高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）
1．已知椭圆2
2
:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;
（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆
221
2
x y +=
的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为
22
1164
x y +=, 所以2
2
2
2
2
16,4,12从而a b c a b ===-=,
因此4,a c ==故椭圆C
的离心率2
c e a =
=............4分 (II)由22
1,
416
y kx x y =+??+=?得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0?>. ..............5分
设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y ,
则1224214M x x k x k +==-+,122
1
214M y y y k
+==+......................7分 因为BEF ?是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,
因此BM 的斜率1
BM k k
=-. ............... ...........................................8分
又点B 的坐标为()0,2-,所以2
221
2
2381440414M BM M y k k k k x k k
++++===-
--+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即21
8
k =,
所以4k =±,....................12分
故EF
的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分
又圆221
2x y +=
的圆心()0,0O 到直线EF
的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分
2．已知椭圆的中心在坐标原点O
，长轴长为
离心率e =
F 的直线l 交
椭圆于P ，Q 两点． （1）求椭圆的方程；
（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ?的面积；
（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.
2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为()22
2210x y a b a b
+=>>． --------1分
∵长轴长为
离心率2
e =
，∴1,b c a === 所求椭圆方程为2
212
x y +=． ----------- 4分 （2）因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-．
设()()1122,,,P x y Q x y ，
由 2222,1,
x y y x ?+=?=-? 得 23210y y +-=，解得 1211,3y y =-=．
∴
1212
23
POQ S OF y y ?=?-=． --------------9分
（3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 1=，此时POQ ∠小于90o
，,OP OQ 为
邻边的平行四边形不可能是矩形．
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-．
由 ()22
22,1,
x y y k x ?+=??=-?? 可得()
2222124220k x k x k +-+-=．
∴22121222
422
,1212k k x x x x k k
-+==++．11(1)y k x =-Q ，22(1)y k x =- 2
122
12k y y k -∴=+因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQ ??=uu u r uuu r .
由22
121222
2201212k k OP OQ x x y y k k
--?=+=+=++uu u r uuu r 得22k =，
k ∴=.∴
所求直线的方程为1)y x =-． ----------------14分
3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个顶点为(2,0)A -，
离心率为
3
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程． 3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，
因为2a =，
3
c a =，
所以 c =
222
43
b a
c =-=． 所以 椭圆的方程为22
3144
x y +=． …………4分 （2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，
则可设直线l 的方程为(2)y k x =+， 则原点O 到直线l 的距离为
d =
．
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
则 22
34
y kx x y =??+=? 消y 得22
(31)4k x +=． 可得
P ，(Q ．
因为 以PQ 为直径的圆与直线l 相切，
所以
1
||2
PQ d =，即||OP d =． 所以 222
+=， 解得 1k =±．
所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=． ………14分
4．的椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P
在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且
APQ BPQ ∠=∠．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．
4．解：（1）由已知得e =，则1
2
b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>
由题意可知点(2,1)P 在椭圆上， 所以
22
4114b b
+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22
182
x y +=． ………4分 （2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．
设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．
由2248(12),
x y y kx k ?+=?=+-?得222
(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0?>成立. 即()
222264(12)4(14)161640k k k k k ?=--+-->, 化简得2
16(21)0k +>，解得12
k ≠-
. 因为2是方程（1）的一个解，所以2216164
214A k k x k --?=+．
所以22
882
14A k k x k
--=+． 当方程（1）根的判别式0?=时，1
2
k =-
，此时直线PA 与椭圆相切. 由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．
同理，易得2222
8()8()2882
14()14B k k k k x k k ----+-==+-+．
由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠，
且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12
k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则 11
2222
APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ??=+=
?-+?- 2222
1882882
21414B A k k k k PQ x x k k --+-=?-=-
++21614k k =+ 由于12k >
，故2
1616
1144k S k k k
==++. 当1
2k >
时，144k k +>，即110144k k
<
<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t
=+在1,2t ??
∈+∞
???
时的取值范围. 222141()4t f t t t -'=-=，则当1
2
t >
时，()0f t '>，()f t 单调递增. 则当1
2
t >
时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分
5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线
022=+-y x 的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.
5．解: （1）依题意可设椭圆方程为22
21x y a
+=，………….2分
则右焦点F
的坐标为
)
，
3=，解得23a =，
故所求椭圆的标准方程为2
213
x y +=. ………………………….5分
6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线2
22:12x C y -=的顶点，直线20+=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(2,1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ?=u u u r u u u r ，0BQ BP ?=u u u r u u u r
，且A ，B ，Q 三点不共线.
（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；
（3）求ABQ ?面积的最大值及此时点Q 的坐标.
6．（1）解法1： ∵ 双曲线2
22:12
x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , ……1分 ∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .
设椭圆1C 方程为122
22=+b
y a x ()0a b >>，
∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =.……2分
∴ 2
2
2
2b a =-
=. ………………………3分
∴ 椭圆1C 的方程为 22
142x y +=. ………………………4分
解法2: ∵ 双曲线2
22:12
x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………………1分
∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .
设椭圆1C 方程为122
22=+b
y a x ()0a b >>，
∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴
22
21
1a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 2
2
2a b =+, ② ………………………3分 由①②解得2
4a =, 2
2b =.
∴ 椭圆1C 的方程为 22
142
x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，
由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，
∴(1)AQ x y =-u u u r ，11(1)AP x y =-u u u r
，
(1)BQ x y =+u u u r ，11(1)BP x y =+u u u r
.
由 0AQ AP ?=u u u r u u u r
, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分
即 11((1)(1)x x y y =---. ①
同理, 由0BQ BP ?=u u u r u u u r
, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分
①?②得 2222
11(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分
由于点P 在椭圆1C 上, 则22
11142
x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222
112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.
当2110y -≠时，有22
25x y +=，
当2
110y -=
，则点(1)P -
或1)P ,此时点Q
对应的坐标分别为1)或
(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分
当点P 与点A 重合时，即点
P (1)，由②得
3y =
-，
解方程组2225,
3,
x y y ?+=??=-?? 得点Q
的坐标为
)
1-
或22??
- ? ???
.
同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q
的坐标为()
或22??
- ?
???
. ∴点Q 的轨迹方程为 22
25x y +=,
除去四个点
)1-
,2?
-????
, ()
,
2??
? ???
. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，
由
A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得
B 1)-，
∵0AQ AP ?=u u u r u u u r ，0BQ BP ?=u u u r u u u r
，
∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.
1=-
(1x ≠，① ……………………5分
1=-
(1x ≠. ② ……………………6分
①?② 得 1222211
1
122
y y x x --?=--. (*) ………………………7分
∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得22
1122
x y =-,
试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2 213x y +=.所以3a =，1b =，2c =.所以椭圆C 的 离心率6 3 c e a = = . （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11 2131 BM y y k -+= =-. 17.（2015年安徽文）设椭圆E 的方程为22 221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标 为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为510 。 （1）求E 的离心率e; (2)设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 。 ∴a b 3 231＝5525451511052 222222=?=?=-?=?e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点的坐标为（2,2b a -）∴a b a b a a b b K MN 56 65232213 1==-+=
a b K AB -= ∴1522-=-=?a b K K AB MN ∴MN ⊥AB 18.（2015年福建文）已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线 :340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于 4 5 ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ A ） A ． 3(0, ]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4 1 19.（2015年新课标2文）已知双曲线过点() 4,3,且渐近线方程为1 2 y x =±,则该双曲线的标 准方程为 ．2 214 x y -= 20.（2015年陕西文）已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2 p x =- ，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程. 21.（2015年陕西文科）如图，椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22. (I)求椭圆E 的方程；2 212 x y +=
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
规范练(五) 圆锥曲线 1．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程； (2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且O A →·O B → ＝－16，求证：直线AB 恒过定点． (1)解 设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1，∴x 2＝8y .∴E 的方程为x 2＝8y . (2)证明 设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b . O A →·O B → ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16，∴b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)． 2．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合． (1)求椭圆C 的方程； (2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值． (1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，将(1，2)代入y 2a 2＋x 2b 2＝1，得2a 2＋1b 2＝1，又 a 2＝ b 2＋ c 2， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 2 2＝1. (2)证明 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m ≠0.
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)
1. (新课标I 文数) 在直角坐标系xOy 中，直线l:y t t 0 交y 轴于点M ,交抛物线 (II )除H 以外，直线 MH 与C 是否有其它公共点说明理由 2. (新课标n 文数) 2 2 已知A 是椭圆E — 1的左顶点，斜率为k k >0的直线交E 于A , M 两点, 4 3 点 N 在 E 上, MA NA. (I) 当AM AN 时，求 AMN 的面积 (II) 当 2 AM AN 时，证明：V3 k 2. c ：y 2 2px p 0 于点 P , H . OH (I )求- ■; ONI M 关于点P 的对称点为N 连结ON 并延长交C 于点
3.(新课标川文数) 已知抛物线C：y2 2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线h, *分别交C于B 两点，交C的准线于P，Q两点? (I)若F在线段AB上, R是PQ的中点，证明ARPFQ ; (n)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程? 4. (2016年北京文数) 2 2 已知椭圆C：笃与1过点A(2,0) , B 0,1)两点? a b (I)求椭圆C的方程及离心率； (II)设P为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA与y轴交于点M ,直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值
2 2 已知椭圆C:笃爲 1 a b 0的长轴长为4，焦距为2三. a b (n )过动点M(0, m) m 0的直线交x 轴与点N ，交C 于点A, P (P 在第一象限), 且M 是线段PN 的中点?过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点 B . k' (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明 为定值. k (ii)求直线AB 的斜率的最小值
高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一
致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
2018年高考圆锥曲线大题 一．解答题（共13小题） 1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差． 2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．
3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆． （1）求C的轨迹方程； （2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程． 4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有 两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值； （Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k． 6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点． （1）用t表示点B到点F的距离； （2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1
是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。 已知椭圆=1（a>b>0）,点P （ a 5 5 ,）在椭圆上。 （I ）求椭圆的离心率。 （II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。 22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分） 如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22 b y =1（0>>b a ）的左、右 焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点， 1F ∠A 2F =60°. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1) P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程； （2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：2 4y x =相切，求直线l 的方程. 24.【2102高考北京文19】(本小题共14分) 已知椭圆C ：22x a +2 2y b =1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为2， 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与 不同的两点M,N （Ⅰ）求椭圆C 的方程 （Ⅱ）当△AMN 的面积为3 时，求k 的值 如图，椭圆 22 22 :1(0) x y M a b a b +=>>的离心率为 3 ，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD的面积 为8. (Ⅰ)求椭圆M的标准方程； (Ⅱ) 设直线:() l y x m m =+∈R与椭圆M有两个不同的交点,, P Q l与矩形ABCD有两个不同的交点,S T. 求|| || PQ ST 的最大值及取得最大值时m的值. 26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分） 如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。（1）求抛物线E的方程； （2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明 以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。 圆锥曲线方程 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义： ⑴①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上： . ii. ii. 中心在原点，焦点在轴上： . ②一般方程：.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或 .④焦距：.⑤准线：或.⑥离心 率：. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ)0(12 22 2φφb a b y a x =+ y ) 0(12 22 2φφb a b x a y =+ )0,0(122φφB A By Ax =+),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2 2 2 1,2b a c c F F -==c a x 2 ± =c a y 2 ± =)10(ππe a c e =),(22 2 2a b c a b d -= ),(2a b c ⑴①双曲线标准方程： . 一般方程： . ⑵①i. 焦点在x 轴上： 顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程： 或 ②轴为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率. ④通径 . ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线 方程 （分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下 焦点） ⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为， 离心率. 三、抛物线方程. 3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 的一个端点的一条射线 以无轨迹 方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-φπ)0,(1), 0,(12 22 22 22 2φφb a b x a y b a b y a x =- =- )0(122πAC Cy Ax =+)0,(),0,(a a -)0,(),0,(c c -c a x 2 ± =0=±b y a x 02222=-b y a x y x ,a c e =a b 2 2a c e b a c =+=,22212 22 2=- b y a x 21,F F 222a y x ±=-x y ±=2= e 0φp 高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答） 1．已知椭圆2 2 :416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率; （2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆 221 2 x y += 的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为 22 1164 x y +=, 所以2 2 2 2 2 16,4,12从而a b c a b ===-=, 因此4,a c ==故椭圆C 的离心率2 c e a = =............4分 (II)由22 1, 416 y kx x y =+??+=?得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0?>. ..............5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,122 1 214M y y y k +==+......................7分 因为BEF ?是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥, 因此BM 的斜率1 BM k k =-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以2 221 2 2381440414M BM M y k k k k x k k ++++===- --+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即21 8 k =, 所以4k =±,....................12分 故EF 的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分 又圆221 2x y += 的圆心()0,0O 到直线EF 的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分 2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，长轴长为 离心率e = F 的直线l 交 2014年高考文科数学圆锥曲线试题汇编 一、选择题 1.（2014全国大纲卷）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为 3 ，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 22 13x y += C. 221128x y += D. 221124 x y += 2.（2014全国新课标2）设F 为抛物线2 :+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30?的直线交 C 于A ,B 两点，则 AB = （A ） 3 （B ）6 （C ）12 （D ）3.（2014全国新课标1）已知双曲线)0(13 2 22>=- a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1 4.（2013全国大纲卷）已知 ()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 （A ）22 12x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154 x y += 5.（2013全国新课标1）已知双曲线22 22:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为2，则C 的渐近线方程为（ ） （A ）1 4 y x =± （B ）13 y x =± （C ）12 y x =± （D ）y x =± 6.（2013全国新课标2）设椭圆C ：22 22=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )． A ．6 B ．13 C ．1 2 D ．3 7.（2012全国大纲卷）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方 程为 A ． 2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．22 1124 x y += 8.（2012全国新课标卷）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线 x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45 9.（2014广东卷）若实数k 满足05k <<，则曲线 221165x y k -=-与曲线22 1165 x k y --=的 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 10.（2014重庆卷）设21F F ，分别为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点， 双曲 线上存在一点P 使得,3|)||(|2 2 21ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.15 C.4 D.17 11.（2014浙江卷）已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ） A.2- B. 4- C. 6- D.8- 12.（2014天津卷）已知双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ： 210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） 在直角坐标系xOy 中，直线():0l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线 C ：()220y px p =>于点P M ，关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点 H . （I ）求 OH ON ； （II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点说明理由. 2. （新课标Ⅱ文数） 已知A 是椭圆E ：22 143 x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 于A ，M 两点， 点N 在E 上，MA NA ⊥. （I ）当AM AN =时，求AMN ?的面积 (II)当2AM AN =2k <<. 已知抛物线2 2C y x =：的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12l l ，分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点. （Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ； （Ⅱ）若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 4. （2016年北京文数） 已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点2,00,1A B （），（） 两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （II ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. 已知椭圆:C ()22 2210x y a b a b +=>>的长轴长为4，焦距为22. （I ）求椭圆C 的方程； (Ⅱ)过动点()(0)0M m m >，的直线交x 轴与点N ，交C 于点A P ， (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点 B . (i)设直线PM QM 、的斜率分别为'k k 、，证明' k k 为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值. 1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 （1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （2） 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点，求PAB ?面积的取值范围。 解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足：2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足：2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根，所以 12 02 y y y +=，故PM 垂直于y 轴。 （2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= -,12||y y -= 因此，3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ?面积的取值范围是 1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > （1）证明：1 2 k <- ； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r r ，证明：,,FP FA FB u u u r u u u r u u u r 为 等差数列，并求出该数列的公差。 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =P 、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 最小。 解：（1）（2，2） 连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为( 2,2 1 -) 高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳： 名 称 椭圆 双曲线 图 象 x O y x O y 定 义 平面内到两定点21,F F 的距离的和为 常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆 即a MF MF 221=+ 当2a ﹥2c 时， 轨迹是椭圆， 当2a ＝2c 时， 轨迹是一条线段21F F 当2a ﹤2c 时， 轨迹不存在 平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝 对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹 叫双曲线即122MF MF a -= 当2a ﹤2c 时， 轨迹是双曲线 当2a ＝2c 时， 轨迹是两条射线 当2a ﹥2c 时， 轨迹不存在 标准方 程 焦点在x 轴上时： 122 22=+b y a x 焦点在y 轴上时：122 22=+b x a y 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐 标轴上 焦点在x 轴上时：122 22=-b y a x 焦点在y 轴上时：122 22=-b x a y 常 数 c b a ,,的关 系 222b c a +=， 0>>b a ， a 最大， b c b c b c ><=,, 222b a c +=， 0>>a c c 最大， 可以b a b a b a ><=,, 渐近线 焦点在x 轴上时： 0x y a b ±= 焦点在y 轴上时：0y x a b ±= 抛物线： 图形 x y O F l x y O F l 方程 )0(22 >=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 焦 点 )0,2 (p )0,2(p - )2,0(p )2,0(p - 准 线 2 p x -= 2p x = 2p y -= 2 p y = （一）椭圆 1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(122 22>>=+b a b y a x （1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-， 椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。 （2）对称性:图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心， 简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围， 对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -， ),0(),,0(2b B b B -。加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。21A A 叫椭圆的长轴， 21B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。a c e = ?2)(1a b e -=。10<高中数学圆锥曲线解题技巧总结
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