bds04_2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课题名称 2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
课时 2 课型新授
一教学目标知识与技能：
1. 通过二次函数的图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的内在联系.
2. 能通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，直观地求出一元二次不等式的解集.
3. 理解转化的思想，即理解一元二次不等式是如何转化为用相应的二次函数图像与一元二次方程的根来进行求解的.
过程与方法：
1. 教学过程中注重知识的形成过程，把握学生的认知规律.
2. 强调数形结合的解题方法.
情感态度与价值观：
1.借助图像来求解抽象的问题，提高学生学习的兴趣和解题的正确率.
2.通过学习使学生学会分析和归纳复杂事物的能力，结合工学交替等途径，为日后进入职场奠定基础.
二教学重点与难点教学重点：
1.一元二次函数的图像.
2. 通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，解一元二次不等式. 教学难点：
1. 数形结合的方法.
三教学方法启发式教学. 类比的方法，归纳的方法. 四教学手段利用多媒体课件bds04、黑板等.
五教学过程
【新课导入】
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：
解一元二次不等式是否一定要转化为一元一次不等式组来解呢? 其实不然！
因为一元二次不等式与二次函数、一元二次方程三者之间存在着密不可分的“亲缘”关系, 你可以借助二次函数的图像及相应一元二次方程的根，解决一元二次不等式的解的问题. 【示范例题】 例4 已知二次函数
223y x x =--
(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y =0；
(3) 求当x 在何范围内取值时，y <0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y >0. 解 (1) 图像如下图所示：
(2) 由y =0，得 2
-2-30x
x =
解此一元二次方程，得11x =-，23x = ∴当1x =-或3x =时，y =0.
(3) 由图可知，当-1 230x x --<) (4) 由图可知，当x <-1或x >3时，二次函数图像在x 轴的上方. ∴当 x <-1或x >3时，y>0.(此时，2 -2-30x x >) 提问：不等式2 230x x --<的解集是？ 不等式2 230x x -->的解集是？ 例5 利用在例题4学到的知识，解不等式：2 8230x x --> 解 不等式对应的二次函数为 2823y x x =-- 令y=0,对应方程 2 8230x x --=的根为： 12132 4 x x =-= ， 当12x <- 或 3 4 x >时，y >0. ∴不等式28230x x -->的解集为13,,24⎛⎫⎛⎫ -∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 例6 解不等式：2 2-20x x -+> 解 二次项系数为负， ∴原不等式两边同乘以-1，得：2 220x x -+< 对应方程: 2 220x x -+=的判别式()2 241240∆=--⨯⨯=-< 对应二次函数： 222y x x =-+的图像如图所示: a >0开口向上， 0∆<，图像位于x 轴上方； ∴不等式 2 22<0x x -+的解集为φ. 即原不等式22-20x x -+>的解集为φ. 例7 解不等式：2440x x -+> 解 对应方程: 2 44=0x x -+的判别式()2 44140∆=--⨯⨯= 对应二次函数: 244y x x =-+的图像如图所示: a >0开口向上，0∆ =，图像与x 轴有一个交点； ∴不等式 2 440x x -+>的解集为()(),22,-∞+∞. 【双基讲解】 一元二次不等式的解法： 解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像.这种方法解一元二次不等式： 20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<>的步骤是： (1)计算判别式 24b ac ∆=-； (2)根据判别式的值的情况分别求解. 这里涉及的情况如下表所示： 例8 解不等式：(1) 2 2520x x -+≤； (2) ()()841x x x +>-； (3) ()()2124x x +-<-. 解 (1) 解不等式: 2 2520x x -+≤ ()2 54229∆=--⨯⨯= 方程2 2520x x -+=的两个根为：12122 x x ==， ∴不等式的解集为1,22⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ . (2) 解不等式: ()()841x x x +>- 解 原不等式化简得：2 440x x ++> 244140∆ =-⨯⨯= 方程 2 440x x ++=有两个相等的实数根：122x x ==- ∴不等式的解集为()(),22,-∞--+∞. (3) 解不等式： ()()2124x x +-<- 解 原不等式化简得： 2 2320x x -+< ()2 342270∆=--⨯⨯=-< ∴方程2 2320x x -+=没有实数根， ∴原不等式的解集为φ. 【巩固练习】 课堂练习2.2(3) 1. 写出下列一元二次不等式对应的二次函数和一元二次方程. (1) 2 3100x x -->； (2) ()()2130x x -+<； (3) 2 51360x x -+-≥； (4) ()24221x x x +-<-. 2. 已知二次函数 2-3-10y x x = (1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y = 0； (3) 求当x 在何范围内取值时，y < 0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y > 0. 3. 解下列不等式： (1) 2 7120x x -+>； (2) 22530x x +-<； (3) 2 2150x x --+≥； (4) ()24421x x x +-<-. 六 课堂小结 1. 利用二次函数的图像、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系求解一元二次不等式； 2. 利用上述关系给出了一个一般性的求解方法. 七 布置作业 由老师根据学生的具体情况灵活布置 八 教学后记 根据上课的具体情况，由老师书写 教案编制人：周芸辉 1. 一元二次函数 函数 2y ax bx c =++ (0)a 1叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a 1) 顶点式 ()2 y a x h k =-+ (0a 1),其中(),h k 为抛物线顶点坐标 两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a 1), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。 1.1一元二次函数的基本性质 1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a 1的 R 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a 1 的值域是 0a >时一元二次函数的值域是24,4ac b a 轹-÷ê÷+ ÷ê÷?? 0a <时一元二次函数的值域是24,4ac b a 纟-?ú- ??úè? 1.1.2一元二次函数的单调性 1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间, 2b a 纟?ú-???úè ?上为单调减函数 ， 在区间,2b a 轹÷ê- + ÷÷ê?? 上为单调增函数 。 当2b x a =- 时 2 min 44ac b y a -= ， m ax y =无 2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间, 2b a 纟 ?ú-???úè ? 上为单调增加函数，在 区间,2b a 轹÷ê- + ÷÷ê??上为单调减函数 。 当2b x a =- 时 2 max 44ac b y a -= ， m in y =无 3. 2y ax bx c =++是当0b =时偶函数。 1.1.3二次函数的图像 若一元二次函数2y ax bx c =++2 2 424b ac b a x a a 骣-÷?=++÷?÷?桫 ，()0a 1 2 4b ac =- 1. 当0a >， < 0 时x 取所有实数,0y >,它的图像与x 轴不相交，y 并 且位置x 轴的上方 y x x x ( 02b a >) ( 2b a =) ( 2b a <) 2. 若0a > ， ＝0 当2b x a =- 时0y = 当2b x a ? 时0y > ，它的图像与x 轴交点为（,0 2b a -） 。 图像中的点（,02b a -）除了之外其它的点都位置于x 轴的上 二次函数与一元二次方程及不等式 一，二次方程基础概念 当2()f x ax bx c =++中，()0f x =时，即得到二次方程 20ax bx c ++= 其解的几何意义即为二次函数的图象与x 轴的交点横坐标． 1． 根的判别式24b ac ?=- ?＞0时，方程有两个不相等的实数根； ?＝0时，方程有两个相等的实数根； ?＜0 时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根． 2． 根与系数的关系（韦达定理） 12b x x a +=- 12c x x a = 二次方程根的分布 根的位置<=>图象位置<=>等价条件 20ax bx c ++=（0a >） 三、一元二次不等式 一元二次不等式20ax bx c ++>（或＜0）的解集，即函数2()f x ax bx c =++的自变量的取值范围，使其函数值()0f x >（或＜0）的自变量的取值范围． 0?> 0?= 0?< 1，例题： 选择题 ① 2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么（ A ） A ．(2)(1)(4)f f f << B ．(1)(2)(4)f f f << C ．(2)(4)(1)f f f << D ．(4)(2)(1)f f f << ② 已知22log (2)a y x x =-在区间（－∞，0）上单调递增，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a > B ．11a -<< C ．R a ∈且0a ≠ D ．1a <-或1a > ③ 已知函数y ＝log 2 1（x 2－6x ＋7），则y （ D ） A ．有最大值没有最小值 B ．有最小值没有最大值 C ．有最大值也有最小值 D 填空题 ①方程2 2||(x x a a -=∈a 的取值范围是_______． 解：令212||y x x =-，2y a =则2122(0)2(0) x x x y x x x ?-?=?+ 高中数学复习专题讲座 ——二次函数、二次方程及二次不等式的关系 高考要求 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳 1 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法 y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n (2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=2 1 (p +q ) 若－ a b 2 ?>->-=?0)(, 2,042r f a r a b ac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根??????? ??>?>?<- <>-=??; 0)(,0)(,2, 042p f a q f a q a b p a c b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根?f (p )·f (q )<0,或 f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立 二次函数与一元二次方程和一元二次不等式 一元二次函数 一元二次函数是指一个函数的自变量有一个，而函数的值是一个二次多项式函数的函数。一般地，一元二次函数的函数形式为： f(x)=ax^2+bx+c 其中a≠0,b,c为常数，x为自变量。 一元二次方程 一元二次方程是指形如：ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数，其中a不能等于0，x为自变量。 一元二次不等式 一元二次不等式是指形如：ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c≥0， ax^2+bx+c<0或ax^2+bx+c≤0的不等式，其中a、b、c为常数，且a不能等于0，x为自变量。 一元二次函数的特点 1、一元二次函数在定义域上是一条曲线，它的曲线类型取决于常数a 的正负号。 （1）当a>0时，是一条凸曲线； （2）当a<0时，是一条凹曲线。 2、一元二次函数的极限值取决于函数的两个常数，即a,b,c的大小。 （1）当a>0时，当x趋近无穷大时，函数值趋近于正无穷；当x趋近无穷小时，函数值趋近于负无穷； （2）当a<0时，当x趋近无穷大时，函数值趋近于负无穷；当x趋近无穷小时，函数值趋近于正无穷。 3、一元二次函数的图像的性质 （1）当a>0时，函数的图像关于y轴对称； （2）当a<0时，函数的图像关于原点对称； （3）函数越往右，函数值增长越快； （4）函数越往左，函数值减少越快； （5）函数过原点，即函数有两个切点（x1,y1），（x2,y2）。 一元二次方程的解法 1、求根公式法 一元二次方程的解一定存在，但不一定能用四则运算求出，则可以用求根公式求解。求根公式是在一元二次方程的知识结构中，应用最广泛的一个形式。一元二次方程根的求根公式是： x1=(-b+√(b^2-4ac))/2a x2=(-b-√(b^2-4ac))/2a 2、分类讨论法 当一元二次方程有特点时，不易求解，可以采用分类讨论法求解，具体的方法是：首先将一元二次方程进行分类，按照解的真实性区分。基本情况有：常数项不等于0；一次项等于0；一次项和常数项都等于0等。 二次函数与一元二次方程、不等式的关系——教学反思用函数观点看一元二次方程、一元二次不等式 通过探讨二次函数与一元二次方程、不等式的关系，再次展示函数与方程、不等式的联系。一方面可以深化我们对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。 本课时的教学目标是：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。 教学的重点在于二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集。难点在于一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。 教学过程 一、创设情境：激发学生的学习兴趣 二、实践与探索： 问题一：给出特定的二次函数解决问题 问题二：对于一般二次函数让学生小组讨论总结归类，列出表格。检测学生学习结果，通过“练一练”。 问题三：拓展练习，让学生对知识融会贯通。 回顾与总结：学生谈收获，教师点拨：二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用；利用二次函数图像求一元二次方程的实数根 教学反思： 本节通过画图，看图，分析图，小组讨论列出表格深化知识，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。不足之处是：有少部分学生对函数与方程之间的关系有点费解。通过了解发现：这部分同学对二次函数和方程的关系不熟悉，也就是数学基础不扎实，还有就是数形结合能力差，也就是不能建立数与形之间的联系。基于此我认为要让此类学生先从基础做起，一点一点提高，在教学设计上要分层次，从易到难，符合学生接受知识的常规思路。这是一个循序渐进的过程。 只是简单说一下,我只说当a>0时的情况，a 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 教学目标 （1）理解二次函数的图象与一元二次方程根的关系 （2）初步用函数中的图象法解方程（组）、解一元二次不等式 （3）体会数形结合的数学思想，培养学生归纳总结的能力 教学重难点 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 教学准备 教师：多媒体课件． 学生：刻度尺、圆规、方格纸 教学过程 （一）创设情境，导入新课 如图直线y=kx+b与x轴交于点（3，0），你能说出当x取何值时 （1）y=o； （2）y＞0； （3）y＜0 教师出示问题 生思考并口答，出现问题其他学生互相补充 .（二）自主探究，发现问题 1. 二次函数与一元二次方程的关系： 画 y = x2+2x -3函数的草图，根据图象回答下列问题． (1)图象与x 轴交点的坐标是什么？ (2)不看图象你能求出交点坐标吗？这里x的取值与方程有什么关系? 合作交流： 二次函数与一元二次方程的关系： _______________________________________ （鼓励学生用自己的语言总结出二次函数与一元二次方程的关系，然后作适当点评。） 自主学习： 2.二次函数与一元二次不等式的关系： 根据1中的图象回答下列问题． (1)当x 取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？ (2)能否用含有x的不等式来描述（1）中的问题？ 合作交流： 二次函数与一元二次不等式的关系： ______________________________________ （鼓励学生用自己的语言总结出二次函数与一元二次不等式的关系，然后作适当点评。） 精讲点拨： １、二次函数y=a 2x+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标为方程a 2x+bx+c ＝0的解。 2、根据图象可求出不等式a 2x+bx+c>0 或 a 2x+bx+c<0的解， 先观察图象，找出抛物线与x 轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集。 议一议： 能否利用二次函数y=a 2x+bx+c 的图象，寻找一元二次方程a 2x+bx+c=0(a ≠0），不等式a 2x+bx+c>0 (a ≠0）或a 2x+bx+c<0(a ≠0）的解？ 巩固练习： 画出二次函数y=-x 2+3x+4的图象；并解答下列问 题： (1)方程-x 2+3x+4=0的解是_____ (2)不等式-x 2+3x+4>0的解集是____ (3)不等式-x 2+3x+4<0的解集是____ （三）合作探究，解决问题 你能否画出适当的函数图象，求方程3212+=x x 的解？ 学习小组内讨论交流 教师根据学生解答情况，视适提出：“问题4”，提高学生的学习兴趣. （四）运用知识，训练技能 1、已知抛物线y=x 2-6x+a 的顶点在x 轴上，则a=_________ ；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是__________ 2、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 Y=ax 2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ） A .3＜x ＜3.23 B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25 ＜x ＜3.26 3、直线y=x+2与抛物线y=x 2+2x 的交点坐标是_____________ 4、某一型号飞机着陆后滑行距离y （单位：m ）与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是y=60x-1.5x 2,该型号飞机着陆后滑行_________s 才能停下来. 教师出示问题 学生答卷 组长判卷、结果反馈给老师 （五）拓展延伸，巩固提高 如图是二次函数y=-x 2+2x+4的图象，使y ＜1成立的x 的取值范围是( ) 教师点拨（画出直线y=1,你想到什么？） 学生画图，小组讨论 （六）畅谈收获，分享成果 谈谈本节课你有哪些收获？ （七）作业设计 教材第29---30页 复习题第4、6、8、12题 二次函数专题二：二次函数、一元二次方程 及一元二次不等式的关系 问题1：你能快速地求出一元二次方程2230x x --=的根吗？ 问题2：请你画出函数2 23y x x =--图象，研究图象上是否有一些特殊的点和一元二次方程2230x x --=的根之间有某种联系，你有什么发现吗？ 问题3：研究一元二次方程2230x x -+=的根的个数及其判别式与二次函数 223y x x =-+的图像和x 轴的交点个数，你能得到什么结论？ 问题4：你能结合问题2、3，得到一般化的结论吗？ 归纳：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的根的个数与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图像和x 轴的位置关系之间有什么联系？ 1．判断下列各抛物线是否与x 轴相交，如果相交，求出交点的坐标。 （1）2 621y x x =-+ （2）215148y x x =-++（3）2 44y x x =-+ 2．如图，抛物线)0(2 >++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点 P （3，0） ，则方程2 0(0)ax bx c a ++=>的根为：。 3．已知抛物线2 6y x x a =-+的顶点在x 轴上，则a = ；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是 ；与x 轴最多只有一个 交点，则a 的范围是 . 4．已知抛物线2 y x px q =++与x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p = ， q = . 5．抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴下方的条件是（ ） A ． a ＜0 b 2 -4ac≤0B．a ＜0 b 2 -4ac ＞0C ．a ＞0 b 2 -4ac ＞0 D ．a ＜0 b 2 -4ac ＜0 6.不论x 取何值，抛物线c bx ax y ++=2 总在x 轴上方，则a ,b ,c 满足的条件是（ ） A.04,02 >->ac b a B.04,02 <->ac b a C.04,02>- 《二次函数与一元二次方程、一元二次不等式》复习题汇编 【知识梳理】： 1.二次函数与一元二次方程关系非常密切，可以相互转化，若已知函数值，可以利用一元二次方程的知识求自变量的值。 2.从“形”的方面看，函数2 y ax bx c =++的图像与 轴交点的横坐标，即为方程 20ax bx c ++=的解；从“数”的方面看，当二次函数2y ax bx c =++的函数值为 时，相应的自变量的值即为方程2 0ax bx c ++=的解。 3.抛物线2 y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点，相应的一元二次方程 20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数根；反过来，如 果一元二次方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数 根，那么抛物线2 y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点。 4.二次函数2 y ax bx c =++与一元二次方程2 的关系如下： 5.直线y=kx+b 与抛物线y ax bx c =++有0个、1个、2个交点，则由方程y ax bx c =++； y=kx+b 联立并消元后的一元二次方程分别满足24b ac -＜0、24b ac -=0、2 4b ac -＞0. 6.二次函数与一元二次不等式的关系也非常密切，当c bx ax ++2 ＞0时，则相应的二次函 数图象2y ax bx c =++上的点位于x 轴的上方；当c bx ax ++2 ＜0时，则相应的二次函 数图象2 y ax bx c =++上的点位于x 轴的下方。 7.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故12b x x a +=- 、12c x x a = ； ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆= -=-⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=--= -= -=44422 212 212 2121【典型例题】 例1．已知函数()()()() 2 2 113513x x y x x ⎧--⎪ =⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 例2．已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 A.4 二次函数与一元二次方程和一元二次不等式 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2 44ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。 本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ． 分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴交点 横坐标。根据已知条件22y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛 物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。 【例2】 二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： 二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解 一、本节知识点 （1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展: （4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型 （1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系. （4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解. 知识点 一元二次不等式的概念 我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式. 元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集. 注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系 一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系. 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解; ①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点; ②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）. （2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点. 具体关系见下页表（1）所示. 一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变 量的取值范围; （2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变 量的取值范围. 由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是: （1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图; （5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集. 注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系
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