中考数学：二次函数-常见压轴题型
开始前先来点题外话，昨天有学生问我：“老师，我马上九年级了，现在努力还来得及吗？”我的回答是：“如果你现在不努力，这辈子都会来不及。但是如果你从现在开始努力，或许达不到你从一开始就努力到最后的成就，但是绝对会比你现在这种状态的结果要强上几十倍。更何况在你努力的过程中，说不定还会遇到各种学习的窍门，难道这些不会成为你的surprise吗？”
学习这件事从来就没有来不及一说，当自己在反思自己的学习时，已经说明了自己已有醒悟，那么这个时候要做的仅仅是坚定自己的信念，不要去考虑最后的结果如何，因为结果肯定比你想的要好，就如同一场比赛一般，如果你从上场就开始问自己会不会赢，那你觉得自己会赢吗？
所以，将结果先放一边，只要认认真真去做，最好的结果当然是你会成功，但是，即使是最差的结果，你也会比现在提高很多个层次。
学习并不是为了考试的一个成绩，考试是为了证明你的能力、你的努力，当你走出校园的那天，你会发现原来自己曾经努力学习掌握到的技巧和能力居然能让自己的工作和生活更加美好。
而此刻，你只需要去努力学习，超越自我，不要犹豫，just do it！
今天这道题显得就比较基础了，不过也是同学们平时比较常见的压轴题内容，三角形问题。
（1）抛物线已经给了解析式，那么顶点坐标可以得到，结合直线解析式得到B、C的坐标即可；
（2）这一问证明90°角，显然是让大家利用勾股定理。
有了A、B、C三点的坐标，那么根据坐标间的线段距离公式可以得到AB、AC、BC的长度，然后利用勾股定理证明出AB2+BC2=AC2即可得到∠ABC=90°；
那么有没有其他方法呢？
显然要借助一些高中的知识内容，斜率。
我们可以想象一下线段AB和x轴构成的夹角的正切值如何计算，很明显从点A作x轴的垂线，然后利用垂线的长度除以垂足到B的距离，显然这样就很麻烦了。
那么，我们可以这样做，垂线的长度其实就是点A和点B的纵坐标之差，而垂足和B的距离其实就是A、B的横坐标之差，那么我们直接利用两点的横纵坐标之差来求出∠OBA的正切值就行了；
然后tan∠OBC怎么得到？
同样的方法，利用B、C的纵坐标之差除以横坐标之差即可。
最终得到tan∠OBA和tan∠OBC，二者互为倒数，根据互余角的性质可知互余的两个角的正切值互为倒数，所以∠OBA+∠OBC=90°，即
∠ABC=90°；
所以，今天又给同学们引入了一个新的方法，证明两条直线垂直的方法。当然，这道题中使用这种方法显得并不比勾股定理便捷，但是如果换一个题，点A不是顶点，在二次函数上找到点A的坐标，使AB⊥BC，那么这个方法就派上用场了。毕竟勾股定理会涉及根号和平方，所以有能力的同学可以多研究一下，在真正考试的时候如果不需要写过程，这就是快速求解途径。
（3）三角形面积最大问题，根据老师以往说的同一方法，直线平移法解决即可；
对直线BC进行平移，假设平移后的解析式为y=x+b，
那么平移到与抛物线只有一个交点的时候，不就是距离BC最远的那个点吗？（如果还有同学问如果BC往下平移也形成一个交点怎么办？那么可以自己在纸上画一画看看）
建立方程x+b=-x2+2x，整理方程得到x2-x+b=0，使判别式△=0，得到b的值；然后重新代入方程中，解出x，那么x就是点P的横坐标。
再将点P的横坐标代入抛物线或者平移后的直线求出纵坐标即可；
不过这道题没让求出面积最大值，如果让求出最大值，同学们现在可以自行解决了吗？
还是再给出求面积最大值的方法吧！
得到了点P的坐标，就可以计算出直线PC的解析式，然后找到其与x 轴的交点的坐标，我们假设为D，那么BD就把△PBC分成了上下两部分，这下就可以解决了吧？
当然也可以利用点到直线的距离公式计算点P到直线BC的距离，但是高中才学到，所以就不给同学们提供了，虽然可以利用三角函数给大家推导出来，但是大多数同学无法理解掌握，所以老老实实用图形分割法吧。
今天这道题我们重新回顾了三角形面积最大时点的坐标的求法，同时也学习了运用三角函数求解直线垂直的方法，相信同学们肯定会有所收获。
挑战压轴题内容已推送30篇以上，由于压轴题的解析过程文字编写比较耗费时间，所以将不再持续推送，改为每周末推送一次压轴题分享。其他时间的推送将改为普通数学、物理、化学和英语方面的分享。
而已分享的压轴题内容已包含多种类别的题型，且老师已为同学们提供了常用的分析方法和解答思路，且后续仍会每周分享一次压轴题，相信已经可以满足大多数同学们应对中考数学的压轴题需求。
一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a
二次函数压轴题解题技巧 引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 一、动态：动点、动线 1．如图，抛物线与 x 轴交于 (1，0)、(2，0)两点，且1＞2，与 y轴交于点 (0，4)， A x B x x x C 其中 x1、 x2是方程 x2－2x－8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点 P是线段 AB上的动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC于点 E，连接 CP，当△ CPE的面积最大时，求点 P 的坐标； (3) 探究：若点 Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点，使△成为等腰三角 Q QBC 形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． y C E B A 二、圆 OP 2．如图1，在平面直角坐标系xOy，二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c( a＞0)的图象顶点为D，与 轴交于点，与 x 轴交于点、，点在原点的左侧，点 B 的坐标为 (3 ， 0) ，＝， C A BA OB OC 1 tan ∠ACO＝3．x y (1)求这个二次函数的解析式； (2)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于点 M、N，且以 MN为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的半径长度； (3)如图 2，若点G(2 ，y) 是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点 P 运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P 的坐标和△ AGP的最大面积． y y A B E O x AC B x C C G D D 图 1图 2
二次函数压轴题精讲 1．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围．
2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线 段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△为直角三角形时点P的坐标．
2018二次函数压轴题题型归纳 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：AB y A y B X A X B 2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：X B ，匕尘 22 直线y k1x b1k1 0 )与y k2x b2 ( k2 0) 的位置关系： (1) 两直线平行k[ k?.且b[b2（2）两直线相交 (3) 两直线重合k[ k?.且b[b2（4）两直线垂直k? 1 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如 下: ①用和参数的其他要求确定参数的取值范围； ②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式例：关于x 的一元二次方程x2—2 m 1 x m2= 0有两个整数根，m v5且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线y mx2 3m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x的方程mx2 3（m 1）x 2m 3 0 （m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。 解：当m 0时，x 1 ; 2 3 m 1 i 小3 当m 0 时，m3 0，x ，捲 2 、X2 1 ; 2m m 综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。 6函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线y x2 mx m 2 （m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m的方程y x2 2 m 1 x ; ??? y X 2 0，解得：y 1;^抛物线总经过一个固定的点（1，—1）o 1 x 0 x 1 （题目要求等价于：关于m的方程y x2 2 m 1 x不论m为何值，方程恒成立） 小结：关于x的方程ax b有无数解 a 0 '' b 0
中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 图2
2.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．(2012铜仁)如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型二：构造直角三角形 【例2】（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2 +bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，C E D G A x y O B F
中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ；
一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式 ：2 2 B A B A x x y y AB 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为： 2 2 B A B A y y x x ， 直线 11b x k y （01 k ）与22b x k y （02 k ）的位置关系： （1）两直线平行21 k k 且21b b （2）两直线相交 2 1k k （3）两直线重合 21 k k 且2 1 b b （4）两直线垂直 1 2 1k k 3、一元二次方程有整数根问题 ，解题步骤如下： ①用 和参数的其他要求确定参数的取值范围； ②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于 x 的一元二次方程0122 2 ＝－m x m x 有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题 。（方法同上） 例：若抛物线3132 x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且 m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题 ，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于 x 的方程2 3(1)230mx m x m （m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总 有一个固定的根。 解：当0m 时，1x ； 当0m 时， 03 2 m ，m m x 21 3，m x 32 1 、 12x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。 6、函数过固定点问题 ，举例如下： 已知抛物线 22 m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固 定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于 m 的方程x m x y 122 ； ∴ 1 22 x x y ，解得：11 x y ；∴抛物线总经过一个固定的点（ 1，－1）。 （题目要求等价于：关于 m 的方程x m x y 122 不论m 为何值，方程恒成立）
二次函数压轴题解题思路 一、基本知识 1会求解析式以及一些关键点的坐标（如函数图像与坐标轴的交点、两函数图像的交点等）。 2.会利用函数性质和图像 3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。 二、典型例题： （一）、求解析式 可参考一下部分试题的第一问。 （二）、二次函数的相关应用 第一类：面积问题 例题. （2012?莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点． （1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．） （2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积； 练习：1. （2014?兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴 交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 第二类：.构造问题
（1）构造线段（2014?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数； （2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标； （3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值． （2）构造相似三角形 （2013?莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标； （3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）构造平行四边形（2014?莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D 两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式； （2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由； （3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值． 造等腰三角形（2013?泰安）如图，抛物线y=1 2 x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4）， （4）构
中考二次函数压轴题———解题技巧 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，我们的学生大 部分都难以在有限时间内完全解答出来，最主要的原因是对解题思路以及方向上没有做到大体的定位。经多番研究比 较，发现 26 题基本设有三小问，第一问基础为主（ 3 到 4 分），多为求解析式、坐标轴上坐标、系数、顶点，第二问为 中等档次（ 4 分），多以求线段长度类、面积类、三角形形状判断、四边形形状、全等、相似，第三问区分度较大，拉 开距离的小问（ 4 到 5 分），多以动点类结合，构成四边形、三角形，此问涉及面广，有多种情况。压轴题出题方向多 与几何图形紧密结合，出题范围广，但万变不离其宗，抓住其中关键性质，利用好代数式，80%的分值可以拿到手，现将压轴题的各种解法思路罗列出来，望各位同学有针对性的去查漏补缺，做到1得2拿3取半。 几个自定义概念： ①三角形基本模型：有一边在X 轴或 Y上，或有一边平行于X 轴或 Y轴的三角形称为三角形基本模型。 ②动点（或不确定点）坐标“一母示” ：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标 表示出来，简称“设横表纵”。如：动点 P 在 y=2x+1 上，就可设P（ t, 2t+1 ） .若动点Ｐ在ｙ＝3x22x 1 ，则可设为P（，22t 10t t3t）当然若动点M 在 X 轴上，则设为（ t, 0） .若动点 M 在Ｙ轴上，设为， ③ 动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动 三角形。 ④动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。 ⑤定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 ⑥定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：y 3x 6 。 ⑦X 标， Y 标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x 标，纵坐标称为y 标。 ⑧直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫 间接动点。动点坐标“表示”是针对直接动点坐标而言的。 1.求证“两线段相等”的问题： 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来； 然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离” ，还是“点线距离” ，再运用两点之间的距离公式或点到 x 轴（ y 轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。 ２、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题： 由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点 的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y 轴的线段长度计算公式y上 -y下或y1y2，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t ，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的 性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题： 先用点斜式（或称K 点法）求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最 后用中点坐标公式即可。x1 x 2 , y 1y2 22 4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题（考得比较少）： （方法 1）先求出定直线的斜率（ k），由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式（注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率（k）相等），再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字
二次函数压轴题总结：（凡解析几何问题，均是以几何性质探路，代数书写竣工。） 已知、 y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个） 1、和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标 在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标 解决方案：识别模型，A 、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据问题同侧异侧相互转化”；B 、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最值）。 2、求面积最大 连接AC,在第四象限抛物线上找一点P ，使得ACP ?面积最大，求出P 坐标 解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重不漏）。】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲变量的最值问题转化为：”定值+变量的最值“ 3、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ?为直角三角形，求出P 坐标 或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形． 解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的”直角边“”和“斜边”不确定而展开讨论。在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。 4、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ?为等腰三角形，求出P 坐标 解决方案：分析同上4，在能组成△的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。 5、讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四 边形为平行四边形，求点F 的坐标 解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。 6、相似三角形 问抛物线上是否存在一动点D ，使得△ABD ∽△ABC 。 解决方案：从边的关系找相似（勿忘全等△）或从角的关系找相似，建立数量关系，解方程并验证是否合符题意。 7、与圆有关的问题【关系：由不在同一直线上的三点可确定唯一一个圆（三角形外接圆）且在直角坐标系中，三个不同的点可确定一条唯一的抛物线】：判断点与圆的位置关系；判断圆与直线的位置关系；判断圆与圆的位置关系； 解决方案：抓住圆的必要条件：圆心和半径，根据圆的性质，涉及到根与系数的关系（中点问题--->圆心有关）勿忘韦达定理。 A 、直线和圆的位置关系 B 、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) O x y A B C D d>R d=R d 中考二次函数压轴题（共23道题目） 一．选择题（共10小题） 1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b ＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（） （1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b=0；（4）a+b+c＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c ＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0；其中正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都在抛物线y=x2+bx上，x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则b的取值范围是（） A．b＞﹣2 B．b＞﹣3 C．b＞﹣4 D．b＞﹣5 5．如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（） A．B．C D． 6．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（） A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=0 7．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（） A．B．C．D．全体实数 8．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（） A．B．C．D． 9．已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为（） 【最新整理，下载后即可编辑】 中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝8 9S △CAB 存在，请说明理由. 【变式练习】 1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将 线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 图2 2.如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．如图，已知：直线3+ =x y交x轴于点A，交y轴于点B，抛 - 物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D的坐标为（-1，0），在直线3+ y上有一点 - =x P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式 2 2 ： ABy A y B x A x B x A x B y A y B 2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为： 2 ， 2 直线 y k 1 x b 1 （ k 1 0 ）与 y k 2 x b 2 （ k 2 0 ）的位置关系： （ 1）两直线平行k 1 k 2 且 b 1 b 2 （ 2）两直线相交k 1 k 2 （ 3）两直线重合 k 1 k 2 且 b 1 b 2 （ 4）两直线垂直k 1k 21 3、一元二次方程有整数根问题 ，解题步骤如下： ① 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根； （两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于 x 的一元二次方程 x 2 m 1 x m 2 ＝ 0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。 2 － 4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题 。（方法同上） 例：若抛物线 2 1 3 y mx m x 与 x 轴交于两个不同的整数点，且 m 为正整数，试确定 3 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题 ，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于 x 的方程 mx 2 3(m 1)x 2m 3 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总 有一个固定的根。 解：当 m 0 时， x 1； 当 m 0 时， m 3 2 0 ， x 3 m 1 ， x 1 2 3 、 x 2 1 ； 2m m 综上所述：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。 6、函数过固定点问题 ，举例如下： 已知抛物线 y x 2 mx m 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固 定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于 m 的方程 y x 2 2 m 1 x ； y x 2 2 y 1 1，－ 1）。 ∴ x ，解得： x 1 ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（ 1 （题目要求等价于：关于 m 的方程 y x 2 2 m 1 x 不论 m 为何值，方程恒成立） ．． x ax b a 0 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值． 4．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A 二次函数压轴题型归纳 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ? ??=-=+-01 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 二次函数压轴题 命题规律总结：二次函数压轴题是近10年必考题型，考查题位均在第23题，分值均为11分：其中7次是二次函数与一次函数、几何图形的综合题，3次是二次函数单独与几何图形的综合题，且涉及的图形多为三角形和特殊四边形，未涉及到圆；考查类型有：线段问题、面积问题，等腰三角形问题，直角三角形问题，平行四边形问题，三角形相似问题和角度问题，除2017、2012、2011和2009年是两问，且第二问里有两小问，其他年份均为3问；第一小问多以待定系数法求二次函数解析式；线段问题包括线段的数量关系，线段长的关系式及最值和周长的关系式及最值；面积问题包括三角形面积的关系式及最值；此类题题目多涉及数形结合和分类讨论思想。 类型一 线 段 问 题 ●典例精析 ◇例题1◇.如图，抛物线y=21x 2－bx ＋c 与直线l ：y=4 3x －1交与A （4， 2）、B （0，-1）。 （1）求抛物线的解析式； （2）点D 为直线l 下方的抛物线上的动点，过点D 作DE ∥y 轴交 l于点E，作DF⊥l于点F，设点D的横坐标为t。 ①用含t的代数式表示DE的长②求DE的最大值，DF的最大值③设RT△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求出p的最大值及此时点D的坐标。 总结：1.用点坐标表示线段长度：先在图中找到对应线段，分清已知点和未知点，再联系二次函数和一次函数，设出未知点坐标，使其只含有一个未知数；继而表示出线段长度，如果该线段与坐标轴平行则利用横纵坐标相加减确定，如果与坐标轴不平行的话，先转化到有边与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或者三角形相似确定。 2.一条线段的最值问题，根据前面所得的点坐标表示线段长度，通过运用配方法或运用二次函数的性质求最值，从而得到线段的最值。 3.线段数量关系问题：根据前面所得的用点坐标表示线段长度，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程即可。 4.两条线段和的最小值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，最常见的图形就是“将军饮马模型”。中考二次函数压轴题(共23道题目)14067
二次函数压轴题专题分类训练(完整资料).doc
2018二次函数压轴题题型归纳
最新-全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案)
2020二次函数压轴题题型归纳
(word完整版)二次函数中考压轴题题型汇总讲义
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