第五部分 多元函数微分学
[选择题]
容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。
1．设有直线?
??=+--=+++031020
123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( )
(A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C
2．二元函数???
??=≠+=)0,0(),(,
0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy
y x f 在点)0,0(处 ( )
(A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C
3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组?
??+=+=2
2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u
( ) (A)
v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v
u y
- 答：B
4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( )
(A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。
(B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( )
(A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9
2
,91,91(2- 答：A
6．函数在点处具有两个偏导数是函数存在全
微分的（）。
（A).充分条件（B).充要条件
(C).必要条件 (D). 既不充分也不必要
答C
7．对于二元函数，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（）。
(A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在
(C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在
答B
8．二元函数在处满足关系（）。
(A).可微（指全微分存在）可导（指偏导数存在）连续
(B).可微可导连续
(C).可微可导或可微连续，但可导不一定连续
(D).可导连续，但可导不一定可微
答C
9．若，则在是（）
(A).连续但不可微 (B).连续但不一定可微
(C).可微但不一定连续 (D).不一定可微也不一定连续
答D
10．设函数在点处不连续，则在该点处（）
(A).必无定义 (B)极限必不存在
(C).偏导数必不存在 (D).全微分必不存在。
答D
11．二元函数的几何图象一般是：( )
(A)一条曲线
(B)一个曲面
(C)一个平面区域
(D) 一个空间区域
答 B
12．函数222
211
arcsin
y x y
x z --++=的定义域为( ) (A) 空集 (B) 圆域 (C) 圆周 (D) 一个点 答 C
13．设),(2
2
2
z y x f u -+=则
=??x
u
( ) (A) '2xf
(B) f
u x
??2 (C) )(22
22z y x f
x
-+?? (D) )
(22
22z y x u
x
-+?? 答 A
14．3
32
)0,0(),(lim y x xy y x +→=( )
(A) 存在且等于0。
(B) 存在且等于1。 (C) 存在且等于1- (D) 不存在。
15．指出偏导数的正确表达( )
(A) 2
2
,)
,(),(lim
),('k
h b a f k b h a f b a f k h x +-++=→
(B) x
x f f x x )
0,(lim
),0('0
→= (C) y
y f y y f y f y y ?-?+=→?)
,0(),0(lim
),0('0
(D) x
x f y x f x f x x )
0,(),(lim )0,('0
-=→
答 C
16．设)ln(),(22y x x y x f --
= （其中 0>>y x ）
，则=-+),(y x y x f （ ）. （A ）)ln(2y x -；
（B ）)ln(y x -；（C ）)ln (ln 2
1
y x -；（D ）)ln(2y x -. 答A
17．函数)sin(),(2
y x y x f +=在点)0,0(处（ ）
（A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限，但不连续； （D ）连续.
答D
18．函数),(y x f z =在点),(000y x P 间断，则（ ）
（A ）函数在点0P 处一定无定义； （B ）函数在点0P 处极限一定不存在；
（C ）函数在点0P 处可能有定义，也可能有极限；
（D ）函数在点0P 处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值.
答C
19．设函数),(y x u u =，),(y x v v =由方程组?
?
?+=+=22v u y v
u x 确定，v u ≠，则 =??x
u
（ ） （A ）v u x -； （B ）v u v
--；
（C ）v u u --； （D ）v
u xy
-.
答B 20．2223z y x u +++=
在点)2,1,1(0-M 处的梯度=gradu （ ）
（A ）)92,91,91(-； （B ）)94
,92,92(-； （C ）)32,31,31(-； （D ）)3
4
,32,32(-.
答C
21．设函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，且0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，则
函数),(y x f 在),(00y x 处（ ）
（A ）必有极值，可能是极大，也可能是极小； （B ）可能有极值，也可能无极值； （C ）必有极大值； （D ）必有极小值. 答B 22．设,xy z =则
)
0,0(x z
??=( )
(A) 0 (B) 不存在 (C) 1- (D) 1 答 A
23．设y
e
x y xy y z 2arctan )1()sin(-+-+=,则
)
0,1(x z
??=( )
(A) 23 (B) 21
(c) 4
π
(D) 0 答 B 。
24．设),(2
2
z x yf z x -=+则y
z y x z z ??+??=( ) (A) x (B) y (C) z
(D) )(2
2
z x yf - 答 A
25．设0),(=x z
x y f ,确定),(y x z z =则y
z
y x z x ??+??=( ) (A) z - (B) z (C) y - (D) y 答B
26．已知,cos ,tan ,t y t xe e z y x x
x
===-+则
=t dt
dz
=( )
(A) 21 (B) 2
1-
(C) 1 (D) 0 答D
27．设),(y x z z =由方程02=+--z
xy
e z e 确定,则22x
z
??=( )
(A) 2
2---z xy
e e y
(B) 2
2)2()2(------z z xy z xy e e ye e e y (C) 2222)2()2(-+--+--z z xy z xy e e y e e y
(D) 3
2222)
2()2(----+--z z xy z xy e e y e e y 答 D
28．设xy u u x f z ==),,(,则22x z
??=( )
(A) 2
2
222y u f x f ??+?? (B) 2
22222y u f y y x f x f ??+???+
?? (C) 2
222222
y u f y y x f x f ??+???+?? (D) 22222u
f
y y x f x f ??+???+
?? 答 C
29．设2
2
2
2
,),,(y x v y x u v u f z -=+==,则y
x z
???2=( )
(A) ???? ????+??v f u f x 222
(B) ???? ????+??2
2222v f u f x (C) ???? ?
???-??2
2222v f u f x (D) ???
? ?
???-??2
2224v f
u f xy
答 D
30．下列做法正确的是( )
(A) .设方程2
222a y x z ++=,,2,22z F x z z F z x x ='-'='代入z x x F F z ''-
=',得z
x
z x 2='. (B) 设方程2
222a y x z ++=,,2,2z F x F z x ='-='代入z x x F F z ''-
=',得z
x
z x ='. (C) 求2
2y x z +=平行于平面022=-+z y x 的切平面,因为曲面法向量 )1,2,2//()1,2,2(--=→
y x n ,1,1,1,1
1
2222-===?--==∴
z y x y x 切平面方程为0)1()1(2)1(2=+--+-z y x .
(D) 求8=xyz 平行于平面1=++z y x 的切平面,因为曲面法向量 )1,1,1//(),,(xy xz yz n =→
,1,1
11===?==∴
z y x xy xz yz 切平面方程为0)1()1()1(=-+-+-z y x 答 B
31．设),,(z y x M 为平面1=++z y x 上的点,且该点到两定点)1,0,2(),1,0,1(的距离平方之 和
为最小,则此点的坐标为( )
(A) )21
,21,1( (B) )21
,21,1(-
(C) )21
,21,1(--
(D) )2
1,21,1(-
答 B
32．若函数),(y x f z =在点),(00y x 可微，则在该点（ ） (A)
?
???f
x f 与一定存在。 (B)
y
f
x f ????与一定连续。
(C) 函数沿任一方向的方向导数都存在，反之亦真。 (D) 函数不一定连续。 答A
33．在矩形域δδ<-<-00,:y y x x D 内，0),(,0),(≡≡y x f y x f y x 是C y x f =),(（常数）的（ ）
(A)必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)既非充分也非必要条件 答C
34．若函数),(),,(),,,(t s y t s x y x t f u ψ?===均具有一阶连续偏导数，则
=??t
u
( ) (A)232
2ψ?''+''f f ( B)23221ψ?''+''+'f f f (C)22
ψ?'+'f f (D)22ψ?'+'+f f f 答B
35．设函数)(),(t t ψ?具有二阶连续导数，则函数)()(y x y x z -++=ψ?满足关系（ ）
(A)
02=???y x z (B) 0222=??+???x
z y x z (C) 02222=??+??y z x z (D) 02222=??-??y
z
x z
答 D
36．二元函数221y x z +-
=的极大值点是
(A) (1,1) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (0,0) 答D 37．直线
z y x =-=+222
与???=++=++0
2012z y y x 之间的关系是( ) (A) 重合 (B) 平行 (C) 相交 (D) 异面 答：B
38．曲面21322
2
2
=++z y x 的与平面064=++z y x 平行的切平面方程是( )
(A) 2
21
64±
=++z y x (B) 2164=++z y x (C) 2164-=++z y x (D) 2164±=++z y x 答：D
39．下列结论中错误的是( ) (A) 0lim
0=+=→y x xy
kx y x (B) 0111lim lim
0000=+
=+→→→→x
y y x xy y x y x (C) 1lim
20-=+-=→y x xy x
x y x 。 (D) y x xy
y x +→→0
0lim
不存在。 答：B
40．已知),(y x f 二阶连续可导，),(xy x f z =，记xy v =，则下列结论中正确的是( )
(A) v x f
y x f x z ???+??=??2222
2。 (B) v x f
y x
f x z ???+??=??22
2222 (C)22222222v f y v x f y x f x z ??+???+??=??。 (D) 2
2
2222222v f y v x f y x f x z ??+???+??=??
答：D
41．设函数??
???=≠+==)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22
y x y x y x y
x y x f z ，又t y t x ==,，则下列结论中正
确的是( )
(A) 0)0,0(=df 。 (B) 00
==t dz 。 (C) 2
10
=
=t dz
。 (D) dt dz
t 2
10
=
=。
答：D
42．设则在原点处（ ）
(A).偏导数不存在，也不连续 (B).偏导数存在但不连续 (C).偏导数存在且可微 (D).偏导数不存在也不可微 答:B
43．设则（ ）
(A). 0 (B). 1 (C). 2 (D).不存在
答：B
44．设则=（ ）
(A). 1 (B). (C). 2 (D). 0 答： B 45．设则（ ）
(A).2
)
3
1
(x y
x
y ?
- (B). (C). (D). 答：B
46．设，则（ ）
(A). 3/2 (B). 1/2 (C). (D).0
答：B
47．设方程确定隐含数（其中可微），且 ,则( ) (A). 1/7 (B).71- (C).4
1
- (D).31-
答：B
48．曲面上平行于平面的切平面方程是（ ） (A). (B). (C). (D). 答：A
49．二元实值函数在区域上的最小值为 （ ）
(A). 0 (B). 1- (C). 2- (D). 3- 答：C
50．平面是曲面在点（1/2，1/2，1/2）处的切平面，则 的值是（ ）。
(A).4/5 (B). 5/4 (C)2 (D).1/2
答：C
51．已知曲面，在其上任意点处的切平面方程 为，则切平面在三坐轴走上的 截距之和为（ ）
(A) (B). (C). (D). 答：C
52．指出2
22),(y
x xy
y x f +=
与不相同的函数( ) (A)
2
2
2
21),(y x y x y x y x f +-=-+ (B) 0
,00,),(22222
2222=+≠++-???=-+y x y x y x y x y x y x f
(C) 2
22
23),(v u v u v u v u f +-=-+ (D) 2
2242222),(v
uv u uv
u v u u f +--=- 答 : B
53．指出错误的结论：( )
(A) 按等价无穷小的替换原则，有0lim )sin(lim 222
20,22220,=++=++→→y
x y x y x y x y x y x (B) 按无穷大量与无穷小量的关系，有01
11
lim lim
0,0,=+=+→→x
y y x xy y x y x ，
因当0,→y x 时，
∞→y
x 1
,1。 (C) 按变量代换的方法，有1)1(lim 1lim 1
,0,=+=-+→→t y x y
x y x t e e y
x ， 此处1-=y
x
e e t 。
(D) 按根式有理化方法，有2
1
111lim 11lim 0,0,=-+=--→→xy xy xy y x y x 。
答 : B
54．以下各点都是想说明),(lim 0
,y x f y x →不存在的，试问其理由是否正确？( )
(A) 对y
x xy
y x f +=
),(，理由是x y -=时函数无定义。 (B) 对,,0,),(???
??-=-≠+=x
y x y y x xy
y x f 理由是令2x y =或x x -2将得到不同的极限值1,0-。
(C) 对,0
,00
,),(?????=≠=x x x
y
y x f 理由是令x y -=1，即知极限不存在。 (D) 对,0,00
,1sin 1sin ),(??
???
=≠+=xy xy x
y y x y x f 理由是当0→x 或0→y 时极限已经不存在，故二重极限更不可能存在了。 答 : B
55．在具备可微性的条件下，等式 ,)(dv du v u d +=+ ,)(du u d λλ=
,)(vdu udv uv d += )(1
)(2
udv vdu v v u d -=的成立，对v u ,还有什麽限制？( )
(A) 没什麽限制（除v 作分母时不为 0）。 (B) v u , 只能是自变量。
(C) v u ,是自变量或某自变量的一元函数。 (D) v u ,是自变量或某自变量的一次函数。 答: A
56．对二元函数而言，指出下列结论中的错误。( ) (A) 两个偏导数连续?任一方向导数存在。 (B) 可微?任一方向导数存在。 (C) 可微?连续。
(D) 任一方向导数存在?函数连续。 答: D
57．设0),,(=z y x F 满足隐函数定理的条件，问
x
z
z y y x ????????如何？( ) (A) 该式=
1=??????????x
z y z
y x
(B) 该式1)()()(-=????-=-?-?-=z
y x x z y z x y z
x y
F F F F F F F F F F F F
(C) 因为一个方程0),,(=z y x F 可以确定一个函数，不妨设z 为函数，另两个变量y
x ,则为自变量，于是
0=??y
x
，故所给表达式为0。 (D) 仿(C)不妨设由0),,(=z y x F 确定z 为y x ,的函数,因
z
y
??无意义,故所给表达式无意义。 答: B
58．设??
?==0
),,(0
),,(z y x G z y x F ，试求对x 的导数。( )
(A) 由第一个方程两边对x 求导，得0=?+x z x z F F ，故z
x
x F F z -
=。 (B) 由第二个方程两边对x 求导，同理得z
x
x G G z -
=。 (C) 由两个方程消去y 得0),(=z x H ，再对x 求导，得0'=?+z H H z x 故z
x
H H z -
='. (D) 视z y ,为x 的函数，在方程组两边对x 求导，得???=?+?+=?+?+0''0
''z G y G G z F y F F z y x
z y x ，故解出
y
z z y x y y x G F G F G F G F z --=
'。
答 : D
59．设),(t x f y =，则由0),,(=t y x F 两边对x 求导的结果为：( )
(A) 0''=?+?+t F y F F t y x ,其中dx
dt
t dx dy y ==
','。 (B) 0)'('=?+?+?+y t t F y F F y x t y x 。
(C) 0)(=?+?+?+x t x t x y x t F t f f F F 。
(D) 0)'()(=?+?+?+?+y t t F t f f F F y x t x t x y x 。
答: A 60．=+-+∞
→∞→22lim
y xy x y
x y x （ ）
（A ）1； （B ）0； （C ）1-； （D ）不存在. 答：B
61．设函数???
??=≠+=)
0,0(),(,0)0,0(),(,),(422
y x y x y x xy y x f ，则（ ）
（A ）极限),(lim 00
y x f y x →→存在，但),(y x f 在点)0,0(处不连续；
（B ）极限),(lim 00y x f y x →→存在，且),(y x f 在点)0,0(处连续； （C ）极限),(lim 0
0y x f y x →→不存在，故),(y x f 在点)0,0(处不连续； （D ）极限),(lim 0
0y x f y x →→不存在，但),(y x f 在点)0,0(处连续.
答：C
62．设M m ,分别为函数),(y x f z =在区域D 上的最小值和最大值，且M m ≤≤μ，则（ ）
（A ）函数),(y x f z =在定义域D 内一定有点),(y x P ，使满足：μ=)(P f ； （B ）当D 为闭区域，),(y x f 为连续函数时，则在D 上至少有一点),(y x P ，使 μ=)(P f ；
（C ）当D 为有界区域，),(y x f 为连续函数时，则),(y x f z =在D 上至少有一点 ),(y x P ，使μ=)(P f ；
（D ）当D 为连通区域，),(y x f 为D 上的连续函数时，则),(y x f z =在D 上至少有一点 ),(y x P ，使μ=)(P f .
答：D
63．函数),(y x f 在点),(00y x 偏导数存在是),(y x f 在该点连续的（ ）
（A ）充分条件但不是必要条件； （B ）必要条件但不是充分条件； （C ）充分必要条件；
（D ）既不是充分条件也不是必要条件. 答：D
64．二元函数),(y x f z =在),(00y x 处满足关系（ ）
（A ）可微（指全微分存在）?可导（指偏导数存在）?连续； （B ）可微?可导?连续；
（C ）可微?可导，或可微?连续，但可导不一定连续； （D ）可导?连续，但可导不一定可微. 答：C 65．若
00
0=??==y y x x x
f ，
00
0=??==y y x x y
f ，则),(y x f 在),(00y x 是（ ）
（A ）连续且可微； （B ）连续但不一定可微； （C ）可微但不一定连续； （D ）不一定可微也不一定连续. 答：D
66．设??
?
??=≠=,0,,0,)
sin(),(2xy x xy xy
y x y x f 则=)1,0(x f （ ） （A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）不存在. 答：B
67．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '，),(00y x f y '存在是),(y x f
在该点连续的（ ） （A ）充分条件而非必要条件；
（B ）必要条件而非充分条件； （C ）充分必要条件；
（D ）既非充分条件又非必要条件. 答：D 68．已知
2
)
()(y x ydy
dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）1-； （B ）0； （C ）1； （D ）2. 答：D
69．下列命题中正确的是( ) (A)),(lim lim 0
0y x f y y x x →→与
),(lim )
,(),(00y x f y x y x →等价
(B) 函数在点),(00y x 连续,则极限
),(lim
)
,(),(00y x f y x y x →必定存在.
(C)
p x
f ??与
p y
f ??都存在,则),(y x f 在点),(00y x 必连续
(D)),(y x f 在0p 点沿任何方向→
u 的方向导数存在,则),(y x f 在点),(00y x 必连续 答: B
70．如),(y x f 在点),(00y x 不可微, 则一定不成立的是( ) (A)),(y x f 在0p 点不连续
(B)),(y x f 在0p 点沿任何方向→
u 的方向导数不存在 (C)),(y x f 在0p 点两个偏导数都存在且连续
(D)),(y x f 在0p 点两个偏导数存在且至少有一个不连续 答: C
71．下列条件中 ( ) 成立时, ),(y x f 在),(00y x 点必有全微分0=df (A) 在点),(00y x 两个偏导数0,0='='y x f f (B)),(y x f 在点),(00y x 的全增量2
2
1y
x y x f ?+???=
?,
(C)),(y x f 在点),(00y x 的全增量2
2222)sin(y
x y x f ?+??+?=
?
(D) ),(y x f 在点),(00y x 的全增量2
22
2
31
sin )(y x y x f ?+??+?=?
答: D
72．下列结论中正确的是( )
(A) 设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?===,如ψ?,在点),(00y x 存在偏导,f 在点 ),(00v u 存在偏导,则
y v y u x v x u v f u f y
z
v f u f x z ''+''=??''+''=??,一定成立.
(B) yx xy f f ,只要存在,必有yx xy f f = (C) 偏导数只要存在必定连续 (D) 初等函数在有定义的点必定连续 答: D 73．设xy y x f =
),(,则在)0,0(点( )
(A) 连续,但偏导数不存在. (B) 偏导数存在,但不可微 (C) 可微
(D) 偏导数连续,但不可微 答 :B
74．???
??=≠+=0
),(0
)0,0(),(2),(4
22
y x y x y x xy y x f , 则在)0,0(点( )
(A) 不连续,偏导数存在且可微 (B) 连续,偏导数存在,但不可微
(C) 沿任何方向)sin ,(cos ?θ=→
v 的方向导数存在,且可微
(D) 不连续,但沿任何方向)sin ,(cos ?θ=→
v 的方向导数存在,并且不可微 答: D
75．设),(y x f z =在(1,1)点可微,,)
1,1(,)1,1(,
1)1,1(b y
f a x f f =??=??=又有 ))),,(,(,()(x x f x f x f x =?则==1
2
)(x x dx
d ?( )
(A) )(23
2
b ab ab a +++. (B) 32
b ab ab a +++ (C) 32a ab a ++ (D) 3
2
a a
b ab a +++ 答 :A
76．下列极限中存在的是( ) (A) y
x y
x y x +-→→)1(lim
(B) 2420
lim y
x y
x y x +→→ (C) 2
220
lim y x y
x y x +→→
(D) 2
20
0lim
y
x xy
y x +→→ 答: C
77．设),1,1,0(,1ln ),,(0=-++=→
x e y z xy z y x xz
?有0)1,1,0(=?,下列结论中正确的是
( )
(A) 方程0),,(=z y x ?在点→
0x 邻域内不能确定隐函数),(z y f x = (B) 方程0),,(=z y x ?在点→
0x 邻域内不能确定隐函数),(z x g y = (C) 方程0),,(=z y x ?在点→0x 邻域内不能确定隐函数),(y x h z = (D) 以上均不正确
答: C
78．若函数),(y x u u =为可微函数，且满足
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结： 答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结： 答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，
人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案 一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命 题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤???? ，y 2=2k x ， 然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
多元函数微分学习题
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线 ?? ?=+--=+++0 31020 123:z y x z y x L 及平面0 224: =-+-z y x π， 则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(2 2y x y x y x xy y x f 在点 ) 0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y -
答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的 一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可 导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。 答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件
初二数学练习 班级 姓名 一、填空 1、已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 2、2 3 (2)m y m x -=-是正比例函数，则m= 3、已知正比例函数x a y )21(-=，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是 4、如果正比例函数y=kx （k ≠0）的自变量增加5，函数值减少2，那么当x=3时， y= 5、若反比例函数2 32k x k y --=)(，则k = ，图象经过 象限 6、已知反比例函数x k y =的图像经过点)4,5(-A 、)5,(a B ，则a = 7、函数21 a y x += （x>0），当x 逐渐增大时，y 也随着增大，则a 的范围 。 8、已知A(x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1____y 2?；(填“>”, “<”或“=”) 9、直线 x 21= y 与双曲线 x y 2 = 的交点是 10、已知函数x x x f 2 2)(-=，则=)2(f 11、若函数12,1 1 21-=-= x y x y ，则函数y =y 1+y 2中，自变量x 的 取值范围是 12、如图：A 、B 是函数x y 1 =图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是 . 二、选择 13、下列语句不正确的是 （ ） (A) 1+x 是x 的函数 （B ）速度一定，路程是时间的函数 （C ）圆的周长一定，圆的面积是圆的半径的函数 （D ）直角三角形中，两个锐角分别是x 、y ，y 是x 的函数
第七章多元函数的微分学 一、多元函数微分学网络图 二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。
4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件， 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法 （1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则 注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。 （3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零， 而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而 由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法 （1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。
注意： 与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限， 我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。 例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是 由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在， 但二重极限存在，但我们有下面的结论。 定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。 （2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数
初中数学反比例函数经典测试题及答案 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB
垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1 =1 k x （x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象 上，∠ABO=30°，则 2 1 k k =（ ） A ．-3 B ．3 C ． 1 3 D ．- 13 【答案】A 【解析】 【分析】 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值． 【详解】 如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a. ∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90° 在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3 ∴点A 3a ，a ） 同理可得 点B 3，-3a ） ∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a ∴ 213333k a k a ==-. 故选A. 【点睛】
§5.3 多元函数微分法 一、复合函数微分法――链式法则 模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。 【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由 下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++
由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。 答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。 【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（ ） （A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性 例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。 【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=??
多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ． 解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ． （2011） 解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+， 故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006） 解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,
122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???． （2011） 解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????， 所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2． （2009） 解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+
第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>， 椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数， 记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数 值，函数值的集合称为值域。 多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式
第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及 偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.
3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,
不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:
Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证
一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命 题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， 然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 2．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）
第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种： （一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，
的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000
多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
反比例函数经典测试题含解析 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．在同一直角坐标系中，函数y=k(x －1)与y= (0)k k x <的大致图象是
A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：k<0时，y= (0)k k x <的图象位于二、四象限， y=k(x －1)的图象经过第一、二、四象限， 观察可知B 选项符合题意， 故选B. 3．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．0m > C ．32 m >- D ．32 m <- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】 ∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x +=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32 m <- ， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(﹣1，1)，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝8 x 上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为( )
第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
反比例函数测试题（含答案） （时间90分钟满分100分）5 . 已知反比例函数的图象经过点（m3m），则此反比例函数的图象 在 班级 ________ 学号________ 姓名_________ 得分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如果x、y之间的关系是ax'?y=O（a H0），那么y是x的（ ） A .正比例函数 B .反比例函数 C .一次函数 D.二次函数 4 2 . 函数y =—-的图象与x 轴的交点的个数是 x （） A.第一、二象限 C.第二、四象限 第一、三象限 第三、四象限 6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时, 的气压P （kPa ）是气体体积V （ m3） 气球内气体 的反比例函数，其 图象如图所示.当气球内的气压大于120 kPa时，气球发将爆 炸.为了安全起见，气球的体积应 60 P (kPa) \(1.6, 60) ■I I3T W ■■ 1' ? W / f 3 1.6 V (m3) 第6题 A . 零个B.一个C 3 . 反比例函数y ( ) A. 第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 4.已知关于x的函数y = k (x+1 )和y =— .两个 D.不能确定 4 = —- 的图象在 x A.不小于-m3 B .小于-mi C .不小于-mi D .小于- 5 7 . 如果点 的面积为 A. 2 &已知: P为反比例函数 4 4 y 的图象上一点, x PQ L x 轴, 垂足为Q那么△ POQ 反比例函数 1-'2m “心宀r _ . 的图象上两点 A( x1, y1) ,B (X2,y 2)当X1< 0 k （k丰0）它们在同一坐标系中的大 致 x v x2时，yK y2,贝y m的取值范围（ A. m v 0.m> 0 1 mv — 2 1 n> — 2 二、填空题（每小题2分，共20分） 9.有m台完全相同的机器一起工作，需m小时完成一项工作，当 由 x台机器（x
第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的： （A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ）