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（）
3．DCA．B．．22 经过圆心．若为切点，BC的切线，的弦，OAC是⊙OA是⊙天津）如图，2014．5（?AB 的大小等于（，则∠B=25∠°C）1 / 4 . °50°40°20°25 ．．D ．B．CAAC⊥，DEO交BC的中点于D6．（2015?临淄区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，⊙，则下列结论：，连接AD于E）DE是⊙O的切线， 正确的个数是（EDA=∠B；③OA=AC；④②①AD⊥BC；∠ 4个D．个C．3 个A．1 个B．2交的延长线上，弦CD的直径，点P在BA（2015?杭州模拟）已知：如图，AB是⊙O7．、交圆与GGF⊥BC，∠P=∠D，过E作弦AB于E，连接 OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC ．则下列结论：BG两点，连接CF、F．则其中正BG弦CF的弦心距等于③OD∥GF；④①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；）确的是（ ②③④①③④①②③①②④．D．C ．．AB）圆周角的度数（2永川区期末）有下列结论：?（1）平分弦的直径垂直于弦；8．（2013秋）（5）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；等于圆心角的一半；（3）垂直于半径的直线是（6三角形的外心到三边的距 离相等； 圆的切线．）其中正确的个数为（ 4个3个D．2．1个B．个C．A 上任意一点，为CD交于O，Q中，对角线．（2012?武汉模拟）正方形ABCDAC、BD9 ．下列
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA 长） 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . （特殊情况） 用相交弦定理.
切割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2 ＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 （记忆的方法方法） 圆幂定理 ⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2 －OP'2 PA·PB＝OP 2－r 2 r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延 长OP'交⊙O 于N ，用相交 弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。 图1 解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE 设CE 为x ，在Rt△ADE 中，由勾股定理 ∴， ，
*2.5.3 切线长定理 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 师者，所以传道，授业，解惑也。韩愈 1．理解和掌握切线长定理；(重点) 2．初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点) 一、情境导入 有一天，同学们去王老师家做客，王老师正在洗锅，就问：谁能测出这个锅盖的半径，就可以得到一根雪糕，同学们都跃跃欲试，但老师家里只有一个曲尺，到底谁能得到这根雪糕呢？ 教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连接OB，OA，则四边形OAPB是正方形，所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA＝PB. 如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA＝PB? 二、合作探究 探究点：切线长定理及应用 【类型一】利用切线长定理求线段的长 如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是( ) A．10 B．12 C．5 3 D．10 3
解析：∵PA 、PB 都是⊙O 的切线，∴PA ＝PB .∵∠APB ＝60°，∴△PAB 是等边三角形，∴AB ＝PA ＝10.故选A. 方法总结：切线长定理是判断线段相等的主要依据，在圆中经常用到． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】 利用切线长定理求三角形的周长 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________． 解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB .因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PF 的周长＝PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EA )＋(BF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.故答案为4. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】 利用切线长定理求角的大小 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、P 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易 证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12 ∠APB ＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据等的判定，可得到PO 平分∠APB . 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
《切线长定理》教学设计 1、教材分析 重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点． 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点: 切线长定理是教学重点 教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB 叫做点P到⊙O的切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系． 3、猜想 引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB． 4、证明猜想，形成定理． 猜想是否正确。需要证明． 组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB， 要证明PA＝PB． 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？ ∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 5、归纳： 把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质 6、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流） 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C 要求：就你所知晓的几何知识，写出你认为正确 的结论，小组交流，看哪个小组的结论最多，用最简 短的话语证明你的结论是正确的。 说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几 何中关键，它是灵活应用知识的基础． （二）应用、归纳、反思 例1、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周 长。
理解切线长的概念－掌握切线长定理－并运用它
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第十八讲 知识要点： １、理解切线长的概念，掌握切线长定理,并运用它解决有关问题； 2、理解弦切角的定义，掌握弦切角定理及其推论,并运用它解决有关角的问题; 3、掌握圆的相交弦定理及推论，能进行有关计算、证明,会作两条线段的比例中项； 4、掌握切割线定理及其推论,并会利用它进行有关的计算和证明； 难题解疑： 例题1：⊙Ｏ是△ABC 的内切圆，D 、Ｅ、F 为切点，AB ＝12c ｍ，BC ＝14cm,CA=１8c ｍ,求A Ｅ、B Ｆ、CD 的长; 例题２：ＰA 、P Ｂ切⊙O 于点A 、Ｂ，ＣＤ切⊙Ｏ于点Q,交ＰA 、 PB 于点C 、D,求证：(1)△P ＣD 的周长=2ＰA ； (2）∠COD ＝90°－21∠P ； 例题3:△ABC 是⊙O 的内接三角形,B Ｔ为⊙Ｏ的切线，B 为切点,P 为直线AB 上一点,过P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交线段AC 于点F ， (1）如图（１)，当点P 在线段AB 上时,求证:PA ·PB ＝PE ·PF ； （2)如图（2）,当点P 在线段BA 延长线时,第（1）题的结论还成立吗？如果成立,请证明；如果不成立，请说明理由;
例题4：从不在⊙O上的一点A作⊙O的割线,交⊙O于B、Ｃ,且ＡB·ＡC=６4，ＯA=10,求⊙Ｏ的半径; 例题5：小张、小李、小王三位同学解下列作图题:“已知线段ａ、ｂ,求作线段x,使 2=”，他们所作的图形如下: “ab x2 他们作图的方法： A．小张正确,小李、小王都不正确B．小王正确，小张、小李都不正确 C．小张、小李都正确,小王不正确 D.小张、小李、小王都正确 例题6:如图,PQ切⊙Ｏ于点Q，PAB、ＰCD是⊙O的两条割线，连结AＣ、ＡＤ，且∠Ｐ 2 AC=∠ＢＡD，求证：AD = -2 PQ? PA AC 例题7：已知ＡＤ是⊙O的直径,AB是⊙O的切线,割线BＭN交AD的延长线于C,且BM=ＭN＝ＮC，若AB＝２，求（１）BＣ；(2)半径r;
切线长定理及其应用 知识点一 切线长定义及切线长定理 1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长. 注意切线长和切线的区别和联系: 切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。 2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB. 推论： （1）△PAB 是等腰三角形； （2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ； （3）弧AM=弧BM ； （4）在Rt OAP ?和Rt OBP ?中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论； 如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==?==?==? （5）图中全等的三角形有 对，分别是： 题型一 切线长定理的直接应用 【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、 F ，求这两条切线的夹角及切线长. 【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．
【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________. 【过关练习】 1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长. e于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O △APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.
切线长定理—知识讲解（提高） 责编：康红梅 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点二、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 这个三角形叫作圆的外切三角形. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
【典型例题】 类型一、切线长定理 1.（2015?常德）已知如图，以Rt△ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ． （1 ）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，∠EAC=60°，求AD 的长． 【答案与解析】 证明：（1）如图1，连接FO ， ∵F 为BC 的中点，AO=CO ， ∴OF∥AB， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE⊥AE， ∵OF∥AB， ∴OF⊥CE， ∴OF 所在直线垂直平分CE ， ∴FC=FE，OE=OC ， ∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE， ∵∠ACB=90°， 即：∠0CE+∠FCE=90°， ∴∠0EC+∠FEC=90°， 即：∠FEO=90°， ∴FE 为⊙O 的切线； （2）如图2，∵⊙O 的半径为3， ∴AO=CO=EO=3， ∵∠EAC=60°，OA=OE ， ∴∠EOA=60°， ∴∠COD=∠EOA=60°， ∵在Rt△OCD 中，∠COD=60°，OC=3， ∴CD=， ∵在Rt△ACD 中，∠ACD=90°，
切线长定理及弦切角练习题 （一）填空 1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____． 2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°侧∠CAB=____ ． 3．已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D 4．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C两点，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．
5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____． 6．已知：如图7－147，△ABC内接于⊙O，DC切⊙O于C点，∠1=∠2，则△ABC为____ 三角形． 7．已知：如图7－148，圆O为△ABC外接圆，AB为直径，DC切⊙O 于C点，∠A=36°，那么∠ACD=____．
（二）选择 8．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于 [ ] A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°． 9．已知：如图7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为 [ ] A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个． 10．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN 切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是 [ ]
A．38°；B．52°；C．68°；D．42°． 11．已知如图7－151，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C，B两点，且PCB 过点O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是 [ ] A．1个；B．2个；C．3个；D．4个． （三）计算 12．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．
切线长定理_九年级数学教案_模板 1、教材分析（1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点． 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来． 2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点: 切线长定理是教学重点 教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系． 3、猜想 引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB． 4、证明猜想，形成定理． 猜想是否正确。需要证明． 组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB． 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
切线长的应用 1.已知，如图，△ABC的三边长为AC=5，BC=6，AB=7，⊙O与△ABC的三边相切于D,E,F， ⑴求AE,BD,CF的长； ⑵若⊙O的半径为2，求△ABC的面积。 ⑶若上图变为下图所示，PA,PB为⊙O的切线，DE与⊙O相切于点F， ①已知，PA=6,求△PDE的面积； ②∠P=400,求∠DME的度数。 2.如图，⊙O是直角△ABC的内切圆，已知AC=8.BC=6,∠C=900,求⊙O 的半径 若上题中的图形变为下图所示，⊙O与三角形的三边所在的直线都相切， 其余条件不变，求⊙O的半径 3.在△ABC中，AC=8.，∠C=900,AB=10,点P在AC上，AP=2,若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O 与AB,AC都相切，求⊙O的半径。 4,已知，等边三角形的边长为2，求这个三角形内切圆半径，外接圆半径。 5.如图所示，两等圆的半径为5，DC=16,求AD的长。 若上题图形变为下图所示，三个等圆两两外切，且与三角形的各边都相切，已知圆的半径为5， 求这个三角形的边长。
练习: 填空： 1．如图，P 是⊙O 外一点，PA.PB 分别与⊙O 相切于A.B 两点，C 是弧AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线，分别交PA.PB 于D.E,若△PDE 的周长为20cm,则PA 长为 。 2.如图，AB.AC 与⊙O 相切于B.C ∠A=50°，点P 是圆上异于B.C 的一动点，则∠BPC 的度数是 。 3．如图，若⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，且⊙O 的半径为2，则CD 的长为 。 4．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于B ，PA=4,OA=3,则co s ∠APO= . 5.已知，R t △ABC 中，∠C=90°，若AB=5,AC=3,则内切圆半径为 ，外接圆半径为 。 6．边长为6.8.10的三角形的内心与外心的距离为 。 7．若直角三角形斜边为12cm ，其内切圆半径为1cm ，则三角形的周长为 。 8．如图，在R t △ABC 中，∠A=90°，⊙O 分别与AB,AC 相切于E.F ，圆心O 在BC 上，若AB=a,AC=b,则⊙O 的半径为 。A.ab B. 2b a + C.b a ab + D.ab b a + 9．已知，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC.CD.DA 相切，若BC=a,DA=b, 则AB 的长是 。 10．△ABC 内切圆半径为2cm ，周长为10cm ，那么S △ABC= cm 2。 11．已知，等边△ABC 的边长为2，则这个三角形内切圆半径长为 ，外接圆半径为 。 12．已知，等边△ABC 的边长为1，则它的内切圆与外接圆组成的圆环面积为 。 13．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点,PBC 为割线,若PB=2cm,BC=6cm,则PA= 。 14．如图，PA.PB 为⊙O 的两条切线,切点为A.B,若直径AC=12cm ,∠P=60°,则弦AB= 。
知识点一切线长定义及切线长定理 1. _____________________________________________________ 切线长定义：过圆外一 点作圆的切线，这点和____________________________________________ 之间的线段长叫作这点 到圆的切线长 注意切线长和切线的区别和联系： 切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。 2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB. 推论: (1) △ PAB是等腰三角形； (2) OP 平分△ APB，即△ APO A BPO ； (3) 弧AM=弧BM ; (4)在Rt OAP和Rt OBP中，由AB OP，可通过相似得相关结论; 如：OA2 OB2 OE OP, AP2 BP2 PE PO, AE2 BE2 OE EP (5)图中全等的三角形有对，分别是： 题型一切线长定理的直接应用 【例1】如图所示，AO的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过点P的两条切线与 AO切于点E、 F,求这两条切线的夹角及切线长. 【例2】如图，FA、PB、DE分别切A0于A、B、C, A O的半径长为6 cm, PO= 10 cm,求APDE的周长. 切线长定理及其应用
【例3】如图所示，△ ABC中，/ C=90 , AC=3 , AB=5 , D为BC边的中点，以AD上一点0为圆心的O 0和AB、BC均相切，则O 0的半径为 ______________ . ￡4 【过关练习】 1?如图所示，PA、PB是AO的切线，A、B为切点，△ OAB=30°.( 1)求厶APB的度数.(2)当0A=3时, 求AP的长? 2?如图所示，已知PA、PB、DE分别切e 0于A、B、C三点，AO的半径为5cm, △ PED的周长为24cm , △ APB=50°求：(1) P0 的长；(2) △ EOD 的度数?