线性代数期末复习题
一、判断下列各题是否正确
1． 矩阵A 、B 的积AB ＝0，则A ＝0或B ＝0。 （ ） 2． 设A 为一任意矩阵，则A ＋A T ，AA T 均为对称矩阵。 （ ）
3． 设对矩阵A 施行初等变换得到矩阵B ，且已知秩(A)＝r ，秩(B)=s,则r = s 。（ ）
4． A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则(AB)＊= A ＊B ＊
。 ( ) 5． 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC ＝E ，则BCA ＝E 。 ( )
6． 设A 、B 为n 阶方阵，则，(A -1 B -1)T ＝(A T B T )-1
。 ( ) 7． 等价的矩阵的秩相等。 ( ) 8． 若矩阵P T AP 为对称矩阵，则A 为对称矩阵。 ( ) 9．在4阶行列式中，项a 13a 34a 42a 21带正号。 （ ） 10． A ＊
是n 阶方阵A 的伴随矩阵，则 (2 A)＊
= 2 A ＊
（ ） 11．在5阶行列式中，设a ij 为第i 行第j 列元素，A ij 为a ij 的代数余子式。则， a 31A 41+a 32A 42+a 33A 43+ a 34A 44+ a 35A 45=0 （ ） 12．若A ＊是n 阶方阵A 的伴随矩阵，则，|A ＊| = |A|n-1。 （ ） 13．若A 、B 是同阶方阵，则（A ＋B ）2 ＝A 2＋2AB ＋B 2
。 ( )
14． 等价的向量组的秩相等。 ( ) 15． A ＊是n 阶方阵A 的伴随矩阵，则A ＊A =A A ＊= |A| E 。 ( ) 16．在4阶行列式中，项a 12a 34a 43a 21带负号。 （ ） 17. 若 n 阶矩阵A 可逆，则A 的n 个列向量线性相关 （ ） 18. 若矩阵A 、B 相似，则矩阵A 、B 合同。 （ ）
19. 实二次型f (x 1, x 2, x 3) =2
322x x + 是半正定二次型。 （ ）
20. 已知三阶矩阵A 的三个特征值是 -1，1，2，则|A| = -2 ( ） 21设A 是4×5矩阵，秩（A ）=3，则A 中的3阶子式都不为0 （ ） 22若矩阵A 、B 合同，则矩阵A 、B 相似。 ( )
23．设A 、B 为n 阶可逆方阵，则 (AB)-1 = A -1 B -1
。 ( ) 24.． 若A 为对称矩阵，则P T AP 为对称矩阵。 ( ) 25．在5阶行列式中，设a ij 为第i 行第j 列元素，A ij 为a ij 的代数余子式。则 a 51A 51+a 52A 52+a 53A 53+ a 54A 54+ a 55A 55=0 （ ） 26．若矩阵A 中所有t 阶子全为式0，则秩(A )≤t 。 （ ） 27．n 维零向量是任何一组n 维向量的线性组合。 （ ） 28．正交矩阵的行列式等于1或 -1 。 （ ） 29．任一实对称矩阵一定能与对角矩阵相似。 （ ）
30．实二次型f(x 1,x 2,x 3)=2
322x x + 是正定二次型。 （ ）
31若一个向量组线性相关，则该向量组的任一部分组都线性相关。 （ ） 32若向量α与β正交，则对任意实数a 、b, a α与b β也正交 （ ） 33若矩阵A 满足A T = A -1 ，则矩阵A 为正交矩阵 （ ） 34．若矩阵A 、B 相似，则矩阵A 、B 等价 （ ）
35．n 阶矩阵A 非奇异的充要条件是A 的行向量都是非零向量。 （ ） 36．若λ1和λ2分别是n 阶矩阵A 、B 的特征值，则λ1 +λ2是n 阶矩阵A+B 的
特征值， （ ） 37．二次型f(x 1,x 2,x 3) =（x 1+x 2）2 + (x 2-x 3) 2 + (x 3+x 1) 2的秩为2 （ ）
二．单项选择题
1.
A ，
B 为三阶方阵，矩阵X 满足A X A B X B B X A A X B E -=-+则 ( ) .
(A)2
2
1
()X A B -=-; (B)1
1
()()X A B A B --=-+； (C)1
1
()()X A B A B --=+- (D) 以上答案都不对. 2.
A 、
B 、
C 为n 阶方阵，且A B C =,A 、B 、C 的列向量组分别为12,,,n ααα???；
12,,,n βββ???；12,,,n γγγ???. 若12,,,n γγγ???线性相关，则( ) . (A) 12,,,n ααα???线性相关; (B) 12,,,n βββ???线性相关； (C) （A ）与(B)都成立； (D) (A)或(B)成立. 3. 设
,A B
为三阶矩阵，且
2
(32)3r A A E +
+
=，若()2r B =则
()r AB B +=( ).
(A) 1 ； (B) 2； (C) 3； (D) 无法判断． 4. 设三阶矩阵
????? ??=32
32γγα
A ，???
??
??=322γγβB ，其中32,,,γγβα均为三维行向量，已知
18
=A ，2=B ，则=
-B A ( ) .
(A) 1 ； (B) 2； (C) 3； (D)4.
5. 若,A B 都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是 ( ).
(A) ()T
T
T
A B B A =. (B) 1
1
1
()
A B B
A
---=.
(C) *
*
*
()A B B A =. (D) 22
2
()A B B A =.
6. 若A 为三阶方阵，将矩阵A 第一列与第三列交换得矩阵B ，再把矩阵B 的第二列
加到第三列得矩阵C ，则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为( ).
(A) 01010010
1?? ? ? ??
?
. (B) 0
1010001
1?? ? ? ??
?
. (C)
0101110
0?? ? ? ??
?
. (D) 0
1110000
1?? ? ? ??
?
.
7. 若,A B 都是n 阶方阵，且0B ≠，0A B =，则必有( ).
(A)
B ≠. (B)
*
B
≠. (C)
T
A =. (D) 222
()A B A B -=+
8. 已知向量组123,,ααα的秩为3，向量组1234,,,αααα的秩为3，向量组1235,,,αααα的秩为4，则向量组 1234523,,,ααααααα--，的秩为（ ）.
(A) 3. (B) 4 . (C) 5. (D) 不能确定
9. r (A) = r (A,b)是非齐次线性方程组A x b =有无穷多解的 ( ).
(A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 既非充分条件又非必要条件. (D) 不能确定.
10.若向量组1(1,3,6,2)T
α=，2(2,1,2,1)T
α=-，3(1,1,,2)T
a α=--的秩为2，
则a =( ).
(A) 1. (B) -2. (C) 2. (D) -1.
11.若B A ,都是n 阶方阵，且0≠B ，0=AB ，则必有( ). (A)
B ≠. (B)
A =. (C)
*
B
≠ . (D) 2
22)(B A B A +=+.
12.下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是( ).
(A). ????
? ??-200120011 (B) 11
0120002-?? ? ? ??
?
. (C) 1
1
002
0001?? ? ? ?-?
?. (D)
1
1102000
2?? ?- ? ??
?
.
13.已知A 是n 阶可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵是( ).
(A) 1A -. (B) 2A . (C) T A . (D) *
A . 14．若方程组???
??=+=+-=++0
2020
9873232321x t x x x x x x 存在非零解，则常数t = [ ]。 （A ） 2 （B ） 4 （C ） －2 （D ） －4 15．设有n 阶方阵A 与B 等价，则 [ ]。
(A) | A | = | B | (B) | A | ≠ | B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) | A | = －| B |
16．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是 [ ]。
（A ）（2A ）-1 = 2 A -1
(B) |2A| = 2 | A | (C)
()
A
A
A 1
1
*
--=
(D) (A -1 )T = ( A T )-1
17．设61152
1
1
12344321--=
A ，则4A 41+3A 42+2A 43+A 44
= [ ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
18．已知可逆方阵
?
?????--=-21731
A
，则A ＝ [ ]。
（A ）????
??--31
72 （B ）??????31
72 （C ）?
?????--21
73 （D ）??????--21
73
19．设矩阵A 、B 、C 满足AB ＝AC ，则B ＝C 成立的一个充分条件是 [ ]。
(A) A 为方阵 （B ）A 为非零矩阵 (C) A 为可逆方阵 (D) A 为对角阵
20．
43
2
1
11132143
0432
4321)(x
x
x x x f =，则x 4的系数是 [ ]。
(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2
21．若A 为三阶方阵，将矩阵A 第一行与第三行交换得矩阵B ，再把矩阵B 的第一行加到第二行得矩阵C ，则满足QA=C 的可逆矩阵Q 为 ( )
(A) 01010010
1?? ? ? ??
?
. (B) 0
1010001
1?? ? ? ??
?
. (C) 0
0101110
0?? ? ? ??
?
. (D) 0
1110000
1?? ? ? ??
?
.
22．下列不是矩阵A 可逆充分必要条件的是 ( )
(A) | A | ≠ 0 (B) A 是非奇异矩阵 (C) A 的任一特征值不为零 (D) A 是满秩矩阵。
23．设n 阶方阵A 与n 阶方阵B 等价，则( )
(A) | A | = | B | (B) A 与B 合同 (C) r (A) = r (A,B) (D) A 与B 相似
24．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是( )
（A ） （2A ）-1 = 2 A -1
(B) |2A| = 2 | A |
(C) (2 A)＊ = 2 A ＊ (D) (2A -1 )T = 2(A T )-1
25．A 为n 阶矩阵，每个n 维向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则秩（A ）=( )
( A ) 1 （B ） n ( C ) n-1 ( D ) 0
26．若向量组α1=(1，1，3，1)T ，α2=(1，1，a ，1)T ，α3=(5，-3，7，-11)T
的秩为2，则a =( )
(A) 1. (B) 3. (C) -3. (D) -1.
27.设A 是m ×n 矩阵，Ax=0是线性方程组Ax=b 的导出组，若m ＜n ，则( )
A. Ax=b 必有无穷多解
B. Ax=b 必有唯一解
C. Ax=0必有非零解
D. Ax=0必有唯一解
28. 设二次型f(x)=x T
Ax 正定,则下列结论中正确的是( )
A ．对任意n 维列向量x ，x T Ax 都大于零
B ．A 的特征值都大于零
C ．f 的标准形的系数都大于或等于零
D ．A 的所有子式都大于零
29. 设矩阵A=???
?
?
?????---49
6
375
254
，则以下向量中是A 的特征向量的是( ) (A).（1，1，1）T (B).（1，1，3）T
(C).（1，1，0）T (D).（1，0，-3）T
30．若矩阵B 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示，则 ( )
(A) 秩(B )≤秩(A) (B) 秩(B )＜秩(A) (C) 秩(B )＞秩(A) (D) 秩(B )≥秩(A)
31．设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )
（A ）．0 （B ）. 1 （C ）．2 （D ）. 3
32．若A 、B 相似，则下列说法错误．．
的是( ) （A ）．A 与B 等价 （B ）. A 与B 合同 (C)． | A | = | B |
(D). A 与B 有相同特征值
33．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则矩阵A( )
(A). 正定 (B). 半正定 (C). 负定 (D). 半负定
34．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b 的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ） A ．α1+α
2
B ．α1-α 2
C ．β+α1+α
2
D ．β+
212
12
1α+
α
35．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，-1，3）T ，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ） A ．k 1(1,0,2)T
+k 2(1,-1,3)T
B ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)T
C ．(1,0,2)T +k (0,1,-1)T
D ．(1,0,2)T +k (2,-1,5)T
36．矩阵A =???
?
? ??111111111的非零特征值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
37．4元二次型413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
38．设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A ）=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 39．二次型2.2),,(y x z y x f -=的正惯性指数p 为（ ）
A ．0．
B ．1
C ．2
D ．3
40．设向量，若有常数a ,b 使
，
则（ ） A ．a =-1, b =-2 B ．a =-1, b =2 C ．a =1, b =-2
D ．a =1, b =2 41. 设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ）
A.
2
1 B.1 C.
2
3 D.2
42. 设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )
A. α1, α2,β线性无关
B. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一
C. β不能由α1, α2线性表示
D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一
43. 下列矩阵是正交矩阵的是（ ）
A.????
?
?????--10
010001 B.
21
??????????110
011101
C.??
?
?
??--θθθθcos sin sin cos D.????????
?
????????
?-
-
336
102233660336
122
三、填空题
1.设A 、B 为n 阶非零矩阵，A B O =，且A 的阶梯形为100
0n E -??
?
???，则矩阵B 的秩= .
2.已知
1111111111
1
1
1a D b c
=
，则此行列式的所有代数余子式之和,1
n
ij i j A ==
∑
.
3.已知(1,1)T
x =是????
??=a A 011
的一个特征向量，则=a .
4.为已知A 是3阶方阵，123,,ααα是三维线性无关的向量. 若112A ααα=+，
223A ααα=+，313A ααα=+，则A 的行列式等于 .
5.设,A B 均为三阶矩阵，2,3A B =-=，则
*
2T
A B
= .
6.设A 是4阶矩阵，伴随矩阵*
A 的特征值是--1,2,4,8，则矩阵A 的全部特征值是 .
7.若向量组1(1,3,6,2)T α=，2(2,1,2,1)T α=-，3(1,1,,2)T
a α=--的秩为2，则
a = .
8.若矩阵111
111
t A t t ?? ?=- ? ?-?
?
为正定的，则t 满足的条件为 .
9.已知A 为3阶可逆矩阵，*
A 是A 的伴随矩阵，若 2
A =，则*
1
1(
)
4
A A --= .
10.设A =1
1012211431
212
1-??
?-- ? ?-?
?
，则0A x =的基础解系中所含向量的个数是 . 11.已知22021202
x -?? ?-- ? ?-?
?
与
1
000000
2y ??
? ? ?-?
?
相似，则y = .
12.矩阵
1122
03112A -?? ?= ? ???
的逆矩阵为 .
13.若矩阵
111
111
t A t t ??
?=- ? ?-?
?
为正定的，则t 满足的条件为 .
14. 设21321,,,,ββααα 都是4维列向量,且4阶行列式,,3221121n m ==αβαααβαα 则4阶行列式()=+21123ββααα_______________
15. 已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示则21,αα线性__________
16.设A 是n m ?阶矩阵 ,,B 是s n ?阶矩阵,,()r A R =,且0=AB ,则()B R 的取值 范围是________________
17.设A 是4?3矩阵,且A 的秩()2=A R 且????? ??-=30
1
020
201B 则()=AB R __________-
18.设0是矩阵
?????
??=a A 0
1020
101
的特征值,则=a _____________
19.设212
32
2
22
13212),,(x x x k kx x x x x f +++=是正定二次型, 则t 的取值区间为 20.矩阵
????? ??--=31
4120
401
A 对应的二次型是_______________
21. 设
????? ?
?---=44
644
325x A 相似于对角阵?????
?
?32
1
,则=x
22.设A 为3阶方阵,*
A 为伴随矩阵,81
=
A ,则*
1
831A
A -??
? ??-=___________
23.设
?????
??---=14523
121
x A 是不可逆矩阵,则=x ____________ 24. .
________,___,04
3
3
4221321111
==-x x
x x 的根方程
25.
().
________)(,,20
10,21
01===????
???
??-=A R A 则矩阵设αββα
26. 设A 、B 为4阶方阵，且2
-=A ，
3
=B ，则
_________
1)
)
((=-T AB
27. .______,=A A 则相似于单位矩阵
设
28. A 是34?矩阵，其秩()A =1,
???????
??--=00
3
0000108532001
B , 则秩()BA = _____
29.
.
_________ ,0,11
223112
321
==????
??
?
??---=t Ax t A 则有非零解且方程组设
30.设方阵A 有一特征值为λ，则 的
特征值为 。
31.
()().
___________13
12
,21
2121的对应矩阵是???
?
?????? ??=x x x x x x f
32.
.
______________,0
001
0112满足的条件是则是正定矩阵k k k A ???
?
?
??=
33. 已知四元非齐次线性方程组Ax=b ，R(A)=3，α1，α2，α3是他的三个解向量，其中
α1+α2=（1,1,0,2）T ，α2+α3=（1,0,1,3）T
，则该非齐次线性方程组的通解_____
34.设B A ,是3阶矩阵,且
?
?
???
??=????? ??=3232,32r r B r r A βα,其中32,,,r r βα均为3维行向量, 3
,15==B A ,则行列式
=
-B A
35.已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1
A
36.设0
2
200
0110011≠k k k ,则k 应满足_______________.
37.设21,,ααβ线性相关, 32,,ααβ线性无关,则321,,,αααβ线性_______关.
38.设()()()2,3,1,,0,,1,1,1321===αααb a 线性相关,则b a ,满足关系式____________
39. 设A 满足022
=++E A A ,则A 有特征值_____________
40. 设A 为n 阶方阵,(),3-=n A R 且321,,ααα是0=Ax 的三个线性无关的解向量, 则0=Ax 的一个基础解系为______________.
41.二次型()3231212
322213212245,,x x x x x x ax x x x x x f --+++=正定,则a 满足条件 _____________.
42.设方阵
???
?? ??------=12
4242
421A 相似于对角矩阵?????
?
?-45
t
,则=t __________.
43.设A 是43?矩阵,(),2=A R ?????
??----=11
1
211
120
B ,则()=BA R ________
44．矩阵
?????
??--=31
4120
401
A 对应的二次型是_______________
45．设A 、B 为n 阶矩阵，A B O =，且A 的n 个列向量线性无关，则矩阵B 的秩 = . 46．已知非零向量321,,ααα线性相关，3α不能由21,αα线性表示，则秩（21,αα）= ____ 。
47．已知3阶可逆矩阵A 的特征值为1,2，-2，则*
A 的三个特征值为= ，
| A | 的代数余子式A 11+ A 22+ A 33 = 。 48．设0是矩阵
?????
??=a A 0
1020
101的特征值,则=a _____________
49．.实对称矩阵???
?
?
??--1 1 0 1 0 10 1 2 所对应的二次型f (x 1, x 2, x 3)=________________.
50．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是系数矩阵A 的
秩r(A )= .
四、计算、解答下列各题
1. 计算行列式
y
y x x -+-+11
1
1
111111111111
2.计算n 阶行列式
x y 0 …… 0 0 0 x y …… 0 0 0 0 x …… 0 0 D n = ： ： ：…… ： ： ： ： ：…… ： ：
0 0 0 …… x y y 0 0 …… 0 x 3.计算n 阶行列式
1 2 2 …… 2 2 2 2 2 …… 2 2 2 2 3 …… 2 2 D n = ： ： ：…… ： ： ： ： ：…… ： ： 2 2 2 ……n-1 2 2 2 2 …… 2 n
4.计算n 阶行列式
1+a 1 1 1 …… 1 1 1 1+a 2 1 …… 1 1 1 1 1+a 3 …… 1 1
D n = ： ： ： …… ： ： 其中a 1a 2 ……a n ≠0 ： ： ： …… ： ： 1 1 1 …… 1+a n-1 1 1 1 1 …… 1 1+a n
5. 设
1000
1001
1A ?? ?=- ? ?-?
?
，矩阵B 满足*
25A BA BA E =-，求矩阵B .
6. 已知(1,1,1),(1,0,1)T
T
αβ==，且T
A αβ=.求4
A .
7.已知
2010
30202A ?? ?= ? ??
?,10001000
0B ??
?=- ? ???
, 矩阵X 满足22AX B BA X +=+，求X ．
8.设矩阵11111111111
1
a
a A a a ??
? ?= ? ?
??，A 的秩为3，求a .
9.三阶方阵B A ,满足关系式:B A E AB +=+2
,且
????? ?
?=10
1020
101A ,求B
10.设
?????
?
?=????? ??--=20
0120
312
,10
0110
011C B ,矩阵X 满足关系式:
()E C
B C E X T
T
=--1
,求.X
11. 已知A 、B 为4阶方阵，且｜A ｜＝－2，｜B ｜＝3，
求 (1) | 5AB | ; (2) |- A B T | ; (3) | ( AB )-1
|。 12. 已知AP ＝PB ，其中
?????
?
?-=????? ??-=11
2012
001
,10
0000
001P B ，求矩阵A 及A 5。
13. 对参数λ讨论方程组
()()()()???
??
=+-+-=+-+-=-++1
222231)2(321321321x x x x x x x x x λλλλλλ
问λ为何值时，此方程组无解,有唯一解, 有无穷多解，在有无穷多解时，求出其通解。
14.已知n 维向量组
123
,,ααα线性无关，则t 为何值时，向量组
122331
2,,3t αααααα++-亦线性无关。
15.设非齐次线性方程组 123231232113(1)0x x x ax x x x a x ++=-??
+=??
+++=?, 问：a 取何值时，此方程组有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。
16. 设非齐次线性方程组 1234123412341435131
x x x x x x x x ax x x bx +++=-??
++-=-??+++=? , 问,a b 为何值时, 系数矩阵的秩为2？
并求此时方程组的通解．
17.问k 取何值时, 方程组
?????-=+-=+
+-=++4243212
321321
x x x k x kx x kx x x
无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.
18.设 α1=（1,1,3,1）T ， α2=（-1,1,-1,3）T
，
α3=（5,-2,8,9）T ， α4=（-1,3,1,t ）T
。αα
问t 取何值时, 1)α4求不能由α1，α2，α3线性表示。
2）α4能由α1，α2，α3线性表示且表示式唯一。
3）α4能由α1，α2，α3线性表示且表示式不唯一。并求出一般表示式。
19. 设 α1=（1,1,3,1）T ， α2=（-1,1,-1,3）T ，
α3=（5,-3,7,-11）T ， α4=（-1,3,1,7）T
。
（1）求该向量组α1，α2，α3，α4的秩及一个极大无关组. （2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合。 20. 设
()()()()()
6,5,1,2,
0,2,1,1,
14,7,0,3,2,1,3,0,4,2,1,154321=-===-=ααααα
（1）求向量组的秩及一个极大无关组。（2）并将其余向量用极大无关组线性表示。 21.设A 为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,λλλ，123,,ααα依次是属于特征值123,,λλλ的
特征向量，令123βααα=++。若3
A A ββ=，求A 的特征值并计算行列式23A E -.
22. 已知矩阵
10
41a c
A b c
a ??
?= ?
?--??有一个特征值12λ=，(1,2,2)T
x =是属于特征值12
λ=的特征向量. 求 (1) 常数,,a b c 的值；(2) 判定A 是否可相似对角化，说明理由.
23.已知三阶矩阵A 的特征值为2,1,1-,设矩阵2
3
5A A B -=,求矩阵B 的特征值及相似对角阵。
24. 设实对称矩阵
????? ??----=51
1113
131A
求正交矩阵,Q 使AQ Q
1
-=
Λ为对角矩阵.并写出对角阵.Λ
25. 设实对称矩阵
??
??? ??----=511113131
A 求可逆矩阵P 使P -1AP=.Λ为对角矩阵.并写出对角阵.Λ
26. 已知二次型2
2
2
1231
2
31213
23(,,)442f x
x x x x x x x x x a x x =++--+通过正交变换
x P y =化成标准形2
2
2
12333f y y by =++，(1) 求参数,a b 的值；(2)求正交矩阵P .
27. 求可逆线性变换PY X =,将二次型
()3
231212
32
22
132184444,,x x x x x x x x x x x x f -+-++=化为标准形,并写出标准形。
28. 若二次型
2
12
32221321282),,(x ax x x x x x x f +++=正定，求a 的取值范围.。
29. 设二次型 2
2
2
12312313(,,)222(0)T
f x x x x A x ax x x bx x b ==+-+>，其中二次型矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为 12-，(1) 求,a b 的值；(2)求正交变换，化二次型f 为标准形. 30.已知二次型
2
2
12313121323
(,,)222T
f x x x X AX x x ax x x x bx x ==++++的秩为2，
(1,1,1)T
α=是A 的特征向量.（1）求a,b 的值；（2）求123(,,)f x x x 经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵。
五、证明题
1. 已知A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，判定矩阵2
A B -是否可逆，说明理由. 2. 已知A 与A E -都是n 阶正定矩阵，判定1
E A --是否为正定矩阵，说明理由. 3. 已知A 是n 阶矩阵，2
A A =. 问A 是否可以相似对角化？说明理由.
4. 设12,,,t ααα???是线性方程组A x O =的基础解系，向量β满足A b O β=≠.证明
12,,,,t αααβ???线性无关.
5. 设B A ,都是n 阶矩阵,且A 可逆,证明AB 与BA 有相同的特征值
6. 设A 为三阶方阵，有三个不同特征值λ1 ，λ2 ，λ3，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β=α 1 +α 2 +α3，证明：β，A β，A 2
β线性无关。
7.设向量4
321,,,α
ααα线性无关,且4321ααααβ+++=证明向量组
4321,,,αβαβαβαβ----线性无关.
8. 设方阵A 满足A 2－A －2E ＝0，证明：A 和A ＋2E 都可逆。
9. 设A 为n 阶可逆矩阵(n ≥2)，证明：(A *)*=|A| n-2 A 。
10. 设A 为n 阶方阵，且A 2 = A ，证明：r (A) + r (A －E) = n 。
11. 设X 为n 维列向量，X T X=1，令H = E - 2 XX T ，证明H 是对称的正交矩阵。
12. 设λ1 ，λ2是实对称矩阵A 的二个不同特征值，P 1，P 2是对应的特征向量，证明P 1与P 2正交。
13.如果方阵A 满足A 2－3A + 2E ＝0，证明A 是正定矩阵。
工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷 一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ，则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则 =a 。 、B 均为5阶矩阵，2,2 1 == B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ） A .1或2 B . －1或－2 C .1或－2 D .－1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （ ） A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ） A .0=+ B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是 （ ） A ．21+ββ B ． ()21235 1 ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ） A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分，共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2
微 信 公 众 号 ： 学 习 资 料 杂 货 铺 同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期 一、填空题（每空3分，共24分） 1、 设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=, ()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 . 2、 设分块矩阵A O C O B ?? =? ??? , ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4 . (A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 3、 设23413 451 45617891 D = ，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0. 4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示，则 D 成立.(注：此题单选) (A)．当r s <时，向量组（II）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II）必线性相关 (C)．当r s <时，向量组（I）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I）必线性相 关 5、 已知方阵A 满足2 23A A O +=, 则() 1 A E ?+= E+2A . 6、 当矩阵A 满足下面条件中的 ABC 时,推理“若AB O =， 则B O =”可成立. （注：此题可多选） (A).A 可逆(B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠7、 设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1,2?为 A 的特征值， B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2,6 . 8、 设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥)，则n J 的互不相同的特征值的个数为2 . 二、（10分）已知矩阵200011031A ????=??????，100052021B ????=??????, 112101030C ???? =??????? .
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号填“√”，错误的在括号填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ￡ s ￡ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示
渤海大学20 级 专科 (机电一体化技术专业) 第二学期《线性代数》试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、 填空：（每空2分，共20分） （1） _________3 412=。 （2）_________40 00 03000020 00011 =????? ???? ???- （3） _________4 00 083005 720604 1= （4）_________11211120122431210133=???? ??????-+??????????- （5）若__________ 5032==??? ? ??=A A A T 则 (6)=+-==-=32132127) ,5, 2( ,)1 ,2 ,4( , )2 ,1 ,1(αααααα则有=_______ (7)1 2111-??? ? ??=____________。 （8）若A=???? ??????333222321则A 的列向量组为____________若r(A)=2，则列 向量组的秩为________。 二、选择题： （每题2分，共10分） （1） 设==≠==2 2 2 333 1 1113 3 3 222 111 222222222D ,0c b a c b a c b a k c b a c b a c b a D 则（ ） (a)-2k (b)2k (c)-8k (d)8k （2）n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A 的关系为（ ） ij ij A M a -=)( ij n ij A M b )1()(-= ij ij A M c =)( ij j i ij A M d +-=)1()( （3）E C B A 、、、为同阶矩阵，且E 为单位阵，若E ABC =，下式（ ）总是成立的。 E BCA a =)( E ACB b =)( E CBA c =)( E CAB d =)( （4）), (=κ下列方程组有唯一解。 ?? ?? ?? ?---=--=-=--=++)1)(3()1(32213332321k k x k k x k x x k x x x 2)(a 1)( 4)( 3)( -d c b （5）设A 是n m ?矩阵，0=AX 是非齐次线性方程组B AX =所对应的齐次线性方程组，则下列 结论正确的是（ ） 有唯一解。仅有零解，则若B AX AX a ==0)( 有无穷多解。非零解，则若B AX AX b ==0)( 仅有零解。有无穷多解，则若0)(==AX B AX c 有非零解。有无穷多解，则若0)(==AX B AX d 三、 简单计算（每题8分，共24分） （1）1 3 042 241 -- (2) ???? ? ??? ????????-021012 7011011 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人
线性代数 一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 . （a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 （b ）若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d ）若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b ） ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A ）=m 时，则方程组 。 （a ） 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 （d ）有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 (a ）A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 （d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是 。 (a ） A 可逆 (b ） A 合同于单位矩阵 (c ） A =0 (d ） 0=AX 有无穷多解 6．设A ,B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ） （A ）ACB E = (B)CBA E = (C ）BAC E = (D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A ｜=3,则|AA '｜= ，｜ 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝ 。
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a － 6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使 7．设a 为n m ?矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】 A ．A 的行向量组线性相关 B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组?? ?=++=++00 332 211332211x b x b x b x a x a x a 的基础解系含2个解向量，则必有 【 】 A. 03221= b b a a B.02121≠ b b a a C. 332211b a b a b a == D. 02 131= b b a a 9.方程组123123 12321 21 3 321 x x x x x x x x x a ++=? ?++=??++=+? 有解的充分必要的条件是 【 】 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组 B. 与η1，η2，η3等秩的向量组 C.η1－η2，η2－η3，η3－η1 D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】 A. }0|),,,{(2121=a a a a a n B. }0|),,,{(121∑= =n i i n a a a a C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈ D. }1|),,,{(121∑==n i i n a a a a 14.若2阶方阵A 相似于矩阵? ? ?? ??=3- 20 1B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵
枣庄学院线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
线性代数试题（附答案） 一、填空题（每题2分，共20分） 1.行列式0 005002304324321= 。 2.若齐次线性方程组?? ? ??=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。 3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。 4.A 为n n ?阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。 5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且 32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。 7.设=?? ?? ? ?????---=??????????)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。 8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--?A A 。 9.二次型x x x x x x f 2 32 22 132123),,(--=的正惯性指数为 。 10.矩阵?? ?? ? ?????1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。 二、单项选择（每小题2分，共12分）
1.矩阵()==≠≠???? ? ???????=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 齐次线性方程组???=--=++-020 23214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ） A 、-1 B 、-2 C 、0 D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ） A 、B=E B 、A=E C 、A=B D 、AB=BA 5.已知=?? ?? ? ?????==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或2 6.下列矩阵中与矩阵合同的是??? ? ???? ? ?-50 00210 002 （ ） A 、??????????---200020001 B 、?? ??? ?????-500020003 C 、?? ?? ??????--100010001 D ????? ?????100020002 三、计算题（每小题9分，共63分） 1．计算行列式),2,1,0(00000 022 11 210n i a a c a c a c b b b a i n n n ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中
本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷（B 卷） 草 稿 区 专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩： 一 、选择题（本题共 28 分，每小题 4 分） 1．设n 阶方阵A 为实对称矩阵，则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数； (B) A 相似于一个对角阵； (C) A 合同于一个对角阵； (D) A 的所有特征向量两两正交。 2．设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示； (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示； (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价； (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵； (B) 若0||=A ，则0||*=A ； (C) 若2)(*-=n A r ，则2)(=A r ； (D) 若0||≠=d A ，则d A 1||*= 。 4．设A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆，()E A +不可逆； (B) ()E A -不可逆，()E A +可逆； (C) ()E A -可逆，()E A +可逆； (D) ()E A -可逆，()E A +不可逆. 第 1页，共 6 页
5．实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零； (B) ||0A >； (C) 对于任意的0X ≠，都有0f >； (D) 存在n 阶矩阵U ，使得T A U U =. 6．设12,λλ为A 的不同特征值，对应特征向量为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠； (B) 20λ≠； (C) 10λ=； (D) 20λ=. 7．设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则 ( ) (A) A 与B 合同，但不相似；(B) A 与B 相似，但不合同； (C) A 与B 既合同又相似； (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题（本题共 24分，每小题 4 分） 1．二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是 . 2．设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ，则3A 的秩3()r A 为 . 3．设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ，若|2|48A =-，则λ= . 4．设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==，若123,,ααα构成的向量组的秩为2， 则a = . 5．设3阶矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，且已知||1A =，则||B = . 第 2页，共 6 页
大学生校园网—https://www.doczj.com/doc/3c16720671.html,线性代数综合测试题 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 131 1.若0 05x，则__________。 122 x 1 x 2 x 3 2．若齐次线性方程组x 1 x 2 x 3 0只有零解，则应满足。 x 1 x 2 x 3 3．已知矩阵A，B，C(c ij)sn，满足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。 a 11 a 1 2 4．矩阵A aa的行向量组线性。 2122 a 31 a 3 2 2AE 5．n阶方阵A满足30 A，则 1 A。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1.若行列式D中每个元素都大于零，则D0。（） 2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3.向量组a1，a2，，a中，如果a1与a m对应的分量成比例，则向量组a1，a2，，a s线性相关。 m （） 0100 4. 1000 1。（）A，则AA 0001 0010 5.若为可逆矩阵A的特征值，则 1 A的特征值为。() 三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1.设A为n阶矩阵，且A2，则 T AA（）。 ① n 2② 2n③2n1④4 1 2.n维向量组1（3sn）线性无关的充要条件是（）。 s ，2，， ① 1，2，中任意两个向量都线性无关 ，
②1，2，，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 共3页第1页
大学生校园网—https://www.doczj.com/doc/3c16720671.html,线性代数综合测试题 ④1，2，，s中不含零向量 2.下列命题中正确的是()。 ①任意n个n1维向量线性相关 ②任意n个n1维向量线性无关 ③任意n1个n维向量线性相关 ④任意n1个n维向量线性无关 3.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。 ①若A，B均可逆，则AB可逆②若A，B均可逆，则AB可逆 ③若AB可逆，则AB可逆④若AB可逆，则A，B均可逆 4.若1，，，是线性方程组A0的基础解系，则1234是A0的（） 234 ①解向量②基础解系③通解④A的行向量 四、计算题(每小题9分，共63分) xabcd 6.计算行列式a xbcd abxcd 。abcxd 解· xabcdxabcdbcd axbcdxabcdxbcd abxcdxabcdbxcd abcxdxabcdbcxd 1bcd1bcd 1xbcd0x00 3 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x 1bxcd00x0 1bcxd000x 301 7.设ABA2B，且A,求B。 110 014 211522 解.(A2E)BA ( 1 A2E)221，B(A2E) 1A 432 111223
大学线性代数期末考试试 题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
a 0 0 一、选择题 线性代数测试 a 1 b 1 c 1 c 1 b 1 + 2c 1 a 1 + 2b 1 + 3c 1 1. 设行列式 D = a 2 b 2 c 2 ，则 D 1 = c 2 b 2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 + 3c 2 = （ ） A. - D a 3 b 3 c 3 B. D c 3 C. 2D b 3 + 2c 3 a 3 + 2b 3 + 3c 3 D. - 2D 2. 下列排列是偶排列的是 ． （A ）13524876； （B ）51324867； （C ）38124657； （D ）76154283． 3. 设 A m ?s ， B t ?n ， C s ?t ，则下列矩阵运算有意义的是（ ） A. ACB ; B. ABC ; C. BAC ; D. CBA . 4. 设 A 是n 阶方阵， A 经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵 B ，则有（） A. A = B ； B. A ≠ B ； C. R ( A ) = R (B ) ； D. R ( A ) ≠ R (B ) . 5. 设 A 是 4×5 矩阵， A 的秩等于 3，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中所含解向量的个数为（ ） A. 4 B.5 C.2 D.3 6. 向量组a 1 , a 2 , , a m （ m ≥ 2 ）线性相关，则（ ）． A. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均可由其余向量线性表示； B. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； C. a 1 , a 2 , , a m 中至少有一个向量可由其余向量线性表示； D. a 1 , a 2 , , a m 中仅有一个向量可由其余向量线性表示． ? a b + 3 0 ? ? 7. 矩阵 A = a - 1 a 0 ? 为正定矩阵，则 a 满足 ． ? ? ? 1 1 （1） a > 2 ； （B ） a > ； （C ） 2 a < ； （D ）与b 有关不能确定． 2 8. 设 A , B 均为 n 阶方阵，并且 A 与 B 相似，下述说法正确的是 ． （A ） A T 与 B T 相似； （B ） A 与 B 有相同的特征值和相同的特征向量； （C ） A -1 = B -1 ； （D ）存在对角矩阵 D ，使 A 、 B 都与 D 相似． 二、判断题 1、如果n (n > 1) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例。 2、设向量组的秩为 r ，则向量组中任意 r 个线性无关的向量都是其极大无关组。 3、对 A 作一次初等行变换相当于在 A 的右边乘以相应的初等矩阵。 4、两个向量α1 ,α2 线性无关的充要条件是α1 ,α2 对应成比例. 5、若 A 是实对称矩阵，则 A 一定可以相似对角化. 三、填空题