二面角
1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =3
2 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是
边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。 解：由已知条件，D 是BC 的中点
∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2
∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC
∴ PA ⊥AB (三垂线定理)
∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°
2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。 解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC
∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，
则 BC =SB =2a 且 AC = 3
易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60°
3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
D
P
C
A
B
E
D
B
A
S
C
解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD
∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，
则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =2
1
CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 5
8
BD BC CD CE =?=
∴ 5
4RN =
2
5
RN MN MRN tan =
=
∠ ∴ 2
5
a r c t a n M R N
=∠ 4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0
120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD
∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影
∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影
设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=
a 2
3 ∴ AD =
4
1ABD cos 26=∠， ∴ sin ∠ABD =
4
15
∴ 2
2A B D a 8
15415a 21S =?=
? 又 a 21BE =
S
R N
M
O
B
D
P
A C
D
B
A
E
C
∴ 2B D E a 8
3a 21a 2321S =??=
? ∴ 5
5
S S c o s A B D B D E =
=
θ?? 考虑到我们求的是二面角 A-BD-E ，而二面角 A-BD-C 与A-BD-C 互补 ∴ 二面角 A-BD-C 的余弦值为5
5
-。
5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。
解：设边长为a ，易证 ANC'N 是菱形 且MN =a 2，A'C =a 3 ∴Ｓ□AMC'N = 2a 2
6'AC 21MN =?
由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即 为正方形ABCD
∴ Ｓ□ABCD =2
a ∴ 3
6a 2
6a cos 221=
=
θ ∴ 3
6a r c c o s 1=θ 取CC'的中点M'，连结DM'
则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，
Ｓ□DM'C'M =
2a 21 ∴ 66
a 2
6a
21c o s 2
22=
=θ D ’
B ’
D
A
C ’
B
A ’
C M
N
∴6
6arccos
2=θ 6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。
解：作DF ⊥AB 于F ，CE ⊥AB 于E ， ∵ AC =CD =1 ∠ABC =30° ∴ AD =2，BC =3 ， AB =2， BD =2 在Rt △ABC 中， 23
231AB BC AC CE =
?=?=
， 同理 12
2
2AB
BD
AD DF =?=?= ∴ 1DF BD BF 22=-=
2
1CE AC AE 22=
-= ∴ 2
12112EF =-
-= ∴ θ
?-++=c o s DF EF 2EF DF CE CD 2
2
2
2
∴ 3
3
c o s =θ
即所求角的大小为3
3arccos 。
7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。
解：由已知条件∠BAC =90°，AB =AC ， 设BC 的中点设为O ，则OA =OC =3
BC =32
B
F E
A
C
D
O
A
B
C
23
3
3230tan BC DC 0=?
== ∴ θ?-++=cos CD AO 2CD OC AO AD 2
2
2
2
解之得：
2
1cos -=θ ∴
150=θ
8. 如图，四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱的长均是2，求：二面角A —BD —C 、A —BC —D 、B —AC —D 的大小.
解析：(1)取BD 的中点O ，连AO 、OC.在ΔABD 中，∵AB ＝AD ＝2，BD ＝2，
∴ΔABD 是等腰直角三角形，AO ⊥BD ，同理OC ⊥BD. ∴∠AOC 是二面角A —BD —C 的平面角
又AO ＝OC ＝1，AC ＝2，∴∠AOC ＝90°.即二面角A —BD —C 为直二面角.
(2)∵二面角A —BD —C 是直二面角，AO ⊥BD ，∴AO ⊥平面BCD. ∴ΔABC 在平面BCD 内的射影是ΔBOC.
∵S ΔOCB ＝21,S ΔABC ＝23,∴cos θ＝33.即二面角A —BC —D 的大小是arccos 33
.
(3)取AC 的中点E ，连BE 、DE.∵AB ＝BC ，AD ＝DC ， ∴BD ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BED 就是二面角的平面角.
在ΔBDE 中，BE ＝DE ＝26
，由余弦定理，得cos α＝-31 ∴二面角B —AC —D 的大小是π-arccos 31
.
评析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S ′＝S ·cos θ求得.又EG ∥AB ，故易得tan ∠AEG=tan ∠BAE=2
2
=AB BE .
9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.
(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面
角A —EB —D 的平面角大小.
解析：(1)设O 是AC ，BD 的交点，连结EO. ∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 、BD 的中点，
∵E 是PA 的中点，∴EO ∥PC ，又PC ⊥平面ABCD ，
∴EO ⊥平面ABCD ，EO ?平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABCD. (2)EO ∥PC ，PC ?平面PBC ，
∴EO ∥平面PBC ，于是点O 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离. 作OF ⊥BC 于F ，
∵EO ⊥平面ABCD ，EO ∥PC ，PC ?平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABCD ，于是OF ⊥平面PBC ，OF 的长等于O 到平面PBC 的距离.
由条件可知，OB ＝2a ,OF ＝2a ×23＝43a ，则点E 到平面PBC 的距离为43
a.
(3)过O 作OG ⊥EB 于G ，连接AG ∵OE ⊥AC ，BD ⊥AC ∴AC ⊥平面BDE ∴AG ⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO 是二面角A —EB —D 的平面角
∵OE ＝21PC ＝21a,OB ＝23a ∴EB ＝a.∴OG ＝EB OB OE ?＝43
a 又AO ＝21a.
∴tan ∠AGO ＝OG AO ＝332∴∠AGO ＝arctan 33
2.
评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.
10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G 在
对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21
，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成
的二面角的大小.
解析：设G 在底面ABCD 上的射影为H ，H ∈BD ，
∵D D GH 1＝B D GB 1＝32 ∴GH ＝32
作HM ⊥EF 于M ，连GM ，由三垂线定理知GM ⊥EF ，则∠GMH ＝θ就是平面BFG 与底
面ABCD 所成的二面角的平面角，tan θ＝HM GH
.
下面求HM 的值.
建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.
H(31，32)、E(41，0)、F(1，2
1)
∴直线EF 的方程为
021
0--y ＝
4114
1
-
-
x ， 即 4x-6y-1＝0.
由点到直线的距离公式可得
｜HM ｜＝
2
26413
26314+-?-?＝13611
，
∴tg θ＝32·11136＝11134，θ＝arctg 1113
4.
说明 运用解析法来求HM 的值是本例的巧妙所在.
11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C
(2)求二面角C —AF —B
的大小
分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解 (1)∵AC ＝BC ，E 为AB 中点，∴CE ⊥AB 又∵ABC —A1B1C1为直棱柱，∴CE ⊥面AA1BB 连结EF ，由于AB ＝2AA1 ∴AA1FE 为正方形
∴AF ⊥A1E ，从而AF ⊥A1C
(2)设AF 与A1E 交于O ，连结CO ，由于AF ⊥A1E ，知AF ⊥面CEA1 ∴∠COE 即为二面角C —AF —B 的平面角 ∵AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a
∴CE ＝2a,OE ＝22
a,∴tan ∠COE ＝a
a 222＝2.
∴二面角C —AF —B 的大小是arctan2.
12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1
111D C B A
所成二面角的大小．
解析：∵ 平面ABCD ∥平面1111D C B A ，∴ 平面C AB 1与平面1111D C B A 的交线l 为过点1B 且平行于AC 的直线．直线l 就是二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的棱．又1AA ⊥平面
1111D C B A ，过1A 作AH ⊥l 于H ，连结AH ．则1AHA ∠为二面角1A l A --的平面角．可求
得
25tan 1=
∠AHA ．因此所求角的大小为25arctan 或25arctan
π-
13. 在正方体1111D C B A A B C D -
中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141
BB BK =
，
143
CC CM =
.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．
解析：由于BCMK 是梯形，则MK 与CB 相交于E ．A 、E 确定的直线为l ，过C 作CF ⊥l 于F ，连结MF ，因为MC ⊥平面ABCD ，CF ⊥l ，故MF ⊥l ．∠MFC 是二面角M-l-C 的平
面角．设正方体棱长为a ，则
a CM 43=
，a BK 41=．在△ECM 中，由BK ∥CM 可得
a EB 21=
，a CF 53=，故45t a n =∠M F C ．因此所求角的大小为45arctan
或
45
arctan
π-．
14. 如图，将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'． （1）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长； （2）求C A '与平面CD C '所成的角；
（3）若二面角C AD C --'的平面角为120°，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．
解析： （1）若?='∠90DC C ，∵ AC=a ，∴
a C D DC 21=
'=，∴ a C C 22
='．
（2）∵ C D AD '⊥，AD ⊥DC ，∴ AD ⊥平面C C D '．∴ D C A '∠为C A '与
平面C C D '所成的角，在Rt △C AD '中，
AC DC C D 21=
='，∴ ?='∠30C DA ，于是
?='∠60D C A ．
（3）取C C '的中点E ，连结AE 、DE ，∵ DC C D ='，AC C A ='，∴ C C AE '⊥，
C C DE '⊥，∴ ∠AE
D 为二面角D C C A -'-的平面角，∵ ?='∠120DC C ，a
CD D C 21
=
='，∴
a DE 41=
，在Rt △AED 中，a AD 23=，∴
．
324123
tan ===∠a a
DE AD AED
立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）
α βa O A B 做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取 点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面
二面角大小的求法（例题） 二面角的类型和求法可用框图展现如下： 一、定义法： 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. O OA PA OB PAOB OA AOB AOB=120APB=60OB PB PB βαβ⊥⊥∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∠∠?∠?做交线，交于点，连接平面交线同理交线又交线交线面交线即可得为面的二面角，所以 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 提示：PAB PCD ?，而且是直角三角形 P
二、三垂线定理法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的tag 大小。 A AH BC BC H PH ABCD PA AB PA BC PHA PHA H ABH=30AB=a AH=a/2 tag PHA 2 PA BC AB ⊥⊥∴⊥⊥∴⊥∴∠∠?∴∴∠=过做，交于，连接面，面为二面角在中 ， 例：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 提示：CO ⊥DE ，而且是长方体！！！ p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O
周练六 1. 如图, 已知在三棱柱111ABC A B C -中，三个 侧棱都是矩形，点D 为A B 的中点 3,4,AC BC ==15,4AB AA == ， (Ⅰ) 求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC C D B 平面; (Ⅲ) 求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 2．如图，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在平面成600的二面角，求直线BD 与平面ABEF 所成角的正弦值。 1 A
3．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）面A 1ABB 1与面ABCD 所成角的大小； （2）二面角C 1—BD —C 的正切值 （3）二面角11B BC D -- 4.过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面， 设PA=AB=a ，(1)求二面角B P C D --的大小; (2)求二面角C-PD-A A B C D A 1 D 1 C 1 B 1
5. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3 .(1) 证明： BE ⊥平面PAB ； (2) 求二面角A －BE －P 的大小 （3）PB 与面PAC 的角 6 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 ,//,BC AD ABCD P 中-,90?=∠ABC ABCD PA 平面⊥,32,2,3===AB AD PA ,BC=6 (1) 求证:;PAC BD 平面⊥ (2) 求二面角A BD P --的大小. （3）求二面角B-PC-A 的大小 E P A B c D
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
五种方法求二面角及练习题 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D -- 2.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，， ，点M 在侧棱上，=60，M 在侧棱的中点 （1）求二面角的余弦值。 二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 1. 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ， AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE //平面FCC ；（2）求二面角B-FC -C 的余弦值。 S ABCD -ABCD SD ⊥ ABCD AD 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --1111111111E A B C F E 1 A B 1 C 1 D D A B C D A D C B
2.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 三．补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 2：如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中 点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 角的平面角（锐角）. A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A 图5
二面角的基本求法例题 一、平面与平面的垂直关系 1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 例 1．在空间四边形ABCD 中， AB=CB ，AD=CD ，E、F、G 分别是 AD 、 DC、CA 的中点。 求证：平面 BEF ^ 平面 BDG 。 A A F E E G D B F D B C C 例 2． AB ^ 平面 BCD，BC = CD ，? BCD 90°，E、F分别是AC、AD的中点。 求证：平面 BEF ^ 平面 ABC 。D1 C1 A1 B1 2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。中，求和平面所成的角。 例 3．在正方体 ABCD—A1 1 1 1 1 1 1 B C D A B A B CD . D C A B 二、二面角的基本求法D1 C1 1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。A1 B1 例4．在正方体 ABCD—A1B1 C1D1中， 求（ 1）二面角A- B1C - A1的大小； （ 2）平面A1DC1与平面 ADD1 A1所成角的正切值。 D C A B P 练习：过正方形ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面 ABCD ，设 PA=AB= a，求 二面角 B - PC - D 的大小。 A D 2．三垂线法 B C 例 5 ．平面ABCD ^平面ABEF，ABCD是正方形， ABEF 是矩形且 D C AF= 1 AD= a，G 是 EF 的中点， 2 （ 1）求证：平面AGC ^平面BGC； （ 2）求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值；A B 1 G E
周练六 1.如图，已知在三棱柱ABC A1B1C1中，三个 Bl 侧棱都是矩形，点D为AB的中点* AC 3, BC 4, AB 5, AAi 4 , (I)求证AC BCi ; (II)求证ACi P 平面CDBi ; (III)求异面直线ACi与BiC所成角的余弦值? 2.如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成 60。的二面角, 成角的正弦值。 A F
3.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A I B I C I D I中，求: (1)面AiABBi与面ABCD所成角的大小； (2)二面角Ci—BD—C的正切值 (3)二面角Bi BCi D P 4.过正方形ABCD的顶点A作PA A平面ABCD , 设PA=AB=a , (1)求二面角B - PC?D的大小； (2)求二面角C-PD-A C
5.如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，Z BCD =60° , E 是CD 的中点, .(1)证明：BE 丄平面PAB ； (2) 求二面角 A- BE- P 的大小 (3) PB 与面PAC 的角 (3)求二面角B-PC-A 的大小如图，在底而为直角 P ABCD 中，AD//BC, ABC 90, PA 平面 ABCD PA 3, AD (1)求证：BD 平面PAC; ⑵求二面角P BD A 的大小. 梯形的四棱锥 2, AB 心c=6 丄底面 PA ABCD C
7.如图，直二面角D —AB —E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB , F为CE 上的点，且BF丄平面ACE. (I )求证AE丄平面BCE； (II)求二面角B— AC — E的大小; (III)求点D到平面ACE的距离. 8.如图，在四棱锥P ABCD屮，底 面 ABCD是矩形.已知AB 3 , AD 2 , PA 2 ,卩。J 2 , Z PAB 60° (I )证明AD 平面PAB : (II)求异面直线PC与AD所成的角的大小; (III)求二面角P BD A的正切值. p 匕
二面角的平面角专题学案 一、二面角定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。 二、二面角的求法： 1．几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图4（1）。 ②利用三垂线定理及其逆定理，图4（2）最常用。 ③作棱的垂面，图4（3）。 α β A O P A B O P α β 4（1） 4（2） 4（3）
典型例题: 例1.在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小. 例2．在棱长为1的正方体1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小； （2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小. 例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β 的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小. l B O A β α
例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值. 课堂练习： 1.正方体AC 1中M 是BC 中点，求二面角D 1—AB 1—M 的平面角的正切值. 2.ABC 为等腰直角三角形，∠C=900 . PA ⊥面ABC ，AC=a. PA=2a. 求A —PB —C 大小. 3.直三棱柱棱长均相等. ∠ADC 1=900 . 求D —AC 1—C 大小. A B C D E F
F E D C B A ； 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥ 平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ? =∠=，3AE = . （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. · ！ 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值.
] 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示． (1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. ? (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. — (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小． 【
周练六 1.如图，已知在三棱柱ABC ABQ,中，三个 侧棱都是矩形，点D为AB的中点+ AC 3,BC 4, AB 5,AA, 4 , (I)求证AC BC i; (n )求证AC1 P平面CDB1; (川)求异面直线AC i与B i C所成角的余弦值+ 2 .如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成60°的二面角, 所成角的正弦值。 求直线BD与平面ABEF A —"D F
3.如图，在棱长为a的正方体ABC—ABCD中，求: (1 )面AABB与面ABCD所成角的大小； (2)二面角C-BD-C的正切值 (3)二面角B1 BC1 D P 4?过正方形ABCD的顶点A作PA A平面ABCD , 设PA=AB=a , (1)求二面角B- PC- D的大小； (2)求二面角C-PD-A B C
5.如图所示，四棱锥P —ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/ BCD = 60°, E是CD 的中点，PA丄底面ABCD , PA= .3 ?⑴证明：BE丄平面PAB; ⑵求二面角A—BE—P的大小 (3) PB与面PAC的角 6如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P ABCD 中,AD//BC, ABC 90 , PA 平面ABCD PA 3, AD 2, AB ^3 BC=6 (1)求证：BD平面PAC； ⑵求二面角P BD A的大小. (3)求二面角B-PC-A的大小
7.如图，直二面角D —AB —E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB , F为CE 上的点，且BF丄平面ACE. (I)求证AE丄平面BCE; (H)求二面角B—AC —E的大小; (川)求点D到平面ACE的距离. 8?如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形?已知AB 3 , AD 2 , PA 2 , PD 2近,/ PAB 60°. (I)证明AD 平面PAB ； (n)求异面直线PC与AD所成的角的大小; (川)求二面角P BD A的正切值.
二面角的求法 （1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o 点在棱上，用定义法。 (2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。 (3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O 在二面角内，用垂面法。 (4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S A 图3 α β O B l O 图5 β α C B A
例题讲解 1、（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面,,ABCD PD CD E =是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F 。 （I ）求证：//PA 平面EDB ； （II ）求证：PB ⊥平面EFD ； （III ）求二面角P BC D --的大小。 2、 如图1-125， PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值。（三垂线定理法） 3．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小的余弦值； （2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小 的正切值。 18、（本题满分14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，， 60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明⊥AE 平面PCD ； （Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值． O 1 A 1 C 1 D 1 B 1 D C B A A C D P E
二面角大小的求法（例题）二面角的类型和求法可用框图展现如下: 、定义法: 甬 片+—*■垂面法 化 T不见播型 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作 棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性; 例、如图，已知二面角a - a - B等于120° ,PA丄a ,A €a ,PB丄B ,B .求/ APB的大小. 做OB 交线，交于点O,连接OA Q PB 平面 PB 交线 同理PA 交线 又Q OB 交线 交线面PAOB 交线OA 即可得AOB为面的二面角，AOB=120 所以APB=60 例、在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形，PA!平面 ABCQPA=AB=a 求二面角B-PC-D的大小。 提示：VPAB VPCD，而且是直角三角形 可见槻型I解法? f三垂线法 A
、三垂线定理法: 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或 逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，P从平面ABCD PA=AB=a / ABC=30,求二面角P-BC-A的tag 大小。 过A做AH BC,交BC于H，连接PH Q PA 面ABCD PA AB, PA BC BC 面PHA PHA为二面角 在VABH中 ABH=30 , AB=a AH=a/2 tag PHA 2 例：如图,ABCD-ABGD是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC勺中点，求面CD%面CD所成二面角的正切值. 提示：CO DE而且是长方体！ !!
例、△ ABC 中，/ A=90°, AB=4 AC=3 平面 ABC 外一点 P 在平 面ABC 内的射影是AB 中点M 二面角P-AC — B 的大小为45°。 求（1） 二面角P-BC — A 的大小；（2）二面角C-PB-A 的大小 提示：角PAB 是二面角，找到每个面的直角! 射影，那么PM 为面ABC 的垂线！ 例、如图4,平面丄平面，A =l , A € , B € ,点A 在 直线I 上的射影为A,点B 在I 的射影为B,已知AB=2AA=1,BBp/2, 求：二面角A — AB- B 的大小. 提示：AA1与BB1互相垂直 AF 是辅助线且垂直AB,FE 平行BB 四、射影法：（面积法） 利用面积射影公式S 射=S 原cos ,其中 为平面 B D i' M 图4
二面角 1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC = 3 2 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长 为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。 解 2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 解： 3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。 解： 4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0 120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。 解： A B A C
5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。 解： 6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。 解： 7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。 解： 9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°， D ’ B D A C B A C M N B F E A C D D O A B C
PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点. (1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析： 10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G 在对角 线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21 ，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的 大小. 11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C (2)求二面角C —AF —B 的大小 12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1 111D C B A
二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G F G
v1.0 可编辑可修改 五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明： AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形， AB 1 1 1 1 1 1 ABCD P -ABCD ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥ AD PAB PC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600 的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 四、射影面积法（cos s S q = 射影） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜 射S S = θ）求出二面角的大小。 A B C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D
C A D A A 1 B D C C 1 B 1 解二面角问题 （一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。下面举几个例子来说明。 例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。 例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。 这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的： 1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。 2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角） 3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。 总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 ? 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， · ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G
高二数学二面角专项练习题及参考答案 班级_____________姓名_____________ 一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例 2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。 三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角 例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，求B-PC-D 的大小。 四、投影面积法:一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这 两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/ S S . 例4 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
五、补形法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。 方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下： [基础练习] 1． 二面角是指 （ ） A 两个平面相交所组成的图形 B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形 C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形 D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有 （ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线 C 仅2条交线 D 1条或2条或3条交线 3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( ) A 5 B 20 C 210 D 2 2 5 4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为 （ ） A 300 B 450 C 600 D 1200 5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=2 6， 则弧度数为 3 的二面角是（ ） A D-AC-B B A-CD-B C A-BC- D D A-BD-C 6．△ABC 在平面α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ，则有（ ） A S △A1B1C1=S △ABC ·sinθ B S △A1B1C1= S △ABC ·cosθ C S △ABC =S △A1B1C1·sinθ D S △ABC =S △A1B1C1·cosθ 7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB ⊥l ，B 为垂足， A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面M 所成角为β，二面角M-l-N 的 大小为γ，则有 （ ） A.sinα=sinβsinγ B.sinβ=sinαsinγ C.sinγ=sinαsinβ D 以上都不对 A B C D A B M N P l C1A1 B1D
1 / 7 二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角.∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G F G