小波变换

小波变换

https://www.doczj.com/doc/3c12486979.html,/qq_20823641/article/details/51829981

小波，一个神奇的波，可长可短可胖可瘦（伸缩平移），当去学习小波的时候，第一

个首先要做的就是回顾傅立叶变换（又回来了，唉），因为他们都是频率变换的方法，而傅立叶变换是最入门的，也是最先了解的，通过傅立叶变换，了解缺点，改进，慢慢的就成了小波变换。主要的关键的方向是傅立叶变换、短时傅立叶变换，小波变换等，第二代小波的什么的就不说了，太多了没太多意义。当然，其中会看到很多的名词，例如，内积，基，归

一化正交，投影，Hilbert空间，多分辨率，父小波，母小波，这些不同的名词也是学习小

波路上的标志牌，所以在刚学习小波变换的时候，看着三个方向和标志牌，可以顺利的走下去，当然路上的美景要自己去欣赏（这里的美景就是定义和推导了）。因为内容太多，不是很重要的地方我都注释为（查定义）一堆文字的就是理论（可以大体一看不用立刻就懂），同时最下面也给了几个网址辅助学习。

一、基

傅立叶变换和小波变换，都会听到分解和重构，其中这个就是根本，因为他们的变

化都是将信号看成由若干个东西组成的，而且这些东西能够处理还原成比原来更好的信号。那怎么分解呢？那就需要一个分解的量，也就是常说的基，基的了解可以类比向量，向量空

间的一个向量可以分解在x，y方向，同时在各个方向定义单位向量e1、e2，这样任意一个向量都可以表示为a=xe1+ye2，这个是二维空间的基，

而对于傅立叶变换的基是不同频率的正弦曲线，所以傅立叶变换是把信号波分解成

不同频率的正弦波的叠加和，而对于小波变换就是把一个信号分解成一系列的小波，这里时候，也许就会问，小波变换的小波是什么啊，定义中就是告诉我们小波，因为这个小波实在是太多，一个是种类多，还有就是同一种小波还可以尺度变换，但是小波在整个时间范围的

幅度平均值是0，具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，可以是不规则，也可以是不对称,很明显正弦波就不是小波，什么的是呢，看下面几个图就是

当有了基，以后有什么用呢?

下面看一个傅立叶变换的实例：

对于一个信号的表达式为x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t);

这里可以看到是他的基就是sin函数，频率是1和5，下面看看图形的表示，是不是感受了到了频域变换给人的一目了然。

基具有非冗余性，即使基不是正交的，有相关性，但若去掉其中任何一个，则不成为基，这一点也叫完备性；基的表示有唯一性，即给定一族基对一个函数的表达是唯一的；

一般情况下基非正交，也称为为exact frame（Resize basis），这个时候要表示信号可以将基正交化成唯一的正交基（对偶为其自身）；也可以求其对偶框架（dual frame），其对应

了小波变换中的双正交情形！信号可以依框架分解，然后用对偶框架重构。若在基集里添加一些新的向量，并随意调整空间位置，则有可能成为框架。把函数与基或框架作内积，也可以说成是一种函数空间到系数空间的变换。若某种变换后的能量（内积的平方和度量）仍然

有一个大于0的上下界，才可以成为框架，由于框架的冗余性，所以系数的表达也不具有唯一性。若上下界相等，则为紧框架，且界表示冗余度。若上下界相等为且为1，称为pasval identity frame，此时不一定为正交基（想象把一组正交基中某一个拆成两个同方向的基之和，则pasval identity仍然成立），此时若加上基的长度均为一的条件，则框架退化为正交

基。可能你会问我们用基来表示信号就行了啊，为什么还要框架呢？其实很多信号表示方法不能构成基，却能构成框架，如短时傅立叶变换中如要求窗函数满足基条件，则可推出该函数有很差的时频局部化性质（事实上退化为了傅立叶变换。

二、内积

在Hilbert空间(查定义)里看到这个东西，用来刻画两个向量的夹角，当内积为0时，两个向量正交，若g为Hilbert空间里的正交基的时候，内积为f向基上的正交投影；（Hilbert空间是一个很直观的空间，我一直都理解为欧氏空间去理解定义在其上的东西，

L^2（平方可积，查定义）和l^2同样为Hilbert空间。

下面这个公式是基本，经过变形后会用在推导中：

如果两个向量的内积为0 ，就说他们是正交的。

如果一个向量序列相互对偶正交，并且长度都为1，那么就说他们是正交归一化的。

对于,存在L2(R)上一组标准正交基gi(t),i=1,2,3….,使得

L2（R）上任意一个函数f（t）都可以由L2(R)上的一个规范正交基gi(t)进行线性组合表示

出来

三、傅立叶的缺点

先列举出来缺点，然后再说明：

（1） Fourier分析不能刻画时间域上信号的局部特性

（2） Fourier分析对突变和非平稳信号的效果不好，没有时频分析

傅立叶变换傅立叶变换将函数投影到三角波上，将函数分解成了不同频率的三角波，

这不能不说是一个伟大的发现，但是在大量的应用中，傅立叶变换的局限性却日趋明显，事实上在光滑平稳信号的表示中，傅立叶基已经达到了近似最优表示，但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的，而且奇异是平凡的，傅立叶在奇异点的表现就着实让人不爽，从对方波的傅立叶逼近就可以看出来，用了大量不同频率的三角波去逼近其系数衰减程度相当缓慢，

而且会产生Gibbs效应。其内在的原因是其基为全局性基，没有局部化能力，以至局部一个

小小的摆动也会影响全局的系数。实际应用中很需要时频局部化，傅立叶显然缺乏此能力了。即使如此，由于其鲜明的物理意义和快速计算，在很多场合仍然应用广泛。傅立叶变换在从连续到离散的情形是值得借鉴与学习的，大家都知道，时间周期对应频域离散，时间离散对

应频域周期，时间离散周期对应频域离散周期，DFT其实是将离散信号做周期延拓然后做傅立叶变换再截取一个周期，反变换同样如此，所以DFT用的是块基的概念，这样如果信号两

端的信号连接后不再光滑（即使两边都光滑），同样会在边界上产生大幅值系数（边界效应），延伸到图像中就是块效应。当对信号做对称周期延拓后再做傅立叶变换得到的正弦系数全部

为0，也就是任何对称函数可以写成余弦的线性组合，同样按照离散的思路构造得到的是离散块余弦基，即DCT变换，虽然DCT可以通过对称后周期延拓再变换减少了边界效应（两边信号接上了，但不一定平滑），但任不能消除块效应，尤其是图像变换中人为将图像分成8*8处理后块效应更加明显。但是DCT很好的能量聚集效应让人惊奇，加之快速计算方法使它替代DFT成为图像的压缩的标准了很长时间（JPEG）。

上面一堆文字也许看的有点蒙，还是用图来说明

第一个就是傅立叶变换是整个时域，所以没有局部特征，这个也是他的基函数决定

的看图，同时如果在时域张有了突变，那么在频域就需要大量的三角波去拟合，这也是傅立叶变换性质决定的。

第二个就是面对非平稳信号，傅立叶变换可以看到由哪些频域组成，但是不知道各成

分对应的时刻是什么，也就是没有时频分析，看不出来信号频域随着时间变换的情况，反过来说就是，一个的频图对应好几个时域图，不知道是哪个，这个在实际应用中就不好了，看图

做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。

尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。

可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些

频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。

然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。

三、短时傅立叶变换（Short-time Fourier Transform,STFT）

有了缺点就要改进了，这里就出来了短时傅立叶变换，也叫加窗傅立叶变换，顾名思义，就是因为傅立叶变换的时域太长了，所以要弄短一点，这样就有了局部性。

定义：把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。下面就是示意图

时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！

可能理解这一点最好的方式是举例子。首先，因为我们的变换是对时间和频率的函数

（不像傅立叶变换，仅仅是对频率的函数），它是二维的（如果加上幅度则是三维）。以下图所示的非平稳信号为例：

在这个信号中，在不同时刻有四个频率分量。0-250ms内信号的频率为300Hz，其余每个250ms的间隔的信号频率分别为200Hz，100Hz和50Hz。很明显，这是一个非平稳信号，让我们看一看它的短时傅立叶变换：用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了：

图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两

排峰是对称的，所以大家只用看一排就行了。

看着貌似解决了问题，好像有了局部性，但是这个名字叫做加窗傅立叶变换，那么这个窗要多大了呢？

窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。

窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。

e

（这里插一句，这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。）

上图对同一个信号（4个频率成分）采用不同宽度的窗做STFT，结果如右图。用窄

窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形，而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上，窄窗明显不如下边两个宽窗精确。

所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低，宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。

对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。

四、小波变换

真是千呼万唤才出来了，终于看见小波了啊。

这里先引入小波，回顾一下基，然后再看看小波的优点，其实就是上面傅立叶缺点的解决。

对于加窗傅立叶变换让人头疼的就是窗口的大小问题，如果我们让窗口的大小可以改变，不就完美了吗？答案是肯定的，小波就是基于这个思路，但是不同的是。STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了~

这里就又回到了最开始的基了。

这个基函数会伸缩、会平移（其实是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸

得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。如前边所说，小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。效果如下图

现在来看一下小波公式

从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量τ（translation）。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量τ就对应于时间。如下图

当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。

而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。

看到了吗？有了小波，我们从此再也不害怕非稳定信号啦！从此可以做时频分析啦！

（1）解决了局部性

（2）解决时频分析

做傅里叶变换只能得到一个频谱，做小波变换却可以得到一个时频谱！

时域信号傅立叶变换结果小波变换结果

五、小波的深入

上面那么多，也就是走进小波的大门，具体的我们还要学习子空间、多分辨率，

母小波的变换，如何去构造想要的小波函数，然后还有离散小波变换，正交小波变换，二维小波变换，小波包的应用（这里没有介绍可以自己看资料）。好像还有很多要学习的。

这里先深入一下，父小波和母小波，多分辨率分析，了解一下伸缩和平移。

任何小波变换的基函数，其实就是对母小波和父小波缩放和平移的集合。首先要看的就是多分辨率分析。

每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。

还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展开的近似形式是这样：

其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。

我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计

算很快。但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？

在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。

首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交：

另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。可以说，完整的小波展开就

是由母小波和父小波共同定义的。

其中ψ(t)是母小波，是父小波。需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分

析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。但大部分小波变换的

基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）。说到这里，你的问题可能会井喷了：好好的为什么出来一个父小波呢？这个scaling function是拿来干嘛的？它背后的物理意义是什么？waveletfunction背后的物理意义又是什么？这个多解析度分析

又是什么呢？不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。

假设我们有这样一个信号：

该信号长度为8，是离散的一维信号。我们要考虑的，就是如何用小波将其展开。为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波，哈尔小波。下面是它的一种母小波：

那如何构建基于这个母小波的基呢？刚才提到了，要缩放，要平移。我们先试试缩放，那就是ψ(2n)：

但这样的话，它与自己的内积就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我们要在前面加一个系数根号二，这样我们就得到了另一个哈尔小波的basis function：

同理，我们可以一直这样推广下去做scale，得到4n，8n，…….下的basis function。当然在这个例子里，我们信号长度就是8，所以做到4n就够了。但推广来说，就是这种scaling 对母小波的作用为，这是归一化后的表示形式。

平移的话也很简单，我们可以对母小波进行平移，也可以对scale之后的basis function 进行平移。比如对上一幅图中的basis function进行平移，就成了

看得出来，平移后的basis function和母小波以及仅仅scale过的小波，都是正交的，附合小波basis的特点。如果我们用ψ(n)来表示这个mother wavelet，那么这些orthonormal basis函数可以写成：

这里的k是可以看成时域的参数，因为它控制着小波基时域的转移，而j是频域的参数，因为它决定了小波基的频率特性。看到这里，你应该会感觉很熟悉，因为这里的平移和变换本质和刚才对scaling function的平移变换是一模一样的。

这样，我们就有了针对此信号space的哈尔小波basis组合：

可以看出，我们用到了三层频率尺度的小波函数，每往下一层，小波的数量都是上面一层的两倍。在图中，每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。

等等，你可能已经发现了，有问题。这里为什么多了个没有函数表达式的波形呢？这货明显不是wavelet function阿。没错，它是之前提到的scaling function，也就是父小波。然后你可能就会问，为啥这个凭空插了一个scaling function出来呢？明明目标信号已经可以用纯的小波基组合表示了。是，确实是，就算不包括scaling function，这些小波函数本身也组成了正交归一基，但如果仅限于此的话，小波变换也就没那么神奇的功效了。引入这个scaling function，才能引入我们提到的多解析度分析的理论，而小波变换的强大，就体现在这个多解析度上。那在这里，我们怎么用这个多解析度呢？这个哈尔小波basis组合是怎么通过多解析度推导出来的呢？

话说在数学定义中，有一种空间叫Lebesgue空间，对于信号处理非常重要，可以用L^p(R)表示，指的是由p次可积函数所组成的函数空间。我们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2(R)空间的，这个空间是R上的所有处处平方可积的可测函数的集合，这样就等于对信号提出了一个限制，就是信号能量必须是有限的，否则它就不可积了。小波变换的定义都是基于但不限于L^2(R)中的信号的。这玩意的特性要具体解释起来太数学了，牵涉到太多泛函知识，我就不在这里详述了。而且老实说我也没能力完全讲清楚，毕竟不是学这个的，有兴趣可以参考wiki。总之你记住，小波变换研究中所使用的信号基本都是平方可积的信号，但其应用不限于这种信号，就行了。

对L^2(R)空间做MRA是在干嘛呢？就是说，在L^2(R)空间中，我们可以找出一个嵌套的空间序列，并有下列性质：

我来简单解释一下这些性质。这个V_j都是L^2(R)空间中的子空间，然后他们是由小到大的，交集是{0}，因为这是最小的子空间，并集就是L空间。是不是有点难以理解？没关系，看看下面这个图就清楚了：

这个图是圈圈套圈圈，最里面的圈是V0，之后分别是V1，V2，V3，V4 。那他们有趣的性质就是，假如有一个函数f(t)他属于一个某空间，那你将其在时域上平移，它还是属于这个空间。但如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。

同时我们还知道，你要形容每一个空间的话，都需要有对应的orthonormal basis，这是必然的，那对于V0来讲，它的orthonormal basis就是

这一系列函数是什么呢？是的时域变换，而且我们刚才也说了，时域上平移，是不会跳出这个空间的。这样，我们就可以说，由这一系列basis所定义的L^2(R)子空间V0被这些basis所span，表示成：

k从负无穷到正无穷。上面的bar表示这是一个闭包空间，也就是说

这样，我们就定义了基本的V0这个子空间。刚才说了，这个子空间的基都是对的整数时域变换，这里我们称为scalingfunction，所以换个说法，就是说这里整个子空间V0，由scalingfunction和其时域变换的兄弟们span。

当然，如果这个scaling function只是用来代表一个子空间的，那它的地位也就不会这么重要了。刚才我们提到，这个嵌套空间序列有一个性质，。这就是这个

函数，如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。这个性质就有意思了，它代表什么呢？对于任何一个包含V0的更上一层的空间来讲，他们的基都可以通过对scaling function做频域的scale后再做时域上的整数变换得到！推广开来就是说，当

我们有

这也就意味着，对于任何属于V_j空间的函数f(t)，都可以表示为：

到这里，我们就明白这些个子空间和那个凭空冒出来的scaling function的作用了。scaling的构建这些不同的子空间的基础，当j越大的时候，每一次你对频率变换后的scaling function所做的时域上的整数平移幅度会越小，这样在这个j子空间里面得到的f(t)表示粒度会很细，细节展现很多。反之亦然。通俗点说，就是对scaling function的变换平移给你不

同的子空间，而不同的子空间给你不同的分辨率，这样你就可以用不同的分辨率去看目标信号。

下面就是时候看看什么是MRA equation了，这是更加有趣，也是更加核心的地方。通过刚才的讲解，V0属于V1，那scaling function是在V0中的，自然也在V1中了。我们把他写成V1的基的线性组合，那就是

其中的h(n)是scaling function的系数，也叫做scaling filter或者scaling vector，可以是实数，也可以是虚数。根号2是为了维持norm为1的。看，在这个公式里，我们就把属于V0的函数用V1的基表示出来了。同理，我们可以循环如此，把属于V0的在

V2,V3, …, Vn中表示出来。这些方程就是MRA equation，也叫refinement equation，它是scaling function理论的基础，也是小波分析的基础之一。

好，稍微总结一下。到现在，已经讲了关于scaling function的基本理论知识，知道了信号空间可以分为不同精细度的子空间，这些子空间的basis集合就是scaling function

或者频率变换之后的scaling function，如下图所示：

上图就是四个子空间的basis集合的展览。通过前面的讨论，我们还知道，一开始的scalingfunction可以通过更精细的子空间的scaling function（它们都是对应子空间的basis）来构建。比如

对于更加finer的scale：

小波变换的基本原理

10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达

小波变换的几个典型应用

第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。

第9章小波变换基础

第9章 小波变换基础 9.1 小波变换的定义 给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t a t b a -= ψψ （9.1.1） 式中b a ,均为常数，且0>a 。显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。给定平方可积的信号)(t x ，即 )()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为 dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-= ? *ψ ??==? * )(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （9.1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数， b 是时移，a 是尺度因子。)(t ψ又称为基本小波，或母小波。)(,t b a ψ是母小波经移位和 伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（9.1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。 母小波可以是实函数，也可以是复函数。若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则 ),(b a WT x 也是实的，反之，),(b a WT x 为复函数。 在（9.1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子 a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(a t ψ，当1 >a 时，若a 越大，则)(a t ψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1

(完整版)小波原理课件

我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。 傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于funct ion space。这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样 again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx, sinx, cos2x …..这些，就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？ 现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi 标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是?

小波变换 完美通俗解读2

这是《小波变换和motion信号处理》系列的第二篇，深入小波。第一篇我进行了基础知识的铺垫，第三篇主要讲解应用。 在上一篇中讲到，每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。 还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展开的近似形式是这样： 其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅 立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。 我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？ 在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。 首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交： 另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。

小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习

小波变换的原理及m a t l a b仿真程序

基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参

数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。

基于提升算法的二维53和97小波变换的MATLAB仿真与DSP实现

基于提升算法的二维5/3和9/7小波变换的MATLAB 仿真与DSP 实现 王靖琰，刘蒙 中国科学院上海应用物理研究所，上海 (201800) E-mail ：wjycas@https://www.doczj.com/doc/3c12486979.html, 摘 要：本文讨论了基于提升算法的二维5/3和9/7小波的原理，对算法进行了MATLAB 仿真，并在浮点型DSP TMS320C6713B 上实现了图像的二维5/3、9/7小波提升变换和逆变换。实验结果证明了方法的有效性。 关键词：小波提升，二维9/7、5/3小波，MATLAB ，TMS320C6713B 1．引言 随着人们对多媒体信息需求的日益增长，数码相机、移动电话、MP4 等多媒体信息处理系统蓬勃发展。基于通用DSP 处理器的此类系统设计以灵活性强、扩展性好、可升级和易维护的优点成为系统开发的首选方案 [1]。 由于良好的时频局部特性和多分辨分析特性，小波已广泛应用于图像处理领域，并且被吸收进新的一些国际标准中成为了标准算法。文中在MATLAB 平台上对基于小波提升的二维离散5/3和9/7小波变换算法进行了仿真，并在浮点型DSP TMS320C6713B 上实现了算法，该程序运算速度快，可充分利用硬件资源，特别适用于嵌入式系统的需求。 2．小波变换提升算法基本原理 1994年Sweldens 提出了小波的提升算法，有效地解决传统的基于Mallat 的塔式分解小波变换算法计算量大、对存储空间的要求高的问题，从算法方面提高了小波变换的实现效率 [2]。 2.1 5/3小波提升格式 小波提升算法的基本思想是通过由基本小波(lazy wavelet)逐步构建出一个具有更加良好性质的新小波，其实现步骤有3个：分解(split)、预测(predict)和更新(update)。分解是将数据分为偶数序列和奇数序列2个部分，预测是用分解的偶数序列预测奇数序列，得到的预测误差为变换的高频分量，更新是由预测误差来更新偶数序列，得到变换的低频分量。在J PEG2000中，5/3提升小波变换的算法为[3]： (2)(22)(21)(21)(1)2(21)(21)2(2)(2)(2) 4x n x n c n x n c n c n d n x n ++??+=+????? ?+++??=+???? 由其正变换的反置即可得到逆变换的算法为 c(2n-1) + c(2n+1)+2x (2n) = d (2n) - (3)4x(2n)+x(2n+2)x(2n+1)=c(2n)+(4) 2?????? ?????? 从算式可以得出，提升算法是原位计算，即进行小波变换时在原位计算各个系数，计算

小波变换基本原理

第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换

3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ

小波变换去噪基础地的知识整理

1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值

小波变换 matlab 总结

小波变换matlab总结

目录 一、预置工具 (4) 1.预置信号 (4) 2.预置小波 (4) 3.滤波器函数 (6) wfilters函数 (6) 4.量化编码 (6) wcodemat函数 (6) 5.阈值获取 (6) ddencmp函数 (6) thselect函数 (7) wbmpen函数 (7) wdcbm函数 (7) 6.阈值去噪 (8) wden函数 (8) wdencmp函数 (8) wthresh函数 (9) wthcoef函数 (9) wpdencmp函数 (9) 二、小波变换函数 (12) 单尺度一维小波变换 (12) cwt一维连续小波变换 (12) dwt一维离散小波变换 (12) idwt一维离散小波逆变换 (13) upcoef 一维小波系数重构 (13) 多尺度一维小波变换 (14) wavedec多尺度一维分解 (14) waverec多尺度一维重构 (15) appcoef低频系数提取 (16) detcoef高频系数提取 (16) wrcoef多尺度小波系数重构 (17) 一维静态（平稳）小波变换 (18) swt一维平稳小波变换 (18) iswt一维平稳小波逆变换 (18) 实例 (19) 单尺度二维小波变换 (19) dwt2二维离散小波变换 (19) idwt2二维离散小波逆变换 (20) upcoef2二维系数重构 (20) 多尺度二维小波变换 (21) wavedec2多尺度二维分解 (21) waverec2多尺度二维重构 (22) appcoef2低频系数提取 (23) detcoef2高频系数提取 (23)

小波分析考试题及答案

一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率。在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。 小波分析最早应用在地震数据压缩中, 以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果. 现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用

小波变换

和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormalbasis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。小波级数通常有很多种，但是都符合下面这些特性： 1.小波变换对不管是一维还是高维的大部分信号都能cover很好。这个和傅立叶级数有很大区别。后者最擅长的是把一维的，类三角波连续变量函数信号映射到一维系数序列上，但对于突变信号或任何高维的非三角波信号则几乎无能为力。 2.围绕小波级数的展开能够在时域和频域上同时定位信号，也就是说，信号的大部分能量都能由非常少的展开系数，比如a_{j,k}，决定。这个特性是得益于小波变换是二维变换。我们从两者展开的表达式就可以看出来，傅立叶级数是，而小波级数是。 3.从信号算出展开系数a需要很方便。普遍情况下，小波变换的复杂度是O(Nlog(N))，和FFT相当。有不少很快的变换甚至可以达到O(N)，也就是说，计算复杂度和信号长度是线性的关系。小波变换的等式定义，可以没有积分，没有微分，仅仅是乘法和加法即可以做到，和现代计算机的计算指令完全match。 每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父 小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度 有关。 话说在数学定义中，有一种空间叫Lebesgue空间，对于信号处理非常重要，可以用L^p(R)表示，指的是由p次可积函数所组成的函数

空间。我们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2(R)空间的，这个空间是R上的所有处处平方可积的可测函数的集合，这样就等于对信号提出了一个限制，就是信号能量必须是有限的，否则它就不可积了。小波变换的定义都是基于但不限于L^2(R)中的信号的。这玩意的特性要具体解释起来太数学了，牵涉到太多泛函知识，我就不在这里详述了。而且老实说我也没能力完全讲清楚，毕竟不是学这个的，有兴趣可以参考wiki。总之你记住，小波变换研究中所使用的信号基本都是平方可积的信号，但其应用不限于这种信号，就行了。 小波分析的实现有多种方法, 如可以通过使用MATLAB 中专门的小波分析工具箱(Wavelet Toolbox)中提供的小波分析功能函数来实现。该工具箱中有许多小波分析中通用的函数、小波函数、多尺度一维小波变换函数、二维小波变换函数、小波包算法以及在信号和图像的消噪与压缩、树操作应用函数等等,可以很便捷地对信号进行小波分析。尽管MATLAB 有强大的数值分析和计算能力, 但其界面开发能力较差, 并且数据的采集、网络通信等方面都比较繁琐。因此完全基于MATLAB 实现对实际工况中的故障信号的小波分析, 应用起来是很困难的 LabVIEW 中也有诸多工具箱, 在信号处理工具箱(SignalProcessing Toolset) 中也有专门 的小波与滤波组设计工具包(Wavelet and Filter Bank Design, WFBD), 通过利用滤波器的 分解、重构也能够实现小波变换的计算。虽然在LabVIEW中通过设计树状迭代的滤波器组可以实现小波变换的计算, 但是这种方法需要用户熟练掌握相关的知识, 更为重要的是, 这种方法需要大量的繁琐重复的性工作并且程序设计过程非常复杂、可 维护性也比较差。 正如前面所分析, MATLAB 附带的小波工具箱中包含了多种常用的小波及精度更高的小波包, 并且可以通过简洁、灵活的编程实现小波分析, 但MATLAB 的缺点是人机交互界面、数据采集功能较差, 而这方面又恰是LabVIEW 的长处, 如果能将这两者结合起来使用, 就 可以互相弥补各自的不足而发挥彼此的长处。LabVIEW 中所提供的与其他应用程序进行相互调用的方法, 使这种设想成为现实。

小波变换的原理及matlab仿真程序

基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如 图所示[6] ： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下

小波分析入门_本人总结_

给我们一个信号时，我们从时域中观察这个信号时，我们得到的信息是信号的持续的时间，随着时间的变化，信号的幅度起起伏伏。如果我们更进一步，就是起伏速度较快的部分对应着信号中高频部分。变换缓慢的部分对应着代表信号中的频率低频部分。我们也可以估算信号中直流分量的大小。当然这都是我们直观的理解。这种单纯的从时域中的信号的波形得到的信息是不全面的。有的时候我们想要知道我们的信号中含有那些频率成分，相应频率的强度，相位。这就是从从频域的角度来看待我们的信号。这就需要一个数学变换的工具，将我们的信号变换到频域。这个强大的数学工具就是傅里叶变换，变换后我们希望我们还可以回到时域中，也就是我们的变换是可可逆的，事实上，傅里叶变换就有这个信息不损失的性质。如今傅里叶变换已经成为一个体系。一切来自于数学中的分解思想，在这里我们选择一组正交基。对我们信号函数的分解就像是对空间中某一一向量分解到三个坐标系一样，只不过函数的坐标是傅里叶系数而已。这样，我们经过傅里叶变换就可以知道我们的信号中含有的频率成分。但是这里有一个隐含的假设，或者说是傅里叶变换的致命弱点，那就是他潜在的假设了我们的信号是平稳信号。何为平稳信号？所谓的平稳信号就是信号的各种频率成分在信号的全部持续时间中都存在。举个例子，假如我们对一个持续时间在[0,100s]的平稳信号做傅里叶变换，得出信号中有59HZ，那么就说明，对该平稳信号，59HZ从0开始，在这100s中的任何一个时刻都存在。 可是，当我们的信号不是平稳信号时，例如59HZ产生50s 处，强度和上一个信号的完全相同，其他频率也完全相同，如果我们对这一个信号做傅里叶变换，由于傅里叶变换的积分域是从负无穷到正无穷，所以不幸的是，我们得到了和上一信号完全一样的结果，我们无法再从频域回到时域了。也就是FT并没有告诉我们非平稳信号的各种频率分别出现在那个时间段上。 事实上，在现实生活中，非平稳信号和平稳信号交织在一起的。例如 心电图(ECG)、脑电图(EEG)和肌电图(EMG)。所以知道哪些频率出现在何种时间段的需求是那么的紧迫。换句话说，就是我们想要同时知道信号的时间信息和频率信息。解决方案就是FT的改进版：STFT（短时傅里叶变换）。 小波变换： 小波（wavelet）的意思是:a small wave。FT中，我们选用的是exp（jwt）函数作为我们变换空间的一组标准正交基，exp（jwt）函数在时间轴上一直存在，从-∞到+∞上均存在的信号，不会衰减，而我们在小波变换中选用的小波不仅持续时间是有限的，即只在某一个时间段内存在，而且小波的频率也是有限的，即超过一定的频率之外，该频率的强度（幅度）会逐渐衰减到0。小波变换较之于傅里叶变换的优点可以归结为如下方面：1）使得信号的存储较之于傅里叶变换后再去存储更加的有效，也就是更易于压缩，进而传输图像。2）方便了对信号的分析，因为能够更好地去近似现实中的信号（non stationary signal）。3）当信号函数中有不连续的点的时候，如果用FT得到信号的近似，会有吉布斯现象（虽然在功率上会很好的近似，但是在不连续点附近却有一个固定的误差，无法进一步减小），比之于FT的这个缺点，我们的小波变换能够更好的对数据中的不连续点进行近似。

小波变换理论及应用

2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分）

（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247