一、知识要点
掌握定义新运算，关键是要深刻理解运算符号的新规定，严格按照规定的法则运算，最后达到解决问题的目的。
注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。
二、范例分析
例1 符号“*”表示一种运算，a * b表示的含义是a与b中较大数与较小数之差，例如(2+3)*(2×3) =5 * 6=6－5=1，求(13×2)*(6+40)。例2 设p、q是两个数，规定：p△q=4×q－(p+q)÷2。求5△(2△8)。例3 对于任意自然数，定义n！=1×2×3×…×n如4 ！=1×2×3×4，那么1 ！+2 ！+3 ！+4 ！+5 ！= 。
例4 若x⊙y=x+(x+1)+( x+2)+…+(x+y－1)，其中x,y都为自然数。试求l⊙50的值。
例5 规定一种运算是m▽n=m×n+m－n，另一种运算是m△n=m×n －m+n。请计算：6△7－7▽6。
例6定义a☆b=a×b－(a+b)，试求：
(1)5☆7；7☆5
(2)12☆(3☆4)；(12☆3)☆4
(3)请问：这个运算有交换律、结合律吗?
三、随堂练习
1、如果规定a※b=13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是( )
2、如果规定a※b=a×3－b÷2，那么(10※6)※8等于多少?
3、如果1◎5=1+11+111+1111+11111，2◎4=2+22+222+2222，3◎3=3+33+333……那么4◎4等于多少?
4、若a⊙b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，其中a，b都为自然数。试求1⊙25的值。
5、已知：一种运算是a▽b=a×b+a－b，另一种运算是a△b=a×b －a+b。试求5△6—6▽5的值。
6、定义一种新运算“△”，规定a△b=3×a－2×b。
(1)求3△2；2△3。
(2)这个运算有交换律吗?
7、定义a※b=4×b+a÷5。求20※12。
8、规定：A△B=A×2－B×3+A×B，那么5△3=?
9、设P▲Q=(P+Q)÷2，求2009▲(2019▲2019)=
10、若规定a※b=a+b÷a，那么(1※2)※3=
11、如果2？3=2+3+4，5？4=5+6+7+8，那么请计算7？5的结果。
12、若a▽b=2×a+3×b，其中a，b表示两个自然数，那么(2▽3) ▽4=（）。
13、如果○表示两个数中取较大数的运算，△表示在两个数中取较小数的运算，那么请计算(2019△2019)×(2019○2019)。
14，若规定a△b=a×a+b×b，a▽b=a×a－b×b，那么(2△3) ▽4=？
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察
过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
第一单元图形的变换 1、轴对称图形沿着对称轴重叠后，图形两边可以完全重合。 2、平形四边形不是轴对称图形。长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，正（等边）三角形有3条对称轴，圆有无数条对称轴，半圆有一条对称轴。 3、轴对称图形沿着对称轴的交点至少旋转（360÷对称轴的条数）=度，可以与原来的图形完全重合。 长方形沿着对称轴的交点至少旋转360÷2=180（度） 正方形沿着对称轴的交点至少旋转360÷4=90（度） 等腰三角形沿着对称轴的交点至少旋转360÷1=360（度） 等边(正)三角形方形沿着对称轴的交点至少旋转360÷3=120（度），形沿着对称轴的交点至少旋转360÷360=1（度） 半圆沿着对称轴的交点至少旋转360÷1=360（度）与原来的图形完全重合。 4、我们学过的图形的变换有轴对称、平移、旋转。 第二单元因数和倍数
1、我们说的因数和倍数指的是整数，不包括0，也不能说小数。 2、因数和倍数是相对的，不能单独说因数和倍数。 3、一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数有无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的最大因数=它最小倍数=它本身。 4、a÷b=c(a、b、c都是整数)，我们就可以说，a能被b整除，也可以说b能整除a.，a是b的倍数，b是a的因数(例10÷2=5，可以说10能被2整除，2能整除10） 5、2的倍数特征：个位上是0、2、4、 6、8的数都是2的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2和5的倍数特征：个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数。 判断奇数和偶数的依据是：是否是2的倍数。自然数不是奇数就是偶数。
小学五年级数学下册概念及公式合集 一.旋转.平移.轴对称 1.平移.旋转.轴对称都是一种图形的全等变换.也就是说,经过这三种变换的图形在形状和大小上都没有改变. 2.平移是一个图形或一个物体沿同一个方向做直线运动.平移的基本要素就是方向和距离.方向就是 直线的方向.也就是移动路径的方向.一般我们常见的题目平移方向是向左,向右,或向上,向下.在平移问题中 确定距离是学生们易错的地方.学生总是把原图形与平移后图形之间的距离就当做了平移的距离.也就是说 把图形与图形之间的距离当做平移的距离了.其实应该在原图形上找一个关键点,这个点与平移后图形的对 应点之间的距离就是平移的距离,原图形上的每一个点与其平移后的图形上的对应点的距离处处相等. 3.旋转是把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换．在小学阶段我们主要让学生明确“绕一个点旋转”“向什么方向旋转”“转动多少度”这几点就可以了．“绕一个点旋转”这一点也就是旋转中心了.在 小学阶段旋转中心一般都在图形自身的一个点上.也就是一直没动的那一点就是旋转中心．旋转方向就是 顺时针或逆时针．旋转角度对应点与中心点所连线段的夹角． 4.轴对称是沿着一条直线对折.左右两边完全重合这样的图形就是成轴对称图形．这条直线我们一般 用虚线或点画线来表示．有的轴对称图形有一条对称轴.有的有两条.还有有无数条对称轴的图形．如圆． 5.时针旋转1小时是30度. 二.因数与倍数 1.如果a×b=c[a.b.c都是不为0的整数].那么a.b就是c得因数.c就是a.b的倍数。 2.一个数的因数个数是有限的.其中最小的因数是1.最大的因数是它本身。一个数的 倍数是无限的.其中最小的倍数是它本身.没有最大倍数。 3.奇数与偶数； 自然数中.是2的倍数的数叫做偶数[0也是偶数].不是2的倍数的数叫做奇数。 偶数；个位是0.2.4.6.8的数。 奇数；个位不是0.2.4.6.8的数。 4.倍数特征； 2的倍数的特征；各位是0.2.4.6.8。 3[或9]的倍数的特征；各个数位上的数之和是3[或9]的倍数。 5的倍数的特征；各位是0.5。 5.质数与合数； 质数；一个数.如果只有1和它本身两个约数.这样的数叫做质数[或素数]。
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要 求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、 规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个 数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。 由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312 【答案】312 例题精讲 知识点拨 教学目标 定义新运算
定义新运算之速算与巧算 定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式来表示一种新的运算。 例如：如规定：ababab 2424246 42424210 定义新运算一般分为两种： ⑴根据题目给的新的运算法则，进行运算，即从前往后推； ⑵已知运算结果和运算法则，推出前面的数，即从后往前推。 实质： 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题。 新定义的运算符号： 常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的。 解题关键： 理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 【例1】设a△baa2b，那么，5△6_______，(5△2)△3_______。 【拓展】设m、n是两个数，规定：m * n4n(mn)÷2，这里“，，，÷”是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“ * ”是新的运算符号。计算：3 * (4 * 6)_______。 【例2】如果a□a(a1)，a□□a□(a□1)，…，那么1□□□_________。 【拓展】P、Q表示数，P * Q表示(PQ)÷2，求3 * (6 * 8)。
【例3】小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式： 888，9995，933，(938)7837。 老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“、、、÷、( )、”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同。 请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：8957___________。 【拓展】一个特殊的计算器上面有个“X *”键，当计算器上显示的数是a 时，按一下“X *”键后，计算 器上的a 立刻消失并显示一个新数2a 1。现在，这个计算器上显示5.25，那么连续按“X *”键_______次后，会显示99；接着再按“X *”键4次，计算器上显示的数将是_______。 【例4】定义运算：ababab ÷2008。请问： ⑴定义的运算是否满足交换律？ ⑵请根据定义计算下面两个算式： ①2009(20092008)； ②个个?⊕⊕⊕⊕?⊕⊕?20092009200820092008 200920092008（20092008）（20092008） 【拓展】如果a 、b 、c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ⑴abba ； ⑵(ab )ca (bc )。 现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足： (a ，b ) * (c ，d )(acbd ，acbd ) 例：(4，3) * (7，5)(47＋35，4735)(43，13) 请你举例说明，“*”运算是否满足结合律。
总复习;基本概念和公式 1、 因数和倍数：如：5×6=30，我们就可以说5和6是30的因数，30是5和6 的倍数。 ①一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，因数的个数是有限的。 ②一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。 2、 公因数：两个或几个数的共同有的因数叫公因数，最大的那个叫最大公因数。 公倍数;两个或几个数的共同有的倍数叫公倍数，最小的那个叫最小公倍数。 3、2的倍数特征：个位上是0、2、 4、6、8的数都是2的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 3的倍数特征:各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4、偶数：是2的倍数的数叫偶数。 奇数：不是2的倍数的数叫奇数。 5、质数：只有1和它本身两个因数的数叫质数，或叫素数。 合数：除了1和它本身还有别的因数的数叫合数。 ︴1不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4. ︴100以内的质数表： 6、73表示把单位“1”平均分成（ ），其中的（ ）份就是它的73 ，它的分数单位是（ ），有（ ）这样的分数单位。 把3米长的绳子平均分成5份，每份占全长的（ ），每段长（ ）米。 7、1米的5 3等于3米的（ ） 8、分数与除法的关系:B A =( )÷( ) 9、真分数：分子（ ）分母的数叫真分数。 假分数：分子（ ）或者（ ）分母的分数叫假分数。 最简分数:分子和分母只有公因数（ ）的分数叫最简分数。 10、分数的基本性质：分数的分子和分母同时（ ）或（ ）相同的数（0 除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 11、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫约分。 通分:把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫通分。 12、分数加减法：同分母分数加减：分母不变，分子相加减。 异分母分数加减：先通分变同分母，再分子相加减。 13、总棱长：长方体总棱长=（长+宽+高）×4 正方体总棱长=棱长×12 14、总面积：6个面的：长方体=（长×宽+长×高+宽×高）×2 （或长×宽×2+长×高×2+宽×高×2） 正方体=棱长×棱长×6 5个面的：长方体=长×宽+长×高×2+宽×高×2 正方体=棱长×棱长×5 4个面的：长方体=长×高×2+宽×高×2 正方体=棱长×棱长×4
一、知识要点 掌握定义新运算，关键是要深刻理解运算符号的新规定，严格按照规定的法则运算，最后达到解决问题的目的。 注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。 二、范例分析 例1 符号“*”表示一种运算，a * b表示的含义是a与b中较大数与较小数之差，例如(2+3)*(2×3) =5 * 6=6－5=1，求(13×2)*(6+40)。 例2 设p、q是两个数，规定：p△q=4×q－(p+q)÷2。求5△(2△8)。 例3 对于任意自然数，定义n！=1×2×3×…×n如4 ！=1×2×3×4，那么1 ！+2 ！+3 ！+4 ！+5 ！= 。 例4 若x⊙y=x+(x+1)+( x+2)+…+(x+y－1)，其中x，y都为自然数。试求l⊙50的值。 例5 规定一种运算是m▽n=m×n+m－n，另一种运算是m△n=m×n－m+n。请计算：6△7－7▽6。 例6定义a☆b=a×b－(a+b)，试求： (1)5☆7；7☆5
(2)12☆(3☆4)；(12☆3)☆4 (3)请问：这个运算有交换律、结合律吗? 三、随堂练习 1、如果规定a※b=13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是( ) 2、如果规定a※b=a×3－b÷2，那么(10※6)※8等于多少? 3、如果1◎5=1+11+111+1111+11111，2◎4=2+22+222+2222，3◎3=3+33+333……那么4◎4等于多少? 4、若a⊙b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，其中a，b都为自然数。试求1⊙25的值。 5、已知：一种运算是a▽b=a×b+a－b，另一种运算是a△b=a×b－a+b。试求5△6—6▽5的值。 6、定义一种新运算“△”，规定a△b=3×a－2×b。 (1)求3△2；2△3。 (2)这个运算有交换律吗? 7、定义a※b=4×b+a÷5。求20※12。 8、规定：A△B=A×2－B×3+A×B，那么5△3=? 9、设P▲Q=(P+Q)÷2，求2009▲(2019▲2019)=
五年级数学下册概念公式 一、分数乘法、分数除法 1. 分数乘法的意义：求几个相同分数的和的简便运算 2. 分数除法的意义：已知两个乘数的积和其中一个乘数，求另一个乘数的运算 3. 分数乘法的运算法则： （1）分数与整数相乘：分子和整数相乘，分母不变。 （2）分数与分数相乘：分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的可以先约分。 4. 分数除法的运算法则： （1）一个数除以一个整数（0除外）等于这个数乘以这个整数的倒数。 （2）一个数除以一个分数等于这个数乘以这个分数的倒数。 （3）除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数。 5. 如果两个数的乘积是1，那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。比如1/2的倒 数是2，2的倒数是1/2，这两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。 6. 分数乘、除法的实际问题 （1）求一个数的几分之几是多少，用乘法。 （2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，也可以用解方程。 二、分数的混合运算 1. 分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序一样：先算乘除后算加减，有括号的 先算括号里面的，再算括号外面的。 2. 运算定律： （1）乘法分配律：c ? + ?) ( + = b a? a a c b （2）乘法结合律：) ? = ? a? ? b (c b a c （3）乘法交换律：a = a? ? b b 运用运算定律可对分数的混合运算进行简便运算。 三、长方体的认识、表面积、体积和容积 1. 长方体有6个面，一般都是长方形（特殊情况时有两个相对的面是正方形），相对 的面面积相等；有8个顶点，12条棱，12条棱可以分为三组：4条长，4条宽，4条高。 2. 正方体有6个面，都是面积相等的正方形；有8个顶点，12条棱，每条棱的长度 都相等。 3.正方体是特殊的长方体。（长宽高都相等） 4.长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4 5.正方体的棱长总和＝棱长×12
小学一至五年级数学公式及定义（人教版）常用数量关系及计算公式： 1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 10、单产量×面积＝总产量 总产量÷面积＝单产量 总产量÷单产量＝面积 和差问题的公式： 总数÷总份数＝平均数 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题： 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题： 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题： 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴、如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下： 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 图形计算公式： 1、正方形 周长＝边长×4 字母公式：C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2、正方体 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体 (1)、表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)、体积=长×宽×高V=abh 5、三角形
小学数学定义新运算典 型例题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
小学数学定义新运算典型例题 1. 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 2. 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 3.对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 5.如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（3※2）×5。 小学数学定义新运算典型例题答案： 例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。
分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30 例【5】如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
定义新运算 一、考点、热点回顾 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。 二、典型例题 例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。 例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。 例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 例4：对于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。 例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。 三、课堂练习 1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。 2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。 4，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。 5，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。 6，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。 7，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：4▽3。 8，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。 9，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。 四、课后作业 1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。 2，对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。 3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。 1，有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此规律计算：8▽4。
苏教版五年级下册基本概念 第一单元方程 1、表示相等关系的式子叫做等式。 2、含有未知数的等式是方程。 3、方程一定是等式；等式不一定是方程。等式>方程 4、等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。这也是等式的性质。 5、求方程中未知数的过程，叫做解方程。 解方程时常用的关系式： 一个加数＝和－另一个加数减数＝被减数－差 被减数＝减数＋差一个乘数＝积÷另一个乘数 除数＝被除数÷商被除数＝商×除数 注意：解完方程，要养成检验的好习惯。 6、五个连续的自然数（或连续的奇数，连续的偶数）的和，等于中间的一个数的5倍。奇数个连续的自然数（或连续的奇数，连续的偶数）的和÷个数=中间数 7、4个连续的自然数（或连续的奇数，连续的偶数）的和，等于中间两个数或首尾两个数的和×个数÷2（高斯求和公式） 8、列方程解应用题的思路：A、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题。B、理清题目的等量关系。C、设未知数，一般是把所求的数用X表示。D、根据等量关系列出方程E、解方程F、检验G、作答。 第二单元统计 1、从复式折线统计图中，不仅能看出数量的多少和数量增减变化的情况，而且便于这两组相关数据进行比较。 2、作复式折线统计图步骤： ①写标题和统计时间； ②注明图例（实线和虚线表示）； ③分别描点、标数； ④实线和虚线的区分（画线用直尺）。 注意：先画表示实线的统计图，再画虚线统计图。不能同时描点画线，以免混淆。（也可以先画虚线的统计图） 第三单元因数和倍数 1、质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。 合数：除了1和它本身外还有另外的因数叫做合数。 2、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。 一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。 一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。 3、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，用符号[，]表示。几个数的公倍数也是无限的。 4、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，用符号（，）。两个数的公因数也是有限的。 5、两个质数的积一定是合数。举例：3×5=15，15是合数。
五年级数学下册概念公式 一、旋转、平移 时针旋转1小时是30度 二、因数与倍数 1、如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么a、b就是c得因数，c就是a、b的倍数。 2、一个数的因数个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大倍数。 3、奇数与偶数： 自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 偶数：个位是0，2，4，6，8的数。 奇数：个位不是0，2，4，6，8的数。 4、倍数特征： 2的倍数的特征：各位是0，2，4，6，8。 3（或9）的倍数的特征：各个数位上的数之和是3（或9）的倍数。 5的倍数的特征：各位是0，5。 5、质数与合数： 质数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。1不是质数，也不是合数。 1既不是质数也不是合数。 6、奇数与偶数的运算规律 偶数+偶数＝偶数奇数+奇数＝偶数奇数+偶数＝奇数 偶数-偶数＝偶数奇数-奇数＝偶数奇数-偶数＝奇数 偶数个偶数相加是偶数，奇数个奇数相加是奇数。 偶数×偶数＝偶数奇数×奇数＝奇数奇数×偶数＝偶数 7、质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。 8、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的方式表示出来叫做分解质因数。
9、100以内的质数表： 2、 3、 5、 7、 11、 13、17、19 23、29、31、 37、 41、 43、47、53 59、61、67、71、 73、 79、83、89、97 三、长方体的认识、表面积、体积和容积 1. 长方体有6个面，一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面面积相等；有8个顶点，12条棱，12条棱可以分为三组：4条长，4条宽，4条高。 2. 正方体有6个面，都是面积相等的正方形；有8个顶点，12条棱，每条棱的长度都相等。 3. 正方体是特殊的长方体。（长宽高都相等） 4. 长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4 5. 正方体的棱长总和＝棱长×12 6. 长方体6个面的总面积叫作它的表面积。长方体相对的面的面积相等，前后面的面积＝长×高；左右面的面积＝宽×高；上下面的面积＝长×宽 7. 长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2 2)(??+?+?=h b h a b a S 8. 正方体6个面的总面积叫作它的表面积，6个面的面积都相等。 9. 正方体的表面积＝棱长×棱长×6 266a a a S =??= 10. 物体所占空间的大小叫作物体的体积。常用的体积单位有：立方厘米，立方分米，立方米。 1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方米＝1000000立方厘米 11. 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。常用的容积单位有：升和毫升 1升＝1立方分米 1毫升＝1立方厘米 12. 相邻的的体积单位之间的互化： 低级单位 高级单位 （大化小除于进率，小化大乘于进率） 13. 计算物体的体积用体积单位，计算液体、气体的体积一般用容积单位。 14. 长方体的体积＝长×宽×高 a b h h b a =??=V 15. 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 3a a a a V =??= 16. 长方体（正方体）的体积＝底面积×高 Sh h S V =?= 17．正方形 ：周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a ×a 长方形 ：周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab ÷进率 ×进率
第三讲定义新运算 【课首小测】 1、一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为4厘米 的小长方形。求；剩余部分的周长。 2、几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果 不能、说明理由。 【互动导学】 【导学】：定义新运算 新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。 1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。（特殊的运算符号，表示特定的意义， 是人为设定的。） 2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。 3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。 【例题精讲】
【例1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。 【例2】定义新运算为1a a b b +=e （1）求()234e e 的值； （2）若4 1.25x =e ，则x 的值为多少？ 【例3】如果：1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（3※2）×5 【例4】对于任意的自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++++++-L （1）求1*100的值 （2）已知x *10=75，求x 为多少？ 【我爱展示】
1.P 、Q 表示数，*P Q 表示 2 P Q +，求3*（6*8）。 2.如果a △b 表示(2)a b -?，例如3△4()3244=-?=，那么，当a △5=30时,a= 3.定义： 6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246， 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 。 4.定义新运算”?“，使下列算式成立： 248?=，5313?=，3511?=，9725?=，求73?= 。 5.对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-L ， 如果(3)23660x **=，那么x 等于几？ 【能力展示】
小学五年级数学公式大全 一、数学计算公式： 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 二、小学数学图形计算公式 1 正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a
2 正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 长方形C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4 长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) 体积=长×宽×高V=abh 5 三角形s面积a底h高面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形s面积a底h高面积=底×高s=ah 7 梯形s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8 圆形S面积C周长∏d=直径r=半径周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r 面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长侧面积=底面周长×高表面积=侧面积+底面积×2 体积=底面积×高体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体v:体积h:高s;底面积r:底面半径体积=底面积×高÷3 和差问题的公式(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数 和倍问题的公式和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数) 差倍问题的公式差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数) 三、植树问题的公式 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1)
小学数学定义新运算典型例题 1. 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 2. 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 3.对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 5.如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（3※2）×5。
小学数学定义新运算典型例题答案： 例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c ＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
定义新运算 知识与方法： 对于常用的加、减、乘、除等运算，我们已经熟知它们的运算法则和计算方法，如6+ 2=8, 6X2=12等。都是2和6,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这节课，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。解决定义新运算这类题的关键：是抓住定义的本质借用“ +、一、X、十”四则运算进行的，解答时要弄活新运算与四则运算的关系。 特别注意运算顺序，每个新定义的运算符号只能在本题中使用，新运算不一定符合运算定律。 例1:设a、b都表示数，规定：aAb =3X a— 2X b。试计算： (1) 3A2; (2) 2A3。 练习1: 1. 设a b都表示数，规定：a。b=5X a— 2X b。试计算304 2. 设a b都表示数，规定：a*b=3x a+ 2X b。试计算：5*6 例2:对于两个数a与b,规定b=3a+ 2a,试计算( 3^5) 练习2: 1.对于两个数a与b,规定：aOb=a+3b，试计算40506
2.对于两个数A与B,规定：A△ B=2X A — B,试计算5A6A7 例3:对于两个数a, b,规定：a金b=ax b+ a+ b,试计算：9 ? 练习3: 1.对于两个数a, b,规定：a$b=ax b— ( a+ b),试计算：6 ? 7. 2..对于两个数A与B,规定：A GB=A X B-2,试计算：8 99 例4:如果2、3=2 + 3 + 4, 5A4=5+ 6+ 7+ 8,那么按此规律计算：(1) 3A5; (2) 8A3。 练习4: 1.如果4A2=4X 5, 2A3=2X 3X 4,那么按此规律计算:5A4。
五年级数学公式及定义 常用数量关系及计算公式： 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2、速度×时间＝路程 v×t=s 路程÷速度＝时间 s÷v＝t 路程÷时间＝速度 s÷t＝v 3、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 4、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 5、单产量×面积＝总产量总产量÷面积＝单产量 总产量÷单产量＝面积 植树问题： 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴、如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数
⑶、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下： 株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 图形计算公式： 1、正方形周长＝边长×4 字母公式：C=4a 面积=边长×边长S=a ×a 2、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 3、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 h=s×2÷a 三角形底=面积×2÷高 a=s×2÷h 4、平行四边形面积=底×高S=ab 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=ah s=(a+b)×h÷2 单位换算： 长度单位： 一公里=1千米=1000米 1分米=10厘米 1米=10分米1厘米=10毫米 面积单位： 1平方千米=100公顷1公顷=100公 亩 1 公亩=100平方米
一、知识概念 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、:、△、?、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算 定律的。 2、一般的解题步骤是： 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 典例分析火 例1、对于任意数a, b,定义运算“*：a*b=axb-a-b。
求12*4的值。
【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12 X 4-12-4=48-12-4=32 例2、假设 a ★ b = ( a + b ) b k 求8 ★ 5。 【解析】该题的新运算被定义为：a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8, b代表数字5。 8 ★ 5 = (8 + 5 ) + 5 = 2.6 例3、如果a? b=a X b-(a+b)。求6?( 9?2)。 【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6?(9◎2) =6? [9 X 2- ( 9+2)] =6? 7 =6X 7- (6+7) =42-13=29 例4、如果 1 A 3=1 + 11 + 111; 2 △ 5=2+22+222+2222+22222; 8 △ 2=8+88。求 6 △ 5。 【解析】仔细观察发现“ A ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“ △”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6 A 5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定：2=1 X 2X 3, : 3=2X 3X 4，: 4=3 X 4X 5, :X= (X-1 ) X X X (X+1 )。由【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为 于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。 1 1 : 2 ( - )X ：2 ：3 1 3
北师大五年级数学下册概念公式 1、分数乘整数的意义就是求几个相同加数的和的简便运算。 例如1/5×8表示求8个五分之二是多少？ 一个数乘分数的意义就是求这个数的几分之几是多少。 例如：8×1/5表示求8的五分之二是多少？ 2、分数与整数相乘：分子和整数相乘，分母不变。 3、分数与分数相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的可以 先约分。 4、长方体有6个面，一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方 形），相对的面面积相等；有8个顶点，12条棱，12条棱可以分为三 组：4条长，4条宽，4条高。 5、长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4 6、长方体的长=长方体的棱长总和÷4－宽－高 长方体的宽=长方体的棱长总和÷4－长－高 长方体的高=长方体的棱长总和÷4－长－宽 7、长方体6个面的总面积叫作它的表面积。长方体相对的面的面积相等， 前后面的面积＝长×高；左右面的面积＝宽×高；上下面的面积＝长×宽 8、长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2 S＝(a×b+a×h+b×h)×2 无盖的长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2－长×宽 或=（长×高+宽×高）×2+长×宽 9、正方体是特殊的长方体。（长宽高都相等） 10、正方体有6个面，面积都相等的正方形；12条棱都相等。 11、正方体的棱长总和＝棱长×12 棱长=正方体的棱长总和÷12 12、正方体6个面的总面积叫作它的表面积，6个面的面积都相等。 13、至少要8个大小相同的小正方体才可以拼成一个较大的正方体。 14、正方体的表面积＝棱长×棱长×6 或=底面积×6 S=6a2 15、如果两个数的乘积是1，那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。 比如1/2的倒数是2，2的倒数是1/2，这两个数互为倒数。1的倒 数是它本身，0没有倒数。 16、分数除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因 数的运算叫除法。例如：÷表示：已知两个因数的积与其中一个 因数，求另一个因数是多少。 17、一个数除以一个整数（零除外）等于这个数乘以这个整数的倒数。 18、一个数除以一个分数等于这个数乘以这个分数的倒数。 19、除以一个数（零除外）等于乘这个数的倒数。 20、任何数乘以“1”或者除以“1”，结果还是原数。 任意一个数，乘以一个大于“1”的数时，结果大于原数，乘以一个小 于“1”的数时，结果小于原数。 任意一个数，除以一个大于“1”的数时，结果小于原数，除以一个 小于“1”的数时，结果大于原数。 单位“1”的量×分率=比较量