弹性力学
结
课
论
文
班级：道桥1201
姓名：刘元功
学号120580115
弹性力学在土木工程中的应用
摘要：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产的应力、弹性力学，应变和位移，从而解决结构或设计中所提生出的强度和刚度问题。在土木工程方面，建筑物能够通过有效的弹性可以抵消部分晃动，从而减少在地震中房屋倒塌的现象；对于水坝结构来说，弹性变化同样具有曲线性，适合不断变化的水坝内部的压力，还有大型跨顶建筑、斜拉桥等等。弹性力学在土木工程中还有一些重要应用实例，如：地基应力与沉降计算原理、混凝土板的计算方法、混凝土材料受拉劈裂试验的力学原理、混凝土结构温度裂缝分析、工程应变分析、结构中的剪力滞问题等。
关键词：弹性力学、力学、弹性变形、土木工程
正文：
弹性力学是人们在长期生产实践与科学试验的丰富成果上发展起来的。它的发展与社会生产发展有着特别密切的关系，它来源于生产实践反过来又为生产实践服务，弹性力学作为固体力学的一个独立的分支已经与一百多年的历史。
弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性力学弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。
对于物体弹性变形，变形的机理，应从材料内部原子间里的作用来分析。实际上，固体材料之所以能好吃其内部结构的稳定性是由于组成该固体材料（如金属）的原子间存在着相互平衡的力，吸力使原子间密切联系在一起，而短程排斥力则使各原子间保持一定的距离在正常情况下，这两种力保持平衡，原子间的相对位置处于规则排列的稳定状态。受外力作用时，这种平衡被打破，为了恢复平衡，原子便需产生移动和调整，使得吸力、斥力和外力之间取得平衡。因此，如果知道了原子之间的力相互之间的定律，原则上就能算出晶体在一定弹性力作用下的反应。实际上，固体结构的内部是多样的、复杂的。例如：夹杂、微孔、晶界等，都是影响变形发展的因素。目前的一些学说仍不能尚不能解释全部固体材料的微观机理。主要是由于所有的工程材料都不可避免的有缺陷存在。对于工程问题来说不必具体分析每一个材料对于材料性态的影响，而只需宏观的研究其统计特性，即可解决工程力学中的力学分析问题。仅宏观的弹性体在受外部作用时应力场和位移场的分布，主要是梁、板、壳这一类结构及其它形式的结构物和构筑物的弹性力学问题。弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。
土木工程中的结构物设计与力学息息相关、紧密联系。我们已学过材料力学，那么弹性力学在土木工程中到底有哪些应用呢?
土木工程包括工民建、路桥、岩土、地下结构等多个专业方向，显然不同专业方向对弹性力学要求的程度是不相同的，其中应说以岩土、地下等专业方向对弹性力学要求较高，而其它专业方向尤其是建工方向则相对低一些。弹性力学，在土木工程方面，建筑物能够通过有效的弹性可以抵消部分晃动，从而减少在地震中房屋倒塌的现象；对于水坝结构来说，弹性变化同样具有曲线性，适合不断变化的水坝内部的压力，还有大型跨顶建筑、斜拉桥等等。弹性力学在土木工程中还有一些重要应用实例，如：地基应力与沉降计算原理、混凝土板的计算方法、混凝土材料受拉劈裂试验的力学原理、混凝土结构温度裂缝分析、工程应变分析、结构中的剪力滞问题等。
材料力学及结构力学主要研究的是“杆状”构件（或结构）的力学问题，所谓的“杆状”构件是指构件的纵向尺寸远大于其横向尺寸，如常见的梁构件，其纵向长度远大于梁高和宽，对于这样的构件或结构可以引入某些计算假定，如平截面假定，由这些假定所得到的分析结果与实际情况吻合良好，这一类的“杆状”构件在土木工程中得到了大量的应用，因此在一些承重的“过梁”上经常用到“弹性力学”，这些过梁一般都受到自上而下的“力”如果把这样的“过梁”作成水平，那么，长时间受到向下的力，“过梁”就会向下弯，久而久之，便形成变形。依据弹性力学的原理，把过梁作成向上弯一定幅度的形状，当受到向下的力时过梁就会把这种重力按过梁弯曲的形状传到垂直的“承重墙”那里使建筑物合理承受外力。另外还有连续梁、框架、排架及桁架结构等，采用材料力学与结构力学可以研究这类结构的强度、刚度以及稳定性问题，为结构设计提供计算依据。然而工程上还存在着许多其他的“非杆状”结构，例如简支深梁由于梁高与跨度比较接近，材料力学中的平截面假定在这里不成立，因此材料力学关于梁的解答是不可以采用的，必须采用弹性力学的方法求解深梁的应力分布，对于混凝土深梁而言，只有知道了深梁内部的拉应力分布状况，才可以进行相应的配筋设计；还有砖混结构中常见的墙梁，它由混凝土与砖砌体两种材料组成，对于混凝土梁的设计分析，应考虑砌体的影响，应将砌体与梁作整体弹性力学分析，由于砌体具有拱效应，混凝土梁实际上起到一个拉杆的作用（偏心受拉构件），这样混凝土梁的截面就可以设计得较小，如果按材料力学或结构力学方法，单独对混凝土梁进行力学分析，则得到的混凝土梁截面会非常的粗大，浪费材料，而且达不到预期的结构效果；对高层建筑，由于建筑物上面为小开间住宅，可设计成全剪力墙结构，下面为大开间的商场，需要设计成框架结构，于是在两种结构之间会出现一个所谓的转换层，常见的转换层结构采用的是框支梁，这个梁的高度至少有一层楼高，具有深梁的特性，框支梁的受力很复杂，一般要作精细的弹性力学（有限元）分析，才能作出合理的配筋设计；在岩土工程方面，岩石、土很多情况下还是按弹性体考虑，提供弹性模量等参数。为适应复杂工程建设的需要，现在也经常把土或破碎岩石按弹塑、塑性体看待，一定程度可以反映其强度、变形随时间变化的特性，流变、蠕变等效应。
弹性力学中之外力包括：体力和面力,弹性力学类中之力法以应力为基本未知量．应力求解是弹性力学的最基本方法，但是其应用有限，因为要建立力法求解的“应力函数”(如Airy函数)，需要常体力的设定或其他严格的假设条件．弹性力学的力法与结构力学虽都是以“力”作为首先求解的基本未知量，但其思想是不同的，由于弹性力学问题无计算假设(如杆件假设和平截面假设)，不存在所谓的“静定基”，任何弹性体内部都是超静定的，必须将平衡条件、几何条件和物理条件联立求解．二者的“相同”之处只在于都是以“力”为首先求解的未知量而已．
下面介绍一个弹性力学在土木工程上的应用实例。
在土木工程中，我们会遇到许多有关低级沉降的问题，解决这一问题可以用结构力学上的方法，可以考虑材料力学上的方法，但上面两种方法都存在着一定的麻烦，过程复杂。所以，当问题为均匀地基的沉降估算或计算瞬时沉降时，弹性力学中的方法将更为简单实用。
计算地基最终沉降量的弹性力学方法
地基最终沉降量的弹性力学计算方法是以Boussinesq 课题的位移解为依据的。在弹性半空间表面作用着一个竖向集中力P 时，见图6-5，表面位移w (x, y, o )就是地基表面的沉降量s ：
E r P s 2
1μπ-?= （6-8）
式中 μ—地基土的泊松比；
E —地基土的弹性模量（或变形模量E 0）；
r —为地基表面任意点到集中力P 作用点的距离，22y x r +=。
对于局部荷载下的地基沉降，则可利用上式，根据叠加原理求得。如图6-6所示，设荷载面积A 内N （ξ，η）点处的分布荷载为p 0（ξ，η），则该点微面积上的分布荷载可为集中力P= p 0（ξ，η）d ξd η代替。于是，地面上与N 点距离r =22)()(ηξ-+-y x 的M （x, y ）点的沉降s （x, y ），可由式（6-8）积分求得：
??-+--=A y x d d p E y x s 2200
2
)()(),(1),(ηξηξηξμ （6-9）
从式（6-9）可以看出，如果知道了应力分布就可以求得沉降；反过来，若沉降已知又可以反算出应力分布。
对均布矩形荷载p 0（ξ，η）= p 0=常数，其角点C 的沉降按上式积分的结果为：
图6-5 集中力作用下地基表面的沉降曲线 图6-6 局部荷载下的地面沉降
（a ）任意荷载面；（b ）矩形荷载面
002
1bp E s c ωμ-= （6-10）
式中 c ω—角点沉降影响系数，由下式确定：
???? ??+++++=)1ln()11ln(122m m m m m c πω （6-11）
式中 m=l/b 。
利用式（6-10），以角点法易求得均布矩形荷载下地基表面任意点的沉降。例如矩形中心点的沉降是图6-6（b ）中的虚线划分为四个相同小矩形的角点沉降之和，即
0002
0021)2/(14bp E p b E s c ωμωμ-=-= （6-12）
式中 c ωω20=—中心沉降影响系数。
图6-7 局部荷载作用下的地面沉降
（a ）绝对柔性基础；（b ）绝对刚性基础
以上角点法的计算结果和实践经验都表明，柔性荷载下地面的沉降不仅产生于荷载面范围之内，而且还影响到荷载面之外，沉降后的地面呈碟形，见图6-7。但一般基础都具有一定的抗弯刚度，因而沉降依基础刚度的大小而趋于均匀。中心荷载作用下的基础沉降可以近似地按绝对柔性基础基底平均沉降计算，即
A dxdy y x s s A /),(??= （6-13）
式中 A —基底面积，
s (x, y)—点（x, y ）处的基础沉降。
对于均布的矩形荷载，上式积分的结果为：
002
1bp E s m ωμ-= （6-14）
式中 m ω—平均沉降影响系数。
可将式（6-10）、式（6-12）、式（6-14）统一成为地基沉降的弹性力学公式的一般形式：
002
1bp E s ωμ-= （6-15）
式中 b —矩形基础（荷载）的宽度或圆形基础（荷载）的直径，
ω—无量纲沉降影响系数，见表6-1。
ω
基础沉降影响系数ω值 表6-1
刚性基础承受偏心荷载时，沉降后基底为一倾斜面，基底形心处的沉降（即平均沉降）可按式（6-15）取r ωω=计算，基底倾斜的弹性力学公式如下：
圆形基础：
30216tan b Pe E ?-=≈μθθ （6-16a ） 矩形基础：
30218tan b Pe E K ?-?=≈μθθ （6-16b ） 式中 θ—基础倾斜角；
P —基底竖向偏心荷载合力；
e —偏心距；
b —荷载偏心方向的矩形基底边长或圆形基底直径；
K —计算矩形刚性基础倾斜的无量纲系数，按l/b 取值，如图6-8，其中l 为
矩形基底另一边长。
通常按式（6-15）计算的基础最终
沉降量是偏大的。这是由于弹性力学公
式是按匀质线性变形半空间的假设得到
的，而实际上地基常常是非均质的成层
土，即使是均质的土层，其变形模量E 0
一般随深度而增大。因此，利用弹性力
学公式计算沉降的问题，在于所用的E 0
值能否反映地基变形的真实情况。地基
土层的E 0值，如能从已有建筑物的沉降
图6-8 计算矩形刚性基础倾斜的系数K
观测资料，以弹性力学公式反算求得，则这种数据是很有价值的。
此外，弹性力学公式可用来计算地基的瞬时沉降，此时认为地基土不产生体积变形，例如风或其它短暂荷载作用下，构筑物基础的倾斜可按式（6-16）计算，注意式中的E 0应取为地基弹性模量，并取泊松比μ=0.5。
在大多数实际问题中，土层的厚度是有限的，下卧坚硬土层。Christian 和Carrier （1978）提出了计算有限厚土层上柔性基础的平均沉降计算公式：
00
10E bp s μμ= （6-17）
式中，0μ取决于基础埋深和宽度之比D/b ，1μ取决于地基土厚度H 和基础形状。取泊松比μ=0.5时0μ和1μ如图6-9所示。对于成层土地基，可利用叠加原理来计算地基平均沉降。式（6-17）主要用于估计饱和粘土地基的瞬时沉降，由于瞬时沉降是在不排水状态下发生的，因此，适宜的泊松比μ应取0.5，适应的变形模量E 0应取不排水模量E u 。
例题 某矩形基础底面尺寸为4m ×2m ，其基底压力p 0=150kPa ，埋深1m ，地基土第一层为5m 厚的粘土，不排水变形模量E u =40MPa ，第二层为8m 厚的粘土，E u =75MPa ，其下为坚硬土层。试估算基础的瞬时沉降。
解：D/b =0.5，查图6-9，0μ=0.94
考虑上层粘土，H/b =4/2=2，l/b =2，具有E u =40MPa
查图6-9，1μ
=0.60
图6-9 地基沉降计算系数0μ和1μ
因此 m m 23.440150260.094.01=???=s
考虑二层粘土均具有E u =75MPa
H/b =12/2=6，l/b =2，查图6-9，1μ=0.85
因此 m m 20.375150285.094.02=???=s
考虑第一层粘土，具有E u =75MPa ，则
m m 26.27515026.094.03=???=s
因此，总的瞬时沉降为：
m m 17.526.220.323.4321=-+=-+=s s s s
总之，弹性力学在解决土木工程问题时应用巨大！
学习过弹性力学后，感受到弹性力学魅力很大，在这谢谢老师为我们的付出，祝老师身体健康！
参考文献：
陈国华 编著，弹性力学，河海大学出版社，2005.
杜广华 郑百哲 编著，应用连续介质力学，清华大学出版社，1886.
刘元功
弹性力学学习心得 孙敬龙S4 大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编着的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。 弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17
世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从 1822～1828年间，在?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表
读《UH模型系列研究》及结课有感 在弹性力学的学习过程中，对比与三大力学的不同之处，弹性力学作为固体力学的一个分支，回顾了位移法在弹性力学平面里的应用。在阅读《UH模型系列研究》的同时，也对本学期弹性力学做一个简单的总结，也是本次阅读后感受的重要部分。 弹性力学是一门研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移的科学，主要研究任务是解决弹性体的强度、刚度和稳定性问题。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。结合弹性力学，此篇《UH模型系列研究》的作者从合理的本构结构入手，展示了三项成果:①在修正剑桥模型的基础上，通过引入统一硬化（unified hardening，UH）参数，建立UH模型，该本构模型能够反映饱和超固结土的剪缩、剪胀、硬化、软化和应力路径相关性等特性，模型所用土性参数与修正剑桥模型完全相同；②扩展UH模型，使其考虑多种外部因素（温度、时间和基质吸力）、复杂特性（各向异性、结构性和小应变特性）和复杂加载条件（循环荷载、部分排水即渐近状态）等的影响；③提出广义非线性强度准则和满足热力学定律的变换应力三维化方法，从而实现了本构模型的合理三维化。初读文章，晦涩难懂之处实在太多，不断查阅资料，不断百度，也只是略懂一二，甚至是只知其一不知其二，所以学生在此也不想故做贤人、不懂装懂，只能大部分在弹性力学基础上，坚持读完文章，记住关键字，写写自己的一些感悟。 论文初，首先阐述了UH模型。土具有三种性质，摩擦性、剪胀行、压硬性，随后从土所具有的每种性质进行了细致的陈述，分别写出三个公式，并进行了模
弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
对 两 端 固 支 梁 的 弹 性 力系别：土木工程学专业：道路与桥梁应姓名：..... 力学号：........... 解班级：.......
对两端固支梁的弹性力学应力解摘要: 根据弹性力学平面问题的基本理论,采用半逆解法,求出了两端固支的单跨超静定梁在集中荷载作用下的应力和位移多项式解,并与材料力学解进行了比较,说明了材料力学解的精度和适用范围。 关键词:超静定梁;应力;位移;集中荷载;弹性力学 1 两端固支梁的弹性力学应力解 如图 1 所示:两端固支的单跨超静定矩形截面梁(为了简便,不妨取厚度为1 ,不计体力) , x = a 处受到集中荷载P 作用(可设此问题为平面应力问题) ,上、下两个边界的正应 力边界条件为（1） 先考虑x = 0～a 段的应力分布. 根据式(1) 所示的应力边界条件[6],可假设应力函数φ 为将应力函数φ 代入相容方程: ,即可求得待定函数f1, f2 故应力函数 因函数中常数项和中的线性项对应力分量没有影响,故未列出. 根据应
力函数可求出应力分量 由上、下两个边界的剪应力边界条件0,可求出待定常数 应力分量为 同理可得x = a～l 段的应力分布为 x = a 处平衡条件为 由此可得
可见,应力分量中还包含 3 个独立的待定常数这 3 个常数必须由位移边界条件确定，为此考虑物理方程 和几何方程 当0 ≤x ≤a 时,将应力分量式(5) , (2) , (6) 和几何方程代入物理方程,可得 由式(11)得 由式(12)得 （15） 将式(14) , (15)代入式(13) ,整理得 由于该式左边是x 的函数,右边是y 的函数,所以左 右两边应等于同一常数,设此常数为ω1,则
《弹性力学》课程教学大纲 课程英文名称：Theory of Elasticity 课程编号：193990360 课程类别：专业课 课程性质：必修课 学分： 3 学时： 48（其中：讲课学时48：实验学时：0 上机学时： 0） 适用专业：工程力学本科专业 开课部门：土木工程与建筑学院 一、课程教学目的和课程性质 本课程属于工程力学专业必修课。该课程是在理论力学和材料力学的基础上，进一步学习弹性力学的基本概念、基本原理和基本方法，了解线弹性体简单经典问题的计算方法和基本解答，分析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法，提高分析与计算能力，为学习有关专业课程打好初步的弹性力学基础。 本课程教学目的主要目的：培养学生的逻辑思维能力；培养学生估计和评价弹性固体中应力和应变的分布规律及计算结果的能力；培养学生用弹性力学方法研究和解决实际工程中力学问题的能力；使学生掌握分析一般工程结构在外力作用下的变形、内力分布与承载能力的方法，以及为进一步研究工程结构的强度、刚度、稳定性等力学问题打下基础，并着重在基础理论和实践应用两方面进行科研能力的培养。 二、本课程与相关课程的关系 先修课程：《高等数学》、《理论力学》、《材料力学》 后续课程：《土力学》、《岩石力学》、《塑性力学》等 三、课程的主要内容及基本要求 第1单元绪论（ 2 学时） [知识点] 弹性力学的研究内容和研究方法；弹性力学中的一些基本概念；弹性力学中的基本假设条件；弹性力学与其它学科的关系；弹性力学的学习方法。 [重点] 弹性力学的研究内容和研究方法；弹性力学的基本假设；弹性体、弹性变形、应力、应变、位移与变形、面力、体力的概念。
悬臂梁在均布荷载下的应力状况 摘要：悬臂梁在现实生活中很常见，对于悬臂梁的分析采用弹性力学里的应力边界条件和平微分方程和相容方程进行求解计算分析，再结合材料力学的知识进行分析，深入系统的了解悬臂梁的手里特点。 关键词：静定梁、悬臂梁、弹性力学、材料力学、受力特点 现实生活中的房屋建筑中，存在很多的悬臂梁结构，身边的例子很多，例如 体育场的看台，城市里房屋的阳台，农村房屋中很多都有屋檐，而其都是靠悬臂梁的支撑才能结合上面的附属物件构成。现在我们就对悬臂梁的应力情况分别采用弹性力学和材料力学的相关知识进行分析 如图所示梁受荷载作用，求解其应力 1、弹性力学求解 解：本题是按应力求解的。 基本公式 x C xy h q C y C y h q y y x h q xy y x 123213332362)46(+=+--=--=τσσ 1、在应力法中，应力分量在单连体中必须满足： （1）平衡微分方程；00=+??+??=+??+??y xy y x yx x f x y f y x τστσ （2）相容方程 ()02=+?y x σσ； y ql x ??? ? ??-20222qh ql l 202qh q o h /2 h /2 （l ＞＞h ，δ＝1）
（3）应力边界条件（在σs s =上）。 将应力分量代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。 2、校核边界条件 （1）在主要边界上 04602123=??? ? ??+?=±=C h h q x h y xy ，即时，τ,由此得 h q C 231-= q C h C h h q q h y y -=++??? ? ??--=-=2133282,2即－时，σ，由此得 2 2q C -= 0==y h h y σ时，，将C 1、C 2代入后满足。 将C 1、C 2代入式（a ），得到应力公式： () ??? ? ??-=???? ??+--=--=14232232123222 23223h y h qx h y h y q y x h qy xy y x τσσ （b ） （2）再将式（b ）代入次要边界条件 00==xy x τ时， 33 4h y q x =σ，其主矢量为 0) (02 2==-?dy x h h x σ 而主矩为20 )(22 20qh ydy h h x x =?-=σ x =l 时，，其主矢量为； （2分） )46(323y y l h q x --=σql dy h h x xy -=?-=2 20)(τ)14(2322-=h y h ql xy τ，其主矢量为0， （1分） 而主矩为)202()(222 2qh ql ydy l x h h x --==-?σ 由此可见，在次要边界上的积分条件均能满足。因此，式（b ）是图示问题之解。
弹性力学论文 篇一：弹性力学弹性力学的发展以及在实际当中的应用关键字：弹性力学发展过程应用摘要：文章简述了弹性力学的发展历程，介绍了弹性力学在各个领域当中的应用，并且在文章最后提到了弹性力学在未来可能的发展趋势。弹性力学是研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，只是简单地利用弹性原理，并没有完整的理论体系，比如弓箭的使用。而人们建立系统的弹性力学研究体系是从17世纪开始的。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论存在着很多缺陷，有的甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。弹性力学在各个领域当中有着广泛的应用。堤坝的整体强度、发电厂的发电机组临界转速、高层建筑顶端的晃动控制等土木工程问题都离不开弹性力学的帮助。弹性力学在地震预测方面也有重要应用，如地震有无确定前兆，如果有确定前兆，那么在原理上是否可探测，都是目前弹性
《弹性力学》试题参考答案 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。
弹性力学 结 课 论 文 班级：道桥1201 姓名：刘元功 学号120580115
弹性力学在土木工程中的应用 摘要：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产的应力、弹性力学，应变和位移，从而解决结构或设计中所提生出的强度和刚度问题。在土木工程方面，建筑物能够通过有效的弹性可以抵消部分晃动，从而减少在地震中房屋倒塌的现象；对于水坝结构来说，弹性变化同样具有曲线性，适合不断变化的水坝内部的压力，还有大型跨顶建筑、斜拉桥等等。弹性力学在土木工程中还有一些重要应用实例，如：地基应力与沉降计算原理、混凝土板的计算方法、混凝土材料受拉劈裂试验的力学原理、混凝土结构温度裂缝分析、工程应变分析、结构中的剪力滞问题等。 关键词：弹性力学、力学、弹性变形、土木工程 正文： 弹性力学是人们在长期生产实践与科学试验的丰富成果上发展起来的。它的发展与社会生产发展有着特别密切的关系，它来源于生产实践反过来又为生产实践服务，弹性力学作为固体力学的一个独立的分支已经与一百多年的历史。 弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性力学弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。 对于物体弹性变形，变形的机理，应从材料内部原子间里的作用来分析。实际上，固体材料之所以能好吃其内部结构的稳定性是由于组成该固体材料（如金属）的原子间存在着相互平衡的力，吸力使原子间密切联系在一起，而短程排斥力则使各原子间保持一定的距离在正常情况下，这两种力保持平衡，原子间的相对位置处于规则排列的稳定状态。受外力作用时，这种平衡被打破，为了恢复平衡，原子便需产生移动和调整，使得吸力、斥力和外力之间取得平衡。因此，如果知道了原子之间的力相互之间的定律，原则上就能算出晶体在一定弹性力作用下的反应。实际上，固体结构的内部是多样的、复杂的。例如：夹杂、微孔、晶界等，都是影响变形发展的因素。目前的一些学说仍不能尚不能解释全部固体材料的微观机理。主要是由于所有的工程材料都不可避免的有缺陷存在。对于工程问题来说不必具体分析每一个材料对于材料性态的影响，而只需宏观的研究其统计特性，即可解决工程力学中的力学分析问题。仅宏观的弹性体在受外部作用时应力场和位移场的分布，主要是梁、板、壳这一类结构及其它形式的结构物和构筑物的弹性力学问题。弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。
弹性力学学习心得 孙敬龙S201201024 大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编著的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。 弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从1822～1828年间，在A.L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利——里兹法，为直接求
关于圣维南原理的数值计算——基于艾里应力函数的平面应力问题的差分解法 摘要 本文通过应力函数的方法，结合数值方法，求解受端部集中力作用下的平板拉伸问题，评估基于圣维南原理的解与数值解相比带来的误差及其分布，并将此与J.N. Goodier的理论分析对比。 关键词 弹性力学，圣维南原理，平面应力问题，有限差分法
0引言 圣维南原理（局部性原理）是弹性力学的一般原理之一，常用于在边界力系无法精确描述时的等效替代，其一种表述[1]为：“若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来替代，则在力系作用区域的附近应力分布将有明显的改变，但在远处所受的影响可以不计”。 作为一条经验定理[5]，这一原理的提出为材料力学和弹性力学问题的求解提供了大量的便利，但是对于这一原理的精确度，直到1937年，J.N. Goodier才从理论的角度给出评估，他指出圣维南原理的影响范围和外力作用的区域大致相近。 本文将以平面应力问题为例，借助数值计算的方法对比圣维南原理简化前与简化后的计算结果，验证Goodier对于圣维南原理影响范围的理论值，并给出在不同精度要求下的影响范围的精确结果。 1问题的描述 考虑长方形平板的拉伸问题。如下图所示，长度为a，宽度为b，在两边中点施加大小为F的集中点力。 2方程的建立 2.1解法的选择 应力解法和位移解法是弹性力学中的两种基本方法。在平面问题中，应力解法可以通过应力函数的引入，将问题归结为关于应力函数的双调和方程的边值问题，与位移解法的偏微分方程组相比，更加适用于解析求解。但是对于多连体问题，位移解法涉及到衔接条件的引入，会使问题更加复杂[3]。 但是本题只涉及到简单的单连通体，所以选择应力函数的求解方式。若将应力函数记为 ，那么双调和方程可以写成。
2010年11月 Rock and Soil Mechanics Nov. 2010 收稿日期：2010-07-30 基金项目：国家自然科学基金资助项目(No. 40972191)；上海市教育委员会科研创新项目(No. 09YZ39)。 第一作者简介：徐金明，男，1963年生，博士、教授、博士生导师，主要从事岩土工程和工程地质计算技术的教学和科研工作。Email: xjming@https://www.doczj.com/doc/3c13401413.html, 文章编号：1000－7598 (2010)增刊2－0390－06 石灰岩细观力学特性的颗粒流模拟 徐金明1，谢芝蕾1，贾海涛2 （1. 上海大学 土木工程系，上海 200072；2. 上海自然博物馆工程建设指挥部，上海 200041） 摘 要：岩体地区地质灾害的发生和发展取决于岩石细观组分的运动学行为。研究岩石运动学行为时通常将岩石作为整体研究对象较多，而直接以细观组分为对象的研究较少。以石灰岩为例，根据室内试验获得的岩石力学性质指标，使用基于非连续介质理论的颗粒流方法，将材料离散成刚性颗粒组成的模型，把颗粒细观变化与宏观力学特性联系起来，建立了石灰岩的细观结构模型，获得了颗粒接触力、颗粒接触模量、接触连接强度和连接刚度比等细观力学参数。由于文中直接以细观成分为研究对象、反映了岩石和岩体组成的本质特点，所得结论不仅对含裂隙岩石本构关系研究具有广阔的应用前景，而且对岩体工程性质和地质灾害机制研究也具有重要的理论意义。 关 键 词：石灰岩；细观力学特性；颗粒流；模拟 中图分类号：TU 452 文献标识码：A Simulation of mesomechanical properties of limestone using particle flow code XU Jin-ming 1，XIE Zhi-lei 1，JIA Hai-tao 2 ( 1. Department of Civil Engineering ，Shanghai University, Shanghai 200072，China; 2. Shanghai Science and Technology Museum, Shanghai 200041，China) Abstract : The formation and development of geological disasters in rock area are dependant on the kinematic behaviors of rocks, especially of grains, fissures, and fillings in the rocks. In the conventional studies, rocks are generally treated as entireties and few concerns are concentrated on the individual meso-compositions in these rocks. Taking a limestone for example, macromechanical properties were obtained for the rock specimens of laboratory tests; and particle flow code in two-dimensions (PFC2D) was used for simulating the macromechanical properties of the rock material. In the simulation, the material was discretized as an assembly of rigid particles. The mesomechanical parameters, such as contact forces, contact modulus, normal contact strengths, and stiffness ratio, were obtained; and the mesostructural model was established for the limestone; connecting meso-level changes in particles with macromechanical properties. Because the individual compositions were taken as the direct objectives, reflecting the intrinsic features of rock materials or rock masses, the techniques presented herein may be of great significance in studying the constitutive law of fissured rocks, engineering properties of rock masses, and mechanism of geological disasters. Key words: limestone ；mesomechanical property ；particle flow ；simulation 1 引 言 岩体地区地质灾害的发生和发展取决于岩石的运动学行为、尤其是岩石中颗粒、裂隙、充填物等细观组分的变化情况，常规宏观分析方法以岩石整体为研究对象较多，直接以细观组分为对象进行研究较少。基于非连续介质理论的颗粒流方法，将材料离散成刚性颗粒组成的模型，把颗粒细观力学参数与宏观力学特性联系起来，可以用于模拟颗粒 之间的相互作用和破裂面的形成扩展过程。 使用颗粒流方法对土的细观力学行为进行细观模拟，多使用PFC2D (particle flow code in 2-dimensions)或PFC3D (particle flow code in 3-dimensions)。周健[1]研究团队在这方面做了大量工作（比如，模拟了不同水压下渗流引起砂土特性变化的全过程）。 使用颗粒流方法进行岩石力学特性的细观模拟也有一些报道。Potyondy [2]、 Potyondy 和Cundall [3]
浅谈土木工程专业中的《弹性力学》课程教学方法 【摘要】本文从弹性力学教学的目的出发，针对弹性力学课程学时短、理论性强、内容枯燥、学习难度大等问题，探讨了弹力力学的教学方法，提出了课程改革的建议，使教学质量得到进一步提高。 【关键词】弹性力学；教学方法；课程 弹性力学是土木工程专业重要的专业基础课，其前导课程有高等数学、理论力学、材料力学、结构力学等课程，通过该课程的教学使学生能够掌握弹性力学的基本方程和解题的一般步骤，熟练掌握弹性力学平面问题的直角坐标和极坐标体系的解答，为学生学习相关后续专业课程，如板壳理论、计算力学、塑性力学，打下必不可少的基础；通过弹性力学的整个教学过程逐渐培养学生分析问题、概括问题的能力，培养学生具有比较熟练的运用高等数学和高等力学的能力，对工程实践中进行深入详细的力学分析奠定基础。 1 课程教学的主要问题 《弹性力学》课程教学中的主要问题表现在以下几个方面：第一，学生普遍感到弹性力学比较难学，并且与以前学习的三大力学课程相比弹性力学理论比较抽象，不能与实际取得直接的联系；第二，计算公式多且复杂、解题过程复杂、难以理解、课后习题无从下手；第三，课程的学习离不开必要的数学理论知识，由于学生数学知识的遗忘、欠缺，不能清晰理解《弹性力学》课程内容的力学本质，造成学不懂《弹性力学》，教学效果差的结果；第四，《弹性力学》课程的课时一般较少，课时多为32课时，对于教学来说是比较困难的一面。所以，在教学中如何充分利用有限课时采取必要的措施来调动学生积极性，完成教学计划，达到教学目的，这是必须考虑的问题。 2 提高教学质量的探讨 2.1 围绕教学大纲合理安排教学内容 根据各个专业教学大纲的要求，制定教学计划，精心组织课堂教学内容，考虑学时限制，贯彻“少而精”的原则，充分利用已有知识，把重点放在能够体现弹性力学方法的内容上，让学生对力学问题、解法有一个总体概念，避免陷入繁琐的数学内容里面。对每一节课，都要精心设计教案，明确基本知识点、重点和难点，授课方式，拟提出的问题等。如在学习第二章平面问题的基本理论中，首先要清楚平面应力问题和平面应变问题的异同，并比较这两类问题的基本方程的异同点等。还如平面问题的直角坐标解答中通过“简支梁受均布载荷”学习半逆解法一节。首先交待清楚弹力与材力在研究方法上的共同之处，都是在弹性体（杆）上考虑几何关系、物理关系、静力关系三个方面，他们的区别在于材料力学中的解答在许多方面都作了近似的处理，例如在几何条件中，材料力学引用了平面假设；在平衡条件中，材料力学也没有考虑σy的作用。因此，材料力学只能得出
弹性力学课程设计 已知条件： E=10*10^4 MPa A=0.5 m2 I=1/24 m4
主程序 节点力 F1=[0 -42 -24 0 -18 16 ]; F2=[0 -22.5 -11.25 0 -22.5 11.25]; F4=[0 -40 -30 0 -40 30]; T=[0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1]; K=zeros(9,9); E=10*10^4; A=0.5; I=1/24; 未转换的单元刚度矩阵 K11=gdjz(E,A,I,4); K22=gdjz(E,A,I,3); K33=gdjz(E,A,I,4); K44=gdjz(E,A,I,3); K55=gdjz(E,A,I,4); 整体刚度矩阵的集成 K1=PlaneFrameElementStiffness(E,A,I,4,90); p=[0 0 0 1 2 3]; c=find(p); cc=p(c); K(cc,cc)=K(cc,cc)+K1(c,c); K2=PlaneFrameElementStiffness(E,A,I,3,0); p=[1 2 3 4 5 6]; c=find(p); cc=p(c); K(cc,cc)=K(cc,cc)+K2(c,c); K3=PlaneFrameElementStiffness(E,A,I,4,90);
p=[0 0 0 4 5 6]; c=find(p); cc=p(c); K(cc,cc)=K(cc,cc)+K3(c,c); K4=PlaneFrameElementStiffness(E,A,I,3,0); p=[4 5 6 7 8 9]; c=find(p); cc=p(c); K(cc,cc)=K(cc,cc)+K4(c,c); K5=PlaneFrameElementStiffness(E,A,I,4,90); p=[0 0 0 7 8 9 ]; c=find(p); cc=p(c); K(cc,cc)=K(cc,cc)+K5(c,c); 整体坐标系下的荷载 F=ans; U=K\F' U1=[0 0 0 U(1) U(2) U(3)]; U2=[U(1) U(2) U(3) U(4) U(5) U(6)]; U4=[ U(4) U(5) U(6) U(7) U(8) U(9)]; U3=[0 0 0 U(4) U(5) U(6)]; U5=[0 0 0 U(7) U(8) U(9)]; 修正值 f1=-F1'; f2=-F2'; f4=-F4'; 杆件的单元反力 FF1=K11*(T*U1')+f1; FF2=K22*U2'+f2; FF3=K33*(T*U3'); FF4=K44*U4'+f4; FF5=K55*(T*U5'); 整体坐标系下的单元内力 FF=[T'*FF1 FF2 T'*FF3 FF4 T'*FF5]
力学：研究弹性体由于受外力，边界约束或温度改变等作用而发生的应力、形变和位移。弹性力学的研究对象：为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。（是各种弹性体，包括杆件，平面体、空间体、板和壳体等。弹性力学研究的对象比较广泛，可以适用于土木、水利、机械等工程中各种结构的分析。） 弹性力学的任务在边界条件下，从平衡微分方程、几何方程和物理方程求解应力、应变和位移等未知函数 研究方法已知条件：1物体的几何形状，即边界面方程2物体的材料参数3所受外力的情况4所受的约束情况。求解的未知函数：应力、应变和位移。解法：在弹性体区域内，根据微分体上力的平衡条件建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程弹性体边界上，根据面力条件，建立应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件然后在边界条件下，求解弹性体区域内的微分方程，得出应力、形变和位移 弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的） （1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同的。（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量。即简化几何方程，简化平衡微分方程） 上述这些假定，确定了弹性力学的研究范畴：研究理想弹性体的小变形状态 外力是其他物体作用于研究对象的力（分为体力和面力） 体力是作用于物体体积内的外力（如重力和惯性力）面力是作用于物体表面上的外力（如液体压力和接触力） 内力假想将物体截开，则截面两边有互相作用的力，称为内力 切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小等正负号相同） 形变就是物体形状的改变。在弹性力学中，通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变 所谓位移就是位置的移动应力单位截面积上的内力 成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面（xOy面），且沿厚度（z向）不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变 归纳起来讲，所谓平面应力的问题，就是只有平面应力分量存在，且仅为x，y的函数的弹性力学问题 成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长
弹塑性力学中有关泊松比的讨论 赵衍 摘要本文在塑性变形体积不可压缩的条件下导出了以塑性应变εp定义的塑性泊松比εp和以弹塑性总应变εep定义的弹塑性泊松比μ ep 的计算式, 指出在小变形 范围内可以看作μ p = 0. 5, 而μ ep 则总是小于0. 5; 当变形较大时, 无论是μ p 还 是μ ep 均远小于0. 5。 关键词：材料弹塑性泊松比大应变 1 引言 泊松比是材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，是材料的一个弹性常数。当材料进入弹塑性变形阶段后, 泊松比不再是常量而成为应变的函数。一般认为随着塑性变形的增加, 泊松比渐趋于0. 5。塑性变形的泊松比到底是多大? 若是0. 5, 其条件又是什么? 本文对上述问题进行了探讨, 在塑性变形体积不可压缩条件下的结论是: 小变形时, 以塑性应变定义的塑性泊松比μp= 0. 5, 以弹塑性总应变定义的弹塑性泊松比μep 则总是小于0. 5; 大变形时, 无论是μp还是μep均远小于0. 5。这个结论澄清了长期存在的一些模糊认识。在材料科学和加工手段飞速发展的今天, 高塑性和超塑性等大变形工程问题大量出现，迫切的需要对这些问题进行深入的研究。 2塑性泊松比μp 以μp表示材料的弹性泊松比, 它是常数。简单应力状态下进入弹塑性变形阶段后的总应 变包括弹性应变和塑性应变 这时三个方向的应变可表示为 设研究对象初始体积为V0,则变形后体积为 由塑性变形体积不可压缩,即仅有弹性应变εe影响体积的改变,故又有 由以上二式可解得
若略去弹性应变εe,可得简化式 根据(1)式和(2)式进行计算的结果表明,材料的弹性性质即μe和εe对μp的影响微乎 其微,可以忽略不计。如当εe<0.005时, (2)式相对(1)式的误差小于0.7%;当εe=0.01 时,误差不超过1.3%,故用简化式(2)代替式(1)是可行的。 表1给出了一些计算结果。从表中看到在小变形(ε<0.01)条件下可以认为μp=0.5,但 变形较大时这一结论不再成立。 表1 (μe=0.3) 在大变形问题中,一般将应变定义为自然应变e,塑性自然应变为ep,即 则可导出用塑性自然应变表示的塑性泊松比为 表2给出了大变形时μp的一些计算结果。可以看到,随着应变的增长,μp下降到远离0.5,且自然应变表示的μp下降得更快。 图1为大变形时μp-εp关系曲线。