巧用比例法解物理选择题和填空题
武汉市第一中学唐玲玲
在物理学中，有许多规律都是描述物理量之间的比例关系，例如：牛顿第二定律：F = ma
万有引力定律：F = G
克拉伯龙方程：PV = nrt = RT
库仑定律：F=K
电阻定律：R=ρ
欧姆定律：I=
法拉第电磁感应定律：
ε=N
折射定律（斯涅尔定律）：
n= = …
这些关系式有一个共同特点——等式两边都只有一项，即为单项式，因此，在保持其它量不变的条件下，根据任意两个量之间的正比或反比关系，就可以确定各个物理量的比值。
另外，利用数学中的合比定理、分比定理、合分比定理和等比定理，即：
= =
= = =
= =
= = =
还可以解决等式两边为多项式的问题。
利用比例法解题的优势在于：1）关系式简捷，运算简单，往往通过心算可以完成；2）可以加深对物理规律意义的理解，对物理公式适用条件的认识。所以凡是涉及物理量的比值或者大小关系的选择题和填空题，应用比例法都较为简捷，其步骤如下：
1．根据物理规律和相应的公式，列出特求量与有关量的函数关系。
2．排出函数关系中的不变量或者相同量，找出待求量和有关量的比例关系。
3．根据比例关系列出比例式，进行分析和计算。
例1．（95年全国高考试题8）两个人造地球卫星A、B绕地球作圆周运动，周期之比为T A：T B=1：8，则轨道半径和运动速率之比分别为：
A．R A：R B=4：1；V A：V B=1：2
B．R A：R B=4：1；V A：V B=2：1
C．R A：R B=1：4；V A：V B=1：2
D．R A：R B=1：4；V A：V B=2：1
解析：地球对卫星的万有引力即向心力，据万有引力定律和牛顿第二定律：
有：G =m ·R
可得：T2∝R3R∝
由T A：T B=1：8 得R A：R B=1：4
又：V=
∴V A：V B= ·= ·=
故选D
例2．（1990年全国高考试题）一物体在某行星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的1/4，在地球上走得很准的摆钟到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的时间实际上是：
A．小时B．小时C．2小时D．4小时
解析：标准分针走一圈为一小时，根据万有引力定律和单摆的周期公式：
g= ∝F T=2π∝
所以：T∝
即= = =2 T’=2T
而不论走时准确还是不准确，分针走一圈的振动次数相同。
即：t=NT ∝T
故此钟的分针走一整圈所经历的时间实际上是2小时
应选取答案C
例3．（1992年上海高考试题）两物体的质量为m1和m2，它们分别在恒力F1和F2的作用下由静止开始运动，经相同的位移，动量的增量相同，则两恒力的比F1：F2= 。
解析：两物体分别在恒力作用下由静止开始做匀加速直线运动，经过相同的位移S后，动量变化△P相等，设经历的时间为t，由动
量定理得
Ft=△P
S= at2= t2
联立可得S=
即mF=
所以：F1：F2=m2：m1
例4．（1994年上海高考试题）
如图所示，虚线表示某一匀强电场区域中的若干个等势面，质子、氘核、α粒子以相同的初速度，沿与等势面平行的方向由A点进入该电场，从上端进入电场到下端离开电场的过程中，质子、氘核、α粒子的动量改变量之比是，电势能的改变量之比是。
解析：三粒子在匀强电场中做类似抛体运动，由于初速度相同，则在电场中的运动时间相等。
三粒子在穿过电场过程中动量的改变量△V=at
·A 三粒子在穿过电场过程中动量的改变量：
△P=m△V=mat=qE·t
故三粒子动量改变量之比：
△P1：△P2：△P3=q1：q2：q3=1：1：2
由于电场力做功等于电势能的改变量，
三粒子在穿过电场过程中电势能的改变量之比
△ε1：△ε2：△ε3=q1Es1:q2Es2:q3Es3= q1··t2:q2··t22: q3··t2= : : =2:1:2
例5．（1998年高考试题）两块平行金属板带等量异种电荷，要使两板间的电压加倍，而板间的电场强度减半，采用的办法有：
A．两板的电量加倍，而距离变为原来的四倍
B．两板的电量加倍，而距离变为原来的两倍
C．两板的电量减半，而距离变为原来的四倍
D．两板的电量减半，而距离变为原来的两倍
解析：根据平行板电场的场强，电压和电量的关系
E= = = ∝Q
u=E·d= ·d∝Qd
可见：为了使E减半，可以使Q减半，而在Q减半的条件下，为了使u加倍，d必须变为原来的4倍，所以答案应选C。
例6．（1994年全国高考试题）质子和α粒子在同一匀强磁场中作半径相同的圆周运动，由此可知，质子的动能E1和α粒子的动能E2之比E1：E2等于。
解析：由r= 及E= mv2得：
E= ·m·=
∴E1：E2= ：=1：1
例7．（1991年高考试题）以初速V0竖直上抛一小球，若不计空气阻力，在上升过程中，从抛出到小球动能减少一半所经过的时间是：
A．B．C．D．（1－）
解析：小球动能减少一半时，上升高度为最大高度的一半，根据初速成为零的匀加速运动，通过相同位移的时间关系为
t N= t1（－），
由运动的可逆性，有：
=
由合比定理还有：
= =（1－）
所以：
tⅠ=（tⅠ+tⅡ）·（1 －）= （1－）
应选答案：D
例8．根据氢原子的玻尔模型，氢原子核外电子在第一轨道和第二轨道上运行时：
A．轨道半径之比为1：4
B．速度之比为4：1
C．周期之比为1：8
D．动能之比为4：1
解析：根据r n=r1n2∝n2
所以轨道半径之比为= ( )2 = A正确
根据库仑定律和牛顿第二定律：
k =m U= ∝
= = 2 B错误同理：k = m ( )2·r n，T∝
所以周期之比为：= = C正确
根据：mv n2= k ∝所以动能之比为：
= = D正确
综合上所述，只要在物理选择题和填空题中，能熟练地应用比例法，就能迅速、准确、高效地解题，达到事半功倍的目的。
巧用比例法解物理选择题和填空题
武汉市第一中学唐玲玲
在物理学中，有许多规律都是描述物理量之间的比例关系，例如：牛顿第二定律：F = ma
万有引力定律：F = G
克拉伯龙方程：PV = nrt = RT
库仑定律：F=K
电阻定律：R=ρ
欧姆定律：I=
法拉第电磁感应定律：
ε=N
折射定律（斯涅尔定律）：
n= = …
这些关系式有一个共同特点——等式两边都只有一项，即为单项式，因此，在保持其它量不变的条件下，根据任意两个量之间的正比或反比关系，就可以确定各个物理量的比值。
另外，利用数学中的合比定理、分比定理、合分比定理和等比定理，即：
= =
= = =
= =
= = =
还可以解决等式两边为多项式的问题。
利用比例法解题的优势在于：1）关系式简捷，运算简单，往往通过心算可以完成；2）可以加深对物理规律意义的理解，对物理公式适用条件的认识。所以凡是涉及物理量的比值或者大小关系的选择题和填空题，应用比例法都较为简捷，其步骤如下：
1．根据物理规律和相应的公式，列出特求量与有关量的函数关系。
2．排出函数关系中的不变量或者相同量，找出待求量和有关量的比例关系。
3．根据比例关系列出比例式，进行分析和计算。
例1．（95年全国高考试题8）两个人造地球卫星A、B绕地球作圆周运动，周期之比为T A：T B=1：8，则轨道半径和运动速率之比分别为：
A．R A：R B=4：1；V A：V B=1：2
B．R A：R B=4：1；V A：V B=2：1
C．R A：R B=1：4；V A：V B=1：2
D．R A：R B=1：4；V A：V B=2：1
解析：地球对卫星的万有引力即向心力，据万有引力定律和牛顿第二定律：
有：G =m ·R
可得：T2∝R3R∝
由T A：T B=1：8 得R A：R B=1：4
又：V=
∴V A：V B= ·= ·=
故选D
例2．（1990年全国高考试题）一物体在某行星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的1/4，在地球上走得很准的摆钟到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的时间实际上是：
A．小时B．小时C．2小时D．4小时
解析：标准分针走一圈为一小时，根据万有引力定律和单摆的周期公式：
g= ∝F T=2π∝
所以：T∝
即= = =2 T’=2T
而不论走时准确还是不准确，分针走一圈的振动次数相同。
即：t=NT ∝T
故此钟的分针走一整圈所经历的时间实际上是2小时
应选取答案C
例3．（1992年上海高考试题）两物体的质量为m1和m2，它们分别在恒力F1和F2的作用下由静止开始运动，经相同的位移，动量的增量相同，则两恒力的比F1：F2= 。
解析：两物体分别在恒力作用下由静止开始做匀加速直线运动，经过相同的位移S后，动量变化△P相等，设经历的时间为t，由动量定理得
Ft=△P
S= at2= t2
联立可得S=
即mF=
所以：F1：F2=m2：m1
例4．（1994年上海高考试题）
如图所示，虚线表示某一匀强电场区域中的若干个等势面，质子、氘核、α粒子以相同的初速度，沿与等势面平行的方向由A点进入该电场，从上端进入电场到下端离开电场的过程中，质子、氘核、α粒子的动量改变量之比是，电势能的改变量之比是。
解析：三粒子在匀强电场中做类似抛体运动，由于初速度相同，则在电场中的运动时间相等。
三粒子在穿过电场过程中动量的改变量△V=at
·A 三粒子在穿过电场过程中动量的改变量：
△P=m△V=mat=qE·t
故三粒子动量改变量之比：
△P1：△P2：△P3=q1：q2：q3=1：1：2
由于电场力做功等于电势能的改变量，
三粒子在穿过电场过程中电势能的改变量之比
△ε1：△ε2：△ε3=q1Es1:q2Es2:q3Es3= q1··t2:q2··t22:
q3··t2= : : =2:1:2
例5．（1998年高考试题）两块平行金属板带等量异种电荷，要使两板间的电压加倍，而板间的电场强度减半，采用的办法有：A．两板的电量加倍，而距离变为原来的四倍
B．两板的电量加倍，而距离变为原来的两倍
C．两板的电量减半，而距离变为原来的四倍
D．两板的电量减半，而距离变为原来的两倍
解析：根据平行板电场的场强，电压和电量的关系
E= = = ∝Q
u=E·d= ·d∝Qd
可见：为了使E减半，可以使Q减半，而在Q减半的条件下，为了使u加倍，d必须变为原来的4倍，所以答案应选C。
例6．（1994年全国高考试题）质子和α粒子在同一匀强磁场中作半径相同的圆周运动，由此可知，质子的动能E1和α粒子的动能E2之比E1：E2等于。
解析：由r= 及E= mv2得：
E= ·m·=
∴E1：E2= ：=1：1
例7．（1991年高考试题）以初速V0竖直上抛一小球，若不计空气阻力，在上升过程中，从抛出到小球动能减少一半所经过的时间是：
A．B．C．D．（1－）
解析：小球动能减少一半时，上升高度为最大高度的一半，根据初速成为零的匀加速运动，通过相同位移的时间关系为
t N= t1（－），
由运动的可逆性，有：
=
由合比定理还有：
= =（1－）
所以：
tⅠ=（tⅠ+tⅡ）·（1 －）= （1－）
应选答案：D
例8．根据氢原子的玻尔模型，氢原子核外电子在第一轨道和第二轨道上运行时：
A．轨道半径之比为1：4
B．速度之比为4：1
C．周期之比为1：8
D．动能之比为4：1
解析：根据r n=r1n2∝n2
所以轨道半径之比为= ( )2 = A正确
根据库仑定律和牛顿第二定律：
k =m U= ∝
= = 2 B错误同理：k = m ( )2·r n，T∝
所以周期之比为：= = C正确
根据：mv n2= k ∝所以动能之比为：
= = D正确
综合上所述，只要在物理选择题和填空题中，能熟练地应用比例法，就能迅速、准确、高效地解题，达到事半功倍的目的。
盘点数学归纳法在近年高考物理解题中的应用 在近年高考题中高频率的出现多过程问题，这类问题很多情况下能够用数学归纳法来解决，比如说一个关于自然数n的命题，由n＝1命题成立，可推知n＝2命题成立，继而又可推出n＝3命题成立……这样就形成了一个无穷的递推，从而命题对于n>＝1的自然数都成立，下面略举几例说明这个方法的应用，供同行参考。 例1（2010年北京高考）雨滴在穿过云层的过程中，持续与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的；初始质量为，初速度为，下降距离后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为。此后每经过同样的距离后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为、．．．．．．．．．．．．（设各质量为已知量）。不计空气阻力。若考虑重力的影响， 求（1）第１次碰撞前、后雨滴的速度和； （2）求第ｎ次碰撞后雨滴的动能。 解析：（1）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒 第1次碰撞前 第1次碰撞后， （2）第2次碰撞 第2次碰撞后，利用（2）式得
同理，第3次碰撞后，………… 第n次碰撞后速度为 故第ｎ次碰撞后雨滴的动能为 例2（2007年全国高考）如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=600的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存有垂直于纸面的磁场。已知因为磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于450。 解析：由题意知每次碰撞都发生在最低点，且为弹性正碰设小球m的摆线长度为L，向左为速度的正方向，第 一次碰撞前后绝缘小球的速度分别、，金属球的速度为 由动量守恒得： 由机械能守恒得： 且，解得， 第二次碰撞前后有，由动量守恒得：
虚设隐零点 巧解高考题 求解导数压轴题时，很多时候都需要求函数在给定区间上的零点，但经常会碰到函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形．此时，可以将这个零点虚设出来而不必求出来，然后谋求一种整体的转换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决．我们称这种解题方法为“虚设零点”法．此解题方法类似于解析几何中的“设而不求”. 例1：（2017年全国II ，理21）已知函数()2 ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥. (1)求a ； (2)证明()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2 202e f x --<<. 解：(1)1a =； （2）由（1）知 ()2 ln f x x x x x =--，()'22ln f x x x =--,1 ()2f x x ''=- ∴()f x '在10, 2?? ???单调递减，在1,2??+∞ ??? 单调递增. 即min 1 ()()ln 2102 f x f ''==-< 又 222(1)0,()0f f e e -''== > ∴201(,)2 x e -?∈使得0()0f x '= 当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，0(,1)x x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ∴()f x 在()()00,,1,x +∞单调递增，在()0,1x 单调递减 即()f x 存在唯一的极大值点0x . 又 000()22ln 0f x x x '=--= ∴00ln 22x x =- 从而 222000000001 1()ln ()2 4 f x x x x x x x x =--=-+=--+ 201 (,)2 x e -∈ ∴ 2011()()()24f e f x f -<<= 而2 22 2 2()()f e e e e ----=+> ∴()2202e f x --<< 评析：当导函数存在零点且无法求出时，可考虑虚设零点0x ，再对0()0f x '=进行合理的变形与代换，将超越式转化为普通式，从而达到化简0()f x 的目的.再根据零点存在性判定定理，得出201 (,)2 x e -∈，并结合0()f x 的单调性即可完成证明. 例2：（2015年全国Ⅰ文科21（2））设函数 ()2e ln x f x a x =-.
专题04递推归纳法 递推归纳法是依据物理问题所呈现的物理量之间的关系或潜在的物理条件，通过物理相关规律，再辅以数学方法来递推归纳，得出物理量变化的通式，从而探知物理量的变化规律。在应用递推归纳法解决物理问题时，要善于引导学生挖掘物理量之间的变化关系及其隐含的物理条件，因为它是我们进一步对物理问题进行递推归纳的抓手。 譬如，在应用递推归纳法解解决动力学问题时，首先要分析物体的受力，进一步分析物体的运动情况，善于分析出物体运动中的相似阶段，把握物体在相似运动阶段的节点。把整个运动过程分为若干个相似的阶段，每个相似阶段具有宏观运动性质的相似性。比如：有的相似性阶段是先在电场中作匀变速运动后在磁场中做匀速圆周运动，有的相似性阶段是先匀加速运动后做匀减速运动。在相似性阶段还可能具有相同的某一物理量，或是运动周期相同，或是末速大小相等，或是位移大小相等，如此不一而足。因此，递推归纳出的物理量往往具有比较简单的变化规律，或是等差数列变化，或是等比数列变化，较难一点的是复合数列变化。 典例1（19年江苏卷）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B ．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M 、N ，MN =L ，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m 、电荷量为-q 的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d ，且d 用数学知识解决物理问题 吴学红湖南省常宁市第一中学421500 摘要：物理学科应用的数学知识，在物理数量分析、运算，物理定律、原理推导中发挥着工具性、基础性作用，了解数学知识的基本应用及注意事项，能促进物理教学质量的提高。 关键词：物理教学数学知识基本应用注意事项 数学知识在物理学中的应用广泛而深远，在物理数量分析、运算，物理概念定义、物理定律、原理推导中发挥着工具作用，也是学好物理的基础性因素之一，主要表现在如下几个方面： 一、物理教学中数学知识的基本应用 1.运用数学方法表达物理过程、建立物理公式。运用数学语言表示物理公式是研究物理的基本方法之一。在研究物理现象的过程中，常常以观察、实验为依据，运用数学方法（包括公式和图像）来对其进行计算、分析、概括、推理，得出经验规律，并进一步抽象为物理定律。中学物理中的许多定律都是如此，例如电阻定律、欧姆定律、光的折射定律等。 2.应用数学知识推导物理公式。物理学中常常运用数学知识来推导物理公式或从基本公式推导出其它关系式，这样既可以使学生获得新知识，又可以帮助他们领会物理知识间的内在联系。 3.运用数学表达式或图像来描述、表达物理概念和规律。定义物理概念、表达物理规律时运用数学语言更能体现出简洁、精确、概括、深刻的特点。许多物理概念和规律都以数学形式（公式或图像） 来表述，也只有利用了数学表述，才便于进一步运用它来分析、推理、论证，才能广泛地定量地说明问题和解决问题。 4.应用数学知识进行定量分析，运用运算、判断、推理、论证和变换来解决物理问题。在物理学中进行抽象思维时，它可使人们从已知的物理定律或理论出发，利用数学的逻辑推理方法推导出新的规律或建立新的理论。例如，牛顿在开普勒行星运动规律的基础上，利用数学方法导出了万有引力定律。物理关系式的推理论证不仅在于得出它的数学表达式，而更重要的是要把它作为发展学生逻辑思维能力的一个重要手段。例如，高中物理讲过闭合电路的欧姆定律后，为了让学生掌握电源的路端电压U和内电压U′随外电路电阻R的改变而变化的规律，弄清变化的最大值，同时也为了发展学生逻辑推理的思维能力，应该引导他们运用数学知识来分析、推证：（1）当R→∞时，U′=？（2）R→0，U′=？这时不但要把公式进行变换，而且还要用到数学的极限概念。 二、物理教学中运用数学知识应注意的几点 1.在运用物理公式或定律分析实际问题时，要使学生明确定律、公式建立或导出的基础，弄清物理定律或公式的形成过程，而不能机械地记忆公式或图像。例如F浮＝ρgV，要使学生明确式中的ρ是指液体或气体的密度，而不是物体的密度，V是指物体排开流体的体积，而不是物体的体积；还要弄清物体在流体中所受的浮力产生的原因、方向（物体在流体中受到向上的压力比向下的压力大，这两个压力的 在高考的导数压轴题中，经常会遇到导函数具有零点但求解又相对比较复杂甚至是无法求解的问题，这个时候，从正面去强求函数的零点值是很困难的， 我们不妨只须设出函数的零点，然后利用其满足的关系式，谋求一种整体的替换和过渡，往往会给我们带来意向不到的效果，最后再结合题目的其他条件，就可以很快解决这类问题。对于最近的几道地市模拟题的导数压轴题，我们发现它们 用的好像都是同一个方法-- 虚设零点消元法，只分析第一道，其他同理， 【反思：有的学生提出，我们很容易就观察得到了 h (0) = f '(0) = 0 .但是，对于 谈虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用 ------以 2019 年几道模拟题为例 顺便再看看之前曾经出现过的两道经典题． 一、【2019 合肥一模理科 21】二、【2019 顺德三模理科 21】 三、【2019 佛山 3 月统考（北京燕博园）理科 21】四、【2019 广州一模理科 21】 五、【2019 广东模拟理科 21】六、【2018 广州二模理科 21】七、【2013 全国二卷理科 21】 一、【2019 合肥一模理科 21】 21．(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) = e x - ln(x +1) ( e 为自然对数的底数)． (Ⅰ)求函数 f (x ) 的单调区间； (Ⅱ)若 g (x ) = f (x ) - ax ， a ∈ R ，试求函数 g (x ) 极小值的最大值． 解析：(Ⅰ)易知 x > -1 ，且 f '(x ) = e x - 1 . x +1 【求一阶导数发现是超越函数，无法确定导数的零点】 令 h (x ) = e x - 1 x +1 ，则 h '(x ) = e x + 1 (x +1)2 > 0 ， 【进一步求二阶导数，发现二阶导数恒大于 0,说明一阶导数递增】 ∴函数 h (x ) = e x - 1 x +1 在 x ∈(-1，+ ∞) 上单调递增，且 h (0) = f '(0) = 0 . 【找到一阶导数的一个零点，而且是唯一的由负变正的零点，从而确定单调区间】 可 知，当 x ∈(-1, 0) 时， h (x ) = f '(x ) < 0 ， f (x ) = e x - ln(x +1) 单调递减； 当 x ∈(0, +∞) 时， h (x ) = f '(x ) > 0 ， f (x ) = e x - ln(x +1) 单调递增. ∴函数 f (x ) 的单调递减区间是(-1, 0) ，单调递增区间是(0, +∞) . 高中物理学习材料 （灿若寒星**整理制作） 2010年高考江苏省物理卷第15题（最后一题）解读和验证 江苏省丰县中学（221700） 戴文雪 2010年高考江苏省物理卷第15题（最后一题），很难，有的同学即使看答案，也有一些不懂，本文给出答案解读，为进一步说明问题，还给出数字验证，供师生参考。读此文，不要像读小说那样只看，要拿起笔，一边看，一边演算，才有效果。 15．（16分）制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d 的两平行极板，如图甲所示，加在极板A 、B 间的电压AB U 作周期性变化，其正向电压为0U ，反向电压为-k (1)0U k >，电压变化的周期为2τ，如图乙所示。在t=0时，极板B 附近的一个电子，质量为m 、电荷量为e ，受电场作用由静止开始运动。若整个运动过程中，电子未碰到极板A ，且不考虑重力作用。 （1）若5 4 k = ，电子在0—2τ时间内不能到达极板A ，求d 应满足的条件； （2）若电子在0—200τ时间未碰到极板B ，求此运动过程中电子速度v 随时间t 变化的关系； （3）若电子在第N 个周期内的位移为零，求k 的值。 15. 【解析】 (1)电子在0~τ时间内做匀加速运动 加速度的大小 a 1= eU md ① 位移 x 1= 1 2 a 1τ2 ② 在τ-2τ时间内先做匀减速运动，后反向做匀加速运动 加速度的大小 a 2= 54eU md ③ 【解读：因为大小上a 2>a 1,所以速度减为0时还没到t=2τ,所以在τ-2τ时间内先做匀减速运动，后反向做匀加速运动。】 初速度的大小 v 1=a 1τ ④ 2008年中考物理专题复习：巧用虚设法解物理题 一、虚设物理对象 例1. 有一块半径的均匀薄铜板，现从铜板上挖出一个半径的内切薄铜板，如图1所示，求剩余部分的重心与大圆心的距离。 析与解：因为剩余部分是与的连线对称的，所以剩余部分的重心必在的连线上，设为。现把挖去的部分补上，则虚设以O为支点，整个铜板平衡。我们可将铜板作杠杆处理：以O 为支点，剩余部分和挖出部分使铜板平衡。设铜板总质量为m，则挖出部分的质量，剩余 部分的质量。根据杠杆平衡条件有： 解得： 例2. 均匀蜡烛长20cm，密度为，下面粘一小石块， 竖直浮于水面，上端露出水面1 cm，然后点燃蜡烛，当燃到蜡烛还剩 多长时，烛焰被淹灭？ 析与解：虚设蜡烛由1、2两部分组成，如图2所示，2的部分密度刚好等于水的密度。蜡烛刚下沉时，下沉的部分就是第2部分，第1部分将燃完。1、2两部分之间不存在作用力。对第1部分而言， 。 它所受的浮力等于自身的重力。 解之得：，即蜡烛还剩15cm时将淹灭。 二、虚设物理过程 例3. 有一铁块和一铜块质量分别为0.2kg、0.5kg，温度分别为100℃、60℃，一起投入50℃、1kg 的水中，不计热量损失，求达到热平衡后温度为多少？ ［ ］ 析与解：铜块在热交际过程中是吸热还是放热无法确定。在此处我们可虚设这样一个 物理过程： 先虚设三种物质温度都降为0℃，则三种物质放出的总热量为： 再虚设三种物质都由0℃升高到混合后的温度t，则三种物质吸收的总热量为： 由于三种特混合时根本没同外界进行热交换，所以，解得℃ 例4. 如图3所示，A为正方体物块，边长为4cm，砝码质量为280g，此时物体A刚好有2cm露出液 面。若把砝码质量减去40g，则物体A刚好全部浸入液体中，则物体A的密度为_________（g 取10N/kg）。 析与解：本题若按常规解法，则先需对A进行受力分析，建立力的平衡方程。减去砝码后，再对A 进行受力分析，建立力的平衡方程，两个方程联立求解，才能求出物体密度，本题我们若变换一下思维方向，虚设这样一个过程，则可巧解。砝码为240g，物体全浸，当砝码质量增加40g（即为280g），物体有2cm露出液面，若砝码质量再增加40g（即为320g），那物体将有4cm露出液面，物体不受 浮力，物体质量等于砝码质量，为320g。物体A的密度。 三、虚设物理条件 例5. 一根细绳悬挂一个半径为r米，质量为m千克的半球，半球的底面积与容器的底部紧密接触（如图4），此容器内液体的密度为千克/米3，高度为H米，已知球体的体积公式是，球的面积公式是，圆的面积公式是，则液体对半球向下的压力为多大？ 析与解：由于上表面深度不同，所受液体压力无法用公式直接计算，半球紧密接触与不紧密接触液体对它向下的压力都不会变，若虚设半球下表面不与容器紧密接触，则半球所受的浮力： 半球下表面受到向上的压力： 一、次数问题 …0624．（20分）如图9所示，在水平地面上放置一块质量为M 的长平板B ，在平板的上方某一高度处有一质量为m 的物块P 由静止开始落下。在平板上方附近存在“相互作用”的区域（如图中虚线所示区域），当物块P 进入该区域内，B 便会对P 产生一个竖直向上的恒力f 作用，使得P 恰好不与B 的上表面接触，且f ＝kmg ，其中k ＝11。在水平方向上P 、B 之间没有相互作用力。已知平板与地面间的动摩擦因数μ＝2.0×10－3，平板和物块的质量之比M /m ＝10。在P 开始下落时，平板B 向右运动的速度v 0＝1.0m/s ，P 从开始下落到进入相互作用区域经历的时间t 0＝2.0s 。设平板B 足够长，保证物块P 总能落到B 板上方的相互作用区域内，忽略物块P 受到的空气阻力，取重力加速度g ＝10m/s 2。求： （1）物块P 从开始下落到再次回到初始位置所经历的时间。 （2）从物块P 开始下落到平板B 的运动速度减小为零的这段时间内，P 能回到初始位置的次数。 解：（1）物块P 进入作用区速度v 1，01gt v =＝20m/s 物块P 从进入相互作用区域到速度减小为零的过程中，设加速度为a ， 根据牛顿第二定律：ma mg kmg =- 设下落时间为t ， a v t 1 = 而物块从开始下落到回到初始位置的时间T ＝2(t ＋t 0)= 01 2t k k -＝4.4s 。 （2）设在一个运动的周期T 内，平板B 的速度减小量为Δv ，根据动量定理有 v M t f Mg t Mg ?μμ=?++?2)(20 解得 1 ) 1(20-+ = k M m gkt v μ?＝9.7×10－3m/s 。 P 回到初始位置的次数 v v n ?0 = ＝10.3， n 应取整数，即n ＝10。 注：若用牛顿第二定律解答，可以根据解答过程给分。 ‘11石123．一轻质细绳一端系一质量为m =0.05kg 的小球A ，另一端套在光滑水平细轴O 上， O 到小球的距离为L = 0.1 m ，小球与水平地面接触，但无相互作用。在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，二者之间的水平距离s =2m ，如图所示。现有一滑块B ，质量也为m ，从斜面上高度h =3m 处由静止滑下，与小球和挡板碰撞时均没有机械能损失。若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，滑块B 与水平地面之间的动摩擦因数μ=0.25，g 取10 m/s 2。求： （1）滑块B 与小球第一次碰撞前瞬间，B 速度的大小； （2）滑块B 与小球第一次碰撞后瞬间，绳子对小球的拉力； 龙文教育学科导学案 教师: 肖武培学生: 年级: 日期:2014. 星期: 时段:: :00— :00 学情分析 课 题 巧用“等时圆”解物理问题 学习目标与 考点分析 学习目标： 考点分析： 学习重点 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 [知识提要] “等时圆”模型的基本规律及应用 如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（） A.t 1 (1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为t ＝2 R g (如图甲所示)． (2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为t ＝2R g (如图乙所示)． 象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子： 一、 等时圆模型（如图所示） 二、等时圆规律： 1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a ） 2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b ） 3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即 g R g R g d t 2 420=== （式中R 为圆的半径。） 三、等时性的证明 设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为 g d g d a s t 2sin sin 220= == αα 即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。 规律：AB 、AC 、AD 是竖直面内三根固定的光滑细杆，A 、B 、C 、D 位于同一圆周上，A 点为圆周的最高点，D 点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A 处由静止开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角大小都无关. 推导：设圆环沿细杆AB 滑下，过B 点作水平线构造斜面，并设斜面的倾角为θ，如图2所示，连接BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsin θ，由几何关系有AB=x=2Rsin θ，由运动学公式有x=12at2，解得：环的运动时间t=2Rg ，与倾角、杆长无关，所以环沿不同细杆下滑的时间是相等的. 说明1 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ，由运动学公式有 2Rsin θ=12（gsin θ—μgcos θ）t2， 解得t=2Rsin θgsin θ—μgcos θ=2Rg —μgcot θ， 图a 图b 专题04递推归纳法 递推归纳法是依据物理问题所呈现的物理量之间的关系或潜在的物理条件,通过物理相关规律,再辅以数学方法来递推归纳,得出物理量变化的通式,从而探知物理量的变化规律。在应用递推归纳法解决物理问题时,要善于引导学生挖掘物理量之间的变化关系及其隐含的物理条件,因为它是我们进一步对物理问题进行递推归纳的抓手。 譬如,在应用递推归纳法解解决动力学问题时,首先要分析物体的受力,进一步分析物体的运动情况,善于分析出物体运动中的相似阶段,把握物体在相似运动阶段的节点。把整个运动过程分为若干个相似的阶段,每个相似阶段具有宏观运动性质的相似性。比如：有的相似性阶段是先在电场中作匀变速运动后在磁场中做匀速圆周运动,有的相似性阶段是先匀加速运动后做匀减速运动。在相似性阶段还可能具有相同的某一物理量,或是运动周期相同,或是末速大小相等,或是位移大小相等,如此不一而足。因此,递推归纳出的物理量往往具有比较简单的变化规律,或是等差数列变化,或是等比数列变化,较难一点的是复合数列变化。 典例1（19年江苏卷）如图所示,匀强磁场的磁感应强度大小为B ．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M 、N ,MN =L ,粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短）,反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m 、电荷量为-q 的粒子速度一定,可以从左边界的不同位置水平射入磁场,在磁场中做圆周运动的半径为d ,且d 。 2019 年高三复习冲刺物理方法汇总 专题 06 递推归纳法 递推归纳法是依据物理问题所呈现的物理量之间的关系或潜在的物理条件，通过物理相关规律，再辅 以数学方法来递推归纳，得出物理量变化的通式，从而探知物理量的变化规律。在应用递推归纳法解决物 理问题时，要善于引导学生挖掘物理量之间的变化关系及其隐含的物理条件，因为它是我们进一步对物理 问题进行递推归纳的抓手。 在应用递推归纳法解题时，首先要分析物体的受力，进一步分析物体的运动情况，善于分析出物体运 动中的相似阶段，把握物体在相似运动阶段的节点。把整个运动过程分为若干个相似的阶段，每个相似阶 段具有宏观运动性质的相似性。比如：有的相似性阶段是先在电场中作匀变速运动后在磁场中做匀速圆周 运动，有的相似性阶段是先匀加速运动后做匀减速运动。在相似性阶段还可能具有相同的某一物理量，或 是运动周期相同，或是末速大小相等，或是位移大小相等，如此不一而足。因此，递推归纳出的物理量往 往具有比较简单的变化规律，或是等差数列变化，或是等比数列变化，较难一点的是复合数列变化。 例 1．如图 1 所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d ，两侧为 相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一质量为m 、带电量 q 、重力不计的带电粒子，以初速度v 垂直边 1 界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和 磁场中交替运动。已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类 推。求 （1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W 。 1 （2）粒子第 n 次经过电场时电场强度的大小 E 。 n （3）粒子第 n 次经过电场所用的时间 t 。 n （4）假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零。请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过 程中，电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值） 巧用极限法解物理试题 物理题千变万化,解题方法也多种多样。但在有些问题中,若能另辟奚径,寻找解题捷径,则既能培养学生的发散性思维能力,又能节约时间,提高效率.其中极限法就是这样.下面举例说明极限法的运用。 1、在力学解题中的运用 例 1 将一小球以一定初速度竖直向上抛出去,若空气阻力不能忽略,则小球上升时间t 1和下降时间t 2的关系是 A.t 1>t 2 B.t 1 四、归纳法与演绎法应用专题 通过本专题训练，着重掌握分析复杂物理过程的一种重要方法——归纳法和演绎法． 从某些个别物理现象或特殊的物理过程出发，可以推论出具有普遍意义的一般性结论；这种从个别到一般，从特殊到普遍的逻辑推理方式叫归纳法．与归纳法的思维程序相反，从某个具有普遍意义的一般性原理出发，也可以推论出某一个别的物理现象或特殊的物理过程；这种从一般到个别，从普遍到特殊的推理方式叫做演绎法． 演绎依据的一般性原理是由特殊现象中归纳出来的，而归纳又必须以一般性原理为指导，才能找出特殊现象的本质；所以，归纳离不开演绎，演绎也离不开归纳，虽然归纳和演绎是两种不同的思维方法，但是它们之间是相互渗透、相互依赖、相互联系、相互补充的．当我们解决物理问题时，根据物理概念或规律分析题目描述的物理现象，使用的是演绎法；根据题目描述的物理现象推导出某些一般性的结论，使用的是归纳法．归纳法和演绎法的交叉应用，是我们解决问题的常见思维方式． 【例题1】A 、B 两点相距s ，将s 平分为n 等价．今让一物体(可视为质点)从A 点由静止开始向B 运动，物体在每一等分段均做匀加速运动，且第一段加速度为a ，但每过一个等价点加速度都增加a n ，试求该物体到达B 点时速度． 【分析与解析】由于物体在每个等分段上都做匀加速运动，所以每段运动的初、末速度应满足同样的关系： 2210-v v ＝2a ·s n 2221-v v ＝2a (1＋1n )·s n 2232-v v ＝2a (1＋2n )·s n …… 22n n 1--v v ＝2a (1＋1-n n )·s n 将上述各式两端分别相加，即得 2n v ＝2a ·s n [1＋(1＋1 n )＋(1＋2n )＋ (1) 1-n n )] ＝2a ·s n [n ＋(1n ＋2n ＋……＋ 1-n n )]＝(3-1n )as ∴ v n 总结与提高 该题所用关系即为匀变速直线运动的速度、位移关系，每一等分段上的方程都不难给出．但若要按常规的解法，逐一地求出v 1、v 2、v 3……，从中找出v n 的通式，则是较困难的．上述解法恰是利用各方程左侧的特点，相加后将中间诸项相消，而直接求得了最终速度v n ． 【例题2】一弹性小球自4.9m 高处自由落下，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度 如何运用数学方法解答物理题 摘要：物理学中有大量的概念和定律是用数学式来表达和定义的，所以要学好物理离不开数学知识的运用。文章阐述了运用的数学方法解答物理的几种方法。 关键词：方程；方程；微元法；图像法 引言：数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为进行抽象思维和逻辑推理提供有效方法，为物理学的数量分析和计算提供有力工具。运用数学方法解答物理问题是指能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论。常用的数学方法主要有方程（组）法、比例法、数列法、函数法、几何（图形辅助）法、图象法、微元法。 1.方程（组）法 物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理基本规律，各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的。运用方程组方法解答物理题首先要弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型，然后按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架，再根据具体题目的要求以 及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体，最后对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验。 譬如，一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度驶来，从后边赶过汽车，试求： （1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间相距最远？此时距离是多少？ （2）什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？ 此题的解题思路根据等量关系求解，一是在自行车速度与汽车速度相等前，两车的距离越来越大，速度相等后，汽车的速度大于自行车的速度，两车的距离越来越小，知两车速度相等时，相距最远，二是当汽车追上自行车时，两车的位移相等，抓住位移相等求出运动的时间，从而得出汽车追上自行车时的速度。 2.比例法 比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化。应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立。用比例法解答物理题主要注意以下三点：一 解初中物理实验探究题常用方法 一、常见实验题类型 （一）、测量型。直接测量型，例如：用刻度尺测量长度、用温度计测量水的温度。间接测量型，例如：测量力（包括摩擦力）、测量机械效率、测量密度、测量电阻、测量电功率等。 (二)、研究型。例如：规律型的发声体在振动、研究熔化的特点、研究杠杆平衡条件、平面镜成像特点实验、焦耳定律、电流与电压电阻关系实验、动能大小与哪些因素有关等。 概念形成的压力作用效果与哪些因素有关、同种物质的质量与体积的关系（密度的概念形成）、不同种物质吸热的多少与哪些因素有关等。 课外题材的探究滑动摩擦力的大小与接触面积是否有关、单摆的摆动周期与摆长是否有关、机械效率的高低与哪些因素有关等。 (三)、操作型。例如：组成串并联电路、用滑动变阻器改变电流等。其中包括测量型实验和研究型实验中有实验步骤的实验。 二、各种类型的出题方式及对策： （一）、直接测量型实验。 出题方式1：测量工具的使用方法。例如：温度计读数时视线的要求；刻度尺的记录结果；天平的调节；不同测量工具共同使用时的要求等。 对策：由于这些内容都出现在书本上，要想掌握准确采用的方法主要是：阅读法，即仔细阅读书本中的有关内容，将重点的字、词、句画出，进行重点理解记忆。 对比法，将测量工具的使用方法对比总结出共同点和不同点，这样理解起来更透彻，记忆更清晰。例如：视线问题，刻度尺、量筒、温度计的要求都不同。 出题方式2：测量工具的制作原理和使用条件。这类试题主要都在选择题和填空题中。其中制作原理决定了使用的要求和适用的范围。例如：弹簧测力计的制作原理是弹簧受到的拉力越大，弹簧伸得越长。从这个原理可以看出，弹簧的示数表示的是弹簧受到的拉力，不是物体受到的拉力。从而根据物体间力的作用是相互的知道物体受到的拉力，而要想测出重力或滑动摩擦力还要根据二力平衡。这样就能够理解测量滑动摩擦力时，为什么物体要水平放置，拉力方向要水平、物体要做匀速直线运动的要求。可以看出理解测量工具的制作原理对理解物理实验有重要影响。 对策：复习此类题可采取对照法。将测量工具的制作原理与测量工具的使用方法及使用这些工具的实验步骤中的要求（条件）相对照，从而加深对测量工具使用要求的理解，达到学会在不同实验中灵活运用测量工具的目的。 （二）、间接测量型实验。 出题方式：间接测量型实验是出题的重点，测密度、电阻、电功率的实验几乎是年年必考的实验题。出题方式有两种：一种是实验本身的知识问题进行分析。例如：测电阻实验中数据处理问题；电压表、电流表量程选择问题；滑动变阻器作用问题等；另一种是改变测量工具或缺少测量工具时如何进行测量。这类主要是考设计思路，考查的内容已经打破了单一知识体系，达到学科内综合的目的。这是中考中的重点出题方式。例如：如何用量筒测量牙膏皮的密度；如何只用电流表测出灯泡的额定功率等等。 对策1：这两类题主要运用的方法是总结归纳法。总结的内容重点是实验过程中各种做法的目的和作用；总结设计思路，在测量工具不够的情况下，如何解决未知物理量的测量思路。 例如：只有电流表的情况下如何测量电阻，矛盾主要集中在如何解决待测电阻两端的电压上。解决的办法有两条途径：一是设计出两部分电压相等———即待测电阻与已知电阻并联，用电流表设法测出两部分电流即可。二是利用电源电压不变，设置变化的电路，用电流 培养学生的逻辑思维能力，是理科类课程的一个重要目的，也是在解理综试题时不可缺少的一项能力，严密的思维方式会对学生的学习生活以及实际解决问题的能力产生重要的影响，归纳在逻辑思维形成中起着重要的作用，通过归纳能够得到对知识更深入的认识。 归纳法在物理复习中的妙用 □北京/周岗 在高考总复习阶段，要对过去学过的概念、规律和解决问题的方法进行回顾和梳理。但这时的回顾与梳理并不是简单的“再现”，而是要注重总结、归纳。同样一个结论是依靠教师直接给出，还是自我归纳得出其效果肯定是不一样的。要想自我归纳首先要将物理问题进行分类（例如将物理习题按知识单元分类），在解决了这一类问题中的每一个个体问题之后，要有重新审视这些问题的意识，只要能做到这一点就一定能得到对概念和规律更加深刻的认识，就一定能够体会和总结出解决这一类问题的思路与方法。 请同学们看下面的例子： 例1：如图所示，水平面上，A 、B 是两个完全一样的木块，它们的质量均为m 。一细绳将A 、B 系在一起，在A 、B 中间用一竖直向上的力F 拉细绳，两木块静止不动。图中的角θ为已知量，求水平面对木块A 的支持力。 在A T 、地面的支持力N 、摩擦力f N 。。因此，就要选择拉力F 的作用点O A 为研究 例2：A ,两物块用一轻弹簧相连接，竖直向上的拉力F B 的支持力。 B 受重力m B g ，地面的支持力N 要选择A 弹簧现在有可能处于被压缩 对于B 有： 对于A 有： f 和f / 解得：N ＝( N ＝( 解完例题11的最 终结果与绳的拉力 B B 如果将例题1中的两木块和绳选为一个系统，表达式2 F mg N －=中所有的力均为系统所受外力。如果将例题2的两物块和弹簧选为一个系统，表达式N ＝(m A ＋m B ) g －F 中所有的力也均为系统所受外力。 对表达式2 F mg N －=适当变形得：2N ＋F －2mg ＝0。对表达式N ＝(m A ＋m B ) g －F 适当变形得：N ＋F －(m A ＋m B ) g ＝0。这两个变形式告诉我们：静止系统所受所有外力的合力为零。到此我们就可以猜想是否有这样的规律：系统处于平衡状态，系统所受外力的合力为零。再做几道类似的题目来验证猜想，没有一道题目充当反例，所以可以将其当作一种解题的思路。 例3：（1988 状态，现分别将大小相等与水平 面夹角为300的力作用在两小球上， 重新平衡后的情况可能是 运用例题1和例题2所得到的解题思路，很容易判断出正确选项为C 。 例4：（2002年高考题）有三根长度皆为 l ＝1.00m 的不可伸长的绝缘轻线，其中两根 的一端固定在天花板上的O 点，另一端分别拴有质量皆为m =1.00×10－2kg 的带电小球A 和 B ，它们的电量分别为－Q 和＋Q ， Q =1.00×10－7 C 。A 、B 之间用第三根线连接起来。空间 存在大小为E ＝1.00×106N/C 的匀强电场，场强方向沿水平向右，平衡时A 、B 球的位置如图所示，现将O 、B 之间的线烧断，由于有空气阻力， A 、B 球最后会达到新的平衡位置。求最后两球的机械能与电势能的总和与烧断前相比改变了多少。（不计带电小球间相互作用的静电力） A B C D 物理学的中数学归纳法 1．滴水法测重力加速度的过程是这样的：让水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水落到盘子而听到声音时后一滴恰好离开水龙头，测出从听到第一滴水击盘声到第n 次听到水击盘声的总时间为t ，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h ，即可算出重力加速度.设人耳能区别两个声音的时间间隔为0.1s ，声速为340m/s ，则（D ） A ．水龙头距人耳的距离至少为34m B ．水龙头距盘子的距离至少为34m C ．重力加速度的计算式为g=22 2t hn D ．重力加速度的计算式为g=22 )1(2t n h - 解析：此题目相对简单，几乎没有数学归纳的意思，但能向学生说明数学归纳无处不在，树水归纳的意识。此可做一变化：若空中还有一个（或几个）水滴，再求重力加速度。 归纳： 1——0 2——Δt 3——2Δt …… n ——（n-1）Δt=t Δt= 1 -n t h=2)(21t g ?得（D ） 2．（05江苏）一个质量为M 的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m 的爱斯基摩狗站在该雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V ，则此时狗相对于地面的速度为V +u (其中u 为狗相对于雪橇的速度，V +u 为代数和。若以雪橇运动的方向为正方向，则V 为正值，u 为负值)。设狗总以速度v 追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v 的大小为5m /s ，u 的大小为4m /s ，M =30kg ，m =10kg . （1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。 （2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。 （供使用但不一定用到的对数值：lg 2=0.301，lg 3=0.477) 此题完全可以一次次往下算，不见得非要走捷径 解法（二）：一次次算 设雪橇运动的方向为正方向。狗第i 次跳下雪橇后，雪橇的速度为V i ,狗的速度为V i +u ；狗第i 次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为V 1′，由动量守恒定律可得 第一次跳下雪橇：MV 1+m （V 1+u ）=0 V 1=－s m m M mu /1=+ 第一次跳上雪橇：MV 1+mv=（M+m ）V 1′ 第二次跳下雪橇：（M+m ）V 1′=MV 2+m （V 2+u ） V 2= =3m/s 第二次跳上雪橇： =3.5m/s用数学知识解决物理问题
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