高中数学听课记录:函数的单调性
一、实例导入课题：
日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降,上下楼梯也是一样。（板书课题：函数的单调性）
二、推出新课：
（一）、函数的单调性：
1、观察非典时期每日新增病例的变化统计图，对函数的单调性有感性的认识。
2、学生思考一次函数y=kx+b中，当k>0时，y的值随x的值的变化情况。
总结该函数图像中点的坐标规律。
3、单调增（减）函数的定义：
一般地，设函数的定义域为I，区间A I，如果对于区间A内的任意两个值，当时都有，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。
（让学生思考交流之后，说出增、减函数定义中的关键词）
（二）、单调函数、单调区间的概念：（教师板书，引导学生理解。）
（三）、函数单调性的判断与证明
1、讲解例1：画出的图像，判断它的单调性，并加以证明。
分析：画出图形，让学生归纳，并利用定义证明，教师板书。
例题中的注意点：（1）、解题格式；（2）、防止循环论证；（3）、作差同“0”比较。2、师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤：
（1）、取值；（2）、作差与变形；（3）、判断；（4）、结论。
3、讲解例2：求证：函数在区间上是单调增函数。
（学生小组讨论，集体思考证明过程，请完成的小组上黑板板演，其他小
组分析纠错，教师做好点拨。）
三、课堂练习：1、P39页1、2、3题。
四、课堂小结：（学生总结知识点，教师补充。）
五、布置作业：1、P39页2、4、5题。
评价与建议
1、教学环节设计合理，思路清晰。
2、对概念的讲解很细致，教学作用点找的很好。
3、讲解、合作讨论、学生板演、核心指导相结合，防止学生疲劳而影响课堂效果。
4、教学中善于表扬学生、鼓励学生。
5、教学中要更多地深入学生之中，关注学生的实际学习情况，提高课堂效率。
6、这节课的知识比较抽象，学生能搞懂基本概念的来龙去脉，但更重要的是引导学生从具体实例抽象出数学概念的过程，在运用中逐步理解概念的本质需要加强。
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函数的单调性 【教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】计算机、投影仪． 【教学过程】教学基本流程
一、创设情境，引入课题 课前布置任务： (1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. (2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况. 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事. 下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低 .
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ 预案：(1)函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内 y随x的增大而减小． (2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小． (3)函数在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小． 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质． 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
篇一：高中数学课评课要领及评课范文 高中数学课评课要领及评课范文 课堂教学是学校教学的基本形式。如何评价一堂课的优劣是教育工作者研究的重要课题。那么如何评价数学课呢？这里我从五个方面来讲： （一）教学目标 教学目标是整个课堂教学过程的一个纲，是数学评课首先要考虑的因素。教学目标确定的好不好，一要看目标是否明确，能不能兼顾能力培养、思想与道德教育等方面的内容；二要看广度、深度是否符合数学课程标准和教材的要求，是否符合学生实际；三要看是否简明扼要、具体，便于实施，便于检测，四要看教学中是否达到了教学目标。 （二）教学内容 教学内容规定着教什么和学什么的问题，恰当地选择和处理教学内容是实现教学目标的重要保证，也是数学评课要考虑的重要因素之一。教学内容处理是否得当，首先要看执教者能否明确教学内容在整个教材系统中的地位和作用，内容是否具有科学性、思想性、教育性，有无知识性和原则性错误；其次，要看教学内容是否围绕目标、反映目标，执教者能否分清主次，准确地确定重点、难点、关键点，处理好新旧知识的结合点，抓住知识的生长点，讲授具有启发性、层次详略得当；三要看执教者能否处理好数学知识结构与学生认知结构的关系，按由易到难的顺序安排教学内容，注重思维训练与思维能力的培养。四要看执教者能否挖掘教材中的德育因素，做到既教书又育人。 （三）教学方法 教学方法是实现教学目标，体现教学内容的手段，教学方法包括教法和学发两部分。教学方法运用的是否得当，主要看能否充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，能否最大限度地提高课堂的教学效率。因此，教学方法也是数学评课要考虑的重要因素之一。教学方法是否得当合适，可从以下几个方面入手：首先要看是否体现启发式教学原则和对学生进行学法指导。使学生积极思维、主动学习、自主学习，从而达到会学的目的。其次看数学基础知识的掌握与基本技能训练的情况，是否让学生参与尝试、猜想、试验、探索与发展的过程，培养学生良好的思维习惯与思维品质。评课时不仅要重视学生对结论的掌握情况，还要看教师如何引导学生揭示教学知识的本质，掌握数学知识和方法的内部规律。学生是否在原有知识的基础上，在暴露知识发生的过程中，明确结论是在什么条件下产生的，是怎样产生的，它与相关的数学知识有何联系与区别，它应用于什么范围等，从而把评课评到点子上。第三，看课堂结构设计是否合理，讲练时间安排是否得当。数学课堂教学的一个显著特点是适时组织课堂强化训练。听评时，要从训练题的编排、训练形式、反馈评价方式等方面进行重点关注。 （四）教学基本功 教学基本功是教师在数学课堂教学过程中的语言、板书、教态、教具演示、教育机智等方面的基本能力，也是数学评课要考虑的重要因素之一。教学基本功可抓住以下几点进行关注：一是教态自然、亲切、评议清晰、简练、生动、富有启发性，板书设计合理；二是有组织教学，驾驭课堂的技能；三是教具或现代化教学设备使用适时；四是具备较强的解题能力，做到思维清晰，书写格式规范，方法合理。 （五）教学效果 衡量教学效果，首先要看是否在规定的时间内完成了教学任务，是否在知识的传授、能力的培养、思想与道德教育等方面都实现恶劣目标要求；其次是看学生的表现，看学生的注意力是否集中，看他们的学习是否积极主动，能否对一堂新授课归纳主要内容，进行独立的课堂小结并对自己的学习情况进行准确的自我评价等。 数学课评课范文 数学教学是数学活动的教学，美国教育学家杜威早就提出：“让学生从做中学。”这种教学理念反映在数学教学上就是“做数学”，“做数学”就是要用一种亲身体验的数学学习方式来有效地回避那种“灌输式”的数学学习。它强调学生学习数学是一个现实的体验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性。因为“听过会忘记，看过能记
复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log （4x-x 2）的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________； （2）函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ） （A ）)(1 x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2 1x f y = （D ）2 )]([x f y =
7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ） （A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1 2+- =x y （D ）x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2] 21.函数y= 在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2 )的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。 分析如下： 令u=x 2-ax+3a ，y= u 。 因为y= u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。
高中数学听课评课总结 在学校领导的关心下，在教务处的具体指导下，本组教师群策群力，团结进取，在教学教研方面做得了一些成绩，主要有以下几个方面： 本期加大了教学督查的力度。教研组内先后听了，魏丽芳，黄双妹、李哲3位老师的课，针对教育教学中存在的问题，教研组内进行了交流，有效的促进了他们对教育教学的研究以及角色的转变，保证了教学的有效推进。对提高教学质量取得了较好的效果。授课老师通过展示课件、授课技巧，注重相关知识与高考的链接，听后有不少的收获。我们组织评课活动，会上，各位老师各抒己见，指出了授课老师主要优点，并与授课老师交换了意见。阐述教学设计的理念，真诚地提出自己的见解。公开课对教师是一次良好的锻炼机会，也是学习别人的绝佳时机。通过听课，能够及时发现自己的不足之处，提高自己的教学水平，公开课的最大亮点是能够学习别人的先进理念，互帮互助，共同进步。经常利用多媒体教学，对提高教育教学质量起到促进作用，最后，教研组长对公开课中教师的教学设计、班级信息技术的运用、师生互动等方面作了分析，并且针对公开课出现的几个问题提出了改进建议，提出了新的希望。 区级研讨课在我校举行。魏丽芳老师在高三6班举行鲤城区区级研讨课活动，椭圆的应用复习，得到全体参加的数
学教师一致好评，他对多媒体运用熟练、恰当，学生踊跃发言，整节课学习情势高，体现教师较强教学基本功，及引导学生自主学习的能力，老师一题多解，一题多变，利用树壮图展示知识间关系，教学效果明显。 李哲向量的运算，双妹直线方程复习三角公式推导课都给每位教师留下深刻印象，他们认真负责，认真备课，上课，主动请教老教师研讨公开课内容，让听课教师受益。 针对公开课存在问题，我们认真落实常规教学教研。数学组全体老师都能认真深入钻研业务，不断学习新的知识，努力提高教育、教学水平，以课堂教学改革为切入点，以促进学生自主学习为主攻方向，提高了课堂效益。为了能充分挖掘各人的潜能，发挥集体的力量和智慧，我们很注重集体备课，各年段每周至少有两次集体备课时间，并做到有内容和中心发言人，在集中之前，大家必须先钻研教材内容，然后就教材的内容对教学设计、教学的重难点如何去突破、对如何把握例题讲解的深浅程度、习题的选用等等发表个的见解和意见，大家一起学习、研究，取长补短。平时大家经常互相听课，同备课组的老师经常互相推荐自己经过学习后觉得很有收益的教研论文，大家一起共同学习，研究，最终达到共同提高的目的。 全组教师工作十分认真，积极钻研教材，研究教法，在学校教学常规检查中，数学组整体情况良好，多次受到学校
《函数的单调性》一教学反思 余姚第七中学康秀华 《函数的单调性》是必修1第一?章“集合与函数概念”中“函数的基本性质”第一节内容。是一节典型的概念新授课，经常作为公开课时选用课题。 教学已有五年，函数的单调性这节课也已经上过两次，去年在“青年教师比武”中还作为说课内容，当时题FI是自定的，我凭感觉选择了这个课题，但是由于准备不够充分，最后也没有什么作为，今年，学校组织优质课评比，我乂赶上这个进度，理所当然选择了《函数的单调性》作为上课内容。 回忆汽时的准备过程，我翻开教材，教材先由学生熟悉的一次函数和二次函数的图像去引导学生观察这两个函数的单调性，然后从y的数值随x的数值变化的情况，引出单调递增（减）的定义，得出定义后，完成概念部分，顺理成章讲解例题。是一?堂典型的概念课。可是，这个内容我并不陌生，何况还有去年的失败经历，我感觉就这样上一定算不上什么优质课。 于是，我在百度里输入“函数的单调性”想看看别的老师是怎么上这节课的, 铺天盖地的课件展示在我的面前，打开又关闭，关了这个再开那个…….，因为我的脑子里一直盘旋着这样一个问题：到底为什么要学习函数单调性的定义？教学动机是什么？ 有一个课件的引子吸引了我：数与形，本是和倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时?难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，儿何代数统一体，永远联系莫分离。这段文字出自数学大师华罗庚。 我的课堂有了一个灵魂：课堂内容的呈现体现了数形结合的数学思想。 但是，这还不能回答我的问题，为什么要学习函数单调性的定义呢，在我苦思冥想想得到答案时，我突然发现答案还是在这句话中：“数无形时少直觉，形少数时难入微”不正是这堂课的数学动机吗？以前学生认识的单调性都是从形上去认识的，但是，所有的函数的单调性都需要用图像去研究吗？有很多复合函数的图像是很难在中学时代完成的，就是作为教师，有的函数也只能借助数学软件，所以有必要从数的角度去研究函数的单调性。 于是，我很开心的设计我的教学思路。 首先，引用一下名人名言，确定这堂课的动机和主线。并让学生一起朗诵这段优美的文字，在数学课上朗诵诗句，学生和评委一定也觉得很新奇！ 接着，仍然是从一次函数和二次函数的图像出发，引导学生观察图像的变化情况，我对学生说：刚刚同学们通过图像上升或者下降的变化认识了函数的一个基本性质——单调性，接着请同学们思考：如何用自然语言来描述函数图像上升或下降呢？教室鸦雀无声，这个问题学生根本不知道从何答起，“描述”这个词对他们来说似乎有点手足无措，“自然语言”也是让他们觉得不自然。接着大屏幕显示：一?次函数y=x的图像，以及两个填空，（1）从左至右图像是上升还是下
听 课 记 录 2014 年9月 21 日 授 课 教 师 李金山 学 科 数学 学 校 班 级 忠县中学 高一（3）班 课题 函数定义域，值域，函数值的求法 课型 新授课 教师教学过程记录： 引入新知： 一．函数定义域的求法 （一）简单函数的定义域 例1 求下列函数的定义域：（1）f(x)=1/x-2 (2) f(x)=35+x 求解步骤：由已知x-2≠0--------------------------写条件 x ≠2 ---------------------------解不等式（组） 所以函数的定义域为{x| x ≠2}-------下结论 总结：（1）若f(x)是整式，则定义域为R （2）若f(x)是分式，则分母不能为0 （3）f(x)为偶次根式，则根号下的式子大于或等于0 练习：1.（1）f(x)=3-5-x x （2）f(x)=x x -++21 （3）P19练习 总结：定义域：使每个式子有意义；生活中的实际 2.求下列函数的定义域 （1）y=2x+3 (2)f(x)=11+x （3）x x y -+-=11 (4)112-+=x x y (5) f(x)=11)1(0++-x x (二）复合函数的定义域 例2 已知f(x)的定义域为[0,2]，求f(2x-1)的定义域。 练习：1.已知f(2x-1)的定义域为（-1,5]，求f(x)的定义域。 2.已知函数f(x)的定义域为[0,2]，那么函数g(x)=15)1(++x x f 二．函数值的求解 1.已知f(x)=3x+2,求f(-1),f(a),f(1/a-1),f [f(π)] 2.已知f(x)=?????≥<<--≤+)2(2)21()1(22x x x x x x 求f(3),f(f(-1)) (分段函数） 3.已知f(3x-1)=4x+1,求f(2)=____ 三．求函数的值域（概念的理解，重点） （1)y=1+x (2) 642+-=x x y x ∈[1,5] 理解：2x y = （1）x ∈R 函数值域[0,+∞] 教学点评： 运用实例生动引出集 合元素的概念，为了 解集合含义作铺垫 充分体现了以学生为主体，教师为引导者的教学理念。 结合学生情况，充分调动课堂积极性 同一个f 括号内约束 条件相同；定义域的 概念
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1
2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1
3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1
高中数学听课记录范例 听课有利于青年教师学习优秀教师的先进教学经验，兴城良好的教学风气。那么高中数学听课记录怎么写呢？ 一、实例导入课题： 日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降,上下楼梯也是一样。（板书课题：函数的单调性） 二、推出新课： （一）、函数的单调性： 1、观察非典时期每日新增病例的变化统计图，对函数的单调性有感性的认识。 2、学生思考一次函数y=kx+b中，当k>0时，y的值随x的值的变化情况。总结该函数图像中点的坐标规律。 3、单调增（减）函数的定义： 一般地，设函数的定义域为I，区间AI，如果对于区间A内的任意两个值，当时都有，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。 （让学生思考交流之后，说出增、减函数定义中的关键词） （二）、单调函数、单调区间的概念：（教师板书，引导学生理解。） （三）、函数单调性的判断与证明 1、讲解例1：画出的图像，判断它的单调性，并加以证明。分析：画出图形，让学生归纳，并利用定义证明，教师板书。
例题中的注意点：（1）、解题格式；（2）、防止循环论证；（3）、作差同“0”比较。 2、师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤： （1）、取值；（2）、作差与变形；（3）、判断；（4）、结论。 3、讲解例2：求证：函数在区间上是单调增函数。 （学生小组讨论，集体思考证明过程，请完成的小组上黑板板演，其他小组分析纠错，教师做好点拨。） 三、课堂练习：1、P39页1、2、3题。 四、课堂小结：（学生总结知识点，教师补充。） 五、布置作业：1、P39页2、4、5题。 评价与建议 1、教学环节设计合理，思路清晰。 2、对概念的讲解很细致，教学作用点找的很好。 3、讲解、合作讨论、学生板演、核心指导相结合，防止学生疲劳而影响课堂效果。 4、教学中善于表扬学生、鼓励学生。 5、教学中要更多地深入学生之中，关注学生的实际学习情况，提高课堂效率。 6、这节课的知识比较抽象，学生能搞懂基本概念的来龙去脉，但更重要的是引导学生从具体实例抽象出数学概念的过程，在运用中逐步理解概念的本质需要加强。
高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；
听 课 记 录 一、导入（由教材例题直接引入，PPT 展示） 1. (必修5P 55习题2(1)改编)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________． 2. (必修5P 49习题1改编) {a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162，则{a n }的通项公式a n ＝________． 3. (必修5P 49习题6改编)等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则a 3＋a 5＝________． 4. (必修5P 49习题7(2)改编)已知两个数k ＋9和6－k 的等比中项是2k ，则k ＝________． 5. (必修5P 51例2改编)等比数列{a n }中，S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝________． 二、知识点回顾 1.等比数列相关概念 2.等比数列相关性质 三、典例分析 题型1 等比数列的基本运算 例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1) 求{a n }的公比q ；(2) 若a 1－a 3＝3，求S n . 解：(1) ∵ S 1，S 3，S 2成等差数列，∴ 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 1＋a 2， ∴ 2a 3＝－a 2，∴ q ＝a 3a 2＝－12. (2) a 3＝a 1q 2＝14a 1，∴ a 1－14a 1＝3，∴ a 1＝4，∴ S n ＝4????1－()－12n 1＋12＝83－83() －12n . 变式训练 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2a n ＋1＝S n ＋2(n ∈N )． (1) 求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式； (2) 求解S n (n ∈N )． 题型2 等比数列的判定与证明 例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n ∈N )． (1) 求a 1，a 2； (2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n . (1) 解：由3S 1＝a 1－1，得3a 1＝a 1－1，∴ a 1＝－12.又3S 2＝a 2－1，即3a 1＋3a 2＝a 2－1，得a 2＝14. (2) 证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． (3) 解：由(2)可得a n ＝????－12n ，S n ＝????－12????1－????－12n 1－????－12＝－13????1－????－12n .
对“函数的单调性”教学设计的改进和反思 高中数学新课程中，函数单调性的起始教学被安排在第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》“§2.1.3函数简单性质”中，本文所研究的是“函数的单调性”的第一课时． 一、函数的单调性的教学聚集了数学教学的诸多矛盾 从高中数学知识体系的角度，函数单调性是高中阶段刻画函数“变化”的一个最基本的性质，函数单调性的学习和运用将贯穿在高中代数课程的始终，在教学要求上体现出螺旋上升的特征．高中数学课程中对于函数单调性的研究可以分为两个阶段：第一阶段，用运算的性质研究单调性，知其变化趋势；第二阶段，用导数的性质研究单调性，知其变化快慢．高一对函数单调性的学习处于第一个阶段，需要教师把握好教学要求，稳步推进，不能急于求成，超越阶段． 从学生学习的角度，函数的单调性是学生学习了函数概念后研究的函数的第一个性质，也是学生进入高中阶段后接触的第一个用数学符号语言刻画的数学概念，它的学习对学生来说具有一定的挑战性．同时，函数单调性的研究过程具有较好的示范性，可以为学生进一步学习函数的其他性质提供方法范例，对学生提升数学认识具有引领作用．由于函数单调性的学习既有重要价值，又有一定的难度，因此，在教学设计中，就需要教师在把握学生学情的基础上体现数学本质，有效突破教学难点． 从教师教学的角度，“函数的单调性”第一课时既是一节较为抽象的数学概念课，也是一节数学方法课，同时也包含着数学认知策略的教学．教师既需要从数学学科体系的宏观角度进行整体把握，也要从教材编排的中观角度进行单元设计，还要从教学方法的微观角度进行具体的课堂教学设计．可以说，“函数的单调性”这一课时聚集了数学教学的诸多矛盾，它的教学设计和教学过程对每个数学教师都是一个挑战，教师在教学中设定怎样的教学目标，选择怎样的教学策略，设计怎样的问题情境和问题链，可以充分反映教师在数学教学上的关注点，体现教师的教学能力和教学智慧． 二、分析一个职初教师的教学设计 下面给出一位职初教师对“函数的单调性（第一课时）”的教学设计．从这份教学设计看，这位青年教师已掌握教学设计的基本要求，按照这样的教学设计实施教学，基本上可以比较顺利的完成教学任务．但是，细细剖析这份教学设计，还是可以发现一些值得探讨的问题． 【教学目标】 知识与技能：理解单调函数、单调区间的概念，并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性． 过程与方法：通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，同时对学生进行辩证唯物主义的教育． 情感、态度与价值观：培养学生分析综合能力，理性描述生活中的增长、递减现象． 点评：教学目标是一堂课的灵魂和统帅，明确教学目标是教学设计的第一个环节．本节课设定的教学目标中，知识与技能目标定位比较恰当，但从后面实际的教学设计看，教师对一些定位教学目标的关键词，如“理解”、“简单”等并没有很好的理解，也没有很好地贯彻，制定教学目标这个过程成了无用的文字摆设．同时，过程与方法目标，情感、态度与价值观目标显得空洞无物，存在套用新课程理念，把三维目标当作标签来贴的问题．
判断函数单调性的常见方法 一、函数单调性的定义： 一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I?A，如对于区间内任意两个值X1、X2， 1）、当X1 =(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1) =(x1-x2)[﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22] ∵x1、x2?(-∞，+∞)，x1 《函数单调性》复习课教学反思函数单调性是高中数学最重要的知识点之一，学习起来并不容易，在教学时不能贪图进度和难度，要给学生一定的时间去体会去理解。对于这节课：单调函数的概念是重点，函数单调性的判断与证明是难点。教学时主要使用启发式，好处是学生在教师的引导下可以很快基本掌握函数单调性这一知识点。 在高一时我的教学过程是：按照大纲要求，将概念引入、讲解、重点分析、举例巩固、课后练习。这堂课无论是自己或者学生都反映良好，概念清晰，学生在完成课后作业的时候也准确率较高。但是，在期末复习的时候，问题还是暴露出来，学生对于单调性的概念由于时间关系已经模糊了，产生了类似于自变量大，函数值大，即可以得到函数是增函数的错误结论。已经忽略了自变量取值的任意性这一基 本要求，概念不清；更有甚者，连“对于任意的x 1 (一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法： 定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 Ⅲ、图像法： 说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3：y＝|x2＋2x－3| 练习： (二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论： （1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 （2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题： 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时，函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1 听课记录 授课教师李金山学科数学 学校 班级 忠县中学 高一（3）班 课题函数定义域，值域，函数值的求法 课型新授课 教师教学过程记录： 引入新知： 一．函数定义域的求法 （一）简单函数的定义域 例1 求下列函数的定义域：（1）f(x)=1/x-2 (2) f(x)= 求解步骤：由已知x-2≠0--------------------------写条件 x≠2 ---------------------------解不等式（组） 所以函数的定义域为{x| x≠2}-------下结论 总结：（1）若f(x)是整式，则定义域为R （2）若f(x)是分式，则分母不能为0 （3）f(x)为偶次根式，则根号下的式子大于或等于0 练习：1.（1）f(x)=（2）f(x)=（3）P19练习 总结：定义域：使每个式子有意义；生活中的实际 2.求下列函数的定义域 （1）y=2x+3 (2)f(x)=（3） (4) (5) f(x)= (二）复合函数的定义域 例2 已知f(x)的定义域为[0,2]，求f(2x-1)的定义域。 练习：1.已知f(2x-1)的定义域为（-1,5]，求f(x)的定义域。 2.已知函数f(x)的定义域为[0,2]，那么函数g(x)= 二．函数值的求解 1.已知f(x)=3x+2,求f(-1),f(a),f(1/a-1),f[f()] 2.已知f(x)=求f(3),f(f(-1)) (分段函数） 3.已知f(3x-1)=4x+1,求f(2)=____ 三．求函数的值域（概念的理解，重点） （1)y= (2) x[1,5] 理解：（1）x R 函数值域[0,+] （2）x[-1,1] 函数的值域[0,1] （3）x[1,3] 函数的值域[1,9] 求函数值的方法：画图；截图；确定取值范围（y轴） 练习：，在x[1,8]的值域_____ 教学点评： 运用实例生动引出集合元素的概念，为了解集合含义作铺垫充分体现了以学生为主体，教师为引导者的教学理念。 结合学生情况，充分调动课堂积极性 同一个f括号内约束条件相同；定义域的概念 整体代换思想 一个表达式中的x相同 运用简单例子帮助理解：函数解析式相同，值域取决于定义域老师精炼的总结，系 高一数学听课记录 记录xx 年9月21 日授课教师李金山学科数学学校班级忠县中学高一（3）班课题函数定义域，值域，函数值的求法课型新授课教师教学过程记录：引入新知： 1、函数定义域的求法（1）简单函数的定义域例1 求下列函数的定义域：（1）f(x)=1/x-2 (2) f(x)=求解步骤：由已知x-2≠0--------------------------写条件x≠2-------------------------解不等式（组）所以函数的定义域为{x| x≠2}-------下结论总结：（1）若f(x)是整式，则定义域为R （2）若f(x)是分式，则分母不能为0 （3）f(x)为偶次根式，则根号下的式子大于或等于0练习： 1、（1）f(x)= （2）f(x)= （3）P19练习总结：定义域：使每个式子有意义；生活中的实际 2、求下列函数的定义域（1）y=2x+3 (2)f(x)= （3） (4)(5) f(x)=(二）复合函数的定义域例2 已知f(x)的定义域为[0,2]，求f(2x-1)的定义域。练习： 1、已知f(2x-1)的定义域为（-1,5]，求f(x)的定义域。 2、已知函数f(x)的定义域为[0,2]，那么函数g(x)= 2、函数值的求解 1、已知f(x)=3x+2,求f(-1),f(a),f(1/a-1),f[f()] 2、已知f(x)=求f(3),f(f(-1)) (分段函数） 3、已知f(3x-1)=4x+1,求f(2)=____ 3、求函数的值域（概念的理解，重点）（1) y= (2) x[1,5] 理解： （1）xR 函数值域[0,+] （2）x[-1,1] 函数的值域[0,1] （3）x[1,3] 函数的值域[1,9]求函数值的方法：画图；截图；确定取值范围（y轴）练习：，在x[1,8]的值域_____课堂总结教学点评：运用实例生动引出集合元素的概念，为了解集合含义作铺垫充分体现了以学生为主体，教师为引导者的教学理念。结合学生情况，充分调动课堂积极性同一个f括号内约束条件相同；定义域的概念整体代换思想一个表达式中的x相同运用简单例子帮助理解：函数解析式相同，值域取决于定义域老师精炼的总结，系统的巩固知识。并且充分调动课堂气氛听课随感：学生对知识主动探索，并在老师的点播下逐渐修正，进而都得出正确结论，富有趣味以及创造性，既培养了学生对知识的兴趣，又防止学生思维僵化。在课业压力较大的的高三，充分做到了效率和时间有机结合，能力和容量相兼容。给予学生自主探索的时间和空间，让学生在自主探索中，获得知识，体验知识的形成过程，获得学习的主动权。在课堂中，教师花了充足的时间让学生多次进行合作学习，在合作探索中得出结论。 复合函数单调性的判定方法 定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同． 证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b， 则有m＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x 1 )] ＞f[g(x 2 )]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数． (2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b，则有m ＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x 1 )]＜ f[g(x 2 )]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数． 由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性． 例1讨论函数f(x)＝log 0.5 (x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为 y＝log 0.5 u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋ ∞)上为增函数．又y＝log 0.5 u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间． 解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数． 推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．《函数单调性》复习课教学反思
函数单调性方法和各种题型
高一数学听课记录
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