一、二次函数常考点汇总
1、两点间的距离公式
2
2
： ABy A y B x A x B
x A x B y A y B
2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：
2
，
2
直线 y
k 1 x b 1 （ k 1 0 ）与 y k 2 x b 2 （ k 2 0 ）的位置关系：
（ 1）两直线平行k 1
k 2 且 b 1 b 2
（ 2）两直线相交k 1 k 2
（ 3）两直线重合
k 1 k 2 且 b 1 b 2
（ 4）两直线垂直k 1k 21
3、一元二次方程有整数根问题
，解题步骤如下：
① 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围；
② 解方程，求出方程的根； （两种形式：分式、二次根式）
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于 x 的一元二次方程
x
2 m 1 x m
2
＝ 0
有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。
2
－
4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题
。（方法同上）
例：若抛物线
2
1 3
y
mx
m
x
与 x 轴交于两个不同的整数点，且 m
为正整数，试确定
3
此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题 ，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：
已知关于 x 的方程 mx 2
3(m 1)x 2m
3 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总
有一个固定的根。
解：当 m
0 时， x 1；
当 m
0 时，
m 3
2
0 ， x 3 m 1
， x 1 2
3
、 x 2 1 ；
2m
m
综上所述：无论
m 为何值，方程总有一个固定的根是
1。
6、函数过固定点问题
，举例如下：
已知抛物线 y
x 2
mx m 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固
定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于
m 的方程 y
x 2 2 m 1 x ；
y x 2
2
y
1
1，－ 1）。
∴
x
，解得： x
1 ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（ 1
（题目要求等价于：关于 m 的方程 y x 2 2 m 1 x 不论 m 为何值，方程恒成立）
．． x
ax b
a 0
7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
（ 1）如图，直线l1、l2，点A在l2上，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得AM MN之和最小。
（ 2）如图，直线l 1、 l 2相交，两个固定点A 、 B ，分别在l1、l2上确定两点M 、 N ，使得BM MN AN 之和最小。
3a
，在直线 l 上确定两点E、F（E在F 的（）如图， A、 B 是直线 l 同旁的两个定点，线段
左侧），使得四边形AEFB 的周长最小。
8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法
三角形的面积求解常用方法：如右图，S
· PM·△ x=1/2 · AN·△ y △ PAB=1/2
9、函数的交点问题：二次函数（y＝ax2＋bx＋ c ）与一次函数（y＝ kx＋ h ）
（1）解方程组y＝ ax 2＋ bx＋ c 可求出两个图象交点的坐标。
y＝ kx＋ h
（2）解方程组y＝ ax 2＋ bx＋ c2
，通过可判断两个图象的交点y＝ kx＋ h，即 ax ＋ b－k x＋c－h＝0
的个数
有两个交点＞0
仅有一个交点0
没有交点＜0
（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
（3）列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形” 、“梯形”、“相似三角形” 、“直角三角形” 、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求几何分析
跟平行有关的
平移
图形
勾股定理逆定理
跟直角有关的利用相似、全等、平图形行、对顶角、互余、
互补等
跟线段有关的利用几何中的全等、图形中垂线的性质等。
利用相似、全等、平跟角有关的图
行、对顶角、互余、形
互补等
涉及公式
y1y2
l1∥ l 2k1＝k 2、 k
x2
x1
AB
22
y A y B x A x B
AB
22
y A y B x A x B
应用图形
平行四边形
矩形
梯形
直角三角形
直角梯形
矩形
等腰三角形
全等
等腰梯形
【例题精讲】
一基础构图：
y
y= x2 2 x 3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）
★和最小，差最大
1 在对称轴上找一点P，使得 PB+PC 的和最小，求出P 点坐标
2 在对称轴上找一点P，使得 PB-PC 的差最大，求出P 点坐标
B OA x
C
D
y
★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P，使得ACP 面积最大，求出P 坐标
B OAx
C
D
★讨论直角三角连接 AC, 在对称轴上找一点 P，使得
y ACP 为直角三角形，
求出 P 坐标或者在抛物线上求点P，使△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形．★ 讨论等腰三角连接 AC, 在对称轴上找一点P，使得ACP 为等腰三角形，
y
★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，
且以 B， A， F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标
B O A x
C
D
二综合题型
例 1(中考变式）如图，抛物线y x2bx c 与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于 C
(1)求该抛物线的解析式与△ ABC 的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M ，使△ MBC 是以∠ BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由
(3)若 E 为抛物线B、 C 两点间图象上的一个动点(不与 A、 B 重合 )，过 E 作 EF 与 X 轴垂直，交
BC 于 F ，设 E 点横坐标为x.EF 的长度为 L ，
求 L 关于 X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？
当 E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时 E 点的坐标？
(4) 在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。当 E 点运动到什么位置时,以点 E 、F、H 、D为顶点的四边形为平行四边形？
(5)在（ 5）的情况下点 E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？
例 2考点：关于面积最值
如图，在平面直角坐标系中，点A、 C 的坐标分别为 ( － 1，0) 、( 0，－ 3 ) ，点 B 在 x 轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C 三点，且它的对称轴为直线x＝1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与 B、 C 不重合），过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F．
（ 1）求该二次函数的解析式；
y
（ 2）若设点 P 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段PF 的长；
（ 3）求△ PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．
A O F Bx
C
P
x＝ 1
例 3考点：讨论等腰
如图，已知抛物线y＝12
＋ bx＋c 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、 B，点 A的坐标为（ 2， 0），2
x
点C 的坐标为（ 0，－
1）．（ 1）求抛物线的解析
式；
（ 2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE ⊥x 轴于点 D ，连结 DC，当△ DCE 的面积最大时，求
点D 的坐标；
（ 3）在直线BC 上是否存在一点P，使△ ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，
说明理由．y
y
B O A x
D
B O A x C
E
C
备用图
例 4 考点：讨论直角三角
⑴如图，已知点 A （一 1，0）和点 B（ 1， 2），在坐标轴上
确定点 P，使得△ ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）．
(A） 2个（B）4个（C）6个（ D） 7个
⑵ 已知：如图一次函数y＝1
x＋ 1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数y＝1x 2 ＋22
bx＋ c 的图象与一次函数y 1
x＋1 的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（ 1，
＝2
0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形 BDEC 的面积 S；
（ 3）在 x 轴上是否存在点P，使得△ PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点
P，若不存在，请说明理由．
y
C
2
B
A O D E
例 5考点：讨论四边形
已知：如图所示，关于x 的抛物线y＝ ax 2＋ x＋ c（ a≠ 0）与 x 轴交于点A（－ 2， 0），点 B（6， 0），
与y 轴交于点 C．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（ 2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；
（ 3）在（ 2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x 轴上有一动点Q．是
否存在以A、M、P、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不
存在，请说明理由．
y
C
A O
B x x
综合练习：
1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax24ax 4a c 与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴
交于点 C，点 A 的坐标为 (1, 0)，OB＝ OC，抛物线的顶点为 D 。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠ APB＝∠ ACB ，求点P的坐标；
(3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于∠ AQB 的平分线的对称点为 A ，若QA QB 2，求点 Q 的坐标和此时
△ QAA 的面积。
2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y ax2 +2ax c 的图像与y轴交于点 C 0，3，与 x
轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为3，0 。
（ 1）求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标；
（ 2）点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1： 2 的两部分，求出此时点 M 的坐标；
（ 3）点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。
2 x22x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，
3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y
m
且对称轴与 x 轴交于点C。
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（ 0， 2），求抛物线的解析式；
（ 3）在（ 2）的条件下，点M 在直线 OB 上，且使得AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以 A、 M、 P、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。
4、已知关于x 的方程 (1 m) x2(4 m) x 30 。
（ 2） 若正整数 m 满足 8 2m
2 ，设二次函数
y (1 m) x 2 (4 m) x 3 的图象与 x 轴交于
A 、
B 两点，将此图象在
x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一
个新的图象； 请你结合这个新的图象回答： 当直线 y kx 3 与此图象恰好有三个公共点时， 求出 k 的值（只需要求出两个满足题意的
k 值即可）。
5 如图，抛物线 y=ax 2+2ax+c （ a ≠0）与 y 轴交于点 C （ 0， 4），与 x 轴交于点 A （﹣ 4，0）和
B ．（ 1）求该抛物线的解析式；
（ 2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QE ∥ AC ，交 BC 于点 E ，
连接 CQ ．当 △CEQ 的面积最大时，求点 Q 的坐标；
（ 3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点
P ，与直线 AC 交于点 F ，
点 D 的坐标为（﹣ 2， 0）．问是否有直线 l ，使 △ ODF 是等腰三角形？
若存在，请求出点
F 的坐标；若不存在，请说
明理由．
三、中考二次函数代数型综合题 题型一、抛物线与 x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧
2
例 1．已知二次函数
y ＝ x ＋ ( m － 1) x ＋ m － 2 的图象与
x 轴相交于A （ x 1， 0）， B （ x 2， 0）两点，
且
x 1＜ x 2．
（ 1）若 x 1x 2＜ 0，且 m 为正整数，求该二次函数的表达式；
（ 2）若 x 1＜ 1，x 2＞ 1，求 m 的取值范围；
（ 3）是否存在实数 m ，使得过 A 、 B 两点的圆与 y 轴相切于点 C （ 0， 2），若存在，求出 m 的值；
若 不存在，请说明理由；
1
MD
1
（ 4）若过点 D （0， 2 ）的直线与（ 1）中的二次函数图象相交于 M 、 N 两点，
且
DN
＝
3 ，求该直
线的表达式．
题型二、 抛物线与 x 轴两交点之间的距离问题
2
例 2 已知二次函数 y= x +mx+m-5 ，
8
题型三、抛物线方程的整数解问题
例 1．已知抛物线y x22(m 1)x m20 与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜ 5，则整数 m的值为 _____________
例2．已知二次函数 y＝x 2－2mx＋ 4m－8．
（ 1）当 x≤ 2 时，函数值y 随 x 的增大而减小，求m 的取值范围；
（ 2）以抛物线y＝ x 2－2mx＋4m－8 的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN （M，N两点
在拋物线上），请问：△ AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说
明理由；
y
（ 3）若抛物线 y＝ x 2－2mx＋ 4m－8 与x轴交点的横坐标均为整数，
求整数．． m 的值．
O x 题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合
A
例 1．已知抛物线y x2bx c （其中b>0，c≠0）与y轴的交点为A，点 A 关于抛物线对称轴的
对称点为B(m,n)，且 AB=2.
(1)求 m,b 的值
(2)如果抛物线的顶点位于 x 轴的下方，且 BO= 20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图
思考）
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）
例 1．已知：二次函数y x24x m 的图象与x轴交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），其顶点是点C，对称轴与 x 轴的交于点 D．
（1）求实数 m的取值范围；
（2）如果（x1 +1）（x2 +1） =8，求二次函数的解析式；
（ 3）把（ 2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点A1、
B1，顶点为点C1，且△ A1 B1C1是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．
综合提升
1．已知二次函数的图象与
x 轴交于，两点，与
y
轴交于点（ 0，4），且 || ＝ 23，图象的
A B C AB
对称轴为 x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象都在直线y＝ x＋ m的下方，求 m的取值范围．
2．已知二次函数
2
y＝－x ＋ mx－ m＋2．
（1）若该二次函数图象与x 轴的两个交点A、 B分别在原点的两侧，并且AB＝5，求m的值；
（2）设该二次函数图象与y 轴的交点为 C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且 S△MNC ＝ 27，求的值．
m
22
3. 已知关于x的一元二次方程x－2( k＋ 1) x＋k＝ 0 有两个整数根，k＜ 5 且k为整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于
22
x 的二次函数 y＝ x －2( k＋1) x＋ k 的图象沿 x 轴
向左平移 4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；
（3）根据直线＋
b 与（ 2）中的两个函数图象交点的总个数，求
b
的取值范围．
y＝ x
4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点 B（2，1），且与 y 轴交点的纵坐标为 m．（1）若为定值，求此二次函数的解析式；
m
x 轴还有异于点 A 的另一个交点，求m的取值范围；
（2）若二次函数的图象与
（3）若二次函数的图象截直线y＝－ x＋1所得线段的长为22，求m的值．
四、中考二次函数定值问题
1.（ 2012 江西南昌 8 分）如图，已知二次函数 L1：y=x 2﹣ 4x+3 与 x 轴交于 A． B 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于点C．
（ 1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（ 2）研究二次函数L2： y=kx 2﹣ 4kx+3k （k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k 与抛物线L2交于 E、F 两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．
2.（2012山东潍坊11 分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A( － 2， O)、 B(2 ， 0) 、 C(0，－ l)三点，过坐标原点O的直线 y=kx 与抛物线交于M、N 两点．分别过点C、 D(0，－ 2) 作平行于x 轴的直线 l1、 l2．
(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
(2)求证以 ON为直径的圆与直线l1相切；
(3)求线段 MN的长 ( 用 k 表示 ) ，并证明M、 N 两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．
3. （ 2012 浙江义乌12 分）如图 1，已知直线y=kx 与抛物线y=4 x 2+22x交于点A（3，6）．273
（1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA的长度；
（2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O不重合），交直线
OA于点 Q，再过点Q作直线 PM的垂线，交y 轴于点 N．试探究：线段QM与线段 QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（ 3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段 OA上（与点 O、 A 不重合），点 D（ m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？
4．（ 2011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a＜ 0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、 B 两点，请解答以下问题：
（ 1）若测得OA=OB=22（如图 1），求 a 的值；
（ 2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BF⊥ x 轴于点
F ，测得 OF=1 ，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横坐标；
．．．
（ 3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
y
E O F
x
B