当前位置：文档之家› 高中立体几何大量习题集与答案解析

高中立体几何大量习题集与答案解析

A B

I J

立体几何

一、选择题

1. 给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两

个平面互相平行；③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等，则12,l l 互相平行；④若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线

AD 与BC 1所成角的余弦值是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

3 3. 一个长方体一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体对角线的长为

（）

A ．23

B ．32

C ．6

D ．6

4. 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，

G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点.将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（）

(

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．0°

5. 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱

长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．无穷多个

6. 正方体A ′B ′C ′D ′—ABCD 的棱长为a ，EF 在AB 上滑动，且|EF |=b （b ＜a ＝，Q 点在D ′C ′

上滑动，则四面体A ′—EFQ 的体积（） A ．与E 、F 位置有关 B ．与Q 位置有关

C ．与E 、F 、Q 位置都有关

D ．与

E 、

F 、Q 位置均无关，是定值

7. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为

1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是（）

A ．1，2，3

B ．2，4，6

C ．1，4，6

D ．3，6，9

8. 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体

的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1， S 2，则必有（） A ．S 1S 2 B ．S 1S 2 、

C ．S 1=S 2

D ．S 1，S 2的大小关系不能确定

9. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条

件甲是条件乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

10. 已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截

这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是（） A ．b =（2－1）a B ．b =（2+1）a C ．b =

22a

D ．b =

22a

+ 11. 已知向量a =(2，4，x)，b =(2，y ，2)，若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是 ( ) 12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体它的八个顶点都

在同一个球面上，这个球的表面积是( ) π B. 18π π D. 6π

13. 《 14. 已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( ) A ．34000cm 3 B ．3

8000cm 3

C ．32000cm

D ．34000cm

正视图

20侧视图

10 10

】

俯视图

15. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )

.1500 C 16.

一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )

17. 正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BB 1=4.长为1的线

段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R –PQMN 的体积是( ) A ．6 B ．10

C ．12

D ．不确定

18. 已知三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两互相垂直，OC ＝1，OA ＝x ，OB ＝y ，若

x+y=4，则已知三棱锥O －ABC 体积的最大值是 ( ) B.

13 C.2

D.3

19. 如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则

△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ( )

A ．①③

B ．②③④

C ．③④

D ．②④

20. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 ( )

B C

A 1

B 1

C 1

D 1P Q R

N M ① ② ③ ④

A B C

F G

S 2S B.πS 2S C.S 4

D.πS 4S 21. 已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB=2，CD=1，则异面

直线AB 与CD 所成角的大小为 ( )

A ．300

B ．450

C ．600

D ．750

22. ￥

23.

已知向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，且k a b +与2a b -互相垂直，则k 值是 ( ) A ．1 B ．

51 C ．53 D ．5

24. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )

个个个个

25. 三棱锥A-BCD 中，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形

EFGH 是( )

A.菱形

B.矩形

C.梯形

D.正方形

26. 在正四面体P —ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立

的是（） /平面PDF

⊥平面PAE

C.平面PDF ⊥平面ABC

D.平面PAE ⊥平面ABC

27. 一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积的比为1：3，则此截面把

一条侧棱分成的两线段之比为（）

；

：3 ：2 ： 3 ： 3 —1

28. 正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（）

A. 3 2

B. 3 6

C. 3 4

D. 3 3

29. 一个三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为1， 6 ,3

已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（） π π π π

30. 在棱长为a 的正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 、Q 是对角线A 1C 上的点，PQ=a

2 ,则三棱

锥P —BDQ 的体积为（） A.318a 3 B.324a 3 C.3

36a 3 D.不确定

31. 若三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则P 到平面ABC 的距离

为（）

A #

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

A. 6 6

B. 6 3

C. 3 6

D. 3 3

32. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最

小值为（） }

A. 3 +2 6 3 +2 6 3 + 2 6 3 D.4 3 +2 6 3

33. PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC 与

平面PAB 所成角的余弦值是（） A.12 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 3

34. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，任作平面α与对角线AC 1垂直，使得α与正方体的每个面

都有公共点，设得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则( ) 为定值，l 不为定值不为定值，l 为定值与l 均为定值

与l 均不为定值

二、填空题

35. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______． 36. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如

图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能

是：（）

①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7

以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号） 37. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为

8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达

1A 点的最短路线的长为 .

38.如图,表示一个正方体表面的一种展开图，图中

的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中

相互异面的有_____对

39.如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去一个角后的

40.多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,

https://www.doczj.com/doc/3c8785481.html,1=3.则这个多面体的体积为 .

主视图

俯视图左视图

B C

D1 A1

B C1A1

A B

42. 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与

平面B 1DC 所成角的正弦值为_______ ．

43. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，ACB ＝90，AC ＝6，BC ＝

CC 12，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是_________． 44. 】

45.

已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 ___________ ．

46. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则三角形的面积S= 1

2 r (a+b+c ) ,根据类比思

想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V=______________．

47. 四面体ABCD 中，有如下命题：①若AC ⊥BD ，AB ⊥CD ，则AD ⊥BC ；②若E 、F 、G

分别是BC 、AB 、CD 的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在面ABD 上的射影为△ABD 的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD 为正四面体 _ （填上所有正确命题的序号）．

C B

C 1

B 1

A 1 P

三、解答题

48. 在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C

B 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

49. 如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。点A 、B 在1l

上，C 在

l 上，AM MB MN ==.

（1）证明AC ⊥NB ；

（2）若60O ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.

。

50. 如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，p 是侧棱1CC

上的一点，m CP =.

（1）若直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为23，求m ；

（2）在线段11C A 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，Q D 1在平面1APD 上的

射影垂直于AP .并证明你的结论.

51. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为棱AB 、BC 、DD 1的中点，求证：PB ⊥平

面MNB 1。

52. | 53. 如图,在长方体ABCD─A 1B 1C 1D 1中,E 、P 分别是BC 、

A 1D 1的中点,M 、N 分别是AE 、CD 1的中点,AD=AA 1=a ,A

B =2a .

（1）求证:MN ∥面ADD 1A 1; （2）求三棱锥P─DEN 的体积.

54. 在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平

面PBC ，AB ∥CD ，AB=

DC ，中点为PD E . (1)求证：AE ∥平面PBC ； (2)求证：AE ⊥平面PDC.

55. 设空间两个不同的单位向量=(x 1，y 1，0)，=(x 2，y 2，0)与向量=(1，1，1)的夹角

都等于4

(1)求x 1+y 1和x 1y 1的值；

(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π).

56. 如图，棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、

N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点. 57. (1)证明：PB ⊥MB 1；

58. (2)在线段A 1D 1上求一点Q,使得QD ∥平面B 1MN ； 59. (3)画出这个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方

形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P 、B 两点间的距离.

60. 矩形ABCD 中，AB=3，BC=4(如图)，沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 在平面BCD

上的射影E 落在BC 上． (1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥A-BCD 的体积．

！

61. 如图，三棱锥P-ABC 中，∠ABC= 90，PA=1，AB=3，AC=2，PA ⊥面ABC ．

(1)求直线AB 和直线PC 所成角的余弦值； (2)求PC 和面ABC 所成角的正弦值；

B C

A 1

B 1

C 1

D 1

P A

B C

）

C，

62.已知三点)0,0,1(A，)1,1,3(B，)1,0,2(

(1)求与的夹角；

(2)求在方向上的投影.

;

63.有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、

焊损耗忽略不计)．有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长．

64.(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积V1；

65.(2)请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最

少，且所得长方体容器的容积V2＞V1．

66. 如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，AB ＝2，AA 12=，

由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与

AA 1的交点记为M ，求：

（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）该最短路线的长及A M

1的值；．

67. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动

点．试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F 。

；

68. 如图，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的

高都是2，AB =4．

C Q

）

(1)证明PQ ⊥平面ABCD ；

(2)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (3)求点P 到平面QAD 的距离．

参考答案

1 2 3 ·

5 6 7 8 D D D B D @

B C 9 10 11 12 13 14 15 ~

B C A D B C B A 17 （ 18 19 20 21 22 23 24 C C D |

D A B C 25 26 27 28 29 -

31 32 D

1. D ．利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D.

2. D ．由题意易知∠ABC 1是AD 与BC 1所成的角，解△ABC 1，得余弦为

.答案：D ． 3. D ．设长宽高为a 、b 、c ，则?????

???===????

????===312632222c b a ac bc ab l=6，答案：D ．

4. B ．平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF 的中点M ，连结IM 、MJ ，则

FD ，GH 2

FD ，∴MJ ∥GH ，∠IJM 为异面直线GH 与JI 所成的角.

H I

G ()

A ,

B ,

C F

ii.

由已知条件易证△MJI 为正三角形.∴∠IJM =60°.答案：B ．

5. D ．法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个

法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为

2，考查放入正方体后，面ABCD 所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是1,12??????

，所以该几何体的体积取值范围

是11,63??????

？

D ．V A′－EFQ =V Q －A′EF .

8. B ．

9. 9. C ．连OA 、OB 、OC 、OD 则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFD

V A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC 而每个三棱锥的高

都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公

共，故选C

10. {

11.

11. B ．乙?甲，但甲乙，例如四棱锥S —ABCD

的底面ABCD 为菱形，但它不是正四棱锥.

D B B

12. 12. C ．由平行锥体底面的截面性质，知

PO PM =22

，∴PO OM =222-.∴a

b = 222-.∴b=2

2- a.答案：C ． 13. A 由题知?????=++=++024*******x y x ????-==3,4y x 或???=-=.1,

4y x .

14.

D.先计算出三条棱的长度分别为1,2,3.所以体对角线长为6.所以外接球的直径为6,算出表面积为6π.

15. B. V=20×20×20/3 . 16.

C.提示:设圆锥母线长为L,底面半径为R,由题意知侧面积是底面积的2倍,所以有πRL=2πR 2,解出L=2R.侧面展开图扇形的弧长为2πR,半径为L=2R,所以扇形的圆心角大小为ππ=R

22. 17. B.

18. A.提示:连接PC,将四棱锥分割成成两个三棱锥M-PQR,P-MNR.分别计算两个三棱锥

的体积即可.

19.

20.

C.体积为.

322616

=??? ??+≤y x xy

21.

C.正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体

的边上，所以①②不正确，根据射影的性质E 、F 、G 、三点在平面ABC 内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示.

22. D.设底面直径为d,则侧面积为πd 2=S,所以d=

23. C.设AB 与CD 所成的角为θ

，则

><=,cos cos θ2

20000()0101,cos 11

090,60AB CD 60212

AB CD AB CD AC CD DB CD AC CD CD DB CD AB CD

θθθ??=++?=?++?=++=∴=?=

=<≤∴=?由于.由于，故异面直线与所成角的大小为.

24. D.k b a +=)2,,1()2,0,1()0,1,1(k k k -=-+，)2,2,3()2,0,1()0,1,1(22-=--=-b a ，

∵两向量垂直 ∴0222)1(3=?-+-k k ∴5

7=k . 25. A. 26.

33. 【

34.

．不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故

26cos 3

α=

35. ①③④⑤．如图，B 、D 、A 1到平面α的距离分别为

1、2、4，则D 、A 1的中点到平面α的距离为3，所以D 1到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离

为

，所以B 1到平面α的距离为5；则D 、B 的中点到平面α的距离为3

，所以C 到平面α的距离为3；C 、

A 1的中点到平面α的距离为7

，所以C 1到平面α的距

离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点，所以填①③④⑤．

36. 将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱CC 1展开，其侧面展开图如

图所示，由图中路线可得结论．

37. 解析：相互异面的线段有AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH3对.

38.

60.提示:用长方体的体积减一个三棱锥的体积.

39. 45

40. 5 2 41.

42. 1

3 r (S 1+S 2+S 3+S

4 )

A 1

B 1

C 1

D 1 第16题图

：

43.·

44.①③

43. 法一：连接D A 1，

D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角.

连接BD ，在△DB A 1中， 24,511===BD D A B A ，

则D

A B A BD D A B A D BA 112

212112cos ??-+=∠

552322525=

??-+=

. ∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为25

arccos

. 法二：以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立

空间直角坐标系.

（

则 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、，

得 )3,0,4(),3,4,0(11--=-=C B B A . 设B A 1与C B 1的夹角为θ，则25

9cos 1111=

??=

B B A

C B B A θ， ∴ B A 1与C B 1的夹角大小为25

arccos

，即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为

9arccos

. 44. （１）AM = MB = MN ，说明NM 是△ANB 的中线且为边AB 的一半，所以△ANB 是直角三角形，其中∠ANB 为直角。所以BN ⊥NA 。① 12l l ⊥且MN ⊥2l ?2l ⊥面ABN ?2l ⊥BN 。②

由①、②可推出BN ⊥面NAC 。所以AC ⊥BN 。（２）MN ⊥AB 且M 为AB 中点?AN = MN ③ 由（１）知，AN 、BN 、CN 两两垂直 ④

由③、④ ?AC = BC ，又∠ACB = 60?，所以△ABC

图 3

M N

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

必修2立体几何复习(知识点+经典习题)

必修二立体几何知识点与复习题一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点考点一,几何体的概念与性质【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；（2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小；（2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图