解三角形练习题及答案
解三角形习题及答案
、选择题(每题5分,共40分)
1、己知三角形三边之比为5 : 7 : 8,则最大角与最小角的和为().
A. 90°
B. 120°
C. 135°
D. 150°
2、在厶ABC中,下列等式正确的是().
A. a : b=Z A :Z B B . a : b= sin A : sin B
C. a : b= sin B : sin A D . asin A= bsin B
1 :
2 : 3,则它们所对的边长之比为(
3、若三角形的三个内角之比为
A. 1 : 2 : 3 B . 1 : 3 : 2
C . 1 : 4 : 9
D . 1 :;』2 : 3
4、在厶ABC中,a= V5 , b= 尿,/ A= 30 °贝卩c等于().
A. 2 5
B. --:5C . 2 ;5或■、5 D. . 10或■,5
5、已知△ ABC中,/ A= 60° a=76 , b= 4,那么满足条件的厶ABC的形
状大小().
A .有一种情形B.有两种情形
C .不可求出
D .有三种以上情形
6、在厶ABC 中,若a2+ b2—c2v 0,则4 ABC 是().
A .锐角三角形B.直角三角形
C .钝角三角形
D .形状不能确定
7、sin7cos37 -sin 83 sin 37 的值为( )
A.—一
2 B.
1
2
C.
1
2
n 3
D.—
—
8、化简1
T:等于( )
A. 3
B.二
C. 3
D. 1
2
二、填空题(每题5分,共20分)
9、已知cos a —cos B 二丄,sin a —sin 3 =丄,贝S cos (a —B )=
.
2 3
10、在厶ABC 中,/ A= 105° / B= 45° c=忑,贝S b= _____________ .
a +
b + c
你在厶ABC 中,/ A= 60° a= 3,则sinA + sinB + sinC = --------- ?
12、在厶ABC中,若sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4,则最大角的余弦值等于__ .
班别:__________ 姓名: _____________ 序号:_______ 得分: _______
9、______ 10、_______ 11、 ________ 12、__________
三、解答题
13、(12分)已知在△ ABC中,/ A=45° a= 2, c= V6,解此三角形.
14、(14 分)已知tan(二「=丄,tan :二-丄,求tan(2二-的值
2 7
15、( 16 分)已知 f (x) = 2cos2 x-2.3si nxcosx ,
(1)求函数f(x)的取最小值时x的集合;
(2)求函数单调增区间及周期.
16、( 18分)在厶ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
2c cosC =b cosA a cosB
(1)求角C ;
(2)若 a =9, cosA =,求c。.
5
第一章解三角形
参考答案
、选择题
二、 填空题
59 9.
59 . 10. 2.
72
三、 解答题
13.
解析:解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求
出三角形所有的边长与角的大小. 解法1:由正弦定理得sin sin 45°=兰?土 =—.
2 2 2 2
[2
一 L
T csin A =、6 x 一 = 3 , a = 2, c =、6 ,
3 v 2< 6 ,
2
???本题有二解,即/ C = 60°或/ C = 120°
/ B = 180°— 60°— 45°= 75°或/ B = 180° —120° — 45° = 15° 故 b = —sin B ,所以 b =、、3 +1 或 b = . 3 — 1,
sin A
??? b =岛 +1,/ C = 60° / B = 75°或 b = V3 — 1,Z C = 120° / B = 15° 解法2:由余弦定理得 b 2
+ ( 6)2
— 2 6 bcos 45= 4, ??? b 2
— 2 .3 b + 2= 0,解得 b = ,3 ± 1.
又( .6) 2
= b 2
+ 22
— 2x 2bcosC ,得 cosC =± 1
,/ C = 60或/ C = 120°
2
所以/ B = 75°或/ B = 15°
??? b = .3 + 1,Z C = 60° / B = 75°或 b = . 3 — 1,Z C = 120°
14、解:I tan (: - :)二1
???
tan2(: - ■)
)
一
2
1 - ta n ? - P )
1. B
2. B
3. B
4. C
5. C
6. C
7. B
8. A 11. 2 3 .
12
.-1
/ B = 15°
2 - 4
2
1 二 4
???tan(—5—霊厂亍器
4
3 7
4 1 1-一(-
???潮一
1
(I)求 (II)若,求. 2.(2013四川)在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 3.(2013山东)设△ 的内角所对的边分别为,且,, . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 4.(2013湖北)在 中,角,,对应的边分别是,,.已知 . (I)求角的大小; (II)若的面积,,求的值. 5.(2013新课标)△ 在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若 ,求△ 面积的最大值. 6.(2013新课标1)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA [ 7.(2013江西)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-3sinA)cosB=0. (1) 求角B 的大小; (2)若a+c=1,求b 的取值范围 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7 cos 9 B = ,a c sin()A B -ABC ?A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC ?S =5b =sin sin B C
(I)求 (II)若,求. 【答案】 4.(2013年高考四川卷(理))在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 【答案】解: 由,得 , 即, 则,即 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ()I ()()2 3 2cos cos sin sin cos 25 A B B A B B A C ---++=-()()3 cos 1cos sin sin cos 5 A B B A B B B -+---=-????()()3 cos cos sin sin 5 A B B A B B ---=- ()3cos 5A B B -+=- 3cos 5 A =-
三角形解答题单元培优测试卷 一、八年级数学三角形解答题压轴题(难) 1.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°. (1)∠ABC+∠ADC=°; (2)如图①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,请写出DE与BF的位置关系,并证明; (3)如图②,若BE,DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=1 4 ∠CDN,∠CBE =1 4 ∠CBM),试求∠E的度数. 【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450 【解析】 【分析】 (1)根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解; (2)延长DE交BF于G,根据角平分线的定义可得∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根据垂直的定义证明即可; (3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延长DC交BE于H,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可. 【详解】 (1)解:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°; 故答案为180°; (2)解:延长DE交BF于G, ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM, ∴∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF, 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE, ∴∠BGE=∠C=90°,
∴DG⊥BF, 即DE⊥BF; (3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角, ∴∠CDE+∠CBE=1 4 ×180°=45°, 延长DC交BE于H, 由三角形的外角性质得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE, ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E, ∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,四边形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键,要注意整体思想的利用. 2.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形个. (2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论. (3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论. 【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+1 2 x ) ;(3)(180-x). 【解析】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知
高一必修5 解三角形单元测试题 1.在△ABC 中,sinA=sinB ,则必有 ( ) A .A=B B .A ≠B C .A=B 或A=C -B D .A+B= 2 π 2.在△ABC 中,2cosBsinA=sinC ,则△ABC 是 ( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 3.在ABC ?中,若 b B a A cos sin =,则B 的值为 ( ) A . 30 B . 45 C . 60 D . 90 4.在ABC ?中,bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 等于 ( ) A .60° B .45° C .120° D .30° 5.在△ABC 中,b =, ,C=600,则A 等于 ( ) A .1500 B .750 C .1050 D .750或1050 6.在△ABC 中,A:B:C=1:2:3,则a:b:c 等于 ( ) A .1:2:3 B .3:2:1 C . 2: D . 7.△ABC 中,a=2,A=300,C=450,则S △ABC = ( ) A B . C 1 D .11)2 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,则acosB+bcosA 等于 ( ) A . 2 b a + B . b C . c D .a 9.设m 、m +1、m +2是钝角三角形的三边长,则实数m 的取值范围是 ( ) A .0<m <3 B .1<m <3 C .3<m <4 D .4<m <6 10.在△ABC 中,已知a=x , A=450,如果利用正弦定理解这个三角形有两个解, 则x 的取值范围为 ( ) A . B .2
解三角形大题专练 1.(2018·北京)在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =-1 7. (1)求∠A ; (2)求AC 边上的高. 解 (1)在△ABC 中,因为cos B =-1 7, 所以sin B =1-cos 2 B =43 7 . 由正弦定理得sin A = a sin B b =3 2 . 由题设知π2<∠B <π,所以0<∠A <π 2, 所以∠A =π 3. (2)在△ABC 中, 因为sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33 14 , 所以AC 边上的高为a sin C =7×3314=33 2 . 2.在△ABC 中,∠A =60°,c =3 7 a . ①求sin C 的值; ②若a =7,求△ABC 的面积. [解析](2)(文)①在△ABC 中,因为∠A =60°,c =3 7a , 所以由正弦定理得sin C = c sin A a =37×32=33 14 . ②因为a =7,所以c =3 7 ×7=3. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得72=b 2+32 -2b ×3×12, 解得b =8或b =-5(舍). 所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×8×3×3 2 =6 3.
3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin(A +C )=8sin 2 B 2 . ①求cos B ; ②若a +c =6,△ABC 的面积为2,求b . (理)①解法一:∵sin(A +C )=8sin 2 B 2, ∴sin B =8sin 2 B 2,即2sin B 2·cos B 2=8sin 2 B 2, ∵sin B 2>0,∴cos B 2=4sin B 2 , ∴cos 2B 2=1-sin 2B 2=16sin 2B 2,∴sin 2B 2=117 ∴cos B =1-2sin 2B 2=1517 . 解法二:由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2 B 2,故sin B =4(1-cos B ). 上式两边平方,整理得17cos 2 B -32cos B +15=0, 解得cos B =1(舍去),cos B =15 17 . ②由cos B =1517得sin B =817,故S △ABC =12ac sin B =4 17ac . 又S △ABC =2,则ac =17 2. 由余弦定理及a +c =6得, b 2=a 2+ c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac (1+cos B ) =36-17×32 17 =4,∴b =2. 4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知. (1)求tanC 的值; (2)若△ABC 的面积为3,求b 的值。 【答案】(1)2;(2)3. 【思路分析】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sinB 的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解. 2221 ,42 A b a c π =-=