《离散数学》教学大纲
课程编号：CE3008
课程名称：离散数学英文名称：Discrete Mathematics
学分/学时：3.0/48 课程性质：必修
适用专业：网络工程、信息安全建议开设学期：3
先修课程：高等数学、线性代数开课单位：网络与信息安全学院
一、课程的教学目标与任务
离散数学是研究离散数量关系和离散结构数学模型的数学分支的统称，是网络工程、信息安全等计算机相关专业的专业平台基础课，也是学习专业课程必不可少的数学工具。本课程的数理逻辑是用符号化的方法研究推理的规律，集合论是现代数学的基础，代数结构、图论等知识在计算机相关的学科都有着广泛的应用。
通过本课程的学习，使学生掌握离散数学的基本概念和基本原理，掌握一些基本的能够描述离散对象的结构，了解这些离散结构的特性、离散结构之间的关系，理解离散结构在计算机问题求解中的意义与基本运用；进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力，培养学生对简单问题进行合理数学建模的能力，使得学生能够在理论推导上有所提高，并且能够对计算机描述的世界进行基本建模；掌握一些基本的计数技巧，帮助学生掌握命题逻辑和谓词逻辑的概念、基本理论以及应用逻辑的理论建模，为进一步学习后续课程打下必要基础。
二、课程具体内容及基本要求
（一）数理逻辑（12学时）
具体内容提要：
（1）命题逻辑基本概念
●命题与联接词；
●命题公式及其赋值。
（2）命题逻辑等值演算
●等值式；
●析取范式与合取范式；
●联接词的完备集。
（3）命题逻辑推理理论
●推理的形式结构；
●自然推理系统P。
（4）一阶逻辑基本概念
●一阶逻辑命题的符号化；
●一阶逻辑公式及其解释。
（5）一阶逻辑等值演算与推理理论
●一阶逻辑等值式与置换规则；
●一阶逻辑的前束范式；
●一阶逻辑的推理理论。
1.基本要求
（1）对于命题逻辑：了解范式的应用和全功能联结词的应用；熟悉命题与联结词、命题公式及其赋值、命题公式的等值式模式、范式（析取范式和合取范式、主析取范式和主合取范式）、推理的形式结构和自然推理系统；掌握自然语言的形式描述、掌握利用真值表和等值演算的方法进行命题演算和范式表示、掌握用命题逻辑的推理规则进行证明的常用方法。
（2）对于一阶逻辑：了解一阶逻辑的前束范式和推理理论、了解一阶逻辑的应用；熟悉一阶逻辑的基本概念、一阶逻辑的合式公式；掌握一阶逻辑的命题符号化、一阶逻辑公式的解释及分类、掌握利用一阶逻辑的等值式和置换规则方法进行谓词演算。
2.重点、难点
重点：命题的符号化；命题公式的赋值与类型；等值式模式；析取范式与合取范式、极小项与极大项、主析取范式与主合取范式；求主析取(主合取)范式的方法；利用主析取(主合取)范式求公式的成真赋值、成假赋值、判断公式的类型、判断公式是否等值；推理的形式结构与推理规则；在自然推理系统中构造证明的直接证明法、附加前提证明法、归谬法；一阶逻辑命题的符号化；一阶逻辑公式、解释及判定其类型；一阶逻辑中重要的等值式；置换规则、换名规则、代替规则；前束范式；自然推理系统中的推理规则；在自然推理系统中构造推理的证明。
难点：“相容或”与“排斥或”；求主析取(主合取)范式；真值表法、等值演算法、主析取范式法等基本推理方法；直接证明法、附加前提证明法、归谬法等基本证明方法；一阶逻辑公式的解释；一阶逻辑的推理规则与证明。
3.作业及课外学习要求
选择与基本要求相关的典型习题布置为作业，阅读其他经典参考书中相关的内容。
（二）集合论（16学时）
具体内容提要：
（1）集合代数
●集合的基本概念；
●集合的运算；
●有穷集的计数。
（2）二元关系
●有序对与笛卡尔积；
●二元关系；
●关系的运算；
●关系的性质；
●关系的闭包；
●等价关系与划分；
●偏序关系。
（3）函数
●函数的定义与性质；
●函数的复合与反函数；
●双射函数与集合的基数。
1.基本要求
（1）对于集合：了解集合相等/包含的证明方法和集合的应用；熟悉集合的基本概念、集合的运算；掌握包含排斥定理和集合恒等式。
（2）对于二元关系：了解关系的应用、关系运算的应用、关系性质的应用、关系闭包的应用；熟悉二元关系及其表示方式、关系的基本运算和运算的性质、关系的性质；掌握关系闭包的定义与构造方法、等价关系和偏序关系。
（3）对于函数：了解函数的相关应用；熟悉函数的定义、函数的复合运算和反函数；掌握单射、满射、双射函数的判别方法。
2.重点、难点
重点：集合之间的关系；集合的基本运算；有穷集合的计数方法；集合的相等或者包含关系的证明方法；笛卡儿积的运算和性质；关系的三种表示方法；关系的运算；关系闭包的构造方法；关系的性质；等价关系、等价类、商集、划分的概念以及等价关系与划分的关系；偏序关系、偏序集、哈斯图、偏序集中的特定元素等概念；函数的概念与性质；复合函数、
双射函数的反函数。
难点：有穷集的计数方法；关系的闭包运算；等价关系、等价类；偏序关系、偏序集、哈斯图；复合函数、双射函数的反函数。
3.作业及课外学习要求
选择与基本要求相关的典型习题布置为作业，阅读其他经典参考书中相关的内容。
（三）代数结构（4学时）
具体内容提要：
（1）代数系统
●二元运算及其性质；
●代数系统。
（2）半群与群
●群的定义与性质。
1.基本要求
了解同类型代数系统的概念和子代数的概念；熟悉判定代数系统和二元运算的性质、特异元素的方法；掌握代数系统的基本概念和运算、掌握半群和独异点的概念及性质、掌握群的定义及性质。
2.重点、难点
重点：二元运算的性质；多种代数结构的判定。
难点：多种代数结构的判定。
3.作业及课外学习要求
选择与基本要求相关的典型习题布置为作业，阅读其他经典参考书中相关的内容。
（四）图论（16学时）
具体内容提要：
（1）图的基本概念
●图；
●通路与回路；
●图的连通性；
●图的矩阵表示；
●图的运算。
（2）欧拉图与哈密顿图
●欧拉图；
●哈密顿图。
（3）树
●无向树及其性质；
●生成树；
●根树及其应用。
（4）平面图与图的着色
●平面图的基本概念；
●欧拉公式；
●平面图的判断；
●平面图的对偶图。
●图的着色。
1.基本要求
了解无向图、有向图等的应用；了解平面图的基本概念、欧拉公式及平面图的判断基本定理；了解平面图的对偶图基本转换方法及对图中顶点的着色、地图的着色与平面图的着色及边着色等概念；熟悉与图的定义有关的概念、熟悉无向图的连通性与连通分支等概念、熟悉有向图连通性的概念；掌握握手定理及其推论、掌握图的同构、简单图、完全图、正则图、子图、补图、二部图等概念、掌握通路与回路的定义和表示方法、掌握无向图的点连通度与边连通度等概念、掌握用有向图的邻接矩阵及各次幂求图中通路与回路数的方法、掌握有向图可达矩阵的求解方法；掌握欧拉图与半欧拉图的定义及判别定理、掌握哈密顿图、半哈密顿图的定义及判别方法；掌握无向树的定义及性质、掌握无向树的求解方法、掌握给定带权连通图的最小生成树的求解方法、掌握基本回路、基本割集的概念及求解方法、掌握根树及其分类等概念、掌握阶数较小的所有非同构的根树的画法、掌握求最优树及最佳前缀码的方法、掌握波兰符号法与逆波兰符号法。
2.重点、难点
重点：图的定义；握手定理；同构、简单图、完全图、正则图、子图、补图、二部图等概念及其性质；通路与回路的定义与表示方法；无向图的连通性、连通分支等概念；无向图的点连通度、边连通度等概念及其之间的关系；用有向图的邻接矩阵及各次幂求图中通路与回路数的方法；有向图的关联矩阵、距离矩阵、可达矩阵；欧拉图与半欧拉图的定义及判别定理；哈密顿图及半哈密顿图的定义及判别方法；无向树的定义及性质；画出阶数n较小的
所有非同构的无向树；基本回路、基本回路系统、基本割集、基本割集系统的概念；求最小生成树；根树及其分类等概念，阶数较小的所有非同构的根树的画法；Huffman算法并求最佳前缀码。
难点：无向图的连通性，连通分支；无向图的点连通度、边连通度；欧拉图与半欧拉图的判别定理；哈密顿图及半哈密顿图的判别定理；n阶树的所有非同构的无向树；求最小生成树；Huffman算法及求最佳前缀码；欧拉公式的应用及地图的着色。
3.作业及课外学习要求
选择与基本要求相关的典型习题布置为作业，阅读其他经典参考书中相关的内容。
三、教学安排及方式
总学时48学时，其中：讲授48学时。
注：教学方式填写“讲授、实验或实践、上机、综合练习、多种形式”。
四、本课程对培养学生能力和素质的贡献点
贡献点1：本课程详细讲解数理逻辑、集合论、代数结构和图论的知识，包括命题逻辑基本概念、命题逻辑等值演算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑基本概念、一阶逻辑等值演算与推理、集合代数、二元关系、函数、代数系统、半群与群、图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、平面图及图的着色等等。通过本课程的学习，使学生掌握离散数学的基本概念和基本原理，掌握一些基本的能够描述离散对象的结构，了解这些离散结构的特性、离散结构之间的关系，理解离散结构在计算机相关问题求解中的意义与基本运用；进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力，培养学生对简单问题进行合理数学建模的能力，使得学生能够在理论推导上有所提高，并且能够对计算机描述的世界进行建模，为进一步学习后续课程打下必要基础。
对毕业要求1：工程知识：掌握从事工程工作所需的数学基础知识，具备坚实的数学知识体系，能把离散数学的概念、思想、方法应用于解决实际的工程问题。
五、考核及成绩评定方式
最终成绩由平时作业成绩、课堂成绩和期末考试成绩组合而成。各部分所占比例如下：平时作业成绩：15%。通过作业考核学生对知识点的复习、理解和掌握程度。
课堂成绩：5%。及时考察学生对课堂讲授重点知识、难点知识的理解和掌握程度。
期末考试成绩：80%。采用书面考核的形式考察学生对数理逻辑、集合论、代数结构和图论等离散数学基础知识的掌握程度。可采用的题型有：选择题、填空题、判断题、问答题、构造题、计算题和综合题等。
六、教材及参考书目
教材：《离散数学》（第2版），屈婉玲、耿素云、张立昂编著，高等教育出版社。
参考书目：
1.《离散数学》，左孝凌、李为鉴、刘永才编著，上海科技文献出版社。
2.《离散数学及其应用》（原书第7版），（美）罗森著，徐六通等译，机械工业出版社。
3.《离散数学》（第3版），李盘林、李丽双、陈铭伟、徐喜荣、李洋编著，高等教育出版社。
七、说明
（一）与相关课程的分工衔接
后续课程：操作系统、数据库原理、信息安全数学基础、计算机与网络安全、编译原理等课程。
（二）其他说明
无。
二年级《数学》第二学期教学大纲 课程名称：数学 课程性质：必修课 学时：96课时 教学对象：印度尼西亚二年级学生 总叙 经过一年半的学习，学生汉语的听、说、读、写以及字词的理解能力都大大的得到了提升，这对他们能够快速的学习数学知识有一定的帮助。上学期我们重点学习了100以的加、减法笔算和表乘法。一个学期的训练，学生基本上熟练地掌握了100以笔算加、减法的计算方法，能够正确地进行计算，知道乘法的含义和乘法式子中各部分的名称，能够背诵全部乘法口诀，熟练地口算两个一位数相乘。 这个学期我们将重点学习表除法、万以数的认识以及加强对应用题的理解。知道除法的含义，除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系；能够熟练地运用乘法口诀求商。学生能够进一步理解应用题的含义，更重要的是能够独立求解应用题。
数学这门学科的作用就在于通过学习提高学生的观察力、理解力、判断力、分析能力以及逻辑推理能力。在学生的汉语能力提高的同时，我们也要让学生的观察、理解、分析、判断、推理等多种智力因素得到充分发挥从而达到发展思维的目的。所以作为一个教师，我们要精心设计我们的课堂，要思考怎样提高学生对数学兴趣，同时，也能让学生学到更多的数学知识。让每一个学生都喜欢数学，喜欢解决问题，更喜欢思考。 上学期工作回顾 教学容： 1、认识长度单位厘米和米 2、100以的加、减法竖式计算 3、初步认识角 4、表乘法 5、观察物体 教学重点：100以的加、减法竖式计算和表乘法。 教学目标： 1、掌握100以笔算加、减法的计算方法，并正确地进行计算。掌握 100以笔算加、减法的估算方法，及估算方法的多样性。 2、知道乘法的含义和乘法版式中各部分的名称，熟记全部乘法口诀， 并且能够口算两个一位数相乘的乘法。 3、认识长度单位厘米和米，初步建立1米、1厘米的长度观念，知道 1米＝100厘米；学会用刻度尺量物体的长度（限整厘米）。 4、认识线段，测量整厘米线段的长度；认识角和直角，知道角的各 部分名称，会用三角板判断一个角是不是直角；初步学会画线段、 角和直角。 5、能够辨认从不同位置观察到简单物体的形状；初步认识对称现象， 并能在方格纸上画出简单的轴对称图形。
离散数学试题（A 卷答案） 一、（10分） （1）证明(P →Q )∧(Q →R )?(P →R ) （2）求(P ∨Q )→R 的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。 解：（1）因为((P →Q )∧(Q →R ))→(P →R ) ??((?P ∨Q )∧(?Q ∨R ))∨(?P ∨R ) ?(P ∧?Q )∨(Q ∧?R )∨?P ∨R ?(P ∧?Q )∨((Q ∨?P ∨R )∧(?R ∨?P ∨R )) ?(P ∧?Q )∨(Q ∨?P ∨R ) ?(P ∨Q ∨?P ∨R )∧(?Q ∨Q ∨?P ∨R ) ?T 所以，(P →Q )∧(Q →R )?(P →R )。 （2）(P ∨Q )→R ??(P ∨Q )∨R ?(?P ∧?Q )∨R ?(?P ∨(Q ∧?Q )∨R )∧((P ∧?P )∨?Q ∨R ) ?(?P ∨Q ∨R )∧(?P ∨?Q ∨R )∧(P ∨?Q ∨R )∧(?P ∨?Q ∨R ) ?2M ∧4M ∧6M ?0m ∨1m ∨3m ∨5m 所以，其相应的成真赋值为000、001、011、101、111：成假赋值为：010、100、110。 二、（10分）分别找出使公式?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y )))为真的解释和为假的解释。 解：设论域为{1，2}。 若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝F ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝F ，则 ?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y ))) ??x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2)))) ?(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ?(T →((F ∧F)∨(F ∧F)))∧(T →((F ∧F)∨(F ∧F))) ?(T →F)∧(T →F) ?F 若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝T ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝T ，则 ?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y ))) ??x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2)))) ?(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ?(T →((T ∧T)∨(T ∧T)))∧(T →((T ∧T)∨(T ∧T))) ?(T →T)∧(T →T) ?T
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).
第一章 命题逻辑 习题1.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x 取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。 ⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。 2．解 ⑴是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。 ⑸是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑹是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题 ⑼。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：?p 。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。 ⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。 ⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。 4．解 ⑴?p →(q ∨r )。⑵p →q 。⑶q →p 。⑷q → p 。 习题1.2 1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p ∨q ，?p 二层：?p ?q 所以，)()(q p q p ??→∨是3层公式。 ⑷不是公式。 ⑸(p →q )∧?(?q ?( q →?r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，?q ，?r 二层：q →?r 三层：?q ?( q →?r ) 四层：?(?q ?( q →?r )) 2．解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。真值表如表2-1所示： 表2-1 ⑵p q p q A →→∧= )(是3层公式。真值表如表2-2所示：
离散数学 作业要求： （1）禁止用附件提交作业。附件提交的作业计0分。 （2）作业按题号顺序作答，乱序、不写题号等视情况扣分。 （3）选择题直接提交答案，不要抄题。 （4）卷面整洁，文字、符号以及图等要清晰可辨。 一、单选题（每题2分，共15小题） 1.集合}}}{{},{,{c b a A =，则下列不属于A 的子集的是（ ） A.}}{{a B.}}{{b C.}}}{{{c D.}}{,{b a 2.设全集{1,2,...,9,10}U =的子集为A={偶数}，B={奇数}，则下列选项正确的是（ ） A.A B =? B.A B =? C.A B U = D. 以上答案都不对 3.已知集合}4,3,2,1{=A ， },,{c b a B =， }8,6,4,2,1{=C ,定义A 到B 的关系c)}(4,b),(3,a),(2,a),{(1,1=ρ，B 到C 的关系(c,1)}(b,6),{(a,4),2=ρ，则下列属于21ρρ的是（ ） A.)8,1( B.)4,1( C.)6,2( D.)1,3( 4.集合}3,2,1{=A 上的关系)}3,1(),1,2(),2,1{(=R ，则R 具有（ ）
A.对称性 B.自反性 C.可传递性 D.以上说法都不对 5.集合{1,2,3}A =上的下列关系，是由A 到A 的函数的是（ ） A.{(1,3),(2,3),(3,1)}f = B.{(1,2),(3,1)}g = C.{(1,1),(2,1),(3,2),(1,3)}h = D.{(1,3),(2,1),(2,2)}I = 6.集合},,{},3,2,1{c b a B A ==，则A 到B 的映射中，是单射的是（ ） A.}b)b)(3,a)(2,(1,{ B.}b)b)(3,a)(1,(1,{ C.}c)b)(3,a)(2,(1,{ D.}b)b)(3,b)(2,(1,{ 7. 下面各集合都是N 的子集，（ ）集合在普通加法运算下是封闭的。 A.}16|{整除的幂可以被x x B.}5|{互质与x x C.}30|{的因子是x x D.}30|{ 离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证 二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 小学二年级数学教学大纲 二年级教学内容(每周5课时) (一)数与计算 (1)两位数加、减两位数。两位数加、减两位数。加、减法竖式。两步计算的加减式题。 (2)表内乘法和表内除法。乘法的初步认识。乘法口诀。乘法竖式。除法的初步认识。用乘法口诀求商。除法竖式。有余数除法。两步计算的式题。 (3)万以内数的读法和写法。数数。百位、千位、万位。数的读法、写法和大小比较。 (4)加法和减法。加法，减法。连加法。加法验算，用加法验算减法。 (5)混合运算。先乘除后加减。两步计算式题。小括号。 (二)量与计量 时、分、秒的认识。 米、分米、厘米的认识和简单计算。 千克(公斤)的认识。 (三)几何初步知识 直线和线段的初步认识。 角的初步认识。直角。 (四)应用题 加法和减法一步计算的应用题。 乘法和除法一步计算的应用题。 比较容易的两步计算的应用题。 (五)实践活动 与生活密切联系的内容。 例如调查家中本周各项消费的开支情况， 想到哪些数学问题。 教学要求 1.认识计数单位“百”、“千”和“万”，知道相邻两个计数单位之间的十进关系。掌 握万以内的数位顺序，会读数、写数，会比较数的大小。 2.掌握加、减法的笔算法则。会用竖式计算比较简单的连加式题。比较熟练地口算两位数加、减两位数(和在100以内)，会口算整百、整千数的加、减法和几百几十加、减整百或整十的数，会用交换加数的位置验算加法和用加法验算减法。初步培养学生检查和验算的习惯。 3.知道乘、除法的含义和乘、除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系。知道乘法口诀是怎样得来的，熟记全部乘法口诀，能够熟练地用口诀求积、求商。熟练地计算除数是一位数、商也是一位数的有余数的除法。 [注①：例如3个5，可以写作3×5，也可以写作5×3。3×5读作3乘5，3和5 都是乘数（也可以叫因数）。②：不给出“第一种分法”、“第二种分法”等名称。] 4.初步掌握混合运算顺序，会计算两步式题。认识小括号。 5.认识长度单位米、分米、厘米。知道1米、1厘米的实际长度。知道1米＝10分米，1分 北京工业大学经管学院期末试卷 《离散数学》（A） 学号姓名：成绩 一、单项选择题（每题2分，共18分） 1．令P：今天下雪了，Q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不．滑”可符号化为（D）A．P→Q B．P∨Q C．P∧Q D．P∧Q p→q，蕴涵式，表示假设、条件、“如果，就”。 “→”与此题无关 2. 关于命题变元P和Q的极大项M1表示( C )。书P1520，此题换作p、q更容易理解 A.┐P∧Q B.┐P∨Q p∨┐q 01 1 M1 ∨┐Q∧┐Q 3.设R（x）：x是实数；S（）：x小于y。用谓词表达下述命题：不存在最小的实数。其中错误的表达式是：（D） 4.在论域{}中与公式（x?）A（x）等价的不含存在量词的公式是（B） A.)b( )a( A∨ A A )a( A∧ B. )b( C. )b( )b( A→ A A )a( A→ D. )a( 5．下列命题公式为重言式的是（C） A．Q→（P∧Q）B．P→（P∧Q） C．（P∧Q）→P D．（P∨Q）→Q 牢记→真假条件，作为选择题可直接代入0、1，使选项出现1→0，排除。熟练的可直接看出C不存在1→0的情况 6. 设｛1，2，3｝，｛｝，下列二元关系R为A到B的函数的是( A ) A. ｛<1>,<2>,<3>｝ B. ｛<1>,<2>｝ C. ｛<1>,<1>,<2>,<3>｝ D. ｛<1>,<2>,<3>,<1>｝ 7.偏序关系具有性质（D）背 A.自反、对称、传递 B.自反、反对称 C.反自反、对称、传递 D.自反、反对称、传递 8.设R 为实数集合，映射:,R R σ→2 ()21,x x x σ=-+-则σ 是( D ). (A) 单射而非满射 (B) 满射而非单射 (C) 双射 (D) 既不是单射也不是满射. 书P96.设函数f ：A→B （1）若，则f 是满射的【即值域为B 的全集，在本题中为R ，该二次函数有最高点，不满足】 （2）若对于任何的x 12∈A , x 1≠x 2,都有f(x 1)≠f(x 2)，则称f 是单射的【即真正一一对应，甚至不存在一个y 对应多个x 。显然，本题为二次函数，不满足】 （3）若f 既是满射的，又是单射的，则称f 是双射的【本题中两个都不满足，既不是单射也不是满射】 二、填空题（每空2分，共22分） １.设Q 为有理数集，笛卡尔集×Q ，*是S 上的二元运算，? 2017秋课件作业 第一部分集合论 第一章集合的基本概念和运算 1-1设集合A={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是（选择题）[A] A．1∈A；B．2∈A；C．3∈A；D．{3，2,1}?A。 1-2A,B,C为任意集合，则他们的共同子集是（选择题）[D] A．C；B．A；C．B；D．?。 1-3设S={N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题） （1）N?Q，Q∈S，则N?S，［错］（2）-1∈Z，Z∈S，则-1∈S。［错］ 1-4设集合B={4，3}∩?，C={4，3}∩{?}，D={3，4，?}，E={x│x∈R并且x2-7x+12=0}，F={4，?，3，3}，试问：集合B与那个集合之间可用等号表示（选择题）[A] A.C; B.D; C.E; D. F. 1-5用列元法表示下列集合：A={x│x∈N且3－x〈3}（选择题）[D] A.N; B.Z; C.Q; D.Z+ 1-6为何说集合的确定具有任意性?(简答题) 答：按研究的问题来确定集合的元素。我们所要研究的问题当然是随意的呗。之所以，集合的定义（就是集合成分的确定）当然带有任意性哪。 第二章二元关系 2-1设A={1，2，3}，A上的关系R={〈1，2〉，〈2，1〉}∪IA， 试求：（综合题） (1)domR=?;(2)ranR=?;(3)R的性质。 （4）商集A/R=？（5）A的划分∏=？（6）合成运算（R。R）=？ 答：R={<1,2>,<1,3>,<2,3>，<1，1>，<2，2>，<3，3>}； (1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1}; (2)RanR={R中所有有序对的y}={2,1,3}； (3)R的性质:自反,反对称,传递性质.这时，R不是等价关系。 （4）商集A/R={{1，2，3}，{2，3}，{3}}。由于R不是等价关系，所以，等价类之间出现交集。这是不允许的。请看下面的划分问题。 （5）A的划分∏={{1，2，3}，{2，3}，{3}}；也由于R不是等价关系，造成划分的荒谬结果：出现交集。试问：让“3”即参加第一组，又参加第二组，她该如何分配呢！！！ 所以，关系R必须是等价关系。至于作业中，此两题应说：因为R不是等价关系，此题无解。 2-2设R是正整数集合上的关系，由方程x+3y=12决定，即 R={〈x，y〉│x，y∈Z+且x+3y=12}， 试给出dom（R。R）。（选择题）[B] A.3； B.{3}； C.〈3，3〉； D.{〈3，3〉}。 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式?x A和?x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={ 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 二年级小学数学教学大纲 二年级小学数学教学大纲 二年级 教学内容(每周5课时) (一)数与计算 (1)两位数加、减两位数。 两位数加、减两位数。加、减法竖式。两步 计算的加减式题。 (2)表内乘法和表内除法。 乘法的初步认识。乘法口诀。乘法竖式。除 法的初步认识。用乘法口诀求商。除法竖式。有余数除法。两步计算的式题。 (3)万以内数的读法和写法。 数数。百位、千位、万位。数的读法、写 法和大小比较。 (4)加法和减法。 加法，减法。连加法。加法验算，用加法验算减法。 (5)混合运算。 先乘除后加减。两步计算式题。小括号。 (二)量与计量 时、分、秒的认识。 米、分米、厘米的认识和简单计算。 千克(公斤)的 认识。 (三)几何初步知识 直线和线段的初步认识。 角的初步认识。直角。 (四)应用题 加法和减法一步计算的应用题。 乘法和除法一步计算的应用题。 比较容易的两步计算的应用题。 (五)实践活动 与生活密切联系的内容。例如调查家中本周各项消费的开支情况，想到哪些数学问题。 教学要求 1.认识计数单位“百”、“千”和“万”，知道相邻两个计数单位之间的十进关系。掌握万以内的数位顺序，会读数、写数，会比较数的大小。 2.掌握加、减法的笔算法则。会用竖式计算比较简单的连加式题。比较熟练地口算两位数加、减两位数(和在100以内)，会口算整百、整千数的加、减法和几百几十加、减整百或整十的数，会用交换加数的位置验算加法和用加法验算减法。初步培养学生检查和验算的习惯。 3.知道乘、除法的含义和乘、除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系。知道乘法口诀是怎样得来的，熟记全部乘法口诀，能够熟练地用口诀求积、求商。熟练地计算除数是一位数、商也是一位数的有余数的除法。 计算机专业通知：计算机资料就是同学们网上学习的阶段测试和简答练习等资料，请同学们打印下来复习，如有新的资料更新会通知大家！（以下资料只是网上一部分） 离散数学 一、单项选择题 1、（p∨(q∧r)）→(p∧q∧r)的主析取范式是：（B ） A. ∑(0,1) B. ∑(0,1,7) C. ∑(0,7) D. ∑(1,7) 2、下列是真命题的是（A ） A. 2是素数 B. 2+3=6 C. 雪是黑色的 D. 3能被2整除 3、设P：我们划船，Q：我们跳舞，命题“我们不能既划船又跳舞”符号化为（B ） A. P Q B. ┐（P∧Q） C. ┐P∧┐Q D. ┐P∧Q 4、设谓词P(x):x是奇数,Q(x):x是偶数,谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真 (A) A. 自然数 B. 实数 C. 复数 D. 前面三者均成立 5、当P的真值是1,Q的真值是1 R的真值是0，下列复合命题中真值为0的是（D ） A. （PvQ）→R B. R→(P ? Q) C. (PvR) →Q D. (P ?R)??Q 6、设A=｛1，2，3｝，则下列说法正确的是（C ） A. R={<1,1>，<2，2>，<3，3>，<1,2>}在A上是反自反的 B. R=｛<2，3>，<3，2>｝在A上是自反的 C. R=｛<1，2>，<2，1>，<3，3>在A上是对称的 D. R={<1，2>，<1，3>}在A上是对称的 7、下面关于集合的表示中，正确的是(B )． A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈φ D. φ∈{a，b} 8、设A={?}，B=P（P（A）），以下不正确的式子是（）（分数：1分） A. ．{{? }，{{? }}，{?，{? }}}包含于B B. {{{? }}}包含于B C. {{?，{? }}}包括于B D. {{? }，{{?，{? }}}}包含于B 标准答案是：D。您的答案是： 9、六阶群的子群的阶数可以是（）。（分数：1分） A. 1，2，5 B. 2，4 C. 3，6，7 D. 2，3 标准答案是：D。您的答案是： 10、设G是n个结点、m条边和r个面的连通平面图，则m等于（）。（分数：1分） A. n+r-2 B. n-r+2 C. n-r-2 D. n+r+2 标准答案是：A。您的答案是： 离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P 二年级小学数学教学大纲 二年级 教学内容(每周5课时) (一)数与计算 (1)两位数加、减两位数。两位数加、减两位数。加、减法竖式。两步计算的加减式题。 (2)表内乘法和表内除法。乘法的初步认识。乘法口诀。乘法竖式。除法的初步认识。用乘法口诀求商。除法竖式。有余数除法。两步计算的式题。 (3)万以内数的读法和写法。数数。百位、千位、万位。数的读法、写法和大小比较。 (4)加法和减法。加法，减法。连加法。加法验算，用加法验算减法。 (5)混合运算。先乘除后加减。两步计算式题。小括号。 (二)量与计量 时、分、秒的认识。米、分米、厘米的认识和简单计算。千克(公斤)的认识。 (三)几何初步知识 直线和线段的初步认识。角的初步认识。直角。 (四)应用题加法和减法一步计算的应用题。乘法和除法一步计算的应用题。比较容易的两步计算的应用题。 (五)实践活动 与生活密切联系的内容。例如调查家中本周各项消费的开支情况，想到哪些数学问题。 教学要求 1.认识计数单位“百”、“千”和“万”，知道相邻两个计数单位之间的十进关系。掌握万以内的数位顺序，会读数、写数，会比较数的大小。 2.掌握加、减法的笔算法则。会用竖式计算比较简单的连加式题。比较熟练地口算两位数加、减两位数(和在100以内)，会口算整百、整千数的加、减法和几百几十加、减整百或整十的数，会用交换加数的位置验算加法和用加法验算减法。初步培养学生检查和验算的习惯。 3.知道乘、除法的含义和乘、除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系。知道乘法口诀是怎样得来的，熟记全部乘法口诀，能够熟练地用口诀求积、求商。熟练地计算除数是一位数、商也是一位数的有余数的除法。 [注①：例如3个5，可以写作3×5，也可以写作5×3。3×5读作3乘5，3和5都是乘数（也可以叫因数）。②：不给出“第一种分法”、“第二种分法”等名称。]离散数学期末试题
离散数学知识点整理
离散数学期末试题及答案完整版
(完整版)小学二年级数学教学大纲
离散数学期末试卷
北京大学2017秋课件作业【离散数学】及答案
离散数学期末试卷A卷及答案
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
离散数学期末试卷(B)
(完整版)二年级小学数学教学大纲
离散数学
离散数学期末考试试题及答案
小学数学教学大纲1-6年级
相关主题
文本预览