空间立体几何
考试范围： xxx ；考试时间：
100 分钟；命题人： xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
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评卷人 得分
一、选择题（题型注释）
1．如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCB-A 1B 1C 1D 1 的内切球，则平面 ACD 1截球 O 的 截面面积为（
）
（ A ） （ B ） （C ）
6 3
6
( D ）
6
3
3
2．一个几何体的三视图如图所示
, 且其侧视图是一个等边三角形 , 则这个几何的体积为
（ ）
（A ）
(4
) 3
（B ）(4
) 3
3
（C ）
(8
) 3
（D ）
(8
) 3
3
6
3．某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为（
）
2 2
2
侧视图
主视图
俯视图
A.3
B.10
C.6
D. 4
4．某简单几何体的三视图如图所示，其正视图．侧视图．俯视图均为直角三角形，面积分别是 1， 2， 4，则这个几何体的体积为 ( )
正视图侧视图
俯
视
图
A．4
B．
8
C． 4 D． 8 3 3
5 ．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： c m2）为（）
（A） 48+12（C） 36+122
2
（B） 48+24
（D） 36+24
2
2
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
1
1
1
1 1 正(主)视图
侧
俯视图
A ． 2
B
． 1
C
．
2
D
．
1
3
3
7．已知正方形 APP 1 2 P 3 的边长为 4，点 B, C 位边 PP 12, P 2 P 3 的中点，沿 AB, BC , CA 折 叠成一个三棱锥 P ABC （使 P 1 , P 2 , P 3 重合于点 P ），则三棱锥 P ABC 的外接球表
面积为
A. 24
B. 12
C.
8
D.
4
8．已知球的表面积为 20
，球面上有
A 、
B 、
C 三点，如果
AB=AC=2，BC=2 3 ，则球
心
到平面 ABC 的距离为
（
） A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 2
4
S i 9．设四面体的四个面的面积分别为S ,S
2
,S ,S
，它们的最大值为 S ，记
i 1
，
1
3
4
S
则有
（
）
A ．2< ≤4
B ．3< ≤4
C ．< ≤
D ．< ≤
10．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的
A 1
倍
B
2 倍 C 2
倍
D
2 倍
2
4
11．在 ABC 中， AB
2, BC 1.5, ABC 1200（如下图），若将 ABC 绕直线 BC
旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 A.
9
B.
7 C.
5 D. 3 2
2
2 2
12 ．在三棱锥
A BCD 中 , AC 底面 BCD ， BD DC ， BD DC ， AC a ，
ABC 30 ，,则点 C 到平面ABD的距离是( )
A ．5 15
a
3 15 5
a B． C ．a D． a
5 5 3
13．一个表面积为 36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为（）
A、 45π
B、 27π
C、 36π
D、 54π
14．如图，半球内有一内接正方体，则这个半球体积与正方体的体积之比为（）
A、 B 、 C 、D、
15．两个球的体积之比是，那么这两个球的表面积之比是（）
A、B、C、D、
16．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个
立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）
A、1∶2∶3
B、1∶∶ C 、1∶∶ D 、1∶2 ∶ 3
17 ．若球的大圆面积扩大为原来的 3 倍，则它的体积扩大为原来的（）倍
A、 3 B 、 9 C 、 27 D 、 3
18 ．球内接正方体的表面积与球的表面积的比为（）
A、 2: B 、 3: C 、 4: D 、 6:
19 ．球的体积是π，则此球的表面积是（）
A、 12 π B 、 16 πC、πD、π
20 ．在长方体 ABCD A1B1C1D1，底面是边长为 2 的正方形，高为4 ，则点A1到截面AB1 D1的距离为( )
A．8
B．
3
C．
4
D ．
3 3 8 3 4
21 ．直三棱柱 ABC A1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为 a ，点D是 CC1上任意一点，连接 A1B, BD , A1 D, AD ，则三棱锥 A A1BD 的体积为（）
A．1
a3 B ． 3 a3 C ． 3 a3 D ．
1
a3 6 12 6 12
22 ．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4 ，体积为 16 ，则这个球的表面积是（）
Ａ．16 Ｂ． 20 Ｃ．24 Ｄ． 32
23 ．中心角为135°的扇形，其面积为 B，其围成的圆锥的全面积为A，则 A：B 为（）A． 11： 8 B．3：8 C． 8：3 D． 13： 8
24 ．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（）A．B．C． D ．
25 ．直径为 10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（）
A．5 B．15 C ．25D．125
26．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比
（）
A．2：3：5 B ．2：3：4 C ．3： 5：8 D．4：6：9
27 ．两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是（）
A．B．1 C．2 D ．3
28 ．直三棱柱各侧棱和底面边长均为a，点 D 是 CC′上任意一点，连结 A′ B， BD，A′D， AD，则三棱锥 A— A′ BD的体积（）
A． B． C． D．
29 ．将一个边长为 a 的正方体，切成27 个全等的小正方体，则表面积增加了（）
A．B．
2 2 2 12a C． 18a D． 24a
30 ．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（）A．B． 1 C． 2 D． 3
31 ．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥
第 II卷（非选择题）
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评卷人得分
二、填空题（题型注释）
32．一个空间几何体的三视图( 单位：cm ) 如图所示，则该几何体的体积为_______ cm3．
33．一个四面体所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上，则此球表面积为。34．如图，平面四边形ABCD 中， AB AD CD 1 ， BD2, BD CD ，将其沿对
角线 BD 折成四面体A' BCD ，使平面A' BD平面BCD，若四面体A' BCD 顶点在同
一个球面上，则该球的体积为．
35．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且
直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为____________cm3．
36 ．三个球的半径之比为 1∶ 2∶3，则最大球的体积是其他两个球的体积之和的____倍
37 ．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后( 未弄破冰 ) ，冰面上留下了一个直径为24cm,
深为 8cm的空穴，则该球的半径为
38 ．如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水、若放入一个半径为r 的实
心铁球，水面高度恰好升高r ，则
39 ．把一个大的金属球表面涂漆，需油漆，若把这个金属球熔化，制成64 个半径相等的小金属球（设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，需用油漆。
40 /
12，则这个球的表面
．球 O 的一个小圆 O的面积为 25 ， O到此小圆截面的距离是
积为。
41 ．有 6 根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余 4 根均为，用它们搭成三棱锥，则
其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为.
42 ．在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：
①AB与 EF 所在的直线平行；② AB与 CD所在的直线异面；③ MN与 BF 所在的直线成 60°角；④ MN与 CD所在的直线互相垂直 . 其中正确的命题是 __________
D
F C B
E N A
M
43 ．P为边长为 a 的正三角形ABC 所在平面外一点且PA PB PC a ，则P 到AB 的距离为______。
44．空间四边形ABCD 中，E, F ,G, H分别是AB, BC ,CD , DA的中点，则 BC 与AD
的位置关系是_____________ ；四边形EFGH 是__________形；当___________时，四边形 EFGH 是菱形；当___________时，四边形EFGH 是矩形；当___________时，四边形 EFGH 是正方形
45 ．已知正三棱锥的侧面积为18 cm, 高为 3cm. 求它的体积．
46 ．球的表面积扩大为原来的 4 倍，则它的体积扩大为原来的___________ 倍
47 ．正六棱锥的高为 4cm，最长的对角线为 cm，则它的侧面积为 _________．
评卷人得分
三、解答题（题型注释）
48．（本题满分14 分）
如图，已知正三棱柱ABC — A1 B1C1的底面边长是2 ， D 是侧棱CC1的中点，直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为45o．
⑴求此正三棱柱的侧棱长；
⑵求二面角 A BD C 的平面角的正切值；
⑶求直线 BC 与平面 ABD 的所成角的正弦值．
49．如图，PA ⊥平面ABCD，ABCD是矩形， PA AB 1，AD 3，点F是PB 的中点，点 E 在边BC上移动．
(1)求三棱锥 E PAD 的体积；
(2) 当点 E 为BC的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；
(3) 证明：无论点 E 在边BC的何处，都有 PE AF .
50．（本题满分 12 分）
如图，轴截面为边长是 2 的正方形的圆柱OO1内有一个三棱柱ABC A1 B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O的直径．AOC60
（1）求三棱柱AOC A1O1C1的体积；
（2）证明：平面AA1C1C⊥平面BB1C1C
B1 O 1 A1
C 1
B O A
C
51 ．正三棱锥 P— ABC的侧棱长为 l ，两侧棱的夹角为 2 ，求它的外接球的体积。
52 ．已知：球的半径为R，要在球内作一内接圆柱，问这个圆柱的底面半径和高为何值
时，它的侧面积最大？
53．在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别是49π和400π、
求球的表面积、
54．如图，正三棱柱ABC— A1B1C1的底面边长的3，侧棱 AA1=D 是 CB延长线上一点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：直线BC1
参考答案
1． A
【解析】
试题分析：根据正方体的几何特征知，平面 ACD1是边长为2的正三角形，且球与与
以点 D为公共点的三个面的切点恰为三角形 ACD1三边的中点，故所求截面的
面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得，△ ACD1内切圆的半径是2
×tan30°=
6
，
2 6
则所求的截面圆的面积是π × 6 ×6
= ，
6 6 6
故选 A．
考点：正方体及其内接球的几何特征
点评：中档题，关键是想象出截面图的形状，利用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。
2． D
【解析】
试题分析：观察三视图知，该几何体是半个圆锥与一个四棱锥的组合体。因为，其侧视图是
一个边长为 2 的等边三角形 , 所有，几何体高为 3 。圆锥底半径为1，四棱锥底面边长为2，
故其体积为，1
1 3 1 2
2
3 (8
) 3
，选 D。
2 3 3 6
考点：三视图，体积计算。
点评：简单题，三视图问题，关键是理解三视图的画法规则，应用“长对正，高平齐，宽相
等”，确定数据。认识几何体的几何特征，是解题的关键之一。
3．
【解析】 D
试题分析：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，底面圆的半径为1，高为2 2 ，所以圆
锥的母线长为 3，所以圆锥的表面积为12 134.
考点：本小题主要考查根据三视图识别几何体和圆锥表面积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
点评：解决此类问题，关键是根据三视图正确还原几何体.
4． A
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是一个底面是直角三角形，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，设底面直角三角形的两条直角边分别为a, b ，垂直于底面的侧棱长为 c ，所以
ab 2,bc 4,ac 8 ，所以该三棱锥的体积为 1 1
a b c 4 .
3 2 3
考点：本小题主要考查三视图的应用和三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 .
点评：解决此类问题关键是根据三视图正确还原几何体.
5． A
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，所以全面积为
1
56 2 1
6 6
1
62 4 48 12 2.
2 2 2
考点：本小题主要考查三视图和空间几何体的表面积的计算，考查学生的空间想象能力和运
算求解能力 .
点评：求解与三视图有关的问题，关键是正确还原几何体.
6． C
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，该几何体的高是1，
底面是对角线为 2 的正方形，所以该几何体的体积为1 ( 2)2
1
2 .
3 3
考点：本小题主要考查几何体的三视图的识别和应用以及四棱锥体积的计算，
间想象能力和运算求解能力.
点评：解决与三视图有关的问题，关键是由三视图正确还原几何体.
7． A
考查学生的空
【解析】
试题分析：折叠后的三棱锥
P ABC 中PA, PB, PC 两两垂直，所以三棱锥的外接球与以PA, PB, PC 为临边的长方体外接球是相同的，球的直径2R 等于长方体体对角线 2 6 ，R6S 4 R2 24
考点：三棱锥外接球
点评：解本题的关键点在于利用
8 ． A
PA, PB, PC 两两垂直将三棱锥外接球转化为长方体外接球
【解析】由球的表面积公式可知S
球
4 R2 20 , R
5 ,
所以因为AB=AC=2 ，BC=2 3 ，所以BAC 120o, 所以
BC
2r , 2 3
2r , r 2 , 所以球心到平面ABC的距离为
sin120 o sin120 o
d( 5)2 22 1.
9 ． A
【解析】当 S1=S2=S3=S4=S 时，λ =4；当高趋向于零时，λ无限接近 2
10． B
【解析】根据斜二侧画法可知，平行与x轴的不变，y轴的缩为原来的一半，则一个三角形，
采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的
2
倍，选 B. 4
11． D
【解析】根据旋转体的概念可知，ABC 中，AB 2, BC 1.5, ABC 1200 ，若将ABC
绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积大圆锥减去小的圆锥的体积，则可知是3
，2
选D.
12． B
【解析】因为三棱锥 A BCD 中, AC 底面BCD ，BD DC，BD DC ，AC a ，ABC 30 ，,则点 C 到平面ABD 的距离是15 a ，选 B
5
13． D
【解析】因为球的表面积为 36π，所以球的半径为 3，因为
该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为 3，高为6，
所以圆柱的表面积S 2 32 2 3 6 54 .
14． B
【解析】若正方体的棱长为 a ，半球的半径为R，
在直角三角形 OAA 中，R a 2 ( 2a )2 6
a ，
2 2
1 4
（6a 3
V半球2 3 2 ） 6
a3 。
V
正方体 2 15． B
4
r 3
8 r 2 ;则
4
r 2 4
【解析】设半径分别为r,R; 则3
, .故选B 4 3 27 R 3 4 R2 9
3 R
16． A
【解析】设立方体棱长为a, 甲，乙，丙三个球半径分别为r , s, t; 则
r
1
a, s
2
a, t
3
a; 则 r 2 : s 2 : t 2 1: 2:3.故选 A
2
2
2
17． D
【 解 析 】 设 球 扩 大 前 后 半 径 为 r,R; 则 4 R 2
3 4 r 2. R
3r ; 扩 大 后 体 积 为
4 R 3
4 ( 3r ) 3
3 3
4
r 3 . 故选 D
3
3
3
18． A
【解析】若正方体的棱长为
a ，则球的半径为
3
a ，
2
S 正方体
6a 2
2 。
S 球
4 ( 3 a) 2
2 19． B
【解析】设球的半径为
R,则
4
R 3
32 ，
所以 R 2
3
3
，
球的表面积 S 4 R 2 16 。
20．C
【 解 析 】利用三棱锥 A 1 AB 1 D 1 的体积变换： V A
AB D
V A A B D ，则 1
2 4
1 6 h
1
1 1
1 1 1
3
3 21．B
【解析】V A ABD
V D ABA
1
Sh
1 a 2
3a
3a 2
1
1
3
3 2
2 12
22．C
【 解 析 】正四棱柱的底面积为 4 ，正四棱柱的底面的边长为 2 ，正四棱柱的底面的对角线
为 2
2 ，正四棱柱的对角线为
2 6 ，而球的直径等于正四棱柱的对角线，
即 2R 2 6，R
6, S 球
4 R 2
24
23．A
【解析】设扇形半径为 R,则 A
13R 2
3 R 2; 圆 锥 底 面 圆 半 径 为 r, 则
2 4 8
2 r
3
R, r
3
R;所以 B A r
2
3 R 2
(3
R)2
33
R 2.所以
4
8
8
8
64
A :
B 11:8. 故 选 A
24．B
【 解 析 】设 正 方 体 棱 长 为 a, 球 半 径 为 r; 由 条 件 知 a 2r .则 球 表 面 积 正方体的表
面积之比为 4 r
2
4 r 2 6 .故选 B 6a 2
6(2 r )2
25．D
【 解 析 】 设 个 数 为 n; 则
4
5
3
n
4
13 , n 125. 故 选 D
3
3
26．D
【 解 析 】 设球的半径为： 1，
则球的外切圆柱的底面半径为：
1，高为： 2，
球的外切等边圆锥的底面半径为： 3 ，圆锥的高为： 3
所以球的体积为：
4
3
圆柱的体积： 2×π1 2=2π
圆锥的体积：
1
33 3
2
3
一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比 3π 即 4： 6：9 故选 D 27．B 【解析】
设两个球的半径分别为 r 1， r 2，那么：
4
（ r 13 r 2 3） 12
3
2 （r 1 r 2） 6 于是： r 1
3 r 2 3 9 r 1 r 2 3
r 13 r 23 （ r 1 r 2）（ r 12 r 2 2 r 1 r 2）
即： 9 （ 2 2 r 1
）
3 r 1 r 2 r 2
r 12
r 2 2 r 1 r 2
3
（r 1
2
r 2 3 r 2） 3r 1 r 1 r 2 2
于是： r 1 2 r 2 2 r 1
r 2 r 1 r 2
3 2
（r 1
2
1
r 2） r 1 r 2 1
故选 B
28．C
【 解 析 】 如图，由题意得；三棱锥
A-A 1BD 的体积等于三棱锥 B-AA 1D 的体
积．
所以：
V 三棱锥 B
AA D
1 S △ AA 1 D h 1 1 a a
3 a
=
3 a 3
1
3 3 2 2 12
4
： 2π：
3
故选 C.
29．B
【解析】 27 个全等的小正方体的棱长为 1 a; 边长为a的正方体的表面积为6a2; 27个全等
( 1
a) 2
3
的小正方体的表面积和为 27 6 18a2 ; 则表面积增加了 12a2。故选 B
3
30．D
【解析】设球半径为 R,则4
R3 4 R2, R 3.故选D 3
31．D
【解析】正四面体，正方体，正五棱锥的底面边长与侧棱长相等。因为正六边形的中心到各个顶点的距离相等且等于正六边形的边长，所以不存在底面边长和侧棱长相等的六棱锥，故选 D
32．
8
3
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是一个底面是边长为 2 的正方形，由一条长度为 2 的侧
棱垂直于底面的四棱锥，所以该四棱锥的体积为1
2
8 3
2 2.
3
考点：本小题主要考查空间几何体的三视图和空间几何体的体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 .
点评：求解与三视图有关的几何问题的关键是根据三视图正确还原几何体.
33．3
【解析】
试题分析：显然该四面体是一个正四面体，把这个正四面体置于一个正方体中，在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 中，由四个顶点 A , B, C , D 组成的四面体的所有棱长均为 2 , 从而四面体的外接球就是正方体的外接球，由于正方体的体对角线长为 3 ，所以球的半径
为3
，所以球的表面积为 4 ( 3)2 3 .
2 2
考点：本小题主要考查四面体与外接球的关系和球的表面积的计算，考查学生的空间想象能
力和运算求解能力 .
点评：此题的解法很特殊但是很有效，其实借助规则的几何体进行解题是常用的解题方法.
34．3 2
【解析】
试题分析：由题意可知， A B A C ,所以若四面体A' BCD 顶点在同一个球面上，则BC 为球的直径，所以BC 3, 所以球的半径为 3 ，由球的体积公式可知该球的体积为
2
4 ( 3 )3 3 .
3 2 2
考点： 本小题主要考查球内接多面体， 球的体积等， 考查学生的空间想象能力和运算求解能
力 .
点评：本题属于比较基础的题目，正确求出球的半径是解题的关键 .
35．
1
6
【解析】
试题分析： 由三视图可知， 该几何体是一个三棱锥， 该三棱锥底面为直角边为 1 的等腰直角
三角形，由一条侧棱垂直于底面，长度为 1，所以该几何体的体积为
1 1 1
3 2
111.
6
考点：本小题主要考查由几何体的三视图还原几何体和空间几何体的体积计算， 考查学生的
空间想象能力和运算求解能力 .
点评：解决此类问题的关键是根据三视图还原几何体，
另外有时此类题目还考查表面积的计
算 . 36． 3
【解析】不妨三个球半径分别为
1,2,3 ；则最大球的体积为
4 33 36 ; 其他两个球的体
3
积之和为
4
13 4 23
12 . 则最大球的体积是其他两个球的体积之和的
3 倍 .
3
3
37． 13cm
【解析】设球半径为
R ，则 R 2 (R 8) 2 122. 解得 R 13.
38．
【解析】根据题意可得：
39． 9、 6 kg
4 r 3 R 2
r , R
4r 2 3 r ，所以 R
2 3 . 3
3
3 r
3
【解析】设大的金属球半径为
R, 64 个半径相等的小金属球半径为
r;
4 R 3
64 4 r 3 ，
3
3
则 r
1
R; 于是 64 个半径相等的小金属球的表面积和
64 4 r
2
64 4 (1
R)
2 16 R 2
4
4
是大的金属球表面积的 4 倍；所以需用油漆 2.4
4 9.6kg.
40． 676
【解析】因为小圆 O / 的面积为 25 ，所以小圆 O / 的半径为 5，
球的半径 R
52 122
13，
所以球的表面积 S 4 R 2
4
13 2
676 。
41．或 0
【解析】依题意可得，三棱锥中较长的两条棱长为 3a, 2a ，设这两条棱所在直
线的所成角为
。若这两条棱相交，则这两条棱长所在面的第三条棱长为
a ，由余弦定理可
得 cos
( 3a)2 ( 2a)2 a 2
6
。若这两条棱异面，如图，不妨设
2 3a 2a
3
AC
3a, BD
2a ，取 BD 中点 E ，连接 AE, CE 。因为 AB AD BC CD a ， 所以有AE BD, CE
BD
，从而有BD 面 ACE ，所以 BD
AC ，则
cos
cos90 o 0
42．② ④
【解析】由展开图可知，各点在正方体中的位置如下
由图可知， AB EF 且异面，①不正确；
AB 与 CD 异面，②正确； MN / / BF ，③不正
确； MN CD ，④正确
43 ．
3a
2
【解析】
如图，设O 是点P 在平面 ABC 内射影，连接CO 并延长交 AB 于点 E 。因为
PA PB PC a ，所以点 O 是 ABC 的中心。因为 ABC 是边长为 a 的正三角形，所
以 OE AB ，而 P O AB ，所以 AB 面 POE ，从而可得 AB PE ，所以 PE 长为点 P
到 AB 距离。而
PAB 是边长为 a 的正三角形， E 是 AB 中点，所以可得 PE
3 a
2
44 ． 异面直线；平行四边形； BD AC ； BD
AC ； BD AC 且 BD
AC
【解析】
由图可知， BC, AD 为异面直线。因为 E, H 分别是 AB, AD 中点，所以 EH / / 1
BD 。同 理可得 FG / / 1
BD ，所以 EH / /FG ，则四边形 EFGH 是平行四边形。
2
2
由上可得 EF//
1
AC ，当四边形 EFGH 是菱形时， EF
EH ，即 1 AC
1
BD ，所以
2
2 2
可得 BD
AC 。
当四边形 EFGH 是矩形时， EF EH ，因为 EF / / AC, EH / / BD ，所以可得 BD AC 。
当四边形 EFGH 是正方形时，有 EF
EH 且EF
EH ，从而可得 BD AC 且
BD AC
45 ． cm 3
3 1
3
ah 18
【 解 析 】 设 底 面 边 长 为 a ， 斜 高 为 h ; 则 2
， 解 得 a
6.所以正
( 3
a) 2
32
h 2
6
三棱锥的体积为
13
62
3 93.
3
4
46 ． 8
【 解 析 】设 球 半 径 为 r , 扩 大 后 球 半 径 为 R; 则 4 R 2 4 4 r 2 , R 2r . 于 是 扩 大
后体积为 4
R 3
4 (2 r )3 8 4
r 3 . 所 以 它的体积扩大为原来的 8 倍 .
3
3
3 47 ． cm
【解析】由条件知：正六棱锥底面边长为 2 3;则斜高为
4 (
3
2 3)2 5; 所以正
2
六棱锥的侧面积为
6
1 3 5 30
3.
2
2
48．（1） 2 2 （2） 3（3）
30 10
【解析】
试题分析：（ 1）设正三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 的侧棱长为 x ．取 BC 中点 E ，连接 AE ．
ABC 是正三角形，
AE
BC ．
又底面 ABC
侧面 BBC C ，且交线为 BC ．
1 1
AE 侧面 BB 1C 1C ．
连 ED ，则直线 AD 与侧面 BB 1C 1C 所成的角为 ADE
45o ．
在 Rt AED 中， tan 45o
AE 3 ，解得 x 2 2 ．
ED
x 2
1
4
此
正
三
棱
柱
的
侧 棱 长
为
2 2 ．
4 分
（2）过 E 作 EF BD 于F ，连AF ，
AE 侧面 BB 1C 1 C, AF
BD ．
AFE 为二面角 A
BD C 的平面角．
在 Rt BEF 中， EF
BE sin EBF ，