第四节 齿轮传动的计算载荷 齿轮传动强度计算中所用的载荷，通常取沿齿面接触线单位长度上所受的载荷进行计算。沿齿面接触线单位长度上的平均载荷p(单位为N/mm)为，即： F n 为轮齿所受的公称法向载荷。 实际传动中由于原动机、工作机性能的影响以及制造误差的影响，载荷会有所增大，且沿接触线分布不均匀。接触线单位长度上的最大载荷为： K 为载荷系数，其值为：K ＝K A K v K α K β 式中：K A ─使用系数 K α─齿间载荷分配系数 K v ─动载系数 K β─齿向载荷分布系数 1、KA--使用系数 使用系数KA 是考虑齿轮啮合时外部因素引起的附加动载荷影响的系数。 这种动载荷取决于原动机和工作机的特性，质量比，联轴器类型以及运行状态等。KA 的使用值应针对设计对象，通过实践确定。表10-2 2、Kv--动载系数 动载系数Kv 是考虑齿轮副本身的啮合误差（基节误差、齿形误差、轮齿受载变形等）所引起的啮入、啮出冲击和振动而产生内部附加动载荷影响的系数。 影响动载系数Kv 的主要因素： 1）基节误差和齿形误差 由于制造及装配的误差，轮齿受载后弹性变形的影响，使啮合轮齿的法向齿距Pb1与Pb2不相等，因而轮齿就不能正确的啮合传动，瞬时传动比就不是定值，从动齿轮在运转中就会产生角加速度，于是引起了动载荷或冲击。 L F p n =L KF Kp p n ca ==
2）轮齿变形和刚度大小的变化 对于直齿轮传动，轮齿在啮合过程中，不论是由双对齿啮合过 渡到单对齿啮合，或是由单对齿啮合过渡到双对齿啮合的期间，由 于啮合齿对的刚度变化，也要引起动载荷。为了计及动载荷的影响， 引入了动载系数Kv。 3）齿轮转速的高低及变化 齿轮的制造精度及圆周速度对轮齿啮合过程中产生动载荷的大小影响很大。 减小动载荷的措施： 1）提高制造精度，以减小基节误差和齿形误差，减小齿轮直径以 降低圆周速度； 2）对轮齿进行修缘，以减小轮齿的啮入、啮出冲击； 对轮齿进行齿顶修缘，即把齿顶的小部分齿廓曲线（分度圆压 力角α=20°的渐开线）修正成α>20°的渐开线。因Pb2>Pb1,则 后一对轮齿在未进入啮合区时就开始接触，从而产生动载荷。为此 将从动轮2进行齿顶修缘，图中从动轮2的虚线齿廓即为修缘后的齿廓，实线齿廓则为未经修缘的齿廓。 由图明显地看出，修缘后的轮齿齿顶处的法节P'b2
轮齿的受力分析 1. 直齿圆柱齿轮受力分析 图为直齿圆柱齿轮受力情况，转矩T1由主动齿轮传给从动齿轮。若忽略齿面间的摩擦力，轮齿间法向力Fn的方向始终沿啮合线。法向力Fn在节点处可分解为两个相互垂直的分力：切于分度圆的圆周力Ft 和沿半径方向的径向力Fr 。 式中：T1-主动齿轮传递的名义转矩（N·mm），，Pl为主动齿轮传递的功率（Kw），n1为主动齿轮的转速（r/min）； d1-主动齿轮分度圆直径（mm）； α-分度圆压力角（o）。 对于角度变位齿轮传动应以节圆直径d`和啮合角α`分别代替式（9.44）中的d1 和α。 作用于主、从动轮上的各对力大小相等、方向相反。从动轮所受的圆周力是驱动力，其方向与从动轮转向相同；主动轮所受的圆周力是阻力，其方向与从动轮转向相反。径向力分别指向各轮中心（外啮合）。 2. 斜齿轮受力分析 图示为斜齿圆柱齿轮受力情况。一般计算，可忽略摩擦力，并将作用于齿面上的分布力用作用于齿宽中点的法向力Fn 代替。法向力Fn 可分解为三个相互垂直的分力，即圆周力Ft 、径向力Fr 及轴向力Fa 。它们之间的关系为
式中：αn-法向压力角（°）； αt-端面压力角；（°） β-分度圆螺旋角（°）； 作用于主、从动轮上的各对力大小相等、方向相反。圆周力Ft 和径向力Fr 方向的判断与直齿轮相同。轴向力Fa 的方向应沿轴线，指向该齿轮的受力齿面。通常用左右手法则判断：对于主动轮，左旋时用左手（右旋时用右手），四指顺着齿轮转动方向握住主动轮轴线，则拇指伸直的方向即为轴向力Fa1 的方向。 2 计算载荷和载荷系数 名义载荷上述所求得的各力是用齿轮传递的名义转矩求得的载荷。 计算载荷由于原动机及工作机的性能、齿轮制造及安装误差、齿轮及其支撑件变形等因素的影响，实际作用于齿轮上的载荷要比名义载荷大。因此，在计算齿轮传动的强度时，用载荷系数K对名义载荷进行修正，名义载荷与载荷系数的乘积称为计算载荷。
例题10-3试设计一减速器中的直齿锥齿轮传动。已知输入功率P=10kw，小齿轮转速n1=960r/min，齿数比u=3.2，由电动机驱动，工作寿命15年（设每年工作300天），两班制，带式输送机工作平稳，转向不变。 [解]1.选定齿轮类型、精度等级、材料及齿数 （1）选用标准直齿锥齿轮齿轮传动，压力角取为20°。 （2）齿轮精度和材料与例题10-1同。 （3）选小齿轮齿数z1=24，大齿轮齿数z2=uz1=3.224=76.8，取z2=77。 2.按齿面接触疲劳强度设计 （1）由式（10-29）试算小齿轮分度圆直径，即 1) =1.3 计算小齿轮传递的转矩。 9.948 选取齿宽系数=0.3。 查得区域系数 查得材料的弹性影响系数。 [] 由图 由式（ ， 由图10-23查取接触疲劳寿命系数 取失效概率为1%，安全系数S=1，由式（10-14）得 取和中的较小者作为该齿轮副的接触疲劳许用应力，即
2）试算小齿轮分度圆直径 (2) 1 3.630m/s ②当量齿轮的齿宽系数 0.342.832mm 2) ①由表查得使用系数 ②根据级精度（降低了一级精度） ④由表 由此，得到实际载荷系数 3)由式（10-12），可得按实际载荷系数算得的分度圆直径为 及相应的齿轮模数 3.按齿根弯曲疲劳强度设计 （1）由式（10-27）试算模数，即
1）确定公式中的各参数值。 ①试选 ②计算 由分锥角 由图 由图 由图查得小齿轮和大齿轮的齿根弯曲疲劳极限分别为 由图取弯曲疲劳寿命系数 ，由式（10-14）得 因为大齿轮的大于小齿轮，所以取 2)试算模数。 =1.840mm
万方数据
第３４卷第１期渐开线圆柱齿轮传动的动载荷系数分析３５ 速时，简化方法确定的动载荷系数偏大；而在高速时，简化方法确定的动载荷系数偏小。为此本文中我们给出了一般方法确定动载荷系数的实用曲线和数据表。 １确定动载荷系数的一般方法 在亚临界区工作的齿轮，其动载荷系数Ｋｙ的表达式为［１］１１８—１１９［２】１１—１２ Ｋｖ＝ＮＫ＋１（１）Ｋ＝ＧｌＢｐ＋Ｇ２ＢＳ＋Ｃ口３Ｂｋ（２）式（１）、式（２）中，Ｇｌ、Ｇ２和Ｇ３分别为考虑齿轮重合度影响的系数；８。、Ｂｊ，和仇分别为考虑齿距偏差、齿形偏差和轮齿修缘影响的系数；Ｎ为临界转速比，对于亚临界区Ⅳ≤０．８５，其表达式为Ⅳ：藉（３）式（３）中，ｍｒｅｄ为齿轮副诱导质量，单位ｋｇ／ｍｍ。对于一般外啮合传动，诱导质量可按下式计算ｍ捌＝詈（等）２—１１（４） （１一ｇ｛）ｌＤｌ。（１一ｑ｛）ｌＤ２“２式（３）中的ｃ，为齿轮的啮合刚度，Ｎ／（ｍｍ?／．ａｎ），其表达式为 门，’门 勺＝（ｏ．７５Ｅ．＋ｏ．２５）半ｃｏｓｐ×１．０５（５） 式（５）中，ｇ’为齿轮柔度的最小值，单位ｍｍ?ｔａｎ，标准齿轮可按下式确定 ｑ’＝０．０４７２３＋（０．１５５５１＋０．２５７９１／ｕ）／磊ｌ（６）上面各式中其他参数的含义及取值详见参考文献［３］９一ｌｌ。 由以上各式可知，齿轮动载荷系数岛与齿轮的齿数ｚｌ、齿数比／／，、小齿轮转速ｎｌ、诱导质量ｍｒｅｄ等参数有关，确定过程复杂，不便于工程应用。为此新国标给出了确定动载荷系数凰的简化方法。 ２确定动载荷系数的简化方法 新国标［３］１４。５和文献［４］给出了用简化方法确定 动载荷系数凰的表达式 Ｋｖ＝［Ａ＋瓜２００ｖ／Ａ］日 ＝［Ａ＋￣／ｊ占（７）Ａ＝１０６—５６Ｂ（８）召＝０．２５（Ｃ一５．Ｏ）ｏ－６６７（９）式（７）．式（９）中，移为齿轮的节线速度，单位ｍ／ｓ；Ｃ为齿轮传动精度系数Ｃ＝６—１２。 根据式（６），新国标给出了岛的线图，如图ｌ所示。 新国标指出，简化方法是基于经验数据，主要考虑齿轮制造误差和节线速度的影响。曲线范围内没有考虑共振的影响，此方法主要适用于缺乏详细资料的初步设计阶段。目前，各种机械设计教材给出的都是这种简化的岛曲线。那么，该简化方法与一般方法确定的动载荷系数差异有多大，我们通过下面的实例计算加以分析。 齿轮节线速度ｖ／（ｍ／ｓ） 图１齿轮动载荷系数岛‘ ３一般方法的动载荷系数计算与分析 ３．１一般方法的动载荷系数计算 为了用一般方法确定动载荷系数的大小，设一对标准正常齿制直齿圆柱齿轮传动，小齿轮的齿数Ｚ－ｌ－２５，模数ｍ＝４．０ｍｍ，小齿轮宽度ｂ１＿６５ｍｍ，大齿轮宽度ｂ２＝６０ｒａｍ，实心式结构（式（３）中ｇｌ＝ｑ２＝０）。两齿轮材料皆为４０Ｍ１１Ｂ（Ｐ１＝Ｐ２＝７．８×１０“ｋｇ／ｍｍ３），热处理为表面淬火，接触疲劳极限盯ｌｉＩｎ＝１０６０ＭＰａ。各级精度齿轮的单个齿距偏差和齿廓总偏差按ＧＢ／Ｔ１００９５．１—２００８确定。 厶＝ｏ．３（％＋ｏ．４“＋４）×２（ｃｒ２－２．５’（ｔａｎ）圪＝（３．２厂磊＋０．２２＾＋ｏ．７）×２（∽－２．５）（／．ａｎ）上式中，ｄ．为齿轮的分度圆直径，ｒ肿。 由（１）式可知，动载荷系数Ｋ。是临界转速比Ⅳ的函数。把式（３）、式（４）代入式（１），并设齿轮分度圆直径约等于平均直径，则有 ｒｅｄ】／７，ｌ玎厶１１１，１，，＾、口。丽丽２丽丽ｔ川，一对材料相同的实心齿轮，式（１）经整理后变为Ｋｖ＝而７．１＂０伽√彘南Ｋ＋ｌ（… 由式（１１）可知，动载荷系数胁是２Ｉｖ／１００的函数。因此，在给定齿轮精度等级的条件下可以绘制出琊的曲线（详见ＧＢ／Ｔ３４８０—１９８３）。但是实际上嘶还与齿数比／３，、单位齿宽载荷杨Ｅ／６（影响式（１１）中的Ｋ）等其他参数有关。对于７级精度的齿轮，取不同齿数比和单位齿宽载荷，计算的动载荷系数Ｋ如图２所示。可见齿数比和单位齿宽载荷对动载荷系数都有较明显的影响。因此，ＧＢ／Ｔ３４８０—１９８３中简化方法确定的动载荷系数的曲线在ＧＢ／Ｔ３４８０一１９９７中被取消 了。如前所述，新国标中简化方法确定动载荷系数的 万方数据
1. 齿轮传动的载荷计算 (1) 直齿圆柱齿轮传动的受力分析 圆周力： 径向力： 法向力： o d1——小齿轮的分度圆直径mm oα——分度圆压力角 o T1——小齿轮传递的名义转矩(N.m) o P1为小齿轮所传递的功率（KW） o n1为小齿轮转速（rpm） 作用在主动轮和从动轮上的力大小相等，方向相反。主动轮上的圆周力是阻力，其方向与它的回转方向相反；从动轮上的圆周力是驱动力，其方向与它的回转方向相同；两轮所受的径向力分别指向各自的轮心。 齿面上的总法向力方向则为啮合点的法向方向，对于渐开线齿廓即为通过啮合点与基圆相切的啮合线方向。 (2) 斜齿圆柱齿轮传动的受力分析
圆周力： 径向力： 轴向力： 法向力： ?αt——端面分度圆压力角； ?αn——法向分度圆压力角； ?β——分度圆螺旋角； ?βt——基圆螺旋角。 (3) 直齿锥齿轮传动的受力分析 法向力Fn集中作用在齿宽节线中点处，则Fn可分解为互相垂直的三个分力。
圆周力： 径向力： 轴向力： dm1——小齿轮齿宽中点分度圆直径mm；δ1——小锥齿轮分度圆锥角 圆周力和径向力的方向判别与直齿圆柱齿轮判别方法相同，轴向力方向分别指向各自的大端。由于锥齿轮传动两轴的空间交角为90°，因此存在以下关系：；。负号表示方向相反。 (4) 齿轮传动的计算载荷 齿轮承受载荷常表现为其传递的力矩或圆周力。由上述力的分析计算所得出的圆周力为齿轮传动的名义圆周力。实际工作中，由于各种因素的影响，齿轮实际承受的圆周力要大于名义圆周力。考虑各种因素的影响，实际圆周力Ftc为： Ftc也称为计算载荷。 1）KA——使用系数。2）KV——动载系数。3) KHα和KFα——齿间载荷分配系数。4) KHβ和KFβ——齿向载荷分布系数。 2. 齿轮传动应力分析 齿轮传动工作过程中，相啮合的轮齿受到法向力Fn的作用，主要产生两种应力：齿面接触应力和齿根弯曲应力。 (1) 齿面接触应力σH 齿轮传动工作中，渐开线齿面理论上为线接触，考虑齿轮的弹性变形，实际上为很小的面接触。在接触面上，产生齿面接触应力。对于相啮合齿轮上的一对特定轮齿，工作齿廓上的各对应接触部位仅仅在接触的瞬间产生接触应力，过此瞬间脱离接触之后，该部位的接触应力随即消失。因此，不论轮齿承受稳定载荷或不稳定载荷，传动运动方式如何，齿面接触应力总是按脉动循环变化的变应力。 齿面接触应力的数值，与载荷大小、接触点的变形、材料性能等因素有关，可按弹性力学理论和轮齿表面的具体情况予以确定；齿面接触应力的变化次数，与齿轮的预期工作寿命及转速等因素有关。 (2) 齿根弯曲应力σF
齿轮传动的计算载荷 songli2010-01-21 14:06 齿轮传动的计算载荷 为了便于分析计算，通常取沿齿面接触线单位长度上所受的载荷进行计算。沿齿面接触线单位长度上的平均载荷p（单 位为N/mm）为 p=Fn/L 式中：Fn——作用于齿面接触线上的法向载荷，N； L——沿齿面的接触线长，mm。 法向载荷Fn为公称载荷，在实际传动中，由于原动机及工作机性能的影响，以及齿轮的制造误差，特别是基节误差和 齿形误差的影响，会使法向载荷增大。此外，在同时啮合的齿 对间，载荷的分配并不是均匀的，即使在一对齿上，载荷也不 可能沿接触线均匀分布。因此在计算齿轮传动的强度时，应按 接触线单位长度上的最大载荷，即计算载荷pca（单位为N/mm） 进行计算。即Pca=Kp=KFn/L
式中，K为载荷系数；Fn、L的意义和单位同前。 计算齿轮强度用的载荷系数K，包括使用系数KA、动载系数Kv、齿间载荷分配系数Kα及齿向载荷分布系数Kβ，即K= KAKvKαKβ （一）使用系数KA 使用系数KA是考虑齿轮啮合时外部因素引起的附加载 荷影响的系数。这种附加载荷取决于原动机和从动机械的特性、质量比、联轴器类型以及运行状态等。KA的实用值应针对设计对象，通过实践确定。表10-2所列的KA值可供参考。
（二）动载系数鬈， 齿轮传动不可避免地会有制造及装配的误差，轮齿受载后还要产生弹性变形。这些误差及变形实际上将使啮合轮齿的法节pb1与ph2不相等（参看图10-6和10-7），因而轮齿就不能正确地啮合传动，瞬时传动比就不是定值，从动齿轮在运转中就会产生角加速度，于是引起了动载荷或冲击。对于直齿轮传动，轮齿在啮合过程中，不论是由双对齿啮合过渡到单对齿啮合，或是由单对齿啮合过渡到双对齿啮合的期间，由于啮合齿对的刚度变化，也要引起动载荷。为了计及动载荷的影响，引入了动载系数KＡ。
直齿圆柱齿轮传动的受力分析和载荷计算 直齿圆柱齿轮传动的受力分析: 图 9-８为一对直齿圆柱齿轮，若略去齿面间的摩擦力，轮齿节点处的法向力F n 可分解为两个互相垂直的分力：切于分度圆上的圆周力F t 和沿半径方向的径向力F r 。 （1）各力的大小 图 9 - ８直齿圆柱齿轮受力分析 圆周力 （９-１） 径向力 （９-２）
法向力 （９-３） 其中转矩 （９-４） 式中：T1 ，T2 是主、从动齿轮传递的名义转矩，N.mm ；d1 ，d2 是主、从动齿轮分度圆直径， mm ；为分度圆压力角；P是额定功率， kW ；n1 ，n2 是主动齿轮、从动轮的转速， r/min 。作用在主动轮和从动轮上的各对应力大小相等，方向相反。即： ，， （2）各力的方向 主动轮圆周力的方向与转动方向相反；从动轮圆周力的方向与转动方向相同；径向力F r 分别指向各自轮心 ( 外啮合齿轮传动 ) 。 9.4.2 计算载荷 前面齿轮力分析中的F n 、F t 和F r 及F a 均是作用在轮齿上的名义载荷。原动机和工作机性能的不同有可能产生振动和冲击；轮齿在啮合过程中会产生动载荷；制造安装误差或受载后轮齿的弹性变形以及轴、轴承、箱体的变形，会使载荷沿接触线分布不均，而同时啮合的各轮齿间载荷分配不均等，因此接触线单位长度的载荷会比由名义载荷计算的大。所以须将名义载荷修正为计算载荷。进行齿轮的强度计算时，按计算载荷进行计算。
（９－４） 计算载荷(９ - ５) 载荷系数 (９- ６) 式中：K是载荷系数；K A 是使用系数；K v 是动载系数； 是 齿向载荷分布系数；是齿间载荷分配系数。 1 ．使用系数K A 使用系数K A 是考虑由于齿轮外部因素引起附加动载荷影响的系数。其取决于原动机和工作机的工作特性、轴和联轴器系统的质量和刚度以及运行状态。其值可按表 9 - ３选取。 表 9-３使用系数K A 工作 机的 工作 特性 工作机器 原动机的工作特性及其示例电动 机、均 匀运转 的蒸气 机、燃 气轮机 （小 的，启 蒸气 机、燃 气轮机 液压装 置电动 机（经 常启动 启动转 多 缸 内 燃 机 单缸 内燃 机
1. 选定齿轮类型、精度等级、材料级齿数 1）选用直齿圆柱齿轮齿条传动。 2）速度不高，故选用 7 级精度（ GB10095-88）。 3）材料选择。由表 10-1 选择小齿轮材料为 40Cr(调质 )，硬度为 280HBS ，齿条 材料为 45 钢（调质）硬度为 240HBS 。 4）选小齿轮齿数 Z 1 =24，大齿轮齿数 Z 2 = ∞。 2. 按齿面接触强度设计 由设计计算公式进行计算，即 3 K t T 1 u + 1 Z E d 1t ≥ 2.32 √ ?( ) 2 φd u [ σ ] H (1) 确定公式内的各计算数值 1）试选载荷系数 K t =1.3。 2）计算小齿轮传递的转矩。 （预设齿轮模数 m=8mm,直径 d=160mm ） T 1 = 95.5 ×105 P 1 = 95.5 ×105 ×0.2424 n 1 7.96 = 2.908 ×105 N ?mm 3) 由表 10-7 选齿宽系数 φ = 0.5。 d 1 4）由表 10-6 查得材料的弹性影响系数 Z E = 189.8MPa 2 。 5）由图 10-21d 按齿面硬度查得小齿轮的接触疲劳强度极限 σ = 600MPa;齿 Hlim1 条的接触疲劳强度极限 σ = 550MPa 。 Hlim2 6）由式 10-13 计算应力循环次数。 N 1 = 60n 1 jL h = 60 × ( 2× 0.08× 200 × ) = × 4 7.96 ×1 × 4 6.113 10 7)由图 10-19 取接触疲劳寿命系数 K HN1 = 1.7。 8）计算接触疲劳许用应力。 取失效概率为 1%，安全系数 S=1，由式（ 10-12）得 [ σH ] 1 = K HN1 σHlim1 ×600MPa = 1020MPa = 1.7 S (2) 计算 1）试算小齿轮分度圆直径 d ,代入 [σ ] 。 t1 H 1
§8-5 标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算 一．齿轮传动承载能力计算依据 轮辐、轮缘、轮毂等设计时，由经验公式确定尺寸。若设计新齿，可参《工程手册》20、22篇，用有限元法进行设计。 轮齿的强度计算： 1．齿根弯曲强度计算：应用材料力学弯曲强度公式W M b = σ进行计算。数学模型：将轮齿看成悬臂梁，对齿根进行计算，针对齿根折断失效。
险截面上，γcos ca p --产生剪应力τ，γsin ca p 产生压应力σc ，γcos .h p M ca =产生弯曲应力σF 。分析表明，σF 起主要作用，若只用σF 计算齿根弯曲疲劳强度，误差很小（<5%），在工程计算允许范围内，所以危险剖面上只考虑σF 。 单位齿宽（b=1）时齿根危险截面的理论弯曲应力为 2 20cos .66 *1cos .S h p S h p W M ca ca F γγσ=== 令α cos ,,b KF L KF p m K S m K h t n ca S h = ===，代入上式，得 ()αγαγσcos cos 6.cos cos ..622 0S h t S h t F K K bm KF m K b m K KF == 令 αγc o s c o s 62 S h Fa K K Y = Fa Y --齿形系数，表示齿轮齿形对σF 的影响。Fa Y 的大小只与轮齿形状有关（z 、h *a 、c *、
α）而与模数无关，其值查表10-5。 齿根危险截面理论弯曲应力为 bm Y KF Fa t F = 0σ 实际计算时，应计入载荷系数及齿根危险剖面处的齿根过渡曲线引起的应力集中的影响。 bm Y Y KF Sa Fa t F = σ 式中：Sa Y --考虑齿根过渡曲线引起的应力集中系数，其影响因素同Fa Y ，其值可查表10-5。 2．齿根弯曲疲劳强度计算 校核公式 []F Fa Sa Sa Fa t F Y Y bmd KT bm Y Y KF σσ≤== 1 1 2 MPa 令1 d b d = φ，d φ--齿宽系数。 将111,mz d d b d ==φ代入上式 设计公式 [])(.23 211mm Y Y z KT m F Sa Fa d σφ≥
1. 齿面接触疲劳强度的计算 齿面接触疲劳强度的计算中，由于赫兹应力是齿面间应力的主要指标，故把赫兹应力作为齿面接触应力的计算基础，并用来评价接触强度。齿面接触疲劳强度核算时，根据设计要求可以选择不同的计算公式。用于总体设计和非重要齿轮计算时，可采用简化计算方法；重要齿轮校核时可采用精确计算方法。 分析计算表明，大、小齿轮的接触应力总是相等的。齿面最大接触应力一般出现在小轮单对齿啮合区内界点、节点和大轮单对齿啮合区内界点三个特征点之一。实际使用和实验也证明了这一规律的正确。因此，在齿面接触疲劳强度的计算中，常采用节点的接触应力分析齿轮的接触强度。强度条件为：大、小齿轮在节点处的计算接触应力均不大于其相应的许用接触应力，即： ⑴圆柱齿轮的接触疲劳强度计算 1）两圆柱体接触时的接触应力 在载荷作用下，两曲面零件表面理论上为线接触或点接触，考虑到弹性变形，实际为很小的面接触。两圆柱体接触时的接触面尺寸和接触应力可按赫兹公式计算。 两圆柱体接触，接触面为矩形（2axb），最大接触应力σHmax位于接触面宽中线处。计算公式为： 接触面半宽:
最大接触应力: ?F——接触面所受到的载荷
?ρ——综合曲率半径，（正号用于外接触，负号用于内接触） ?E1、E2——两接触体材料的弹性模量 ?μ1、μ2——两接触体材料的泊松比 2）齿轮啮合时的接触应力 两渐开线圆柱齿轮在任意一处啮合点时接触应力状况，都可以转化为以啮合点处的曲率半径ρ1、ρ2为半径的两圆柱体的接触应力。在整个啮合过程中的最大接触应力即为各啮合点接触应力的最大值。节点附近处的ρ虽然不是最小值，但节点处一般只有一对轮齿啮合，点蚀也往往先在节点附近的齿根表面出现，因此，接触疲劳强度计算通常以节点为最大接触应力计算点。 参数直齿圆柱齿轮斜齿圆柱齿轮 节点处的载荷为
齿轮齿条传动设计计算 Revised as of 23 November 2020
1. 选定齿轮类型、精度等级、材料级齿数 1） 选用直齿圆柱齿轮齿条传动。 2） 速度不高，故选用7级精度（GB10095-88）。 3） 材料选择。由表10-1选择小齿轮材料为40Cr(调质)，硬度为280HBS ，齿条材料 为45钢（调质）硬度为240HBS 。 4） 选小齿轮齿数Z 1=24，大齿轮齿数Z 2=∞。 2. 按齿面接触强度设计 由设计计算公式进行计算，即 d 1t ≥2.32√K t T 1d u +1(Z E [H ])23 (1) 确定公式内的各计算数值 1） 试选载荷系数K t =。 2） 计算小齿轮传递的转矩。（预设齿轮模数m=8mm,直径d=160mm ） T 1=95.5×105P 1n 1=95.5×105×0.24247.96 =2.908×105N?mm 3) 由表10-7选齿宽系数φd =0.5。 4）由表10-6查得材料的弹性影响系数Z E =189.8MPa 12 。 5）由图10-21d 按齿面硬度查得小齿轮的接触疲劳强度极限σHlim1=600MPa ;齿条的接触疲劳强度极限σHlim2=550MPa 。 6）由式10-13计算应力循环次数。 N 1=60n 1jL h =60×7.96×1×(2×0.08×200×4)=6.113×104 7)由图10-19取接触疲劳寿命系数K HN1=1.7。 8）计算接触疲劳许用应力。 取失效概率为1%，安全系数S=1，由式（10-12）得 [σH ]1=K HN1σHlim1S =1.7×600MPa =1020MPa
1 轮齿的受力分析 1. 直齿圆柱齿轮受力分析 图为直齿圆柱齿轮受力情况，转矩T1由主动齿轮传给从动齿轮。若忽略齿面间的摩擦力，轮齿间法向力Fn的方向始终沿啮合线。法向力Fn在节点处可分解为两个相互垂直的分力：切于分度圆的圆周力Ft 和沿半径方向的径向力Fr 。 式中：T1-主动齿轮传递的名义转矩（N·mm），，Pl为主动齿轮传递的功率（Kw），n1为主动齿轮的转速（r/min）； d1-主动齿轮分度圆直径（mm）； α-分度圆压力角（o）。 对于角度变位齿轮传动应以节圆直径d`和啮合角α`分别代替式（9.44）中的d1 和α。 作用于主、从动轮上的各对力大小相等、方向相反。从动轮所受的圆周力是驱动力，其方向与从动轮转向相同；主动轮所受的圆周力是阻力，其方向与从动轮转向相反。径向力分别指
向各轮中心（外啮合）。 2. 斜齿轮受力分析 图示为斜齿圆柱齿轮受力情况。一般计算，可忽略摩擦力，并将作用于齿面上的分布力用作用于齿宽中点的法向力Fn 代替。法向力Fn 可分解为三个相互垂直的分力，即圆周力Ft 、径向力Fr 及轴向力Fa 。它们之间的关系为 式中：αn-法向压力角（°）； αt-端面压力角；（°） β-分度圆螺旋角（°）；
作用于主、从动轮上的各对力大小相等、方向相反。圆周力Ft 和径向力Fr 方向的判断与直齿轮相同。轴向力Fa 的方向应沿轴线，指向该齿轮的受力齿面。通常用左右手法则判断：对于主动轮，左旋时用左手（右旋时用右手），四指顺着齿轮转动方向握住主动轮轴线，则拇指伸直的方向即为轴向力Fa1 的方向。 2 计算载荷和载荷系数 名义载荷上述所求得的各力是用齿轮传递的名义转矩求得的载荷。 计算载荷由于原动机及工作机的性能、齿轮制造及安装误差、齿轮及其支撑件变形等因素的影响，实际作用于齿轮上的载荷要比名义载荷大。因此，在计算齿轮传动的强度时，用载荷系数K对名义载荷进行修正，名义载荷与载荷系数的乘积称为计算载荷。 法向计算载荷Fnc 为： 式中：K -载荷系数 KA-使用系数
题10-6 图示为二级斜齿圆柱齿轮减速器,第一级斜齿轮的螺旋角1β的旋向已给出。 （1）为使Ⅱ轴轴承所受轴向力较小,试确定第二级斜齿轮螺旋角β的旋向,并画出各轮轴向力 、径向力及圆周力的方向。 （2） 若已知第一级齿轮的参数为:Z 1=19,Z 2=85,m n =5mm,020=n α,a=265mm, 轮1的传动功率P=,n 1=275 r/min 。试求轮1上所受各力的大小。 解答: 1．各力方向：见题解10-6图。 2．各力的大小：m N 045.217m N 27525.6 955095501 11?=??= ?= n P T 148.11,9811.0265 2) 8519(52)(cos 211==?+?=+= ββa z z n m ； mm 83.96cos 1 1==βz n m d ； N 883tan ,N 1663cos tan ,N 448320********* 1 1====== ββαt a t r t F F n F F d T F ； 题10-7 图示为直齿圆锥齿轮-斜齿圆柱齿轮减速器,为使Ⅱ轴上的轴向力抵消一部分,试确定一对斜齿圆柱齿轮螺旋线的方向;并画出各齿轮轴向力、径向力及圆周力的方向。 解答：齿轮3为右旋，齿轮4为左旋; 力的方向见题解10-7图。 题解10-6图 题10-6图
题10-9 设计一冶金机械上用的电动机驱动的闭式斜齿圆柱齿轮传动, 已知:P = 15 kW,n 1 =730 r/min,n 2 =130 r/min,齿轮按8级精度加工,载荷有严重冲击,工作时间t =10000h,齿轮相对于轴承为非对称布置,但轴的刚度较大,设备可靠度要求较高,体积要求较小。（建议两轮材料都选用硬齿面） 解题分析：选材料→确定许用应力→硬齿面，按轮齿的弯曲疲劳强度确定齿轮的模数→确定齿轮的参数和几何尺寸→校核齿轮的接触疲劳强度→校核齿轮的圆周速度 解答:根据题意,该对齿轮应该选用硬齿面,其失效形式以轮齿弯曲疲劳折断为主。 1. 选材料 大、小齿轮均选用20CrMnTi 钢渗碳淬火（[1]表11-2），硬度为56～62HRC ，由[1]图 11-12 和[1]图11-13查得：MPa 1500,MPa 430lim lim ==H F σσ 2.按轮齿弯曲疲劳强度进行设计 （1）确定FP σ 按[1]式（11-7 P227）计算，取6.1,2min ==F ST S Y ；齿轮的循环次数： 8111038.41000017306060?=???==at n N ,取11=N Y ,则: 538MPa MPa 16 .124301m in lim 1=??== N F ST F FP Y S Y σσ （2）计算小齿轮的名义转矩T 1
齿面接触线上的法向载荷n F 为名公称载荷（未计及载荷波动，载荷沿齿宽方向的不均匀性和轮齿齿廓曲线误差等），则沿齿面接触线单位长度上的计算载荷为： L FK P n a =c 其中载荷系数 αK K K K K V A = 1. 使用系数A K 考虑了轮齿啮合时，外部因素引起的附加动载荷对传动的影响。它与原动机与工作机的类型与特征。联轴器类型有关。 2. 动载荷系数V K 考虑齿轮制造误差，装配误差及弹性变形等内部因素引起的附加动载荷的影响。 （1） 影响因素有如下两点： $ 轮齿的制作精度21b b P ≠P $ 圆周速度v (2) 减小v K 措施有如下三点： $ 提高轮齿制造安装精度。 $ 减小v(即减小齿轮直径d)。 $ 齿顶修缘。 @修缘要适当，过大则重合度下降过大。一般高速齿轮和硬齿面齿轮应进行修缘，但修缘量与修缘的曲线曲线确定则比较复杂。
3．齿向载荷分布系数β K 考虑轴的弯曲扭转变形及制造和装配误差而引起的沿齿宽方向载荷分布不均匀的影响。 （1） 影响因素有如下四点： #支承情况：对称布置，βK 小；非对称布置，β K 较大；悬臂布置，β K 大。 #齿轮宽度b ：b 越大，载荷分布越不均匀，β K 越大。 #齿面硬度：硬度越高，越容易偏载，而齿面较软时可以变形退让。 # 制造安装精度：精度越高，K 越小。 （2） 减小β K 措施有如下四点： #提高制造安装精度。 #提高支承刚度，尽量避免悬臂布置。 #采用鼓形齿。 #螺旋角修形，即沿小齿轮齿宽进行修形，以补偿由于轴的弯曲和扭转变形引起的啮合线位置的改变。 （3） βK 有如下两种： #β H K ：用于齿面接触疲劳强度计算，与精度等级，齿面硬度， 支承布置有关，d φ为齿宽系数，d b d =φ #βF K ：用于齿根弯曲疲劳强度计算，按β H K 和h b 的比值选取。b 为齿宽，h 为齿高。 4、齿间载荷分配系数α K
齿轮传动设计计算 试设计如图所示带式输送机用二级圆柱齿轮减速器中的斜齿圆柱齿轮传动。已知电动机的型号为Y132M-4（额定功率P ＝7.5kW ，满载转速n 1＝1 440 r/min ），高速级齿数比u h ＝5.2，低速级齿数比u l ＝3.7，单向传动，工作机载荷有轻微冲击，每天工作15小时，预期使用寿命10年。 [解] Ⅰ、高速级齿轮传动设计 1．选择齿轮材料、热处理、精度等级及齿数 （1）运输机为一般工作机器，高速级齿轮选择常用材料及热处理，7级精度。 （2）小齿轮：40Cr （调质），齿面硬度280HBS ；大齿轮：45钢（调质），齿面硬度240HBS 。硬度相差40HBS 。 （3）选择小齿轮齿数z 1＝31，大齿轮齿数z 2＝uz 1＝5.2×31＝161.2，可取z 2＝161，（传动比误差＜0.124﹪）。 （4）选取螺旋角，初取β＝14°。 （5）当量齿数：z v1＝z 1/cos 3β ＝31/cos 314°＝33.9，z v2＝z 2/cos 3β ＝161/cos 314°＝176.2 2．按齿面接触疲劳强度设计 式（8-18） 32 H β H E αd 11 ][12??? ? ??±?≥σZ Z Z u u εKT d φ 1）确定计算参数 （1）试选载荷系数K t ＝1.9 （2）计算小齿轮传递的转矩T 1 mm N 10974.41440 5.71055.91055.9461161 ??=??=?=n P T （3）由表8-12，选取齿宽系数φ d ＝1.0 （4）由表8-9，查得弹性系数Z E ＝189.8MPa （5）由图8-19，查得节点区域系数Z H ＝2.43 1—电动机，2—高速级联轴器，3—减速器，4—高速级齿轮传动，5—低速级齿轮传动，6—低速级联轴器，7—输送机滚筒 带式输送机传动简图
阿基米德蜗杆Archimedes worm 安全系数safety factor; factor of safety 安全载荷safe load 变形deformation 摆线齿轮cycloidal gear 摆线齿形cycloidal tooth profile 背锥角back angle 背锥距back cone distance 比例尺scale 变速speed change 变速齿轮change gear ; change wheel 变位齿轮modified gear 变位系数modification coefficient 标准齿轮standard gear 标准直齿轮standard spur gear 表面粗糙度surface roughness 不完全齿轮机构intermittent gearing 补偿compensation 参数化设计parameterization design, PD 残余应力residual stress 操纵及控制装置operation control device 槽数Geneva numerate 侧隙backlash 差动轮系differential gear train 差动螺旋机构differential screw mechanism 差速器differential 常用机构conventional mechanism; mechanism in common use 承载量系数bearing capacity factor 承载能力bearing capacity 成对安装paired mounting 尺寸系列dimension series 齿槽tooth space 齿槽宽spacewidth 齿侧间隙backlash 齿顶高addendum 齿顶圆addendum circle 齿根高dedendum 齿根圆dedendum circle 齿厚tooth thickness 齿距circular pitch 齿宽face width 齿廓tooth profile 齿廓曲线tooth curve 齿轮gear 齿轮变速箱speed-changing gear boxes 齿轮齿条机构pinion and rack 齿轮插刀pinion cutter; pinion-shaped shaper cutter 齿轮滚刀hob ,hobbing cutter 齿轮机构gear 齿轮轮坯blank 齿轮传动系pinion unit 齿轮联轴器gear coupling 齿条传动rack gear 齿数tooth number 齿数比gear ratio 齿条rack 齿条插刀rack cutter; rack-shaped shaper cutter 齿形链、无声链silent chain 齿形系数form factor 齿式棘轮机构tooth ratchet mechanism 插齿机gear shaper 重合点coincident points 重合度contact ratio 传动比transmission ratio, speed ratio 传动装置gearing; transmission gear 传动系统driven system 传动角transmission angle 传动轴transmission shaft 创新设计creation design 垂直载荷、法向载荷normal load 从动带轮driven pulley 从动件driven link, follower 从动件平底宽度width of flat-face 从动件停歇follower dwell 从动件运动规律follower motion 从动轮driven gear
齿轮传动的计算载荷 为了便于分析计算，通常取沿齿面接触线单位长度上所受的载荷进行计算。沿齿面接触线单位长度上的平均载荷p(单位为 N/mm)为 式中：Fn--作用于齿面接触线上的法向载荷，N；L --沿齿面的接触线长，mm。 法向载荷Fn为公称载荷，在实际传动中，由于原动机及工作机性能的影响，以及齿轮的制造误差，特别是基节误差和齿形误差的影响，会使法向载荷增大。此外，在同时啮合的齿对间，载荷的分配并不是均匀的，即使在一对齿上，载荷也不可能沿接触线均匀分布。因此在计算齿轮传动强度时，应按接触线单位长度上的最大载荷，即计算载荷pca(单位为N/mm)进行计算。即 式中K为载荷系数。 计算齿轮强度用的载荷系数K，包括使用系数KA,动载系数Kv,齿间载荷分配系数Kα及齿向载荷分布系数Kβ,即 KA--使用系数
的啮合传动，瞬时传动比就不是定值，从动齿轮在运转中就会产生角加速度，于是引起了动载荷或冲击。对于直齿轮传动，轮齿在啮合过程中，不论是由双对齿啮合过渡到单对齿啮合，或是由单对齿啮合过渡到双对齿啮合的期间，由于啮合齿对的刚度变化，也要引起动载荷。为了计及动载荷的影响，引入了动载系数Kv。 齿轮的制造精度及圆周速度对轮齿啮合过程中产生动载荷的大小影响很大。提高制造精度，减小齿轮直径以降低圆周速度，均可减小动载荷。 为了减小动载荷，可将轮齿进行齿顶修缘，即把齿顶的小部分齿廓曲线（分度圆压力角α=20°的渐开线）修正成α>20°的渐开线。如图1所示，因Pb2>Pb1,则后一对轮齿在未进入啮合区时就开始接触，从而产生动载荷。为此将从动轮2进行齿顶修缘，图中从动轮2的虚线齿廓即为修缘后的齿廓，实线齿廓则为未经修缘的齿廓。由图明显地看出，修缘后的轮齿齿顶处的法节P'b2Pb1时，对修缘了的轮齿，在开始啮合阶段(如图1)，相啮合的轮齿的法节差就小一些，啮合时产生的动载荷也就小一些。
11-4直齿圆柱齿轮传动的作用力及计算载荷： 一、齿轮上的作用力： 为了计算齿轮的强度，设计轴和选用轴承，有必要分析轮齿上的作用力。 当不计齿面的摩擦力时，作用在主动轮齿上的总压力将垂直于齿面，（因为齿轮传动一般都加以润滑，齿轮在齿啮合时，摩擦系数很小，齿面所受的摩擦力相对载荷很小，所以不必考虑），即为P175图11-5b所示的Fn（沿其啮合线方向），Fn可分解为两个分力： 圆周力：Ft=2T1/d1 N 径向力：Fr=Fttgα N 而法向力：Fn=Ft/cosα N T1：小齿轮上的扭矩 T1=9550000p/n1 n·mm P：传递的功率（KW） d1：小齿轮分度圆直径 mm α：压力角 n1：小齿轮的转速(r·p·m) Ft1：与主动轮运动方向相反；Ft2与从动轮运动方向一致。 各力的方向 Fr：分别由作用点指向各轮轮心。 Fn：通过节点与基圆相切（由法切互为性质）。 根据作用力与反作用力的关系，主从动轮上各对的应力应大小相等，方向相反。 二、计算载荷： Fn是根据名义功率求得的法向力，称为名义载荷，理论上Fn沿齿宽均匀分布，但由于轴和轴承的变形，传动装置的制造安装误差等原因，载荷沿齿宽的分布并不均匀，即出现载荷集中现象（如P176图11-6所示，齿轮相对轴承不对称布置，由于轴的弯曲变形，齿轮将相互倾斜，这时，轮齿左端载荷增大，轴和轴承刚度越小，b越宽，载荷集中越严重。此外，由于各种原动机和工作机的特性不同，齿轮制造误差以及轮齿变形等原因，还会引起附加动载荷。精度越低，圆周速度V越大，附加载荷越大。因此在计算强度时，通常以计算载荷K·Fn 代替名义载荷Fn，以考虑上两因素的影响。 K—载荷系数表达式11-3 11-5 直齿圆柱齿轮的齿面接触强度计算： 一、设计准则： 齿轮强度计算是根据齿轮失效形式来决定的，在闭式传动中，轮齿的失效形式主要是齿面点蚀，开式传动中，是齿轮折断，在高速变截的齿轮传动中，还会出现胶合破坏，因胶合破坏的计算方法有待进一步验证和完善。故一般对： 闭式传动HB ≤350的软齿面，易点蚀，按齿面接触强度设计，按齿根弯曲强度校核。 HB>350的硬齿面，易折断，按齿根弯曲强度设计，按齿面接触强度校核。 开式传动——易磨损，折断，按齿根弯曲强度计算。 基本式ζH≤[ζH]。 二、接触应力ζ H：（不等式左端）。 1、闭式传动的主要失效形式是齿面疲劳点蚀，因此需要进行齿面接触疲劳强度计算，齿面疲劳点蚀与齿面接触应力的大小有关，而齿面的最大接触应力可近似地用公式（式9-9）计算。 2、应用于齿轮的接触强度计算： （1）根据失效形式进行反失效的设计。实践表明，在节线偏下（齿根部分节线
例题10-3 试设计一减速器中的直齿锥齿轮传动。已知输入功率P=10kw，小齿轮转速n1=960r/min，齿数比u=3.2，由电动机驱动，工作寿命15年（设每年工作300天），两班制，带式输送机工作平稳，转向不变。 [解] 1.选定齿轮类型、精度等级、材料及齿数 （1）选用标准直齿锥齿轮齿轮传动，压力角取为20°。 （2）齿轮精度和材料与例题10-1同。 （3）选小齿轮齿数z1=24，大齿轮齿数z2=uz1=3.224=76.8，取z2=77。 2.按齿面接触疲劳强度设计 （1）由式（10-29）试算小齿轮分度圆直径，即 1)确定公式中的各参数值。 ①试选=1.3。 ②计算小齿轮传递的转矩。 9.948 ③选取齿宽系数=0.3。 ④由图10-20查得区域系数 ⑤由表10-5查得材料的弹性影响系数。 ⑥计算接触疲劳许用应力[]。 由图10-25d查得小齿轮和大齿轮的接触疲劳极限分别为 由式（10-15）计算应力循环次数： ， 由图10-23查取接触疲劳寿命系数 取失效概率为1%，安全系数S=1，由式（10-14）得
取和中的较小者作为该齿轮副的接触疲劳许用应力，即 2）试算小齿轮分度圆直径 (2)调整小齿轮分度圆直径 1）计算实际载荷系数前的数据准备。 ①圆周速度 3.630m/s ②当量齿轮的齿宽系数 0.342.832mm 2)计算实际载荷系数。 ①由表10-2查得使用系数 ②根据Vm=3.630m/s、8级精度（降低了一级精度），由图10-8查得动载系数Kv=1.173。 ③直齿锥齿轮精度较低，取齿间载荷分配系数 ④由表10-4用插值法查得7级精度、小齿轮悬臂时，得齿向载荷分布系数 由此，得到实际载荷系数