第七讲MATLAB中求方程的近似根(解)
教学目的：学习matlab中求根命令，了解代数方程求根求解的四种方法，即图解法、准解析法、数值方法以及迭代方法，掌握对分法、迭代法、牛顿切法线求方程近似根的基本过程；掌握求代数方程（组）的解的求解命令．
教学重点：求方程近似解的几种迭代方法，代数方程（组）的解的求解命令的使用方法.利用所学的编程知识，结合具体的实例，编制程序进行近似求根．掌握相关的代数方程（组）的求解命令及使用技巧．
教学难点：方程的近似求解和非线性方程（组）的求解．
一、问题背景和实验目的
求代数方程0
x
f的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和
(=
)
后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当)
f为线性方程，否则称之为非线性方程．(x
(=
x
)
f是一次多项式时，称0
当0
(x
f的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如f是非线性方程时，由于)
)
x
(=
果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．同时对于多未知量非线性方程(组)而言，简单的迭代法也是可以做出来的，但在这里我们介绍相关的命令来求解，不用迭代方法求解．
通过本实验，达到下面目的：
1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；
2. 求代数方程（组）的解．
首先，我们先介绍几种近似求根有关的方法：
1．对分法
对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．
设)
a
f
?b
f，即()0
f a>，()0
f a<，()0
f b<或()0
f b>．则
)
,
(<
(x
[b
f在]
a上连续，0
(
)
根据连续函数的介值定理，在)
fξ=．
a内至少存在一点ξ，使()0
,
(b
下面的方法可以求出该根：
(1) 令0()/2x a b =+，计算0()f x ；
(2) 若0()0f x =，则0x 是()0f x =的根，停止计算，输出结果0x x =．
若 0()()0f a f x ?<，则令1a a =，10b x =，若0()()0f a f x ?>，则令10a x =，1b b =；
111()/2x a b =+．……，有k a 、k b 以及相应的()/2k k k x a b =+．
(3) 若()k f x ε≤ (ε为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果()/2k k k x a b =+； 反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．
以上方法可得到每次缩小一半的区间序列{[,]}k k a b ，在(,)k k a b 中含有方程的根． 当区间长k k b a -很小时，取其中点()/2k k k x a b =+为根的近似值，显然有
2111()/2()/(2)()/2k k k k k k x b a b a b a ξ+---≤-=-==-
以上公式可用于估计对分次数k ．
分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为
1
2
的等比级数相同．由于1021024=，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，
它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值． 2. 迭代法
a) 松弛法：由方程()0f x =构造一个等价方程
()x x φ=．
则迭代方程是：
1(1)()k k k k k x x x ωωφ+=-+，1/(1'())k k x ωφ=-，其中'()1x φ≠．
松弛法的加速效果是明显的 (见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．
b) Altken 方法：
松弛法要先计算'()k x φ，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式：
(1)
()k k x x φ= ；
(2)(1)()k k x x φ=；
(2)(2)(1)2(2)(1)
1()/(2)k k k k k k k x x x x x x x +=---+， ,2,1,0=k
这就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)．
3. 牛顿(Newton)法（牛顿切线法）
()0f x =是非线性方程
其迭代公式为：
1(()/'())k k k k x x f x f x +=- ,2,1,0=k
即为牛顿法公式.
牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值0x 要求较严，要求0x 相当接近真值
*x ．
因此，常用其他方法确定初值0x ，再用牛顿法提高精度． 以下是本实验中的几个具体的实验 具体实验1：对分法
先作图观察方程：3310x x -+=的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．程序如下： function [y,p]=erfen()
clc, x=[];a=[];b=[]; a(1)=1;b(1)=2; i=1;x(i)=(a(i)+b(i))/2; e=abs(f(x(i))); ezplot('x^3-3*x+1',[a(1),b(1)]);hold on, plot([a(i),b(i)],[0,0]) while e>10^(-5)
plot([a(i),a(i)],[0,100],[x(i) x(i)],[0 100],[b(i) b(i)],[0 100]),pause(0.5) if f(a(i))*f(x(i))<0
a(i+1)=a(i);b(i+1)=x(i);x(i+1)=(a(i+1)+b(i+1))/2; else
a(i+1)=x(i);b(i+1)=b(i);x(i+1)=(a(i+1)+b(i+1))/2; end
e=abs(f(x(i)));i=i+1; end
y=x(i);p=[a;x;b]' function u=f(x) u=x^3-3*x+1; end end
图形如下:
结果为：1.5321
具体实验2：普通迭代法
采用迭代过程：1()k k x x φ+=求方程3310x x -+=在 0.5 附近的根，精确到第 4 位小数．
构造等价方程：3(1)/3x x =+
用迭代公式： 31(1)/3k k x x +=+， ,2,1,0=k 具体实验3：迭代法的加速1——松弛迭代法
3()(1)/3x x φ=+，2()'x x φ=，2
1/(1)k k x ω=-
迭代公式为
31(1)(1)/3k k k k k x x x ωω+=-++
clc;x=[];w=[]; x(1)=1;w(1)=1/(1-x(1)); for i=1:10
w(i)=1/(1- x(i)); x(i+1)=(1-w(i))*x(i)+ w(i)*(x(i)^3+1)/3; end x
另外有程序可以参考，详见参见附录4． 具体实验4：迭代法的加速2——Altken 迭代法
迭代公式为：
(1)3(1)/3k k x x =+，(2)(1)3(1)/3k k x x =+
(2)(2)(1)2(2)(1)
1()/(2)k k k k k k k x x x x x x x +=---+， ,2,1,0=k
%（符号计算）
syms x fx gx;
gx=(x^3+1)/3;fx=x^3-3*x+1; disp('k x x1 x2') x=0.5;k=0; ffx=subs(fx, 'x', x); while abs(ffx)>0.0001;
u=subs(gx, 'x', x);v=subs(gx, 'x', u);
disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(u), ' ', num2str(v)]) x=v-(v-u)^2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx, 'x', x); end
disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(u), ' ', num2str(v)]) %（数值计算）
function [y,p]=althken() % 求方根的迭代程序 clc,format long e , x(1)=6; i=1;p=[];ezplot('x^3-3*x+1',[x(1)-9,x(1)+1]);hold on plot([x(1)-20,x(1)+2],[0,0]) while abs(f(x(i)))>=10^(-5) plot(x(i),0,'*')
t1=phi(x(i));t2=phi(t1); x(i+1)=t2-(t2-t1)^2/(t2-2*t1+x(i)+eps); p=[p;[i, x(i),t1,t2]]; i=i+1; pause(0.1) end
p,y=x(i), i, format function u=phi(x) u=(x^3+1)/3; end
function u=f(x) u=x^3+1-3*x; end end
具体实验5：牛顿法
用牛顿法计算方程3310x x -+=在-2到2之间的三个根． 提示：3()31f x x x =-+，2'()33f x x =-迭代公式：
232
1(31)/(33)k k k k k x x x x x +=--+-
function [y,p]=newton() % 求方根的迭代程序 clc,format long e , x(1)=6; i=1; p=[]; ezplot('x^3-3*x+1',[x(1)-9,x(1)+1]);hold on plot([x(1)-20,x(1)+2],[0,0]) while abs(f(x(i)))>=10^(-5)
plot(x(i),0,'*'), x(i+1)=x(i)-f(x(i))/(df(x(i))+eps); p=[p;[i, x(i)]]; i=i+1; pause(0.1) end
format short , p,y=x(i), i, function u=df(x) u=3*x^2-3; end
function u=f(x) u=x^3+1-3*x; end end 结果：
结果为： 1.5321
※进一步思考：用迭代法求3的平方根. 迭代公式为1(3/)/2n n n x x x +=+. 编写M 函数
文件My_sqrt.m, 求3正的平方根x . 要求误差小于510-．仅要求写出源程序．试使用以上介绍的迭代法来相互比较 参考程序：
function y=my_sqrt(a) % 求方根的迭代程序
if nargin~=1|~isa(a,'double') , error('输入数字为一个正数!'),end if a<0, error('输入数字为正数!'), end
if a>0
format long e , x(1)=0; x(2)=1; i=1; while abs(x(i+1)-x(i))>=10^(-5)
i=i+1;x(i+1)=1/2*(x(i)+a/(x(i)+eps));end
y=x(i+1);i,format end
现在我们简单介绍图解法如何来求解一元方程和二元方程的根： 例：exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)=0.5
>>ezplot('exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5',[0 5]) >>hold on, line([0,5],[0,0])
验证：t=3.5203 >>syms x; t=3.5203;
vpa(exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5) ans =
-.43167073997540938989914138801396e-4
例：：x^2*exp(-x*y^2/2)+exp(-x/2)*sin(x*y)=0
y^2 *cos(y+x^2) +x^2*exp(x+y)=0
>> ezplot('x^2*exp(-x*y^2/2)+exp(-x/2)*sin(x*y)')
>> hold on
ezplot('y^2 *cos(y+x^2) +x^2*exp(x+y)')
具体的结果请大家自己下来运行
二、关于直接利用函数（命令）求解方程及简介
(1) solve('f(x)')，f(x)为一个具体的表达式．
(2) roots(A)，A为某个多项式按x降幂排列的系数矩阵
(3) fzero('f(x)', x0)，f(x)为一个具体的表达式，x0为一个具体的数值
(4) linsolve(A,b)，A为一方程组的系数矩阵，b为方程组右端的常数矩阵．1．单变量的多项式方程求根：
命令格式：roots(A)
例：x^3-6*(x^2)-72*x-27=0;
>>p=[1 -6 -72 -27]
>>r=roots(p)
r=
12.1229
-5.7345
-0.3884
2. 多项式型方程的准解析解法
命令格式：
[x,…]=solve(eqn1,eqn2,…)
例：x^2+y^2-1=0
0.75*x^3-y+0.9=0
>>syms x y;
>> [x,y]=solve('x^2+y^2-1=0', '75*x^3/100-y+9/10=0')
检验：
>>[eval('x.^2+y.^2-1'), eval('75*x.^3/100-y+9/10')]
具体结果就请大家下来自己运行
3. 线性方程组的求解
例：求线性方程组b
?的解，已知m=[1 2 3 4 5;2 3 4 5 6;3 4 5 6 7 8;4 5 6 7 8 ;5 6 7 8 0]，
m=
x
b=[1;2;3;4;5]
for i=1:5
for j=1:5
m(i, j)=i+j-1;
end
end
m(5, 5)=0;b=[1:5]'; linsolve(m, b)
4. 非线性方程数值求解
(1)单变量非线性方程求解
在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非线性方程的根．该函数的调用格式为：
z=fzero('fname',x0,tol,trace)
其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点．一个函数可能有多个根，但fzero 函数只给出离x0最近的那个根．tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace?指定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取trace=0．
例:求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根．
步骤如下：
(a) 建立函数文件funx.m．
function fx=funx(x)
fx=x-10.^x+2;
(b)调用fzero函数求根．
z=fzero('funx',0.5)
z = 0.3758
(2)非线性方程组的求解
对于非线性方程组F(X)=0，用fsolve函数求其数值解．fsolve函数的调用格式为： X=fsolve('fun',X0,option)
其中X为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初值，option为最优化工具箱的选项设定．最优化工具箱提供了20多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来．如果想改变其中某个选项，则可以调用
optimset()函数来完成．例如，Display 选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中‘off’为不显示，‘iter’表示每步都显示，‘final’只显示最终结果．optim set(‘Display’,‘off’)将设定Display 选项为‘off’． 例: 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解．
(a) 建立函数文件myfun.m ． function q=myfun(p) x=p(1);y=p(2);
q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (b) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用fsolve 函数求方程的根． x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off')) x = 0.6354 0.3734
将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下： q=myfun(x) q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果．
精品案例：螺旋线与平面的交点问题：
螺旋线与平面相交的情况多种多样, 根据螺旋线与平面方程的不同可以相交, 也可以不相交. 在相交的情况下, 可以交于一点, 也可以交于好多点. 对于各种相交的情况, 要求其交点的坐标并不是一件容易的事. 本次实验就以此为背景讨论下面的具体问题：已知螺旋线的参数方程为
4cos ,4sin ,,08x y z θθθθπ===≤≤.
平面的方程为：0.520x y z ++-=. 求该螺旋线与平面的交点. 要求：
1）求出所有交点的坐标；
2）在同一图形窗口画出螺旋线、平面和交点. 实验过程： 1.1 问题分析
可以采用多种方法求螺旋线与平面的交点坐标, 包括fsolve 等. 先对方程化简,减少
变量个数,使用图解方法求方程的根.再分别画出螺旋线,平面,及其交点. 1.2 算法描述与分析
先对方程化简,减少变量个数,再利用fsolve, 选择适当的初值, 求其数值解;再分别会出图形；最后对图形作出必要的修饰. 1.3 源程序及注释
将螺旋线的参数方程代入平面方程后可得： 等价变形得 ： 建立下面M 文件intersect_point.m %使用图解法求交点，并且三维图 %画图确定解的个数和大概位置 theta=0:0.01:8*pi;
y1=4*(cos(theta)+sin(theta)); y2=2-0.5*theta;
plot(theta,y1,theta,y2) %画出两个函数的图形
%画螺旋线%
theta=0:pi/100:8*pi; x=4*cos(theta); y=4*sin(theta); z=theta;
figure %新建图形窗口
plot3(x,y,z) %画含有参数的空间曲线 hold on %透明的画平面%
x1=-5:0.1:5; %取值和螺旋线的范围[-4,4]有关. y1=x1;
[X1 Y1]=meshgrid(x1,y1);%网格化，画曲面 Z1=4-2*X1-2*Y1;
surf(X1,Y1,Z1) %或者使用mesh(X1,Y1,Z1)
25.0sin 4cos 4=-++θθθθ
θθ5.02sin 4cos 4-=+
shading flat
alpha(0.5) %设置透明度 alpha('z') %设置透明度方向
%求交点坐标,为避免变量混淆和覆盖，这里用t 代替theta% i=1
for n=[2,5,9,11] %根据画图确定解的大概位置作为初值
t(i)=fsolve(inline('4*cos(t)+4*sin(t)+0.5 *t-2'),n)%选择不同初值求交点 x0(i)=4*cos(t(i)); y0(i)=4*sin(t(i)); z0(i)=t(i); i=i+1; end
plot3(x0,y0,z0,'ro')
1.4 测试结果
（写清输入输出情况）
从图形可见在 内与三角曲线有4个交点. 交点坐标为：
theta 的数值解为：t=[2.1961 5.3759 9.1078 11.1023] 四个交点的近似坐标为：x0 =[-2.3413 2.4635 -3.8007 0.4261]
y0 =[3.2432 -3.1514 1.2468 -3.9772]
z0 =[2.1961 5.3759 9.1078 11.1023]
π
θ80≤≤
1.5 调试和运行程序过程中产生的问题及采取的措施
求交点的时候会出现重根和漏根的情形,通过选择适当的初值避免了上述情况. 1.6 对算法和程序的讨论、分析, 改进设想及其它经验教训
solve 函数只能求解一个数值解,不能全部求出;用fsolve 函数好; 为了满足更好的视觉效果,可以对图形进行进一步的修饰.
习题
1.已知多项式323)(2345+++-=x x x x x f
2.解方程组:sin()0x x y ye +-=(1)
22x y -= (2)
3.求解方程: e
x
x x =)cos(
4.求解多项式方程 018
9
=++x x 5.求下列代数方程（组）的解： (1) 510x x -+= (2) 230x y += ① 2431x y += ②
6.选择适当的迭代过程，分别使用：（1）普通迭代法；（2）与之相应的松弛迭代法和 Altken 迭代法．求解方程0133=+-x x 在 1.4 附近的根，精确到4位小数，请注意迭代次数的变化．
7.分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程 sin()t x x ?= 的正的近似根，10≤ 五、附录为供近似求根的算法 附录1：对分法程序（fulu1.m ） syms x fx; a=0;b=1;fx=x^3-3*x+1;x=(a+b)/2;k=0;ffx=subs(fx, 'x', x); if ffx==0; disp(['the root is:', num2str(x)]) else disp('k ak bk f(xk)') while abs(ffx)>0.0001 & a a=x; end k=k+1;x=(a+b)/2; end disp([num2str(k), ' ', num2str(a), ' ', num2str(b), ' ', num2str(ffx)]) end 注：实验时，可将第 2 行的 a、b 改为其它区间端点进行其它实验． 附录2：普通迭代法（fulu2.m） syms x fx gx; gx=(x^3+1)/3;fx=x^3-3*x+1; disp('k x f(x)') x=0.5;k=0; ffx=subs(fx, 'x', x); while abs(ffx)>0.0001; disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(ffx)]); x=subs(gx, 'x', x);ffx=subs(fx, 'x', x);k=k+1; end disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(ffx)]) 附录3：收敛/发散判断（fulu3.m） syms x g1 g2 g3 dg1 dg2 dg3;x1=0.347;x2=1.53;x3=-1.88; g1=(x^3+1)/3;dg1=diff(g1, 'x');g2=1/(3-x^2);dg2=diff(g2, 'x'); g3=(3*x-1)^(1/3);dg3=diff(g3, 'x'); disp(['1 ', num2str(abs(subs(dg1, 'x', x1))), ' ', ... num2str(abs(subs(dg1, 'x', x2))), ' ', num2str(abs(subs(dg1, 'x', x3)))]) disp(['2 ', num2str(abs(subs(dg2, 'x', x1))), ' ', ... num2str(abs(subs(dg2, 'x', x2))), ' ', num2str(abs(subs(dg2, 'x', x3)))]) disp(['3 ', num2str(abs(subs(dg3, 'x', x1))), ' ', ... num2str(abs(subs(dg3, 'x', x2))), ' ', num2str(abs(subs(dg3, 'x', x3)))]) 附录4：松弛迭代法（fulu4.m） syms fx gx x dgx;gx=(x^3+1)/3;fx=x^3-3*x+1;dgx=diff(gx, 'x'); x=0.5;k=0;ggx=subs(gx, 'x', x);ffx=subs(fx, 'x', x);dgxx=subs(dgx, 'x', x); disp('k x w') while abs(ffx)>0.0001; w=1/(1-dgxx); disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(w)]) x=(1-w)*x+w*ggx;k=k+1; ggx=subs(gx, 'x', x);ffx=subs(fx, 'x', x);dgxx=subs(dgx, 'x', x); end disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(w)]) 附录5： Altken 迭代法（fulu5.m） syms x fx gx; gx=(x^3+1)/3;fx=x^3-3*x+1;disp('k x x1 x2') x=0.5;k=0;ffx=subs(fx, 'x', x); while abs(ffx)>0.0001; u=subs(gx, 'x', x);v=subs(gx, 'x', u); disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(u), ' ', num2str(v)]) x=v-(v-u)^2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx, 'x', x); end disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(u), ' ', num2str(v)]) 附录6：牛顿法（fulu6.m） syms x fx gx;fx=x^3-3*x+1;gx=diff(fx, 'x');x1=-2;x2=0.5;x3=1.4;k=0; disp('k x1 x2 x3') fx1=subs(fx, 'x', x1);fx2=subs(fx, 'x', x2);fx3=subs(fx, 'x', x3); gx1=subs(gx, 'x', x1);gx2=subs(gx, 'x', x2);gx3=subs(gx, 'x', x3); while abs(fx1)>0.0001|abs(fx2)>0.0001|abs(fx3)>0.0001; disp([num2str(k), ' ', num2str(x1), ' ', num2str(x2), ' ', num2str(x3)]) x1=x1-fx1/gx1;x2=x2-fx2/gx2;x3=x3-fx3/gx3;k=k+1; fx1=subs(fx, 'x', x1);fx2=subs(fx, 'x', x2);fx3=subs(fx, 'x', x3); gx1=subs(gx, 'x', x1);gx2=subs(gx, 'x', x2);gx3=subs(gx, 'x', x3); end disp([num2str(k), ' ', num2str(x1), ' ', num2str(x2), ' ', num2str(x3)]) 第2课时一元二次方程的根及近似解 【知识与技能】 会进行简单的一元二次方程的试解. 【过程与方法】 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 【情感态度】 理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义. 一、情境导入，初步认识 学生活动：请同学独立完成下列问题. 问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为x2+82=102. 整理，得x2-36=0. 列表： 问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m. 根据题意，得x（x+2）=120. 整理，得x2+2x-120=0. 列表： 【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围. 二、思考探究，获取新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ （1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0老师点评： 的解. （2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意. 【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 三、运用新知，深化理解 1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可. 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根. 2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式 matlab解方程组 lnx表示成log(x) 而lgx表示成log10(x) 1-exp(((log(y))/x^0.5)/(x-1)) 1、解方程 最近有多人问如何用matlab解方程组的问题，其实在matlab中解方程组还是很方便的，例如，对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵，非奇异)的求解，MATLAB 中有两种方法： (1)x=inv(A)*b —采用求逆运算解方程组； (2)x=A\B —采用左除运算解方程组 PS：使用左除的运算效率要比求逆矩阵的效率高很多~ 例: x1+2x2=8 2x1+3x2=13 >>A=[1,2;2,3];b=[8;13]; >>x=inv(A)*b x = 2.00 3.00 >>x=A\B x = 2.00 3.00； 即二元一次方程组的解x1和x2分别是2和3。 对于同学问到的用matlab解多次的方程组，有符号解法，方法是：先解出符号解,然后用vpa(F,n)求出n位有效数字的数值解.具体步骤如下： 第一步:定义变量syms x y z ...; 第二步:求解[x,y,z,...]=solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1','var2',...'varN'); 第三步:求出n位有效数字的数值解x=vpa(x,n);y=vpa(y,n);z=vpa(z,n);...。 如：解二（多）元二（高）次方程组： x^2+3*y+1=0 y^2+4*x+1=0 解法如下： >>syms x y; >>[x,y]=solve('x^2+3*y+1=0','y^2+4*x+1=0'); >>x=vpa(x,4); >>y=vpa(y,4); 结果是： 实验三求代数方程的近似根（解） 一、问题背景和实验目的 二、相关函数（命令）及简介 三、实验容 四、自己动手 一、问题背景和实验目的 求代数方程的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数 方程简称为方程），当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程． 当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求． 本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间，或给出某根的近似值．在实际问题抽象出的数学模型中， 可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况． 通过本实验希望你能： 1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程； 2. 求代数方程（组）的解． 二、相关函数（命令）及简介 1．abs( )：求绝对值函数． 2．diff(f)：对独立变量求微分，f 为符号表达式． diff(f, 'a')：对变量a求微分，f 为符号表达式． diff(f, 'a', n)：对变量 a 求 n 次微分，f 为符号表达式．例如： syms x t diff(sin(x^2)*t^6, 't', 6) ans= 720*sin(x^2) 3．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])：求解多项式 的所有根．例如： 求解：． p = [1 -6 -72 -27]; r = roots(p) r = 12.1229 用二次函数求一元二次方程的近似解 在二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，令y=0，则为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，即抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点的横坐标，就是 相应一元二次方程的实数根．那么怎么用二次函数来估计一元二次方程的解呢？我们先看一个简单的例子 例1．利用二次函数图象求一元二次方程2 530x x -+=的近似解 分析：如图1，首先画出二次函数253y x x =-+的图象，由图象可知方程有两个根一个在0和1之间，一个在4和5之间，下面具体探究一下： 点评：通过例1的整个探究过程什么发现：用二次函数的图象估计一元二次方程： 20ax bx c ++=的根，主要步骤为： （1）准确画出)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象，其中要先确定抛物线的顶点，再在顶点两侧取相对称的点（至少描五点来连线； （2）确定抛物线与x 轴的交点在一哪两个数之间； （3）列表格，在第（2）步中确定的两个数之间取值，进行估计，通常只精确到十分位即可 下面，我们在来研究比较复杂一点的问题 例2．利用二次函数图象求一元二次方程2 238x x -+-=-的近似解 分析：由于2 23y x x =-+-的函数值为-8时，对应点的横坐标即为一元二次方程 2238x x -+-=-的近似解，故可通过作出函数图象来估计方程的近似解 解：在平面直角坐标系内作出函数2 23y x x =-+-的图象，如图2，又图象可知方程 2238x x -+-=-的根是抛物线223y x x =-+-与直线8y =-的交点，左边的交点横 坐标在-1与-2之间，另一个交点横坐标在3与4之间 图1 第七讲MATLAB中求方程的近似根(解) 教学目的：学习matlab中求根命令，了解代数方程求根求解的四种方法，即图解法、准解析法、数值方法以及迭代方法，掌握对分法、迭代法、牛顿切法线求方程近似根的基本过程；掌握求代数方程（组）的解的求解命令． 教学重点：求方程近似解的几种迭代方法，代数方程（组）的解的求解命令的使用方法.利用所学的编程知识，结合具体的实例，编制程序进行近似求根．掌握相关的代数方程（组）的求解命令及使用技巧． 教学难点：方程的近似求解和非线性方程（组）的求解． 一、问题背景和实验目的 求代数方程0 x f的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和 (= ) 后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当) f为线性方程，否则称之为非线性方程．(x (= x ) f是一次多项式时，称0 当0 (x f的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如f是非线性方程时，由于) ) x (= 果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．同时对于多未知量非线性方程(组)而言，简单的迭代法也是可以做出来的，但在这里我们介绍相关的命令来求解，不用迭代方法求解． 通过本实验，达到下面目的： 1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程； 2. 求代数方程（组）的解． 首先，我们先介绍几种近似求根有关的方法： 1．对分法 对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根． 设) a f ?b f，即()0 f a>，()0 f a<，()0 f b<或()0 f b>．则 ) , (< (x [b f在] a上连续，0 ( ) 根据连续函数的介值定理，在) fξ=． a内至少存在一点ξ，使()0 , (b 下面的方法可以求出该根： 21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时） 实验中学-余志高 一、教材分析： 《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。 二、教学目标 【知识与技能】 掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的 情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解 集 .经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验． 【过程与方法】 经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系. 利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想． 【情感、态度与价值观】 进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神. 重点难点 【重点】 用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集. 【难点】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【教学方法】 学生合作交流学习法 三、教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元 二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就 微分代数方程(DAE)的Matlab解法 所谓微分代数方程，是指在微分方程中，某些变量满足某些代数方程的约束。假设微分方程的更一般形式 可以写成 前面所介绍的ODEs数值解法主要针对能够转换为一阶常微分方程组的类型，故DAE就无法使用前面介绍的常微分方程解法直接求解，必须借助DAE的特殊解法。 其实对于我们使用Matlab求解DAE时，却没有太大的改变只需增加一个Mass参数即可。描述f(t,x)的方 法和普通微分方程完全一致。 注意：ode15i没法设置Mass属性，换句话说除了ode15i外其他ode计算器都可以求解DAEs问题1.当M(t,y)非奇异的时候，我们可以将微分方程等效的转换为y'=inv(M)*f(t,y)，此时就是一个普通的ODE(当 然我们可以将它当成DAEs处理)，对任意一个给定的初值条件都有唯一的解 2.当m(t,y)奇异时，我们叫它为DAEs(微分代数方程)，DAEs问题只有在同时提供状态变量初值y0和状态变量一阶导数初值py0，且满足M(t0,y0)*yp0=f(t0,y0)时才有唯一解，假如不满足上面的方程，DAEs解算器会将提供的y0和py0作为猜测初始值，并重新计算与提供初值最近的封闭初值 3.质量矩阵可是一个常数矩阵(稀疏矩阵)，也可以是一个自定义函数的输出。但是ode23s只能求解Mass 是常数的DAEs 4.对于Mass奇异的DAEs问题，特别是设置MassSingular为yes时，只能ode15s和ode23t解算器 5.对于DAE我们还有几个参数需要介绍 a.Mass：质量矩阵，不说了，这个是DAE的关键，后面看例子就明白了 b.MStateDependence：质量矩阵M(t,y)是否是y的函数，可以选择none|{weak}|strong，none表示M与 y无关，weak和strong都表示与y相关 c.MvPattern：注意这个必须是稀疏矩阵，S(i,j)=1表示M(t,y)的第i行中任意元素都与第j个状态变量yi有 关，否则为0 d.MassSingular：设置Mass矩阵是否奇异，当设置为yes时，只能使用ode15s和ode23t e.InitialSlope：状态变量的一阶导数初值yp0，和y0具有相同的size，当使用ode15s和ode23t时，该属 性默认为0 下面我们以实例说明，看下面的例子，求解该方程的数值解 【解】 真是万幸，选取状态变量和求状态变量的一阶导数等，微分方程转换工作，题目已经帮我们完成。 可是细心的网友会发现，最后一个方程不是微分方程而是一个代数方程(这就是为什叫DAE的原因)，其实 我们可以将它视为对三个状态变量的约束。 (1)用矩阵形式表示出该DAEs 1、解方程 最近有多人问如何用matlab解方程组的问题，其实在matlab中解方程组还是很方便的，例如，对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵，非奇异)的求解，MA TLAB中有两种方法： (1)x=inv(A)*b —采用求逆运算解方程组； (2)x=A —采用左除运算解方程组。 例: x1+2x2=8 2x1+3x2=13 >>A=[1,2;2,3];b=[8;13]; >>x=inv(A)*b x = 2.00 3.00 >>x=A x = 2.00 3.00； 即二元一次方程组的解x1和x2分别是2和3。 对于同学问到的用matlab解多次的方程组，有符号解法，方法是：先解出符号解,然后用vpa(F,n)求出n 位有效数字的数值解.具体步骤如下： 第一步:定义变量syms x y z ...; 第二步:求解[x,y,z,...]=solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1','var2',...'varN'); 第三步:求出n位有效数字的数值解x=vpa(x,n);y=vpa(y,n);z=vpa(z,n);...。 如：解二（多）元二（高）次方程组： x^2+3*y+1=0 y^2+4*x+1=0 解法如下： >>syms x y; >>[x,y]=solve('x^2+3*y+1=0','y^2+4*x+1=0'); >>x=vpa(x,4); >>y=vpa(y,4); 结果是： x = 1.635+3.029*i 1.635-3.029*i -.283 -2.987 y = 1.834-3.301*i 1.834+3.301*i -.3600 -3.307。 二元二次方程组，共4个实数根； 利用函数的图象求一元二次方程近似根 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】 二次函数与一元二次方程（第二课时） 实验中学-余志高 一、教材分析： 《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。 二、教学目标 【知识与技能】 掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程 ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集 .经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验． 【过程与方法】 经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系. 利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想． 【情感、态度与价值观】 进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神. 重点难点 【重点】 用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集. 【难点】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【教学方法】 学生合作交流学习法 三、教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x 轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根． Ⅱ．讲授新课 数学实验报告 实验序号： 第二次 日期：2012 年 5月10日 班级 0920861 小组成员姓名 徐易斌；王勇 王康 学号 30 12 33 实验名称：求代数方程的近似根 问题背景描述： 求代数方程0)(=x f 的根是最常见的数学问题之一，当)(x f 是一次多项式时，称0)(=x f 为线性方程，否则称之为非线性方程． 当0)(=x f 是非线性方程时，由于)(x f 的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求． 本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间],[b a ，或给出某根的近似值0x ． 实验目的： 1. 了解代数方程求根求解的四种方法：对分法、迭代法、牛顿切线法 2. 掌握对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程。 实验原理与数学模型： 1．对分法 对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根． 设)(x f 在],[b a 上连续，0)()(，()0f b <或()0f a <，()0f b >．则根据连续函数的介值定理，在),(b a 内至少存在一点 ξ，使()0f ξ=． 下面的方法可以求出该根： (1) 令02 a b x +=，计算0()f x ； (2) 若0()0f x =，则0x 是()0f x =的根，停止计算，输出结果0x x =． 若 0()()0f a f x ?<，则令1a a =，10b x =，若0()()0f a f x ?>，则令10a x =，1b b =；11 12 a b x +=． ……，有k a 、k b 以及相应的2 k k k a b x += ． (3) 若()k f x ε≤ (ε为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果2 k k k a b x +=； 反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)． 以上方法可得到每次缩小一半的区间序列{[,]}k k a b ，在(,)k k a b 中含有方程的根． 当区间长k k b a -很小时，取其中点2 k k k a b x += 为根的近似值，显然有 1111111 ()()()2222 k k k k k k x b a b a b a ξ--+-≤-=??-==- 以上公式可用于估计对分次数k ． 2. 迭代法 1) 迭代法的基本思想： 由方程()0f x =构造一个等价方程 第2课时一元二次方程的解 1．使一元二次方程左右两边___________的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说，求近似解的过程就是找到这样的x，使ax2＋bx＋c的值接近____，则可大致确定x的取值范围． 知识点一：一元二次方程的解 1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是() A．－1B．1C．－2D．0 2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是() A．－1 B．0 C．1 D．2 3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m＝____． 4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是__________________． 5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则6m＋2n＝____． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝____． 7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少． 知识点二：估算一元二次方程的近似解 8．已知x2－101＝0，那么它的正数解的整数部分是() A．8 B．9 C．10 D．11 9．方程x2－2x－2＝0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是() A．－2 第2课时用逼近法求一元二次方程的近似根 知识点1用图像求一元二次方程的近似根 1.抛物线y=x2-2x+0.5如图5-4-5所示,利用图像可得方程x2-2x+0.5=0的近似根(精确到0.1)为 () 图5-4-5 A.1.7或0.3 B.1.6或0.4 C.1.5或0.5 D.1.8或0.2 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(-1,- 3.2),部分图像如图5-4-6,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1≈1.3和x2≈() 图5-4-6 A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 3.图5-4-7是二次函数y=ax2+bx-c的部分图像,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c 的两个根可能是.(精确到0.1) 图5-4-7 知识点2用表格求一元二次方程的近似根 4.下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值: 那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是() A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 5.下面的表格列出了函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的部分x与y的对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是() A.6 则一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)的两个根x1,x2(x1 一般的代数方程 函数solve用于求解一般代数方程的根，假定S为符号表达式，命令solve (S)求解表达式等于0的根,也可以再输入一个参数指定未知数。例： syms a b c x S=a*x^2+b*x+c; solve(S) ans= [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] b=solve(S,b) b = -(a*x^2+c)/x 线性方程组 线性方程组的求解问题可以表述为：给定两个矩阵A和B，求解满足方程AX=B或XA=B的矩阵X。方程AX=B的解用X=A\B或X=inv (A)*B表示；方程XA=B 的解用X=B/A或X=B*inv (A)表示。不过斜杠和反斜杠运算符计算更准确，占用内存更小，算得更快。 线性微分方程 函数dsolve用于线性常微分方程（组）的符号求解。在方程中用大写字母D表示一次微分,D2，D3分别表示二阶、三阶微分，符号D2y相当于y关于t的二阶导数。 函数dsolve的输出方式 格式说明 y=dsolve(‘Dyt=y0*y’) 一个方程，一个输出参数[u,v]=dsolve(‘Du=v’,’Dv=u’) 两个方程，两个输出 参数 S=dsolve(‘Df=g’,’Dg=h’,’Dh=-2*f ‘)方程组的解以S.f S.g S.h结构数组的形式输出 例1 求 2 1u dt du += 的通解. 解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t') 结 果：u = tg(t-c) 例2 求微分方程的特解. ???íì===++15 )0(',0)0(029422 y y y dx dy dx y d 解输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 结果为: y =3e -2x sin （5x ） 作品编号：51897654258769315745896 学校：五朱角市鸟砟镇四灵小学* 教师：猴挪黑* 班级：占卜参班* 第2课时一元二次方程的根及近似解 【知识与技能】 会进行简单的一元二次方程的试解. 【过程与方法】 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 【情感态度】 理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义. 一、情境导入，初步认识 学生活动：请同学独立完成下列问题. 问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为x2+82=102. 整理，得x2-36=0. 列表： 问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m. 根据题意，得x（x+2）=120. 整理，得x2+2x-120=0. 列表： 【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围. 二、思考探究，获取新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评： （1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解. （2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意. 【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 编号：54158543442893744576892562 学校：观音市阳沅镇普贤学校* 教师：黑白双雄* 班级：白云伍班* 第2课时一元二次方程的根及近似解 【知识与技能】 会进行简单的一元二次方程的试解. 【过程与方法】 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 【情感态度】 理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义. 一、情境导入，初步认识 学生活动：请同学独立完成下列问题. 问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为x2+82=102. 整理，得x2-36=0. 列表： 问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m. 根据题意，得x（x+2）=120. 整理，得x2+2x-120=0. 列表： 【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围. 二、思考探究，获取新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ （1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0老师点评： 的解. （2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意. 【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 三、运用新知，深化理解 2.5 二次函数与一元二次方程 第2课时利用二次函数求方程的近似根 学习目标: 体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标． 学习重点: 本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位． 学习难点: 应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆． 学习过程: 一、实例讲解： 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么 (1).h和t的关系式是什么？ (2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. 二、议一议： 在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题： (1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 三、例题： 【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为． 【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式． 【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式． 四、随堂练习： 1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证． （1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3． 实验三 求代数方程的近似根（解） 一、问题背景和实验目的 求代数方程0)(=x f 的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当)(x f 是一次多项式时，称0)(=x f 为线性方程，否则称之为非线性方程． 当0)(=x f 是非线性方程时，由于)(x f 的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求． 本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间],[b a ，或给出某根的近似值0x ．在实际问题抽象出的数学模型中，0x 可以根据物理背景确定；也可根据)(x f y =的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况． 通过本实验希望你能： 1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程； 2. 求代数方程（组）的解． 二、 相关函数（命令）及简介 1．abs( )：求绝对值函数． 2．diff(f)：对独立变量求微分，f 为符号表达式． diff(f, 'a')：对变量a 求微分，f 为符号表达式． diff(f, 'a', n)：对变量 a 求 n 次微分，f 为符号表达式． 例如： syms x t diff(sin(x^2)*t^6, 't', 6) ans= 720*sin(x^2) 3．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])：求解多项式11 n n n c x c x c ++++的所有 根．例如： 求解：32672270x x x ---=． p = [1 -6 -72 -27]; r = roots(p) r = 12.1229 -5.7345 -0.3884 4．solve('表达式')：求表达式的解． Jacobi 法解线性代数方程组 Jacobi 法解线性代数方程组算法： Step 1取初始点)0(x ，精度要求eps Step 2若ε>-∞+) ()1(k k x x 转到Step 3 否则转到Step 4 Step 3用下式计算：b D x U L D x k k 1)(1)1()(--+++=转到Step 2 Step 4停止计算（)1(+k x 作为线性方程组的解） Step 5 )22(6 43211k k k k h y y n n ++++ =+ Jacobi 法解线性代数方程组程序： function Jacobi(A,b,x0,eps) %A----线性方程组系数矩阵 %b----线性方程组的解（列向量） %x0---初始迭代点 %D----A 对角阵 %e----取误差（计算范数） D=diag(diag(A)); D=inv(D);%D 取自己的逆矩阵 L=tril(A,-1);%取下三角阵 U=triu(A,1);%取上三角阵 B=-D*(L+U); f=D*b; e=1000; while e>=eps x=B*x0+f; e=norm(x-x0); x0=x; end x 例：用Jacobi 迭代法解下列线性方程组 ???? ??????=????????????????????-1166122111221321x x x 输入：A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1]; b=[6;6;11]; x0=[0;0;0]; eps=1e-3; Jacobi(A,b,x0,eps) 得到： x = 2 3 1 指导教师： 年 月 日 课题：利用图像求一元二次方程的近似根 【教学目标】 1、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根； 2、经历由图像求方程近似根的探索活动，感受数学中“无限逼近”的重要思想方法，进一步利用计算器进行估算的能力； 3、通过独立思考、合作探究，体会数形结合的数学思想． 【教学重点】 利用二次函数y=ax2+bx+c的图像求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根． 【教学难点】 如何逐步缩小根的范围求方程的近似根． 【教学方法与教学手段】 本节课通过“预学单”引导学生课前自主学习，课堂先根据“预学单”反馈的情况开展教学活动，经历“个人思考---组内讨论---教师引导---学生归纳---教师总结”的过程，利用二次函数y=x2-2的图像求出方程x2-2=0介于1～2之间的近似根，然后让学生自主探究“如何利用函数y=x2+2x-5的图像求方程x2+2x-5=0介于1～2之间的近似根”，再运用所积累的经验在教师的引导下提出问题并解决问题。本节课主要通过小组交流讨论及师生对话的互动方式开展活动，在探索的过程中体验数学中“无限逼近”的重要思想和方法，进一步提高“数形结合”探讨问题的研究能力和借助计算器进行估算的方法与能力。 【教学流程】 一、预学导入 1、我们曾经求过2的近似值，你还记得是怎么求的吗？ 【设计意图】回顾逼近法求近似值的过程，为本节课的学习做好准备． 2、观察二次函数y=x2－1的图像，你可以得到哪些结论？ 【设计意图】回顾已学知识，重点关注函数与方程的关系，本题利用 函数图像能直接看出对应方程的根，为引出下面一个不能直接看出方 程根的问题作准备． 二、探索活动 活动一、利用二次函数y=x2－2的图像求方程x2－2=0介于1～2之间的根的近似值（精确到0.1）． 【设计意图】本题利用函数图像不能直接看出对应方程的根， 但可以看出根的范围，那么能否进一步缩小根的范围，使得结果 更为精确呢？借此引入课题．然后引导学生利用二次函数y=x2-2 的图像求方程x2-2=0介于1～2之间的根的近似值． 数学实验报告 实验序号：第二次 日期：2012年5月10日班级0920861小组成员姓名徐易斌；王勇王康 学号 301233实验名称：求代数方程的近似根 问题背景描述： 求代数方程0)(=x f 的根是最常见的数学问题之一，当)(x f 是一次多项式时，称0)(=x f 为线性方程，否则称之为非线性方程． 当0)(=x f 是非线性方程时，由于)(x f 的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求． 本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间],[b a ，或给出某根的近似值0x ． 实验目的： 1.了解代数方程求根求解的四种方法：对分法、迭代法、牛顿切线法 2.掌握对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程。 实验原理与数学模型： 1．对分法 对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根． 设)(x f 在],[b a 上连续，0)()(，()0f b <或()0f a <，()0f b >．则根据连续函数的介值定理，在),(b a 内至少存在一点ξ，使()0f ξ=． 下面的方法可以求出该根： (1)令02 a b x +=，计算0()f x ；(2)若0()0f x =，则0x 是()0f x =的根，停止计算，输出结果0x x =． 若0()()0f a f x ?<，则令1a a =，10b x =，若0()()0f a f x ?>，则令10a x =，1b b =；1112 a b x += ．……，有k a 、k b 以及相应的2k k k a b x +=．(3)若()k f x ε≤(ε为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果2 k k k a b x += ；反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．以上方法可得到每次缩小一半的区间序列{[,]}k k a b ，在(,)k k a b 中含有方程的根． 当区间长k k b a -很小时，取其中点2k k k a b x += 为根的近似值，显然有1111111()()()2222 k k k k k k x b a b a b a ξ--+-≤-=??-==- 以上公式可用于估计对分次数k ．2.迭代法 1)迭代法的基本思想： 第三讲 Matlab 求解代数方程组 理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项 软件求解：各种求解程序 讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组： 1111221121122222 1122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??? ?+++=? （1） 一、直接法 1.高斯消元法： 高斯消元法的基本原理： 在（1）中设110,a ≠将第一行乘以1 11 ,k a a - 加到第(2,3,,),k k n = 得： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2) 22112 (2)(2)(2)22n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ?+++=?++=??? ?++=? （2） 其中(1) (1)1111,.k k a a b b ==再设(2)22 0,a ≠将（2）式的第二行乘以(2)2 (2)22 ,(3,,)k a k n a -= 加到第k 行，如此进行下去最终得到： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2) 22112(1)(1)(1) 1,111,1()() n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b a x b --------?+++=?++=? ? ??+=? ?=? （3） 从（3）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1n x -，并如此进行 下去，即可依次将121,,,,n n x x x x - 全部解出，这样在() 0(1,2,,)k kk a k n ≠= 的假设 下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示： 若记11(),(,,),(,,)T T ij n n n n A a x x x b b b ?=== ，则（1）式可表为.Ax b =于是高斯第2课时一元二次方程的根及近似解
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