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多元函数微分学习题

第七章多元函数微分学

【内容提要】

1.空间解析几何基础知识

三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系下两点间的距离公式为：平面方程：0Ax By Cz D +++=

二次曲面方程：

2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2

z z y y x x =-+-+-

圆柱面方程：2

22R y x =+

椭球面方程：()222

2221,,0x y z a b c a b c ++=>，

椭圆抛物面方程：22

22,(,0)x y z a b a b

+=>

双曲抛物面方程：22

22,(,0)x y z a b a b

-=>

单叶双曲面图方程：122

2222=-+c

z b y a x (a ，b ，c ＞0)

双叶双曲面方程：222

2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=->

椭圆锥面方程：222

2220,(,,0)x y z a b c a b c

+-=>

2.多元函数与极限

多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数，

记为

,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数

值，函数值的集合称为值域。

多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式的一切点(,)P x y D ?，都有

成立，则称常数A 为函数(,)f x y 当00,x

x y y 时的极限，记作

多元函数的连续性：设函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，点000(,)P x y 是D 的内点或边界点且0P D ?。如果

则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续。

3.多元函数的偏导数与全微分

偏导数：设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在

0x 处有增量x D 时，相应地函数有增量

如果极限

存在，则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数，记作

0y y x x x z

==??， 00y y x x x f ==??， 0

y y x x x

z ==，或),(00y x f x

同理，如果极限00000

(,)(,)

lim

y f x y y f x y y

D ?+D -D

存在，则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数，记作

x x y y z y

==??，

x x y y f y

==??， 00

x x y

y y z ==，或00(,)y f x y

4.二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的偏导数的几何意义

00(,)x f x y 是过曲面(,)z f x y =上点00000(,,(,))M x y f x y 的曲线

在点0M 处的切线x T 对x 轴的斜率。

5．二阶偏导数

),()(22y x f x z x z x xx

=??=????，),()(2y x f y x z x z y xy =???=????，

),()(2y x f x y z y z x yx

=???=????，),()(22y x f y z y z y yy

=??=????。

如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数x y z ???2及y

x z ???2在区域D 内连续，那么

在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

6.全微分

如果函数(,)z f x y =在点(,)f x y 的全增量

可表示为

其中A 、B 不依赖于x D 、y D 而仅与x 、y 有关，则称函数(,)z f x y =在点(,)f x y 可微分，而称A x B y D +D 为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记作dz ，即

如果函数(,)z f x y =的偏导数

x z ??、y

z ??在点(,)x y 连续，则函数在该点可微分。

7.复合函数微分法

复合函数的中间变量均为一元函数的情形

如果函数()u t j =及()v t y =都在点t 可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数((),())z f t t j y =在点t 可导，且有

复合函数的中间变量均为多元函数的情形

如果函数u ??(x ? y )? v ??(x ? y )都在点(x ? y )具有对x 及y 的偏导数? 函数z ?f (u ? v )在对应点(u ? v )具有连续偏导数? 则复合函数z =f [j (x ? y )， (x ? y )]在点(x ? y )的两个偏导数存在? 且有

8. 全微分形式不变性

无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数，它的全微分形式是一样的,这

个性质叫做全微分形式不变性。

9. 隐函数微分法

在点00(,)x y 的某邻域内，若函数(,)F x y 有连续的偏导数x F ￠、y F '，且00(,)0F x y =，则在),(00y x F y '≠0时，方程(,)0F x y =确定唯一的、有连续导数的函数()y f x =，满足00()y f x =及(,())0F x f x =。

这个定理称为隐函数存在定理。隐函数存在定理给出了隐函数求导的方法，即

由(,)0F x y =，两边全微分得0d d ='+'y F x F y x ，由y F '≠0，得到隐函数的导数为

x F F x y

''-=d d 。 10. 二元函数的极值

设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于

00(,)x y 的点(,)x y ，都有

00(,)(,)f x y f x y <（或00(,)(,)f x y f x y >）

则称函数在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y 。

极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则有

00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =

设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又

00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =，令

则在点00(,)x y 处是否取得极值的条件如下：

(1) AC -B 2>0时具有极值，且当A <0时有极大值，当A >0时有极小值； (2) AC -B 2<0时没有极值；

(3) AC -B 2=0时可能有极值，也可能没有极值。极值的求法：第一步解方程组

(,)0x f x y =，(,)0y f x y =

求得一切实数解，即可得一切驻点。

第二步对于每一个驻点00(,)x y ，求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。

第三步判断AC -B 2的符号，按定理2的结论判定00(,)f x y 是否是极值、是极大值还是极小值。

11.多元函数的最大值、最小值

如果(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上必定能取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D 的内部，也可能在D 的边界上。我们假定，函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D 的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。因此，求最大值和最小值的一般方法是:将函数f (x ，y )在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

12. 条件极值拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值。

一般地，考虑函数(,)z f x y =在限制条件(,)0g x y =下的极值问题，称为条件极值问题．考虑极值的函数(,)z f x y =称为目标函数，考虑的限制条件(,)0g x y =称为约束条件．没有约束条件的极值问题，称为无条件极值问题．若能从约束条件(,)0g x y =解出

()y y x =，则条件极值问题可以转化为函数[,()]z f x y x =的无条件极值问题。

拉格朗日乘数法

要找函数(,)z f x y =在条件(,)0x y j =下的可能极值点，可以先构成辅助函数

(,)(,)(,)F x y f x y x y l j =+，

其中?为某一常数。然后解方程组

???

??==+==+=0

),(0),(),(),(0),(),(),(y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ?λ?λ?。由这方程组解出x ， y 及?，则其中(,)x y 就是所要求的可能的极值点。

13. 最小二乘法简介

变量x 、y 满足线性方程y ax b =+，其中，a 、b 需要确定．通过试验测得x 、y 的n 组对应值：(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(x n ，y n )，建立计算值与实测值之差的平方和函数，得到则Q 的意义是很明显的，它等于各点离开直线y ax b =+的偏差平方和，反映了各点关于直线的偏离情况。视Q 为a 、b 的函数，求Q 的最小值，确定出线性方程的系数a 、b ，这就是通常所说的最小离差平方和原则，又称最小二乘法原则。

根据微积分学知识，Q 有极小值的必要条件是这样就得到关于a 和b 的线性方程组

这个方程组通常称为线性回归的正规方程。解此方程组得

【习题解答】

7-1 确定下列函数的定义域，并画出定义域的图形。

（1）221y x z --=；（2）11),(22-+-=y x y x f ；（3）arcsin

z x

=；（4）11z x y x y =++-。解 1）22

1x y +≤

（2）11

11x y y -≤≤??≥≤-?

或

（3）11y

-≤

≤ （4）y x

y x

≠-??

≠?

7-2 计算下列函数的偏导数。

（1）2

sin z x y =；（2）y

z x =；

（3）x z xy y

；（4）2

arctan()z x y =-；（5）4

3y y x x z +-=；（6）()y x x z +=ln 2

；（7）y

x z 2tan =；（8）ln x

z y =；

（9）设arctan

22(,)ln()y x

f x y e

x y =?+，求(1,0)x f '；

（10）设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x '。解（1）

2sin z

x y x

?=? 2cos z x y y ?=?

（2）

1y yx x

-=? ln y x x y =? （3）

1z y x y ?=+? 2z x

x x y

?=-? （4）

2211()z x x y ?=?+- 2221()z y y x y ?-=?+- （5）

3246z

x xy x

?=-? 2364z x y y y ?=-+? （6）

()2

12ln z x x y x x x y ?=++?+ 2z x y x y ?=?+ （7）22sec z x x x y y ?=?? 22

2sec ()z x x y y y ?=?-?

（8）ln 1ln x

z y y x x ?=??? ln (ln 1)x z y x y ?=?-? （9）令0y =，(,0)2ln f x x =，则(1,0)2x f '=

（10）令1y =，(,1)f x x =，则(,1)1x f x '=

7-3设y

z x =，验证22z z

x y y x

??=????。解 1

y z yx x

-?=? ,

211ln y y z x yx x x y --?=+?? ln y

z x x y

?=? ,

211ln y y z x yx x y x --?=+?? 7-4 求下列函数的二阶偏导数。（1）ln()z

x xy =；（2）42243y y x x z +-=；

（3）arctan

y z x

= ；（4）(1)y

z xy =+。解（1）ln()ln()1z y

xy x xy x xy

?=+=+?，221z y x xy x ?==? z x x x y xy y ?==?，22

x y y ?=-?

（2）3222246,126x xy x y x x

=-=-?? （3）222222222

2(),()1z

y y z xy

x x y x x y y x ??=

-=-=?+?+??

+ ???

（4）2

21322(1),(1)y y z z y xy y xy x x

--??=+=+?? 7-5 设(,)sin x

f x y e y =f ，求)π,0(xx

f ''，)π,0(xy f ''，)π,0(yy f ''．解 sin ,cos ,sin ,sin ,cos x x x x x x y xx

yy xy f e y f e y f e y f e y f e y ''''''''====-= (0,π)0xx

f ''=，(0,π)1xy f =-ⅱ，(0,π)0yy f =ⅱ 7-6 证明

（1

）设z =，证明1

z z x

y x y ??+=??。（2）设arcsin y x z x y =

，证明0z z

x y x y

??+=??。 7-7 计算全增量或全微分。

（1）求函数2

z x y =在点(2,1)-处，当0.02,0.01x y ?=?=-时的全增量与全微分；（2）求当2,1,0.01,0.03x y x y ==?=?=时，函数22

z x y

-的全增量与全微分；（3）求2

z x y =+在点(0,1)当0.1,0.3x y ?=?=-时的全微分；（4）求ln()z xy =在点(2,1)的全微分。

解（1）全增量0000(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?- 全微分22d d d 2d 2d z z

z x y xy x x y y x y

??=

+=+?? （2）全增量0000(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?- 全微分d d d z z z x y x y

??=

+?? （3）全微分d d d z z

z x y x y

??=

+??

（4）全微分d d d z z z x y x y

??=+?? 7-8 计算全微分。（1）sin()x

z e x y =+；

（2）z =

；

（3）y x

xy z +

=；

（4）221ln y x u ++=。解（1）

sin()cos(),cos()x x x z z

e x y e x y e x y x y

??=?++?+=?+?? （2）

z z x

??==??

（3）

21,z z x y x x y y y

??=+=-?? （4）222222

11212ln(1),,22121u x u y

u x y x x y y x y ??=

++=?=??++?++ 7-9 求下列多元复合函数的偏导数。（1）2

2()2ln[()]x y z e x y +=++ , 求

z x ??和z

??；（2）设22

(),,(0)z u x y z x y x y =-=+->，求

u x ??及u y

??；（3）设22

()u x y ?=+，求证0u u x

y y x

??-=??；（4）设 22

(,)z f x y xy =-，求

z x

??和z y ??；（5）设2

,cos ,sin z u v u x v x ===，求d d z

x ；

（6）2

13,,u x y x t y t =+==, 求du dt

；

（7）2

,cos ,sin z u v uv u x y v x y =-==,求

z x ??和z

??；

（8）2

ln ,,32v z x y x y v u u ==

=-，求z u ??和z v

??；（9）arctan(),x

z xy y e ==,求

z x ??和z

??。解（1）

222()

2()2

1[22]()

x y x y z e x x e x y ++?=??+?++

（2）

110()()ln()2z z u f f f z

z x y x y x y x x x y z x

-?????=?+?+?=-+--?????? （3）令2

2,2u u t x y x y x t y t

????=+=?=????? （4）令22

,u =x y v xy -=

则2z f u f v f f

x y x u x v x u v ???????=?+?=?+???????? （5）2d d d 2(sin )cos d d d z z u z v

uv x u x x u x v x

??=?+?=?-+???

（6）

2d d d 1(123)()d d d u u x u y t t x t y t t ??=?+?=+?+?-?? （7）

22(2)cos (2)sin z z u z v

uv v y u uv y x u x v x

?????=?+?=-?+-?????? （8）

22ln ()(2)z z x z y v x x y u x u y u u y

?????=?+?=?-+?-????? （9）

22111()1()

x z y xe x xy xy ?=+?++ 7-10对下列函数求x y '。

（1）ln xy y =；（2）2

sin 0x

y e xy +-=；（3）ln ln 0xy x y ++=；（4）4

31x y +=。解（1）令(,)ln F x y xy y =- 则

2,cos 2x x F F

e y y e xy x y

??=-=+-?? （2）令2

(,)sin ,x F x y y e xy =+-

则1

,F F y x x y y

??==-?? （3）令(,)ln ln F x y xy x y =++

则11

,F F y x x x y y

??=+=+??

（4）令46

(,)31F x y x y =+- 则

354,18F F

x y x y

??==?? 7-11 对下列函数求x z '、y z '

。（1）z

e xyz =；（2）3

30x y z xyz ++-=；（3）ln xy z z =；（4）2

1z y xz -=。

解（1）令(,,)z

F x y z e xyz =-，则,,z

x y z F yz F xz F e xy '''=-=-=-

（2）令333

(,,)3F x y z x y z xyz =++-

则2

33,33,33x y z F x yz F y xz F z xy '''=-=-=-

（3）令(,,)ln F x y z xy z z =-

则,,ln 1x y z F y F x F z '''===--

（4）令2

(,,)1F x y z z y xz =--

则3

,,23x y z F z F z F zy xz '''=-==-

7-12 容积为V 的开顶长方水池，求表面积的最小值。解设长方形水池的长为x ，宽为y ，则高为V

h xy

，其表面积为由22

2020x y V z y x V z x y ?'

=-=???'?=-=??

，解得x y ==

所以，当x y ==

，h ==

时，表面积最小。 7-13 容积为V 的开顶圆柱水池，单位面积造价底部为侧部的3倍，求总造价最小值。

解设圆柱的半径为r ，则高为2

h r π=

，假设单位面积造价为1，则总造价令2d 260d z V

r r r

π=-+=

，解得r =

所以，当r =

h =

7-14 求抛物线2

y x =上的点与直线2x y -=上的点之间的最短距离。

解点()00,x y 到直线20x y --=

的距离公式为d =，又已知2

00y x =

017()x d -+==

。 7-15 求324z x y =--在圆22

1x y +≤上的最大值。

解 2

(,)3,(,)2x y f x y x f x y y =-=-，令同时为零，得驻点(0,0)，它恰好在闭区域D 的内部，而函数在D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数(,)f x y 在D 上的最大值，所以3

4z x y =--在圆2

1x y +≤上的最大值为4。

7-16 生产某产品的数量Q 与所用A 、B 两种原料的数量x 、y 有函数关系2

(,)5Q x y x y =，原料A 、B 的单价分别为100、200元，用15?000元购买原料，求产品产量的最大值。解从约束条件10020015000x y +=解出y ，得到

752

y x =-

，将条件极值问题转化为无条件极值问题，即 22315

(,())5(75)37522

Q x y x x x x x =-

=-，令导数为零，解得开区域0x >内唯一驻点50x =，故50,50x y ==时，取得产品产量的最大值，即

7-17 甲、乙两种产品在销量为x 、y 时的销售价格分别为116P x =-，222P y =-，两种产品的联合成本为2

(,)2213C x y x xy y =+++，求取得最大利润时的两种产品的价格和

销量。

解最大利润为

22(,)(16)(22)-2-2--131********

22Q x y x -x +y -y x xy y x x y y xy ==-+---，

求其偏导数，并解方程组(,)16620

(,)22420x y f x y x y f x y y x '=--=???'=--=??，求得x =1，y =5 于是得驻点为(1,5)，

再求出二阶偏导数(,)6,(,)2,(,)4xx

xy yy f x y f x y f x y ⅱⅱⅱ=-=-=-，在点(1,5)处， AC -B 2=24-2

2（－）>0，又A <0，所以函数在(1,5)处有极大值(1,5)50f =，取得最大利润50时的两种产品的价格分别为15和17，销量分别为1和5。

【课外练习】

一、单选题

1．点()M 2,3,1-关于原点的对称点是（）。

A ．（－2，3，－1）

B ．（－2，－3，－1）

C ．（2，－3，－1）

D ．（－2，3，1）

2．球面方程0222

=--++z x z y x 的球心0M 及半径R 分别为（）。

A ．)1,0,1(0M ，2=

R B ．)1,0,1(0--M ，2=R

C ．)1,0,1(0--M ，2=R

D ．)1,0,1(0M ，2=R 3．在空间直角坐标系中，z y x =+2

22的图形是（）。

A ．球面

B ．圆柱面

C ．圆周

D ．旋转抛物面

4．在空间直角坐标系中，点)2,0,1(1M 和点)2,3,0(2-M 之间的距离=d （）。

A ．10

B ．24

C ．26

D ．8

5．平面方程0=+++D Cz By Ax 中，若0=A ，则此平面（）。

A ．平行于YOZ 平面

B ．过原点

C ．平行于x 轴

D ．过x 轴 6．函数),(y x f z =在点),(000y x P 处间断，则（）。

A ．函数在点0P 处一定无定义

B ．函数在点0P 处一定极限不存在

C ．函数在点0P 处可能有定义，也可能有极限

D ．函数在点0P 处一定有定义，且有极限，但二者不等 7．设),(y x f z =，则

=??),(00|y x x

（）

。 A ．x y x f y y x x f x ?-?+?+→?),(),(lim 00000 B ．x

y x f y x x f x ?-?+→?)

,(),(lim 0000

C ．x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000

D ．x

y x x f x ??+→?)

,(lim 000

8．二元函数),(y x f z =在点),(00y x 得满足关系（）。

A ．可微?可导?连续

B ．可微?可导?连续

C ．可微?可导，可微?连续

D ．可导?连续，反之不行

9．若0),(),(0000='='y x f y x f y x ，则),(y x f 在点),(00y x 处有极值的（）。

A ．充要条件

B ．必要条件

C ．充分条件

D ．既不是充分条件，也不是必要条件

10．设函数),(y x f 的驻点为),(00y x ，),(00y x f A xx

''=，),(00y x f B xy ''=，),(00y x f C yy ''=，AC B -=?2，则),(00y x 为极大值点的充分条件是（）。

A ．0,0>>?A

B ．0,0<>?A

C ．0,0>

D ．0,0<

二、填空题

1．设有曲面方程z q

y p x 22

2=+，当0>pq 时，则方程表示的曲面为（）；当0

2．函数)

1ln(4222

y x y x z ---=的定义域是_______________。

3．设2

22),(y x xy y x f +=

，则=),1(x

f ________________。 4．设2

xy y x z -=，而v u x cos =，v u y sin =，则

=??u

z ________，=??v z

________。

5．设y

x y x z 2)

2(++=，则d z =_______________________。

6．设)arctan(xy z =，则d z =______________________。

7．若函数xy z =，当10=x ，8=y ，2.0=?x ，1.0-=?y 时，函数的全增量=?z _______；全微分d z =_______________________。

三、判断题

1. 函数)arccos(2

y x z +=的定义域为12

≤+y x 的那些点。 ( ) 2. 设2

22z y x e

u ++=，而y x z sin 2

=，则

x ze x

z y x 22222+=??++。 ( ) 3. 若点),(00y x 是),(y x f z =的极值点, 则一定有0),('=y x f x .0),('

=y x f y 。

( ) 4. 函数2

2221

),(y x y x f +=

的定义域是整个平面。 ( )

5. 函数),(y x f z =在),(y x P 点偏导存在，则在该点一定连续。 ( )

6. 对),(y x f z =,若"

xy Z 与"

yx Z 都存在,则它们一定相等( )。 ( ) 7. 函数),(y x f z =的偏导数','y x z z 在点),(y x P 连续，则函数在该点的全微分存在。 ( )

四、计算及证明题

1．已知函数f (x ，y )＝(x ＋1)2y ，求f (1，2)。 2．求下列各函数的定义域。

（1）xy z =

；

（2）1

y x z ；

（3）y x z -=；

4z =

（）

5ln()z y x =-+

（） 6u =

+（）

7u =

（）

3．证明下列极限不存在。

(,)(0,0)1lim x y x y

x y

→+-（）； 44243(,)(0,0)2lim ()x y x y x y →+（）。

4．求下列函数的间断点。

1z =

（）； 1

2z x y

-（）．

5．求下列函数的偏导数。

(1) 3

z x y y x =- ； (2) ln x

z y =；

(3) 2

sin()cos ()z xy xy =+ (4) y

x z tan ln =； (5) z e

f q -=； (6) z y x u /=。

6．求2

z x y ＝＋在点(0，1)当Δx ＝0.1、Δy ＝－0.3时的全微分。 7．求()ln z xy ＝在点(2，1)的全微分。 8

(1) u (2) e cos cos x y

u x y +=； (3) u =； (4))/1sin(22y x xy u +=； (5) y

z x

u x y z ＝； (6)2xyz

u ＝。 9．求下列函数的二阶偏导数。

(1) ()ln z x xy ＝； (2) x

z y ＝。

10．()e sin x

f x y y ，＝，求)π,0(xx

f ''，)π,0(xy f ''，)π,0(yy f ''。 11．若y x

z u arctan =，证明0222222=??+??+??z u y u x u 。

12．设z

xy u arctan =、e ax

y ＝、2(1)z ax ＝＋

，求x u d d 。 13．设2

ln()z x y ＝＋、ln y x ＝，求x

z d d 。

14．设y x z +=1，3x t s ＝＋，2

4sin y t s ＝＋，求t z ??、s

z ??。

15．f 、g 有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数。

(1) ),(e 22x y

y x f z xy -=； (2) )()(y x g y x xy f x y z -+=。

16．设ln()u x y z ＝＋＋、e xy

z ＝，求一阶偏导数。 17．设()w F xy yz ＝，，F 有连续偏导数，证明y w

y z w z

x w x ??=??+??。 18．作一个三角形，使其三内角的正弦之积为最大。

19．求半径为R 的圆内接最大面积的三角形。

【课外练习】参考答案

一、单项选择题

1. A

2. A

3. B

4. C

5. C

6. C

7. C

8. C

9. D 10. D

二、填空题

1. 椭圆抛物面；双曲抛物面

2. }0,01,04|),{(22222≠+>--≥-y x y x y x y x

22y

x xy

+ 4. )sin (cos cos sin 32v v v v u -，)cos (sin )cos (sin cos sin 23333v v u v v v v u +++- 5. 21[24(2)ln(2)](2)d x y x y x y x y x y x +-++++++21[2(42)ln(2)](2)d x y x y x y x y x y y +-+++++

6. 2

d d 1()

y x x y

xy ++ 7. 0.502 8. 32222)2()2(----+--z z xy z xy e e y e e y 9. 0.58，0.60

三、判断题

1.是

2.错

3.错

4.错

5.错

6.错

7.是

四、计算及证明题

1. 82)11()2,1(2

=?+=f

2．（1）由0≥xy ，得???≥≥00y x 或?

??≤≤00

y x

（2）由??

?+∞<<∞->-x y 01，得???+∞

<<∞->x y 1

（3）由?????≥≥-0

y y x ，得??

???≥≥≥y x y x 200

（4）由??

???≠-->--≥-11010

2222

22y x y x x y ，得?????<+<≤1

022

y x y x

(5) 由???

????≠-->--≥>-110100222

2y x y x x x y ，得 (6) 定义域为：??

??>>>000z y x

(7) 由?????>-++≥---0

022222222r z y x z y x R ，得

3．(1) 当),(y x 沿0=y 趋于点)0,0(时，1lim lim

0==-+→→→x x

y x y x x y x

当),(y x 沿0=x 趋于点)0,0(时，1lim lim

-=-=-+→→→y

y x y x y y x

所以y x y

x y x -+→→0

0lim

的极限不存在.

(2) 当),(y x 沿0=y 趋于点)0,0(时，极限

2064

0342440

01lim

lim )(lim x x x y x y x x x y x →→→→==++不存在，所以3424

0)(lim y x y x y x ++→→的极限不存在.。

4． (1) 间断点为 )0,0(；

(2)间断点是直线x y =。 5．(1)

323y y x x

-=??，x y x y z 233-=?? (2)

xy x xy y xy x z ln 21ln 21=?=??，xy y xy x xy y z ln 21

ln 21=

?=?? (3) y xy xy xy y x

?-?+=??)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y -= (4)

y x y y y x y x x

z 2csc 21sec tan

=??=??，y x y

x y x y x y x

z 2csc 2)(sec tan

1222

-=-??=?? (5)

θ??-=??e z ，θ?θ

--=??e z

(6)

z y x x u z y

1-=??；z

x x y u z y ln =??；2ln z x y x z u z

y -=?? 6．

?=?，y y z 2=?? 0

1x y z x ==?=?，

0=??==y x y

7．

1z x x ?=?，

y z 1

=?? 2

12x y z x ==?=

?，11

2=??==y x y

8．

(1)

u x ?=?，221y x y

y u ++=?? (2) cos cos sin cos x y x y u

e x y e x y x

++?=-?

(3)

u x ?=?，2

y x a y y u

----=

??，

(4)

(u y xy x ?=+?，

(5) 1ln (ln )y z x y z x y z x u y

yx y z x y z z x y z z x x

-?=+=+? (6)

2ln 2xyz u

yz x

?=??，xz y u xyz ?=??2ln 2，xy y u xyz ?=??2ln 2 9．(1)

1)ln(1)ln(+=??+=??xy y xy x xy x z ，y

x xy x y z =??=??1 x y xy x z 1122=?=??，y x xy y x z 112=?=???，2

22y

y z -=?? (2)

y y x

x ln =??，1-=??x xy y z y y x z x 222ln =??，)1ln (1ln 112+=?+=???--y x y y y y xy y x z x x x ，22

2)1(--=??x y x x y

z 10． (,)sin x x f x y e y '=，y e y x f x

y cos ),(='

y e y x f x xx

sin ),(=''，y e y x f y x f x yx xy cos ),(),(=''=''，y e y x f x yy sin ),(-='' 0),0(=''πxx

f ，1),0(),0(-=''=''ππyx xy f f ，0),0(=''πyy f 11． 2222

111u

yz z x x

y x y y

?=??=?++，22222)(2y x xyz

x u +-=?? 2

222

2)(11y

x xz y x y

x z y

+-=-?+?=??，22222

)(2y x xyz y u +=?? y x z u arctan =??，022=??z

12．

d d d d d d u u u y u z

x x y x z x

???=++??? 13． 2222d d 21121d d ()

z z z y x x x x y x x y x y x x x y ??+=+=+?=??+++ 14．

?++-=?+-?+-=????+????=??222)

(388)(13)(1y x t t y x y x t y y z t x x z t z

15．令2

2y x u -=，x

y v =

，则),(v u f e z xy

= 16． )ln(),,(z y x z y x f u ++==，xy

e z = 17．设xy u =，yz v =，则),(v u F w =

),(),(v u F z v u F x y v v w y u u w y w v u '+'=????+????=??,),(v u F y z

v v w z w v '=????=?? 18．设三角形三内角分别为x ，y ，z ，则π=++z y x ，y x z --=π，它们的正弦之积为)sin(sin sin )](sin[sin sin y x y x y x y x u +=+-=π

由???=+++='=+++='0)cos(sin sin )sin(cos sin 0)cos(sin sin )sin(sin cos y x y x y x y x z y x y x y x y x u y

x ，

解得 3

π=

=y x 时，它们的正弦之积为最大。

19．设圆心角分别为x ，y ，z ，则π2=++z y x ，y x z --=π2，

)]cos([cos 22y x x R s x +-=

'，)]cos([cos 22

y x y R s y +-=' 0='='y x s s ，得y y x x cos )cos(cos =+=

所以当π3

===z y x 时，面积最大，此时2243332sin 32R R s =?=π。

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章偏导数与全微分一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件

第十七章多元函数微分学习题课

第十七章多元函数微分学习题课一疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结：答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结：答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，

人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案

人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命题个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】【分析】根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤???? ，y 2=2k x ，然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确，故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

多元函数微分学知识点梳理

第九章多元函数微分学内容复习一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续（2）（二元函数）极值的必要、充分条件二、基本计算（一）偏导数的计算 1、偏导数值的计算（计算),(00y x f x '）（1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='）（3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）（1）简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导（2）复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）（3）隐函数求导求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等）注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算注意记号表示，以及求导顺序（二）全微分的计算 1、叠加原理

多元函数微分学习题

第五部分多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线 ?? ?=+--=+++0 31020 123:z y x z y x L 及平面0 224: =-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(2 2y x y x y x xy y x f 在点 ) 0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y -

答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全微分的（）。（A).充分条件（B).充要条件

(完整版)正比例函数、反比例函数测试题(经典)

初二数学练习班级姓名一、填空 1、已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 2、2 3 (2)m y m x -=-是正比例函数，则m= 3、已知正比例函数x a y )21(-=，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是 4、如果正比例函数y=kx （k ≠0）的自变量增加5，函数值减少2，那么当x=3时， y= 5、若反比例函数2 32k x k y --=)(，则k = ，图象经过象限 6、已知反比例函数x k y =的图像经过点)4,5(-A 、)5,(a B ，则a = 7、函数21 a y x += （x>0），当x 逐渐增大时，y 也随着增大，则a 的范围。 8、已知A(x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1____y 2?；(填“>”, “<”或“=”) 9、直线 x 21= y 与双曲线 x y 2 = 的交点是 10、已知函数x x x f 2 2)(-=，则=)2(f 11、若函数12,1 1 21-=-= x y x y ，则函数y =y 1+y 2中，自变量x 的取值范围是 12、如图：A 、B 是函数x y 1 =图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是 . 二、选择 13、下列语句不正确的是（） (A) 1+x 是x 的函数（B ）速度一定，路程是时间的函数（C ）圆的周长一定，圆的面积是圆的半径的函数（D ）直角三角形中，两个锐角分别是x 、y ，y 是x 的函数

多元函数微分学及其应用归纳总结

第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？例4（07年期末考试一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？

例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1．讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。例2．（06年期末考试十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）

第七章多元函数的微分学

第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意：与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，但二重极限存在，但我们有下面的结论。定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。（2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数

初中数学反比例函数经典测试题及答案

初中数学反比例函数经典测试题及答案一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限，故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB

垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1 =1 k x （x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象上，∠ABO=30°，则 2 1 k k =（） A ．-3 B ．3 C ． 1 3 D ．- 13 【答案】A 【解析】【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值．【详解】如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a. ∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90° 在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3 ∴点A 3a ，a ）同理可得点B 3，-3a ） ∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a ∴ 213333k a k a ==-. 故选A. 【点睛】

多元函数微分学总结

`第八章多元函数微分学基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。（1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈o I 时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。（2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时， ()f P 的极限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的

《多元函数微分学》练习题参考答案

多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ．解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ．（2011）解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+，故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006）解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2．（2000）解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,

122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???．（2011）解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????，所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2．（2009）解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+

多元函数微分学习题

第七章多元函数微分学【内容提要】 1.空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系下两点间的距离公式为：平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>，椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数，记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数值，函数值的集合称为值域。多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式

数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。教学时数：18学时 § 1 可微性一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.

3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,

不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证

初中数学反比例函数经典测试题附答案

一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命题个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】【分析】根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ，然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确，故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 2．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（）

多元函数微分学及其应用

第8章多元函数微分学及其应用参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性：（1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。

多元函数微分学练习题

多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第五章（多元函数微分学）练习题一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是．

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。（2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。

反比例函数经典测试题含解析

反比例函数经典测试题含解析一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限，故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．在同一直角坐标系中，函数y=k(x －1)与y= (0)k k x <的大致图象是

A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】【分析】【详解】解：k<0时，y= (0)k k x <的图象位于二、四象限， y=k(x －1)的图象经过第一、二、四象限，观察可知B 选项符合题意，故选B. 3．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=上，且12y y >，则m 的取值范围是（） A ．0m < B ．0m > C ．32 m >- D ．32 m <- 【答案】D 【解析】【分析】根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围．【详解】 ∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x +=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32 m <- ，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(﹣1，1)，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝8 x 上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为( )

反比例函数测试题(含答案)

反比例函数测试题（含答案）（时间90分钟满分100分）5 . 已知反比例函数的图象经过点（m3m），则此反比例函数的图象在班级 ________ 学号________ 姓名_________ 得分一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如果x、y之间的关系是ax'?y=O（a H0），那么y是x的（） A .正比例函数 B .反比例函数 C .一次函数 D.二次函数 4 2 . 函数y =—-的图象与x 轴的交点的个数是 x （） A.第一、二象限 C.第二、四象限第一、三象限第三、四象限 6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时, 的气压P （kPa ）是气体体积V （ m3）气球内气体的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于120 kPa时，气球发将爆炸.为了安全起见，气球的体积应 60 P (kPa) \(1.6, 60) ■I I3T W ■■ 1' ? W / f 3 1.6 V (m3) 第6题 A . 零个B.一个C 3 . 反比例函数y ( ) A. 第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 4.已知关于x的函数y = k (x+1 )和y =— .两个 D.不能确定 4 = —- 的图象在 x A.不小于-m3 B .小于-mi C .不小于-mi D .小于- 5 7 . 如果点的面积为 A. 2 &已知: P为反比例函数 4 4 y 的图象上一点, x PQ L x 轴, 垂足为Q那么△ POQ 反比例函数 1-'2m “心宀r _ . 的图象上两点 A( x1, y1) ,B (X2,y 2)当X1< 0 k （k丰0）它们在同一坐标系中的大致 x v x2时，yK y2,贝y m的取值范围（ A. m v 0.m> 0 1 mv — 2 1 n> — 2 二、填空题（每小题2分，共20分） 9.有m台完全相同的机器一起工作，需m小时完成一项工作，当由 x台机器（x

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多元函数微分学习题

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第十七章多元函数微分学习题课

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