基本初等函数课时提升训练（6）
一、选择题
（每空？分，共？分）
1、定义函数，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为，已知，则函数在上的均值为。
A . B. C. D.
2、定义在上的函数满足，若关于x 的方程有5个不同实根，则正实数的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3、设函数为偶函数，且当时，，又函数，则函数
在上的零点的个数为( )个。
A. B. C. D.
4、定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两
个零点，则的取值范围为………（）.
．．．．
5、对于函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是( ) w
A． B． C． D．
6、如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.
若点的坐标，记矩形的周长为，则
（）
A．208 B.216 C.212 D.220
7、对于函数，若存在区间，使得，则称区间M为函数
的一个“稳定区间”，现有四个函数：
①②③④
其中存在“稳定区间”的函数为（）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
8、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（）
A. B. C . D.
9、若存在负实数使得方程成立，则实数的取值范围是（）
A． B. C. D.
10、已知且,函数在区间上既是奇函数又是增函数,则函数
的图象是（）
11、下列说法：
①命题“存在”的否定是“对任意的”；
②关于的不等式恒成立，则的取值范围是；
③函数为奇函数的充要条件是；
其中正确的个数是（）
A．3 B．2 C．1 D．0
12、函数的定义域为D，若对任意且，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；
③，则等于（）
A. B. C. 1 D.
13、函数的图象是
( )
14、已知
的定义域为，值域为，
则的取值范围是
A ．
B ．C．{１} D ．
二、简答题
（每空？分，共？分）
15、对于定义域为D 的函数，如果存在区间，同时满足：
①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．
则称是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．
（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）
16、已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围。
17、已知函数为奇函数.
（1）求常数的值；
（2）判断函数的单调性，并说明理由；
（3）函数的图象由函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出的一个对称中心，若，求的值。
18、已知函数，
（1）若是常数，问当满足什么条件时，函数有最大值，并求出取最大值时的值；（2）是否存在实数对同时满足条件：（甲）取最大值时的值与取最小值的值相同，（乙）？
（3）把满足条件（甲）的实数对的集合记作A，设，求使
的的取值范围。
19、设函数
⑴求的定义域。
⑵判断函数的单调性并证明。
⑶解关于的不等式
20、已知集合是正整数的一个排列，函数
对于，定义：，，称为
的满意指数．排列为排列的生成列．
（Ⅰ）当时，写出排列的生成列；
（Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；
（Ⅲ）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．
21、已知函数是偶函数。
（1）求的值；
（2）设函数，其中实数。若函数与的图象有且只有一个交点，求实数的取值范围。
22、设是数的任意一个全排列，定义，其中
.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）求使达到最大值的所有排列的个数.
23、
已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若时，函数的值域是，求实数的值.
24、已知函数对任意满足，，若当时，
（且），且．
（1）求实数的值；
（2）求函数的值域．
25、已知函数（为常数，且）.
（1）当时，求函数的最小值（用表示）；
（2）是否存在不同的实数使得，，并且，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
26、下列说法正确的有 (只填序号)
①函数的图象与直线的交点个数为0或1;
②设函数, 若当时，总有，
则；
③时，函数的值域为；
④与函数的图象关于点对称的图象对应的函数为.
27、若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.
（Ⅰ）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（Ⅱ）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：，函数都是等比源函数.
28、已知函数为偶函数.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 若方程有且只有一个根, 求实数的取值范围.
29、已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={}；②M={}；
③M={}；④M={}．
其中是“垂直对点集”的序号是（）
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
30、已知函数.
⑴若,解方程;
⑵若,判断的单调区间并证明;
⑶若存在实数,使,求实数的取值范围 .
三、填空题
（每空？分，共？分）
31、若函数满足：在定义域D 内存在实数，使得成立，则称函数为“1
的饱和函数”。给出下列四个函数：①；②；③；④。其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是
32、已知函数，正实数满足，且，若在区间
33、函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函
数;②在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在
“倍值区间”的有________
①; ②;
③; ④
34、已知函数，若，
且，则．
35、已知函数，当变化时，恒成立，则实数的取值范围是___________．
36、定义域为R的函数满足，当[0，2)时，若
时，恒成立，则实数t的取值范围是______________.
37、下列说法中正确的是：
①函数的定义域是；
②方程有一个正实根，一个负实根，则；
③是第二象限角，是第一象限角，则>；
④函数,恒过定点（3，-2）；
⑤若则的值为2
⑥若定义在R上的函数满足：对任意，则为奇函数
38、定义“正对数”:现有四个命题:
①若,则;
②若,则
③若,则
④若,则
其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号)
39、若直角坐标平面内M、N两点满足：
①点M、N都在函数f(x)的图像上；
②点M、N关于原点对称，则称这两点M、N是函数f(x)的一对“靓点”。
已知函数则函数f(x)有对“靓点”。
40、若不等式上恒成立，则实数a的取值范围为_
参考答案
一、选择题
1、 A
2、D
3、C
4、B；
5、B
6、B
7、D
8、B
9、C
10、A
11、B
12、A
13、B
14、C
二、简答题
15、若是已知函数的“和谐区间”，则
故、是方程，即的同号的相异实数根．
，，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，，
当时，取最大值
（3）如：和谐区间为、，当的区间；
和谐区间为；
阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调，不单调不给分．如举及形如的函数不给分．
16、解： (1)∵函数f(x)＝ (＋1)＋kx(k∈R)是偶函数
∴f(－x)＝ (＋1)－kx＝－kx＝ (4x＋1)－(k＋1)x＝ (4x＋1)＋kx恒成立
∴－(k＋1)＝k，则k＝－
(2)g(x)＝ (a·－a)，
函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程f(x)＝g(x)只有一个解
由已知得 (4x＋1)－x＝ (a·－a)
∴＝ (a·－a)
设。
若
17、解： (1)因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由，得
，所以。
这时满足，函数为奇函数，因此
（2）函数为单调递减函数.
法一:用单调性定义证明；
法二：利用已有函数的单调性加以说明。
在上单调递增，因此单调递增，又在及上单调递减，因此函数在及上单调递减；
法三：函数定义域为，说明函数在上单调递减，因为函数为奇函数，因此函数在上也是单调递减，因此函数在及上单调递减。
（本题根据具体情况对照给分）
（3）因为函数为奇函数，因此其图像关于坐标原点（0,0）对称，根据条件得到函数的一个对称中心为，
因此有，因为，因此
18、解：（1）解得且；
当时有最小值。
（2）由得，
所以，其中为负整数，当时，或者，
所以存在实数对满足条件。
（3）由条件知，当成立时，恒成立，因此，
恒成立，
当时，右边取得最大值，
因此，因为，所以.
19、解：（I）在定义域内为增函数
设，且.
==
因为，所以，所以有
即有在定义域内为增函数.
（II）因为定义域为且关于原点对称，又==
所以在定义域内为奇函数.
由有
又在上单调递增
即...所以：.
20、（Ⅰ）解：当时，排列的生成列为．
（Ⅱ）证明：设的生成列是；的生成列是与．
从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，，，
，．
显然，，，，下面证明：．
由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数．
由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而
．
同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而．
因为与是个不同数的两个不同排列，且，
所以，从而．
所以排列和的生成列也不同．
（Ⅲ）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负
数的项，所以．
依题意进行操作，排列变为排列，设该排列的生成列为
．
所以
．
所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．
21、解:（1）∵由题有对恒成立…2分
即恒成立，
∴… 4分
（2）由函数的定义域得，由于
所以即定义域为… 6分
∵函数与的图象有且只有一个交点，即方程
在上只有一解。
即：方程在上只有一解
①当时，记，其图象的对称轴
所以，只需，即，此恒成立
∴此时的范围为… 11分
综上所述，所求的取值范围为。… 12分
22、解：（Ⅰ）.
（Ⅱ）数的倍与倍分别如下：
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为，所以.
对于排列，此时，
所以的最大值为.
（Ⅲ）由于数所产生的个数都是较小的数，而数所产生的个数都是较大的数，所以使
取最大值的排列中，必须保证数互不相邻，数也互不相邻；而数和既不能排在之一的后面，又不能排在之一的前面.设，并参照下面的符号排列△○□△○□△○□△○
其中任意填入个□中，有种不同的填法；任意填入个圆圈○中，共有种不同的填法；
填入个△之一中，有种不同的填法；填入个△中，且当与在同一个△时，既可以在之前又可在
之后，共有种不同的填法，所以当时，使达到最大值的所有排列的个数为，由轮换性知，使达到最大值的所有排列的个数为.
23、解：（1）由已知，函数的定义域为，
因为,
所以为奇函数，…………………………………………………………… 2分
设是上的任意两个实数，且，
则.
因为,
所以当a＞1时，在上是增函数；
当0＜a＜1时，在上是减函数. …
所以原不等式可化为.
当a＞1时，由，得；…分
当0＜a＜1时，由，得. …
(如果函数的奇偶性和单调性没有证明，但不等式解对扣2分.)
（2）当a＞1时，在单调递增，则由，，得a=3.
当0＜a＜1时，在上单调递减，此时无解.
综上可知，a=3.