第三节 抛物线
高考试题
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y 2
=2px(p>0)的准线与圆x 2
+y 2
-6x-7=0相切,则p 的值为( )
(A)
12
(B)1 (C)2 (D)4
解析:圆x 2
+y 2
-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2
+y 2
=16,∴圆心为(3,0),半径是4, 抛物线y 2
=2px(p>0)的准线是x=-2
p , ∴3+
2
p
=4, 又p>0,解得p=2.故选C. 答案:C
2.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2
=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A)
34
(B)1
(C)
54
(D)
74
解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12
=3,
∴x A +x B =
52
. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2
A B
x x +=
54
.故选C.
故选C. 答案:C
3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )
(C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2
=2px(p>0),则M 到焦点的距离为x M +
2p =2+2
p
=3,∴p=2,∴y 2
=4x.∴
2
y =4×2,∴故选B.
答案:B
4.(2010年上海卷,理3)动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程是 .
解析:由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以F 为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y 2
=8x. 答案:y 2
=8x
5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 m.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为
x 2
=-2py(p>0),
则A(2,-2),将其坐标代入 x 2
=-2py,得p=1.∴x 2
=-2y.
当水面下降1 m,得D(x 0,-3)(x 0>0), 将其坐标代入x 2
=-2y 得2
0x =6,
∴x 0∴水面宽
答案6.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到抛物线准线的距离为 .
解析:由已知得B 点的纵坐标为1,横坐标为4p ,即B ,14p ?? ???
,将其代入y 2
=2px 得1=2p ×4p ,解得则B
点到准线的距离为2p +4p =34.
答案考点二 抛物线的几何性质及其应用
1.(2011年四川卷,理10)在抛物线y=x 2
+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2
+5y 2
=36相切,则抛物线顶点的坐标为( )
(A)(-2,-9)
(B)(0,-5)
(C)(2,-9) (D)(1,-6)
解析:当x 1=-4时,y 1=11-4a;当x 2=2时,y 2=2a-1,所以割线的斜率k=
11421
42
a a --+--=a-2.设直线与抛物
线的切点横坐标为x 0,由y ′=2x+a 得切线斜率为2x 0+a,∴2x 0+a=a-2,∴x 0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1), 即(a-2)x-y-6=0.
圆5x 2
+5y 2
=36的圆心到切线的距离
.=
即(a-2)2
+1=5. 又a ≠0,∴a=4,此时y=x 2
+4x-5=(x+2)2
-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.
答案:A
2.(2009年四川卷,理9)已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1,抛物线y 2
=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )
(A)2 (B)3 (C)
115
(D)
3716
解析:如图所示,动点P 到l 2:x=-1的距离可转化为点P 到点F 的距离.由图可知,距离和的最小值即F 到直
线l 1的距离=2.故选A.
答案:A
3.(2009年福建卷,理13)过抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p= .
解析:∵F 02p ?? ???
，,∴设AB:y=x-2p ,与y 2=2px 联立,得x 2
-3px+
24p =0.∴x A +x B =3p. ∴|AB|=x A +x B +p=4p=8,得p=2. 答案:2
4.(2010年大纲全国卷Ⅱ,理15)已知抛物线C:y 2
=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)的直线与l
相交于点A,与C 的一个交点为B,若AM =MB ,则p= .
解析:如图所示,由AB
知∠α=60°, 又AM =MB , ∴M 为AB 的中点.
过点B 作BP 垂直准线l 于点P, 则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°. ∴|BP|=
1
2
|AB|=|BM|, ∴M 为焦点,即2
p
=1,∴p=2. 答案:2
考点三 直线与抛物线位置关系
1.(2013年大纲全国卷,理11)已知抛物线C:y 2
=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点,若MA ·MB =0,则k 等于( )
(A)
12
(B)
2
解析:法一 设直线方程为y=k(x-2),A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),
由()2
2,
8,
y k x y x ?=-??
=?? 得k 2x 2
-4(k 2
+2)x+4k 2
=0,
∴x 1+x 2=()22
42k k
+,
x 1x 2=4,
由MA ·MB =0, 得(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=
(x 1+2)(x 2+2)+[k(x 1-2)-2][k(x 2-2)-2]=0, 代入整理得k 2
-4k+4=0,
解得k=2.故选D.
法二 如图所示,设F 为焦点,取AB 中点P, 过A 、B 分别作准线的垂线,垂足分别为G 、H, 连接MF,MP,
由MA ·MB =0, 知MA ⊥MB, 则|MP|=
1
2
|AB|=
12
(|AG|+|BH|),
所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线, 所以MP ∥AG ∥BH, 所以∠GAM=∠AMP=∠MAP, 又|AG|=|AF|, |AM|=|AM|, 所以△AMG ≌△AMF, 所以∠AFM=∠AGM=90°, 则MF ⊥AB,所以k=-1MF
k =2.
答案:D
2.(2010年辽宁卷,理7)设抛物线y 2
=8x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为
那么|PF|等于( )
(B)8
(D)16
解析:如图所示,直线AF 的方程为
与准线方程x=-2联立得
设P(x 0
代入抛物线y 2
=8x,
得8x 0=48,∴x 0=6, ∴|PF|=x 0+2=8,选B. 答案:B
3.(2012年安徽卷,理9)过抛物线y 2
=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( )
解析:如图所示,由题意知,抛物线的焦点F 的坐标为(1,0), 又|AF|=3,由抛物线定义知:点A 到准线x=-1的距离为3,
∴点A 的横坐标为2. 将x=2代入y 2
=4x 得y 2
=8,
由图知点A 的纵坐标
∴
∴直线AF 的方程为
联立直线与抛物线的方程)21,
4,
y x y x ?=-??
=??
解之得1,
2x y ?
=???=?
或2,x y =???=??
由图知
B 1,2? ?,
∴S △AOB =
12|OF|·|y A -y B |=12×1×
3
2
故选C.
答案:C
4.(2009年天津卷,理9)设抛物线y 2
=2x 的焦点为F,过点
,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,与抛物
线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比
BCF
CF
S S △△A 等于( ) (A)
45
(B)
23
(C)
47
(D)
12
解析:如图所示,设过点
,0)的直线方程为
),代入y 2=2x 并整理,得k 2x 2
k 2+2)x+3k 2
=0,
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则x 1+x 2
,x 1x 2=3,
因为|BF|=2,所以|BB ′|=2, ∴x 2=2-12=32
, 从而x 1=
2
3
x =2. 设点F 到直线AC 的距离为d, 则
BCF
CF
S S △△A =1
212
BC d AC d
??=BC BB AC AA '='
=2122+=45.
故选A. 答案:A
5.(2009年大纲全国卷Ⅱ,理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2
=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k 等于( )
(A)
13
(C)
23
解析:将y=k(x+2)代入y 2
=8x,得 k 2x 2
+(4k 2
-8)x+4k 2
=0.
设交点的横坐标分别为x A ,x B , 则x A +x B =
2
8k -4,①
x A ·x B =4.
又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2, |FA|=2|FB|, ∴2x B +4=x A +2. ∴x A =2x B +2.② ∴将②代入①得x B =
2
83k -2,
x A =
2
163k -4+2=
2
163k -2.
故x A ·x B =22
8162233k k ????
--
???????=4. 解之得k 2
=
89
.
而k>0,∴,满足Δ>0.故选D.
答案:D
6.(2013年安徽卷,理13)已知直线y=a 交抛物线y=x 2
于A,B 两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB 为直角,则a 的取值范围为 .
解析:设直线y=a 与y 轴交于点M,抛物线y=x 2
上要存在C 点,使得∠ACB 为直角,只要以|AB|为直径的圆与抛
物线y=x 2
有交点即可,也就是使|AM|≤|MO|,a(a>0),所以a ≥1.
答案:[1,+∞)
7.(2012年重庆卷,理14)过抛物线y 2
=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A,B 两点,若|AB|=25
12
,|AF|<|BF|,则|AF|= .
解析:由于y 2
=2x 的焦点坐标为1,02?? ???,设AB 所在直线的方程为y=k 12x ??- ???,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1 y=k 12x ??- ???代入y 2=2x,得k 22 12x ??- ???=2x, ∴k 2x 2 -(k 2 +2)x+2 4 k =0. ∴x 1x 2= 14 . 而x 1+x 2+p=x 1+x 2+1=2512 , ∴x 1+x 2= 1312 . ∴x 1=13,x 2=34. ∴|AF|=x 1+2p =13+12=5 6 . 答案: 56 8.(2010年重庆卷,理14)已知以F 为焦点的抛物线y 2 =4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB ,则弦AB 的中点到准线的距离为 . 解析:F 的坐标为(1,0). 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∵AF =3FB , ∴(1-x 1,-y 1)=3(x 2-1,y 2), ∴1-x 1=3x 2-3, 且-y 1=3y 2, 即x 1+3x 2=4,y 1=-3y 2. 设直线AB 的方程为y=k(x-1), AB 中点为P(x 0,y 0). 由()24,1, y x y k x ?=??=-??得ky 2-4y-4k=0. ∴y 1y 2=-4. ∴21y =12, 22y = 4 3 . ∴x 1=3,x 2=1 3. ∴x 0= 122x x +=5 3 . ∴中点P 到准线x=-1的距离d=53-(-1)= 8 3 . 答案: 8 3 9.(2012年辽宁卷,理15)已知P,Q 为抛物线x 2 =2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A 的纵坐标为 . 解析:y= 12 x 2 ,y ′=x, 由题意P(4,8),k 1=y ′|x=4=4, 切线为y=4x-8, Q(-2,2),k 2=y ′|x=-2=-2, 切线为y=-2x-2. 由48,22y x y x =-??=--?得A(1,-4). 答案:-4 10.(2012年北京卷,理12)在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2 =4x 的焦点F,且与该抛物线相交于A,B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为 . 解析:∵抛物线y 2 =4x, ∴焦点F 的坐标为(1,0). 又∵直线l 倾斜角为60°, , ∴直线方程为 (x-1). 联立方程)2 1,4,y x y x ?-??=?? 解得111,3x y ?=????=?? 或223,x y =???=?? 由已知得A 的坐标为 ), ∴S △OAF = 12|OF|·|y A |=1 2 ×1× 答案 11.(2012年新课标全国卷,理20)设抛物线C:x 2 =2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B,D 两点. (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为求p 的值及圆F 的方程; (2)若A,B,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m,n 距离的比值. 解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径又点A 到l 的距离 而S △ABD ∴1 2 |BD|· 即 1 2 ×2p ∴p=-2(舍去)或p=2, ∴圆F 的方程为x 2 +(y-1)2 =8. (2)∵A 、B 、F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°. 又由抛物线定义知|AD|=|FA|= 1 2 |AB|, ∴∠ABD=30°,m 的斜率为, 当m ,可设n 方程为x+b. 代入x 2 =2py 得x 2 px-2pb=0, 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43 p 2 +8pb=0 ∴b=-6 p , 又∵m 的截距b 1= 2p ,1b b =3, ∴坐标原点到m 、n 距离的比值为3. 当m 的斜率为,由图形对称性知,坐标原点到m 、n 的距离之比仍为3. 12.(2013年广东卷,理20)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为 设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点. (1)求抛物线C 的方程; (2)当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 解:(1)依题意,设抛物线C 的方程为x 2 =4cy, 结合c>0,解得c=1.所以抛物线C 的方程为x 2 =4y. (2)抛物线C 的方程为x 2 =4y, 即y= 14x 2,求导得y ′=12 x. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)（其中y 1=214x ,y 2=2 2 4 x ）, 则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,1 2x 2. 所以切线PA 的方程为y-y 1= 1 2 x (x-x 1), 即y=1 2x x-212x +y 1,即x 1x-2y-2y 1=0. 同理,可得切线PB 的方程为x 2x-2y-2y 2=0. 因为切线PA,PB 均过点P(x 0,y 0), 所以x 1x 0-2y 0-2y 1=0,x 2x 0-2y 0-2y 2=0. 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x-2y 0-2y=0的两组解. 所以直线AB 的方程为x 0x-2y 0-2y=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1, 所以|AF|·|BF|=(y 1+1)(y 2+1)=y 1y 2+(y 1+y 2)+1. 联立方程002220,4,x x y y x y --=???=?? 消去x 整理得y 2 +(2y 0-20x )y+20y =0, 由根与系数的关系可得y 1+y 2=20x -2y 0,y 1y 2=20y , 所以|AF|·|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=20y +20x -2y 0+1. 又点P(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=y 0+2. 所以20y +20x -2y 0+1=220y +2y 0+5=2（y 0+12）2+92 . 所以当y 0=- 12时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为9 2 . 13.(2013年湖南卷,理21)过抛物线E:x 2 =2py(p>0)的焦点F 作斜率分别为k 1,k 2的两条不同直线l 1,l 2,且k 1+k 2=2,l 1与E 相交于点A,B,l 2与E 相交于点C,D,以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为l. (1)若k 1>0,k 2>0,证明:FM ·FN <2p 2 ; (2)若点M 到直线l 求抛物线E 的方程. 解:(1)由题意知,抛物线E 的焦点为F 02p ?? ???，, 直线l 1的方程为y=k 1x+2 p . 由12,22p Y k x x py ? =+???=? 得x 2 -2pk 1x-p 2 =0. 设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 1,x 2是上述方程的两个实数根, 从而x 1+x 2=2pk 1, y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+p=2p 21k +p. 所以点M 的坐标为（pk 1,p 21k + 2 p ）, FM =(pk 1,p 21k ). 同理可得点N 的坐标为(pk 2,p 22k +2 p ), FN =(pk 2,p 22k ), 于是FM ·FN =p 2 (k 1k 2+21k 22k ). 因为k 1+k 2=2,k 1>0,k 2>0,k 1≠k 2, 所以0 =1. 故FM ·FN (1+12 )=2p 2 . (2)由抛物线的定义得|FA|=y 1+2 p , |FB|=y 2+ 2 p , 所以|AB|=y 1+y 2+p=2p 21k +2p, 从而圆M 的半径r 1=p 21k +p. 故圆M 的方程为(x-pk 1)2 +(y-p 21k -2 p )2=(p 21k +p)2 , 化简得x 2 +y 2 -2pk 1x-p(221k +1)y-34 p 2 =0. 同理可得圆N 的方程为x 2 +y 2 -2pk 2x-p(222k +1)y- 34 p 2 =0. 于是圆M,圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2-k 1)x+(22k -21k )y=0. 又k 2-k 1≠0,k 1+k 2=2, 则l 的方程为x+2y=0. 因为p>0, 所以点M 到直线l 的距离为 2 117248p k ????++?? ???. 故当k 1=- 1 4 时, d 由题设 解得p=8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2 =16y. 14.(2013年陕西卷,理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程; (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P,Q,若x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明直线l 过定点. (1)解:如图所示,设动圆圆心O 1(x,y), 由题意,|O 1A|=|O 1M|, 当O 1不在y 轴上时, 过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H, 则H 是MN 的中点, ∴|O 1 又|O 1 化简得y 2 =8x(x ≠0). 又当O 1在y 轴上时,O 1与O 重合,点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2 =8x, ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2 =8x. (2)证明:由题意,设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0), P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), 将y=kx+b 代入y 2 =8x 中,得k 2 x 2 +(2bk-8)x+b 2 =0, 其中Δ=-32kb+64>0. 由根与系数的关系得,x 1+x 2= 2 82bk k -,① x 1x 2=2 2b k ,② 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线, 所以 111y x +=-221 y x +, 即y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=0, (kx 1+b)(x 2+1)+(kx 2+b)(x 1+1)=0, 2kx 1x 2+(b+k)(x 1+x 2)+2b=0,③ 将①②代入③, 得2kb 2 +(k+b)(8-2bk)+2k 2 b=0, ∴k=-b,此时Δ>0, ∴直线l 的方程为y=k(x-1), ∴直线l 过定点(1,0). 15. (2013年辽宁卷,理20)如图,抛物线C 1:x 2 =4y,C 2:x 2 =-2py(p>0).点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的 切线,切点A,B(M 为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0,切线MA 的斜率为-12 . (1)求p 的值; (2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O). 解:(1)因为抛物线C 1:x 2 =4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y ′=2x ,且切线MA 的斜率为-1 2 ,所以A 点坐标为(-1, 14),故切线MA 的方程为y=-12(x+1)+ 1 4 . 因为点0)在切线MA 及抛物线C 2上,于是 y 0=-1214,① y 0=- ( 2 12p .② 由①②得p=2. (2)设N(x,y),A(x 1,214x ),B(x 2,2 24x ),x 1≠x 2,由N 为线段AB 中点知x=12 2x x +,③ y=22 128 x x +.④ 切线MA,MB 的方程为 y= 1 2x (x-x 1)+ 214 x .⑤ y=2 2x (x-x 2)+ 2 24 x .⑥ 由⑤⑥得MA,MB 的交点M(x 0,y 0)的坐标为 x 0= 122x x +,y 0=124 x x . 因为点M(x 0,y 0)在C 2上,即20x =-4y 0, 所以x 1x 2=-22 12 6 x x +.⑦ 由③④⑦得x2=4 3 y,x≠0. 当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=4 3 y. 因此线段AB中点N的轨迹方程为x2=4 3 y. 模拟试题 考点一抛物线的定义和标准方程及其应用 1.(2013福建厦门高三上质检)已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1, ∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值, 由y2=4x知F(1,0), ∴|PF|min故选B. 答案:B 2.(2013山东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线 2 4 x - 2 5 y =1的右焦点重合,抛物线的准 线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且则A点的横坐标为( ) (D)4 解析:由 2 4 x - 2 5 y =1得c2=4+5=9. ∴双曲线右焦点为(3,0), ∴抛物线焦点坐标为(3,0),抛物线方程为y2=12x. 设d为点A(x0,y0)到准线的距离, 由抛物线定义知d=|AF|=x0+3, 由题意得|y0|=x0+3, 代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0, 解得x0=3.故选B. 答案:B 考点二抛物线几何性质的应用 1.(2013云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是. 解析:线段OA的斜率k=1 2 ,中点坐标为 1 1, 2 ?? ? ?? . 所以线段OA 的垂直平分线的方程是y-12 =-2(x-1), 令y=0得到x= 54 . 即抛物线的焦点为5,04?? ??? . 所以该抛物线的准线方程为x=-5 4 . 答案:x=- 54 2.(2013云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点A(4,4)在抛物线y 2 =px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A 作直线l:x=-4 p 的垂线,垂足为M,则∠MAF 的平分线所在直线的方程为 . 解析:点A 在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF 的平分线所在的直线就是线段MF 的垂直平分线,k MF =40 11 ---=-2, 所以∠MAF 的平分线所在的直线方程为y-4=12 (x-4),即x-2y+4=0. 答案:x-2y+4=0 考点三 直线与抛物线的位置关系 1.(2013河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x 2 =4y 上有一条长为6的动弦AB,则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) (A) 34 (B) 32 (C)1 (D)2 解析:易知,AB 的斜率存在,设AB 方程为y=kx+b. 由2 ,4y kx b x y =+?? =?得x 2 -4kx-4b=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1,x 2是上述方程的两个根, ∴x 1+x 2=4k,x 1·x 2=-4b, 又|AB|=6, 化简得b= () 2 9 41k +-k 2 , 设AB 中点为M(x 0,y 0), 则y 0= 12 2 y y += 122kx b kx b +++=()122 k x x ++b =2k 2 + () 2 9 41k +-k 2 =k 2 + ()2941k +=(k 2 +1)+ () 2 9 41k +-1 ≥2× 32 -1=2. 当且仅当k 2 +1= () 2 9 41k +, 即k 2 = 12 时,y 0取到最小值2.故选D. 答案:D 2.(2013北京市东城区高三上学期期末)已知抛物线y 2 =2px(p>0)的焦点F 与双曲线22 179 x y -=的右焦点重 合,抛物线的准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线上且则△AFK 的面积为( ) (A)4 (B)8 (C)16 (D)32 解析:双曲线的右焦点为(4,0),抛物线的焦点为02p ?? ???，, 所以 2 p =4,即p=8. 所以抛物线方程为y 2 =16x,焦点F(4,0), 准线方程为x=-4, 即K(-4,0),设A(x,y), 由于 ∴|y|=x+4, 又y 2 =16x, ∴(x+4)2 =16x,即x=4. ∴A(4,±8), S △AFK = 1 2 ×8×|y|=32.故选D. 答案:D 3.(2013北京海淀高三上期末)已知E(2,2)是抛物线C:y 2 =2px 上一点,经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点(不同于点E),直线EA,EB 分别交直线x=-2于点M,N. (1)求抛物线方程及其焦点坐标; (2)已知O 为原点,求证:∠MON 为定值. 解:(1)∵点E(2,2)在抛物线y 2 =2px 上, ∴4=2p ×2,∴p=1. ∴抛物线方程为y 2 =2x,焦点坐标为1,02?? ??? . (2)显然,直线l 斜率存在,且不为0. 设l 斜率为k,则l 方程为y=k(x-2). 普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（满分150分, 时间120分钟） 一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题, 16:题每题4分, 712:题每题5分. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得4分或 5分, 否则一律得零分. 1. 已知集合{1A =, 2, 3, }4, {3B =, 4, }5, 则A B =I . 2. 若排列数6654m P =??, 则m = . 3. 不等式 1 1x x ->的解集为 . 4. 已知球的体积为36π, 则该球主视图的面积为 . 5. 已知复数z 满足3 0z z + =, 则||z = . 6. 设双曲线 22 2 1(0)9x y b b -=>的焦点为1F 、2F , P 为该双曲线上的一点, 若1||5PF =, 则2||PF = . 7. 如图所示, 以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点D 的三条棱所在的直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系, 坐标为(4, 3, 2), 则1AC u u u u r 的坐标为 . 8. 定义在(0, )+∞的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=, 若函数 310()() x x g x f x x ?-≤=? >?为奇函数, 则方程1 ()2f x -=的解为 . 9. 给出四个函数：①y x =-；②1y x =-；③3 y x =；④1 2y x =, 从其中任选2个, 则事件A ：“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率是 . 10. 已知数列{}n a 和{}n b , 其中2()n a n n N *=∈, {}n b 的项是互不相等的正 整数, 若对于任意n N * ∈, 数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项, 目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11 抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为； （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同）， 求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切 线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N． （1）求抛物线的方程； （2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 2016上海高考理科数学真题及答案 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1ax y x by +=?? +=? 无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点 P 落在第一象限的概率是. 二、选择题（5×4=20） 15.设R a ∈，则“1>a ”是“12 >a ”的（ ） 1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f . 抛物线 平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p>0) y 2＝－2px(p>0) x 2＝2py(p>0) x 2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 & 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 $ 焦点 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ? ???0，p 2 F ??? ?0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 。 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 - 向上 向下 题型一 抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标. 》 变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() 题型二抛物线的标准方程和几何性质 例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. * 变式练习 2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为() ＝±4x ＝±8x ＝4x ＝8x 变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于() ∶ 5 ∶2 ∶ 5 ∶3 题型三抛物线焦点弦的性质 … 例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O. ： （四十五） 抛 物 线 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 抛物线的定义及其应用 1．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2 ＝12，所以点C 的横坐标是 x 1＋x 2 2 ＝6. 2．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．13 解析：选B 依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4. 3．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.????1 4，±22 B.????1 4，±1 C.????1 2 ，±22 D.??? ?12，±1 解析：选A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ????1 4 ，±22. 4．已知抛物线y 2 ＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 2 9 ＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析：选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物 2016年高考上海数学试卷（文史类） 考生注意： 1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 2．设32i i z += ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______. 3．已知平行直线1210l x y +-=： ，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_____. 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）. 5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 6．已知点（3,9）在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1 ()f x -=______. 7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥?? ≥??≥+? 则2x y -的最大值为_______. 8．方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____. 9 ．在2 )n x 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____. 10．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____. 11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,?1),P 是曲线y =则OP BA ×uu u r uu r 的取值范 围是 . 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 抛物线经典结论和例题 方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 一、抛物线的定义及其应用 1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 第三节 抛物线 高考试题 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y 2 =2px(p>0)的准线与圆x 2 +y 2 -6x-7=0相切,则p 的值为( ) (A) 12 (B)1 (C)2 (D)4 解析:圆x 2 +y 2 -6x-7=0化为标准方程为(x-3)2 +y 2 =16,∴圆心为(3,0),半径是4, 抛物线y 2 =2px(p>0)的准线是x=-2 p , ∴3+ 2 p =4, 又p>0,解得p=2.故选C. 答案:C 2.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2 =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A) 34 (B)1 (C) 54 (D) 74 解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12 =3, ∴x A +x B = 52 . ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2 A B x x += 54 .故选C. 故选C. 答案:C 3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( ) (C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2 =2px(p>0),则M 到焦点的距离为x M + 2p =2+2 p =3,∴p=2,∴y 2 =4x.∴ 2 y =4×2,∴故选B. 答案:B 4.(2010年上海卷,理3)动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程是 . 解析:由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以F 为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y 2 =8x. 答案:y 2 =8x 5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 m. 2016年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷 2016.1 一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4. 函数()f x = 的定义域为 ； 5. 三阶行列式1 354 001 2 1 --中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1 ()f x a x = +的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ?=，45B ? = ，BC = AC = ； 8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示） 9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为1 3 ，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程2 50x ax ++=的一个虚根， 则a = ； 11. 函数2 21y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ； 12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆2 2 650x y x +-+=上的两个动点，且满足 ||AB =||OA OB +的最小值为 ； 二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ） A. π B. 4 3 π C. 2π D. 4π 15. 在6 (1)x +的二项展开式中，2 x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由? ??<<-< ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2 2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1 ax y x by +=?? +=?无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是. 高考数学模拟试题 (一) 一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内.） 1.已知集合M={x∣-3x -28 ≤0},N = {x|-x-6＞0}，则M∩N 为（） A.{x| 4≤x＜-2或3＜x≤7} B. {x|-4＜x≤-2或3≤x＜7 } C.{x|x≤-2或x＞3 } D. {x|x＜-2或x≥3} 2.在映射f的作用下对应为，求-1+2i的原象（） A.2-i B.-2+i C.i D.2 3.若，则（） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 4.要得到函数y=sin2x的图像，可以把函数的图像（） A.向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C.向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 如图，是一程序框图，则输出结果中（） A. B. C. D. 6．平面的一个充分不必要条件是（） A.存在一条直线 B.存在一个平面 C.存在一个平面 D.存在一条直线 7．已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（） A． B． C． D． 8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则p的轨迹一定通过△ABC的（） A.外心 B. 重心 C.内心 D. 垂心 9.设{a n }是等差数列，从{a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a 20 }中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不 同的等差数列最多有（） A．90个 B．120个C．180个 D．200个10．下列说法正确的是 ( ) A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件 B．“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C．命题“使得”的否定是：“均有” D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题 2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 抛物线 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点坐标 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点坐标 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ????0，p 2 F ????0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 概念方法微思考 1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线． 2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？ 提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是???? a 4，0，准线方程是x ＝－a 4 .( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线 y 2＝2px (p >0)的过焦点 F ????p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2 4 ，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8. 3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y 解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 4．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) 2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1ax y x by +=??+=? 无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 高考数学-抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点 为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）高考数学真题(最新)
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