平面向量与三角函数综合练习 题型一三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是 一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中?解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位?这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 例1 把函数y = sin2x的图象按向量a = (- , —3)平移后，得到函数y = Asin( w x+ )(A > 0, w> 0 , 6 || = p的图象，贝U 和B的值依次为 题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数 的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解?此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查 例2 已知A、B、C为三个锐角，且 A + B + C=n若向量8 = (2 —2sinA , cosA + si nA)与向量6 = (cosA —si nA , 1 + si nA)是共线向量. (I)求角A; 一 C —3B (n)求函数y = 2sin 2B + cos —；—的最大值? 题型三三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件 将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.
已知向量 "a = (3sin a cos a ), "b = (2sin a, 5sin a — 4cos a , （I ）求tan a 的值； a （n ）求 cos （ +）的值. 2 3 题型四三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质 |"|2 ="2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法： （1） 先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解； （2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标 运算进行求解? 5 v 3< 0 v av ，且 sin 3=— ，求 sin a 的值. 2 13 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式： （1）三角函数与向量的积直接联系； （2）利用三角函数与向量的夹 角交汇，达到与数量积的综合 ?解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解 ? 例 5 设函数 f(x)=""其中向量"=(m , cosx) , " = (1 + sinx , 1), x € R ,且 f( ) = 2. (I)求 实数m 的值；（n ）求函数f （x ）的最小值. 六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量 有着密切的联系?解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标， 要求 根据向量的关系解答相关的问题 ? b A A b 例6 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为 a 、 b 、 c ,若m = （— cos ；, sin'）, n = 妖（牛,2 n ，且b 已知向量 ""=(cos a ,sin a ), " = (cos B,sin 3, a — 3）的值；（n ）若一- l " —= .(I )求 cos(
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A =2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+
tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积
sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = - 2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2
三角函数综合 1、若点P 在 3 2π 的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2、已知=- =-ααααcos sin ,4 5 cos sin 则（ ） A ． 47 B ．169- C ．32 9 - D ． 32 9 3、下列函数中，最小正周期为2 π 的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)3 2tan(π -=x y C ． ) 6 2cos(π +=x y D ．)6 4tan(π +=x y 4、等于则)2cos(),,0(,3 1 cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．9 7 5、若α是三角形的内角，且2 1 sin =α，则α等于（ ） A ． 30 B ． 30或 150 C ． 60 D ． 120或 60 6、下列函数中，最小值为－1的是（ ） A ．1sin 2-=x y B ．cos 1y x =- C ． x y sin 21-= D ．x y cos 2+= 7、设)4 tan(,41)4tan(,52)tan(π απββα+=-= +则的值是（ ） A ． 1813 B ． 22 13 C ． 22 3 D ．6 1 8、 300cos 的值是( ) A ． 2 1 B ．2 1- C ． 2 3 D ．2 3- 9、将函数x y 4sin =的图象向左平移 12 π 个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12 π - B ．3 π- C ． 3 π D ． 12 π 10、 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ． 3 3 C ．3 3- D ．3- 11、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++等于( ) A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 12、若θθθ则,0cos sin >在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四 象限 13、函数是x x y 2cos 2sin 2=( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为4π的奇函数 D 周期为4 π的偶函数 14、设m M 和分别表示函数1cos 3 1 -= x y 的最大值和最小值，则等于m M +
B A C D 一.选择题: 1. 在平面上，已知点A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)．给出下面的结论： ①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确．．结论的个数是 （ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 2． 下列命题正确的是 （ ） A ．向量A B 的长度与向量BA 的长度相等 B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C ．若非零向量AB 与C D 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线 D ．若→ a → b → c ，则→ a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则 等于( ) A.+ B. C. D.+ 4． 若 ，且与也互相垂直，则实数的值为( ) A ． C. 5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（ ） A. B. C. D. 6． 己知 (2,－1) .(0,5) 且点P 在 的延长线上, , 则P 点坐标为( ) A.(－2,11) B.( C.( ,3) D.(2,－7) 7．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b 8．已知D 点与ABC 三点构成平行四边形，且A （－2,1），B （－1,3），C （3,4），则D 点坐标为（ ） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 10． 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 10．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于 ( )A ．{(1,1)} B ．{(－1,1)} C ．{(1,0)} D ．{(0,1)} 二. 填空题:11．若向量a b ， 的夹角为 60，1a b ==，则() a a b -= ． 12．向量2411()()，， ，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 ． 13．向量a 、b a b =1，b 3-=3，则 b +3 =
专题二 三角函数与平面向量的综合应用 （时间：45分钟 满分：100分） 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知sin(2π－α)＝45，α∈????3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α 等于( ) A.17 B ．－17 C ．－7 D ．7 2．如图，D 、 E 、 F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A ．＋BE →＋CF →＝0 B. －CF →＋DF → ＝0 C ．＋CE →－CF →＝0 D. －BE →－FC →＝0 3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f(x)＝a ·b 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ， sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6 D .π3，π3 5.已知向量OB →＝（2，0），向量=(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向 量OB →的夹角的取值范围是( ) A.????0，π4 B.??? ?π4，512π C.????512π，π2 D.??? ?π12，512π 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若⊥，则x 的值为______． 7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC 上的一个动点，当?PD PA 取得最小值时，tan ∠DP A 的值为 ________．
三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
A C 平面向量 一.选择题: 1. 在平面上，已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)．给出下面的结论： ①= -②= +③2 - = 其中正确 ．．结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．0个 2．下列命题正确的是（） A．向量的长度与向量的长度相等B．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C．若非零向量与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线D．若 → a → b → c，则 → a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则等于( ) A.+ B. C. D.+ 4．若，且与也互相垂直，则实数的值为( ) A． B.6 C. D.3 5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（）A. B. C. D. 6．己知(2,－1) .(0,5) 且点P在的延长线上,, 则P点坐标为( ) A.(－2,11) B.( C.(,3) D.(2,－7) 7．设， a b是非零向量，若函数()()() f x x x =+- a b a b的图象是一条直线，则必有（） A．⊥ a b B．∥ a b C．|||| = a b D．|||| ≠ a b 8．已知D点与ABC三点构成平行四边形，且A（－2,1），B（－1,3），C（3,4），则D点坐标为（） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC ?中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是 （A） 2 AC AC AB =?（B）2 BC BA BC =? （C） 2 AB AC CD =?（D）2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ??? = 10．设两个向量22 (2,cos) aλλα =+-和(,sin), 2 m b mα =+其中,,m λα为实数.若2, a b =则 m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1] - B.[4,8] C.(,1] -∞ D.[1,6] - 10．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()A．{(1,1)} B．{(－1,1)} C．{(1,0)} D．{(0,1)} 二. 填空题:11．若向量a b ，的夹角为 60，1 a b ==，则() a a b -=． 12．向量2411 ()() ，，， a=b=．若向量() λ ⊥ b a+b，则实数λ
向量与三角函数综合试题 1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ） A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2 λλ或2-<λ B ．2>λ或2-<λ C ．22< <-λ D ．22<<-λ 3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2 +y 2 =1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3 4， －3 2)，则·的值是 （ A ） A ．18 25 B ．9 25 C ．2 D ．9 16 4．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0，则||的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =u u u r u u u r ，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是（ C ） A ．1 B 3 C ．3 D ．236．已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量22)CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值围是（ D ） A ．[0, ]4π B ．5[,]412ππ C ．5[,]122ππ D ．5[,]1212 ππ 7．已知向量(1,1),(1,1),(22)a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ） A 21 B ．1 C 2 D ．322- 8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =u u u r u u u r ， 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE u u u r u u u r g 的值是（ B ） B ．）
倒数关系：tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的 对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2 (a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2C os^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sin a(3/4-sin2a) =4sina[(√3/2)2-sin2a] =4sina(sin260°-sin2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosa[cos2a-(√3/2)^2] =4cosa(cos2a-cos230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2] cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasi
必修4三角函数综合测试题及答案详解 一、选择题 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π 6的值为( ) A ．0 B.3 3 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ 2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π 2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π 2 5．若sin ? ???? π2－x ＝－32，且π 7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ? ?? ?? x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θ sin θ＋2cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 A 平面向量 一.选择题: 1. 在平面上，已知点A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)．给出下面的结论： ①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确．．结论的个数是 （ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 2． 下列命题正确的是 （ ） A ．向量A B 的长度与向量BA 的长度相等 B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C ．若非零向量AB 与C D 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线 D ．若→ a → b → c ，则→ a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则 等于( ) A.+ B. C. D.+ 4． 若 ，且与也互相垂直，则实数的值为( ) A ． C. 5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（ ）A. B. C. D. 6． 己知 (2,－1) . (0,5) 且点P 在 的延长线上, , 则P 点坐标为( ) A.(－2,11) B.( C.( ,3) D.(2,－7) 7．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b 8．已知D 点与ABC 三点构成平行四边形，且A （－2,1），B （－1,3），C （3,4），则D 点坐标为（ ） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2 AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 10． 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 10．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)} B ．{(－1,1)} C ．{(1,0)} D ．{(0,1)} 二. 填空题:11．若向量a b ， 的夹角为 60，1a b ==，则() a a b -= ． 三角函数公式 三角函数内容规律 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质： 三角函数的本质来源于定义，如右图： 根据右图，有 sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） [1] 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=2tanA/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) cosα=sin(90-α) 半角公式 三角函数习题 1．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>u r r 且m n ?u r r 的最大值是5,求k 的值 2．在ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向 量 (2sin ,m B =r ,2cos 2,2cos 12B n B ??=- ???r ,且//m n r r ? (I)求锐角B 的大小; (II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值 3．已知??? ? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间? (2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3 4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值? 4．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =?+ (I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3()2 f x ≥成立的x 的取值集合? 5 ．已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，． （1）求)(x f 的最大值和最小值； （2）2)(<-m x f 在ππ42x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+ (I)求角A; (II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值? 7．在锐角ABC ?中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ． (1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小； (2)已知向量m ρ＝(sinA ，cosA)，n ρ＝(cosB ，sinB)，求｜3m ρ－2n ρ｜的取值范围． 三角函数习题答案 1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵01,∴t =1时,m n ?u r r 取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k = 2 3. ? 2.【解析】:(1) //m n r r 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B 三角函数与平面向量综合题的六种类型 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04 πα<<，β为()cos(2)8 f x x π =+的最小正 周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=?= ，求22cos sin 2()cos sin ααβαα ++-的值． 【解答】因为β为()cos(2)8 f x x π =+ 的最小正周期，故βπ=．因为a b m ?= ， 又cos tan()24a b βαα?=?+- ，故cos tan()24 m βαα?+=+． 由于04 π α<< ，所以 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++= -2 2cos sin(22) cos sin ααπαα ++- 2 2cos sin 2cos sin αααα += -2cos (cos sin ) cos sin ααααα +=-1tan 2cos 1tan ααα +=?- cos tan()24 m β αα=?+ =+． 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入 求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 π ?≤≤） 的图像与y 轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与P N 的夹角。 【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,?=即1sin .2?= 因为02 π ?≤≤ ，所以6 π ?= . （II ）由函数2sin()6 y x π π=+ 及其图像，得1 15 (,0),(,2),(,0),636 M P N - - 所以11 (,2),(,2),22 P M P N =-=- 从而 cos ,|||| PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517=，故,P M P N <>= 15arccos 17 . 第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ） 求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 （ ） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小； （2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ． 三角函数大题综合训练 1.已知函数 ()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 2.设函数f (x )=cos(2x + 3 π)+sin 2 x .（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A ,B ,C 为?ABC 的三个内角，若cos B =31， 1 ()24 c f =-，且C 为锐角，求sin A . 3.已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω?ω?π++>>∈的形式， 并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12 f x π π在上的最大值和最小值 4.已知函数 ()2sin cos 442x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ? ?=+ ?? ?，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 5.已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在 区间[,]122 ππ-上的值域 6.设2()6cos 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角α 满足 ()3f α=-4 tan 5 α的值． 7.已知0α βπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且m =·a b ．求22cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 8.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2()π2－x 满足f ()－π3＝f (0)．求函数f (x )在[] π4，11π 24上的最大值和最小值． 讲座 三角形内的三角函数问题 ○知识梳理 1.内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. ,sin()sin ,sin cos 22 A B C A B C A B C π++=-+== 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角? 任意两边的平方和大于第三边的平方. A>B a>b sinA>sinB ??，60?o A,B,C 成等差数列B= 2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为三角形外接圆的半径). 注意：①正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::； ()sin ,sin ,sin 222a b c ii A B C R R R = == ； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； ②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. 3.余弦定理：2 2 2 2222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-=等，常选用余弦定理鉴定 三角形的形状. 4.面积公式： 222111222 111sin sin sin 222sin sin sin sin sin sin 1112sin 2sin 2sin 1()2 ==========++=a b c S ah bh ch ab C bc A ca B B C C A A B a b a A B C r a b c （其中r 为三角形内切圆半径,2 a b c p ++=）. 5.射影定理： a ＝ b ·cos C ＋ c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ，c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ． 特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。平面向量综合试题(含答案)
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