2019-2020年高考数学大一轮复习 8.1空间几何体学案理苏教版
导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
自主梳理
1．多面体的结构特征
(1)棱柱的上下底面________，侧棱都________且__________，上底面和下底面是________的多边形．侧棱和底面________的棱柱叫做直棱柱．底面为________的直棱柱叫正棱柱．
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．棱锥的底面是________，且顶点在底面的正投影是________，这样的棱锥为正棱锥．
(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________．________被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台．2．旋转体的结构特征
将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做________、________、________，这条直线叫做____．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________．
半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做________，球面围成的几何体叫做________，简称____．
3．空间几何体的直观图
画空间几何体的直观图常用________画法，其规则是：
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝__________________，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于________________________的线段．
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y 轴的线段，长度变为____________．
自我检测
1．下列四个条件能使棱柱为正四棱柱的是________(填序号)．
①底面是正方形，有两个侧面是矩形；
②底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；
③底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直；
④每个侧面都是全等矩形的四棱柱．
2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．3．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．
4．长方体AC1中，从同一个顶点出发的三条棱长分别是a，b，c，则这个长方体的外接球的半径是________．
5．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．
探究点一空间几何体的结构
例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的序号是________．
变式迁移1 下列结论正确的是________(填序号)．
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．
探究点二空间几何体的直观图
例2 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于________．
变式迁移2 等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．探究点三简单组合体的有关计算
例3 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．
变式迁移3 如图，一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥，则正方体的棱长是________cm.
1．熟练掌握几何体的结构特征与对应直观图之间的相互转化，正确地识别和画出空间几何体的直观图是解决空间几何体问题的基础和保证．
2．棱柱的分类(按侧棱与底面的位置关系)：棱柱??
?
直棱柱――→底面为正多边形正棱柱
斜棱柱
3．正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决．
4．圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面．
5．用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S ′与原平面图形的面积S 之间的关
系是S ′＝2
4
S .
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．下列命题正确的是________(填序号)．
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体叫棱锥； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．
2．如图为一个简单多面体的表面展开图(沿虚线折叠即可还原)则这个多面体的顶点数为________．
3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2
，母线与轴的夹角为45°，则这个圆台的高为________cm ，母线长为________cm ，上、下底面半径分别为________cm 和________cm.
4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)
5．已知水平放置的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′(斜二测画法)是边长为2a 的正三角形，则原△ABC 的面积为_________________________________________________________．
6．棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．
7．(xx·四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
8．(xx·连云港模拟)棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径R为________．
二、解答题(共42分)
9．(12分)正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
10．(14分)用斜二测画法画出如图中水平放置的四边形OABC的直观图．
11．(16分)一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；
(2)当x为何值时，S最大？
学案38 空间几何体
答案
自主梳理
1．(1)平行平行长度相等全等垂直正多边形(2)公共顶点正多边形底面中心(3)平行于棱锥底面
相似正棱锥 2.圆柱圆锥圆台轴底面球面球体球 3.斜二测(2)45°(或135°)(3)x′轴、y′轴或z′轴(4)不变原来的一半
自我检测
1．③
2．球体
3．60°
解析设母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr.
∴r
l
＝
1
2
，∴母线与高的夹角为30°.
∴圆锥的顶角为60°.
4.a2＋b2＋c2
2
解析长方体的外接球的直径长为长方体的体对角线长，即2R＝a2＋b2＋c2，所以R
＝a2＋b2＋c2
2
.
5.2＋2
解析把直观图还原为平面图形得：
直角梯形ABCD中，AB＝2，
BC＝2＋1，AD＝1，
∴面积为
1
2
×(2＋2)×2＝2＋ 2.
课堂活动区
例1 解题导引解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；②
正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识．答案③④⑤⑥
解析
①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的四棱锥C1—ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.
变式迁移1 ④
解析
①错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
②错误．如下图，若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．
③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．④正确．
例2 解题导引 本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系．
答案 2
2a 2
解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x 轴上(或与x 轴平行)的线段，其长度保持不变；在y 轴上(或与y 轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，所以，若设原平面图形的面积为S ，则其直观图的面积为S ′＝12·22·S ＝2
4S .可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S ′之间的关系是S ′＝24S ，本题中直观图的面积为a 2，所以原平面四边形的面积S ＝a
2
2
4
＝22a 2.
变式迁移2 2
2
解析
∵OE ＝
2
2
－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝2
4
，
∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝2
2
.
例3 解题导引 解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托．
解 如图所示，△ABE 为题中的三角形，
由已知得AB＝2，BE＝2×
3
2
＝3，BF＝
2
3
BE＝
23
3
，
AF＝AB2－BF2＝4－
4
3
＝
8
3
，
∴△ABE的面积为
S＝
1
2
×BE×AF＝
1
2
×3×
8
3
＝
2.
∴所求的三角形的面积为 2.
变式迁移3 120(3－22)
解析作轴截面，
PO＝40 cm，OA＝30 cm，
设BC＝x，则O1C＝
2
2
x，
∴
O1C
OA
＝
O1P
OP
，即
2
2
x
30
＝
40－x
40
，
∴x＝120(3－22)．
课后练习区
1．③
2．7
解析沿虚线折叠还原得几何体的直观图如下，则这个多面体的顶点数为7.
3．14 14 2 7 21
解析画出圆台的轴截面，如图，设O′、O分别是上、下底面的中心，作AE⊥DC于E，则有∠DAE＝45°.由于下底面周长是上底面周长的3倍，所以下底面半径是上底面半径的3倍，若设AE＝x，则DE＝x，AB＝x，CD＝3x，AD＝2x，于是轴截面的面积为：1
2
·x·(3x＋x)＝392，解得x＝14，则圆台的高等于14 cm，母线长为142cm，上、下底面半径分别为7 cm和21 cm.
4．①③
5.6a2
解析 在斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34
(2a )2，∴S ＝6a 2
.
6. 2
解析 由题知球O 半径为
32，球心O 到直线EF 的距离为1
2
，由垂径定理可知直线EF 被球O 截得的线段长
d ＝2×34－1
4＝ 2.
7．2πR 2
解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2R cos α，圆柱底面
半径为R sin α，∴S 圆柱侧＝2π·R sin α·2R cos α＝2πR 2
sin 2α.当sin 2α＝1时，S
圆柱侧最大为2πR 2，此时，S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2
.
方法二 设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2
.
∴S 圆柱侧＝2πr ·2R 2－r 2
，
S ′圆柱侧＝4πR 2－r 2
－4πr 2
R 2－r
2.
令S ′圆柱侧＝0，得r ＝22R .当0 2 R 时，S ′>0； 当 2 2 R 2 2 R 时，S 圆柱侧取得最大值2πR 2. 此时S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2 . 方法三 设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2 ， ∴S 圆柱侧＝2πr ·2R 2－r 2＝4πr 2R 2－r 2 ≤4πr 2＋R 2－r 22＝2πR 2(当且仅当r 2＝R 2－r 2 ，即r ＝22R 时取“＝”)．∴当r ＝ 22 R 时，S 圆柱侧最大为2πR 2 . 此时S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2 . 8.64a 解析 如图所示，设正四面体ABCD 内接于球O ，由D 点向底面ABC 作垂线，垂足为H ，连结AH ，OA ， 则可求得AH ＝3 3 a ， DH ＝ a 2－? ?? ??33a 2 ＝6a 3， 在Rt △AOH 中，? ????33a 2＋? ?? ??63a －R 2＝R 2 ， 解得R ＝64 a . 9．解 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O 1、O ，B 1C 1和BC 的中点分别是E 1和E ，连结O 1O 、E 1E 、O 1B 1、OB 、O 1E 1、OE ，则四边形OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形．(4分) ∵A 1B 1＝4 cm ，AB ＝16 cm ， ∴O 1E 1＝2 cm ，OE ＝8 cm ， O 1B 1＝2 2 cm ，OB ＝8 2 cm ，(8分) ∴B 1B 2＝O 1O 2＋(OB －O 1B 1)2＝361 cm 2 ， E 1E 2＝O 1O 2＋(OE －O 1E 1)2＝325 cm 2，(10分) ∴B 1B ＝19 cm ，E 1E ＝513 cm. 答 这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513 cm. (12分) 10．解 (1)画x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(4分) (2)在O ′x ′轴上取D ′、B ′，使O ′D ′＝OD ，O ′B ′＝OB (如图所示)，在O ′y ′轴 上取C ′，使O ′C ′＝1 2 OC . 在O ′x ′轴下方过点D ′作D ′A ′∥O ′y ′， 使D ′A ′＝1 2 DA .(10分) (3)连结O ′A ′，A ′B ′，C ′B ′，所得四边形O ′A ′B ′C ′就是四边形OABC 的直观图．(14分) 11. 解 (1)画出圆柱和圆锥的轴截面，如图，设圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似可得x 6＝2－r 2，解得r ＝2－x 3.(6分) 圆柱的轴截面面积 S ＝2r ·x ＝2(2－x 3 )·x ＝－23 x 2 ＋4x .(12分) (2)∵S ＝－23x 2＋4x ＝－23 (x －3)2 ＋6 ∴当x ＝3时，S 的最大值为6.(16分) 第八章 解析几何 第41讲 直线的斜率与方程 A 应知应会 一、 选择题 1. (2019·开封模拟)过点A (－1,－3),斜率是直线y ＝3x 的斜率的－1 4 的直线方程为 ( ) A. 3x ＋4y ＋15＝0 B. 3x ＋4y ＋6＝0 C. 3x ＋y ＋6＝0 D. 3x －4y ＋10＝0 2. 直线2x cos α－y －3＝0??? ?α∈????π6，π3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. ????π6，π3 B. ????π4，π3 C. ????π4，π2 D. ????π4，2π 3 3. (2019·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0,b ≠0),若f ????π4－x ＝f ????π4＋x ,则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A. π4 B. π3 C. 2π3 D. 3π 4 4. 如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. (2019·张家口模拟)若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3 x －y ＝33 的倾斜角的2倍,则( ) A. m ＝－3 ,n ＝1 B. m ＝－3 ,n ＝－3 C. m ＝3 ,n ＝－3 D. m ＝3 ,n ＝1 二、 解答题 6. 求过点A (1,3),斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1 3 的直线方程． 7. 求适合下列条件的直线方程． (1) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等； (2) 求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程． B巩固提升 一、填空题 1. 直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是________． 2. 过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________． 3. 已知直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0,则直线l恒过定点________． 4. (2019·江苏姜堰中学)已知△ABC的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________． 二、解答题 5. (2019·启东检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0. (1) 求证：不论m为何实数,直线l过一定点M； (2) 过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程． 6. 如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交 OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y＝1 2x上时,求直线AB的方程． (第6题) 第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2. ∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C 高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值 2021年高考数学大一轮复习高考大题专项练6 文 1.A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: (1)试估计40min内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有40min和50min时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 2.(xx天津,文15)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表: 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率. 3.(xx东北三校二模)某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是10分.上个月该网站共卖出了100份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第三、四、五组的频率; (2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品,某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买,求他抽到的2个产品均来自第三组的概率. 4.某重要会议在北京召开,为了搞好对外宣传工作,会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作,调查发现,男、女记者中分别有10人和6人会俄语. (1)根据以上数据完成以下2×2列联表,并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关? 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d. 参考数据: 第1讲集合 1.元素与集合 (1)集合元素的性质:、、无序性. (2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为. (3)集合的表示方法:列举法、和. (4)常见数集及记法 数集 自然 数集正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 符号 2.集合间的基本关系 文字语言符号语言记法 基本关系子集 集合A中的 都是集合B中 的元素 x∈A?x ∈B A?B或 集合A是集合 B的子集,但集 合B中有 一个元素不属 于A A?B,?x0 ∈ B,x0?A A B或 B?A 相等 集合A,B的元 素完全 A?B,B? A 空集 任何元素 的集合,空集 是任何集合的 子集 ?x,x? ?, ??A ? 3.集合的基本运算 表示 运算 文字语言符号语言图形语言记法 交集属于 A 属于B的 元素组成 的集合 {x|x∈A, x∈ B} 并集属于A 属于B的 元素组成 的集合 {x|x∈A, x∈ B} 补集全集U中 属于A的 元素组成 的集合 {x|x∈U, x A} 4.集合的运算性质 (1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ?B?A. (2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A B. (3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)= ; ?U(?U A)= ;?U(A∪B)=(?U A)(?U B);?U(A∩B)= ∪. 常用结论 (1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等. (2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集; ②任何一个集合是它本身的子集; ③对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C(真子集也满足); ④若A?B,则有A=?和A≠?两种可能. (3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用 第一节不等关系与不等式 不等式的概念和性质 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 知识点一实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b?a－b>0； (2)a＝b?a－b＝0； (3)a 1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N 的大小关系是() A．M 易误提醒 1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b 9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. ●点击双基 1.（2005年春季，3）下列命题中，正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案：C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾. 答案：C 3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 解析：A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； B 错，若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； D 正确. 答案：D 4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题： .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β，求证：MN ∥平面α. 剖析：因为AB 与CD 是异面直线，故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直 2017年高考数学空间几何高考真题 2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π 1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为． §2.1函数及其表示 2014高考会这样考 1.考查函数的定义域、值域、解析式的求法；2.考查分段函数的简单应用；3.由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 复习备考要这样做 1.在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点；2.掌握求函数解析式的基本方法；3.结合分段函数深刻理解函数的概念． 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法． 2．映射的概念 设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 3．函数解析式的求法 求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4． 常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝tan x 的定义域为???? ??x |x ∈R 且x ≠k π＋π 2，k ∈Z . (6)函数f (x )＝x a 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． [难点正本 疑点清源] 1． 函数的三要素 函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定 的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等． 2． 函数与映射 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射． (2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函 数． 3． 函数的定义域 (1)解决函数问题，函数的定义域必经优先考虑； (2)求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法： ①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a 高考一轮复习116 1．已知ABC ?中,角,,A B C 的对边,,a b c 满足()c o s c a A C =+,则tan C 的最大值是 ． 解：()222 cos cos 2a c b c a A C a B a ac +-=+=-=-? 即() 22213c b a =-,且B 为钝角,C 为锐角 由余弦定理得( )2222222221423cos 226a b b a a b c a b C ab ab ab +--+-+===≥ 锐角C 在区间0,2π?? ??? 上递减,故当( )min cos C =,则( )max tan C =2．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中,选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则该考生有______种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 解：327 35180A A -?= 高考一轮复习117 1．已知,αβ为锐角,且()sin cos sin ααββ+= ,则tan α的最大值是 ． 解法一：()()()()sin sin cos sin cos cos sin sin sin αββαββααβαββββ ?+-?+??+===-+ 即()tan 2tan αββ+= ()()( )2tan tan tan tan tan 1tan tan 12tan αβββααββαβββ+-=?+-?= ==??+++ 当且仅当tan β= 解法二：由()sin cos sin ααββ+=得sin cos cos sin sin sin ααβαββ -= 即1cos cos sin sin sin αβαββ??=+ ??? 2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、 速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的 2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题（共9小题） 1 ?如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M , N, Q为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） 2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（） A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左）视圄 C 5?某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的体积（单位：cm 2） 是（ ） 6?如图，已知正四面体 D -ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1 4 角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1，则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为（ ） A . B. C. D. 二.填空题（共5小题） 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2，1，其顶点都在球0的球面上，则球0的 表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的 8.2 空间点、线、面的位置关系 挖命题 【考情探究】 考点内容解读 5年考情 预测热度考题示例考向关联考点 空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平 面位置关系的定义, 并了解四个公理及 推论 2.会用平面的基本性 质证明点共线、线共 点以及点线共面等 问题 3.理解空间两直线的 位置关系及判定,了 解等角定理和推论 2013天津,17 证明异面直 线垂直 求二面角的正 弦值 ★★☆ 2012天津,17 求异面直线 所成角的正 切值 证面面垂直、求 线面角的正弦 值 2008天津,5 直线、平面位 置关系的判 定 充分条件 分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明异面或共面问题.2.会证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成的角,分值约为5分,属于中档题. 破考点 【考点集训】 考点空间点、线、面的位置关系 1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是( ) A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行 答案 D 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C 3.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有( ) A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④ 答案 C 4.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD 所成角的余弦值为( ) A.1 3B.√2 3 C.√3 3 D.2 3 答案 C 5.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为. 答案45° 炼技法 【方法集训】 方法1 点、线、面位置关系的判断方法 1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n?α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α 答案 B 2.如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH. (1)求AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD三线共点. 绝密★启用前 深圳市2018届高三年级第一次调研考试 数学（理科） 2018.3 第I 卷（选择题共60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={xlog 2x<1}，B={xl 1x 3}，则A ?B= A.（0，3] B.[1，2) C.[-1，2) D.[-3,2) 2.已知a ?R ，i 为虚数单位，若复数1a i z i +=-，1z =则a= A.2± B.1 C.2 D.±1 3.已知1sin()6 2x p -= ，则2192sin()sin ()63 x x p p -+-+= A.14 B.34 C.14- D.12 - 4.夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华舞回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海。一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个诞性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为 A.0.05 B.0.0075 C 13 D.16 5.已知双曲线22221y x a b -=的一条渐近线与圆222 ()9 a x y a +-=，则该双曲线的离心率为 A.3 B.3 c. 322 D.32 4 6.设有下面四个命题： p 1:n N $?，n 2>2n ； p 2：x ?R,“x>1”是“x>2”的充分不必要条件； P 3：命题“若x=y ，则 sin x=siny ”的逆否命题是“若sin x 1siny ，则x 1y ”； P 4: 若“pVq ”是真命题，则p 一定是真命题。 其中为真命题的是 A.p 1,p 2 B.p 2,p 3 C.p 2，p 4 D.p 1,p 3 7.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高? 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n 为4， 2020年高考数学空间几何体解答题专练 1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为 棱AB、PD的中点． （1）求证：AF∥平面PCE； （2）求证：平面PCE⊥平面PCD； （3）求三棱锥C－BEP的体积． 2.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AB=AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点。 1 （1）求证：PQ//平面A1BC1； （2）求证：BC⊥PQ。 3.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证： 1 （1）DE∥平面B1BCC1； （2）平面A1BC⊥平面A1ACC1． 4.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC， CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM． （1）求证：OM∥平面PAD； （2）求证：OM⊥平面PCD． 5.如图，在直四棱柱ABCD–A B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点． 1 （1）求证：AC1∥平面PBD； （2）求证：BD⊥A1P． 6.如图，直四棱柱ABCD–A B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC， 1 BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值． 7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中 点． （1）证明：ED⊥PE； （2）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由． 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是棱长为1的菱形，∠ADC=60°，， M是PB的中点． （1）求证：PD∥平面ACM； （2）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值． 2018学年广东省高考数学文科第一轮复习辅导资料 知识回顾： 1．已知集合A ＝{y |y ＝x 2 －2x －1，x ∈R }，集合B ＝{x |－2≤x <8}，则集合A 与B 的关系是________ 2．满足{1}A ?{1,2,3}的集合A 的个数是________个． 3．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 4．已知函数f (x )＝? ???? 3x ，x ≤1， －x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________. 5、设函数f (x )＝? ?? ?? x 2 －4x ＋6，x ≥0 x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________． 6、下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________． ①y ＝－1x ②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2 －2 ④y ＝－|x | 7．若函数f (x )＝log 2(x 2 －ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 8．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(3 4 ，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 9、已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域 是________． 10、定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________． 11.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________． 12.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1) 图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 11.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 317 B ．210 C ．13 2 D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （A ） 23 （B ）3 （C ）23 （D ）1 3 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） §1.2充分条件与必要条件充分条件、必要条件与充要条件的概念 概念方法微思考 若条件p,q以集合的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则由A?B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系. 提示若A B,则p是q的充分不必要条件； 若A?B,则p是q的必要条件； 若A B,则p是q的必要不充分条件； 若A＝B,则p是q的充要条件； 若A?B且A?B,则p是q的既不充分又不必要条件. 题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(√) (2)已知集合A,B,则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√) (3)q不是p的必要条件时,“p?q”成立.(√) (4)若p?q,则p是q的充分不必要条件.(×) 题组二教材改编 2.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案充分不必要 3.“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案必要不充分 4.函数f (x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________. 答案m＝－2 题组三易错自纠 5.设x＞0,y∈R,则“x＞y”是“x＞|y|”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 答案 C 解析 由x ＞y 推不出x ＞|y |,由x ＞|y |能推出x ＞y ,所以“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要不充分条件. 6.(多选)设x ∈R ,则x ＞2的一个必要不充分条件是( ) A.x ＜1 B.x ＞1 C.x ＞－1 D.x ＞3 答案 BC 7.已知集合A ＝? ??? ?? x ?? 13 <3x <27，x ∈R ,B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1,m ∈R },若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是____________. 答案 (2,＋∞) 解析 因为A ＝? ??? ?? x ?? 13 <3x <27，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3},x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A , 所以A B ,所以m ＋1＞3,即m ＞2. 充分、必要条件的判定 1.设命题p :x ＞4；命题q :x 2－5x ＋4≥0,那么p 是q 的______________条件.(选填“充分不必高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版学案第八章
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