数学圆锥曲线测试高考题
一、选择题：
1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2
＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32
2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆
x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）
（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12
3.（2006全国卷I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）
A ．43
B ．75
C ．85
D ．3 4．（2006高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）
B. C. 2 D. 4 5.（2006卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率
Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率
6.（2006卷）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22
1(59)59x y m m m
+=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
7．（2006高考卷）若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4
8.（2006卷）直线2y k =与曲线2222
918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题：
9. （2006全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。
10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设
点11,2A ?? ???
，则求该椭圆的标准方程为 。 11. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离2。过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。 12. (2011年高考卷理科14)双曲线22
x y =1P 46436
-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 .
13. (卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________. 14. (2011年高考全国卷理科15)已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 2
27
y =1的左、右焦点，点A 为C 上一点，点M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2的角平分线．则|AF 2| = .
三 、解答题：
15.已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （32,3-），求它的标准方程。
16.（2010理数）已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2
22:1x C y m
+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点。 （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ，12BF F 的重心分别
为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆，数m 的取值围.
17.（2010卷）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15
92
2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；
（2）设3
1,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
18.中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且13221=F F ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。
19. (2011年高考卷理科20)（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
（I）设
1
2
e ，求BC与AD的比值；
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由
20. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ?? ???
. （1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；
（3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ?面积的最大值。
高二数学圆锥曲线高考题选讲答案
1.双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得45,33
b c e a a ====可得,故选A
2. (数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得ABC ?的周长为4a=所以选C
3.设抛物线2y x =-上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4380x y +-=的距离为2|438|5
m m --，当m=32时，取得最小值为43
，选A. 4.依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ，2332===
a c e ，故选C. 5.方程22520x x -+=的两个根分别为2，
12，故选A 6.由221(6)106x y m m m +=<--知该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，由22
1(59)59x y m m m
+=<<--知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故只能选择答案A 。
7.椭圆22
162
x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D 。 8.将2y k =代入2222918k x y k x +=得：2222
9418k x k k x += 29||1840x x ?-+=，显然该关于||x 的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4个，故选择答案D 。
9.双曲线22
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214x y -+=，∴ m=14-。
10.椭圆的标准方程为14
22
=+y x 11. 答案:18
162
2=+y x 解析：由椭圆的的定义知，4,164=∴==?a a C ，又因为离心率22,2
2=∴=c a c ，8222=-=∴c a b 因此，所求椭圆方程为：18
162
2=+y x ； 12. 答案：16
解析：由双曲线第一定义，|PF 1|-|PF 2|=±16，因|PF 2|=4，故|PF 1|=20，（|PF 1|=-12舍去），设P 到左准线的距离是d ，由第二定义，得20108
d =，解得16d =. 13.双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4c b =，
解得5,4c b ==，则双曲线的标准方程是22
1916
x y -=. 14. 【答案】6
【解析】：12(6,0),(6,0)F F -，由角平分线的性质得1122824
AF F M AF MF === 又12236AF AF -=?= 26AF ∴=
15.解：因为抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （32,3-），所以可设它的标准方程为：)0(22>=p px y ，又因为点M 在抛物线上，所以 )32(2)3(2--=x p
即43=p ，因此所求方程是y x 2
32-=。 16. （Ⅰ）解：因为直线:l 202m x my --=经过22(1,0)F m -，2
212
m m -=,得22m =， 又因为1m >，所以2m =，
故直线l 的方程为2
2202
x -=。 （Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。
由2
222
21m x my x y m ?=+????+=??，消去x 得 2
2
2104m y my ++-= 则由2
2
28(1)804m m m ?=--=-+>，知28m <， 且有212121,282
m m y y y y +=-=-。 由于12(,0),(,0),F c F c -，
故O 为12F F 的中点，
由2,2AG GO BH HO ==，
可知1121(
,),(,),3333x y x y G h 22
21212()()99
x x y y GH --=+ 设M 是GH 的中点，则1212(
,)66x x y y M ++， 由题意可知2,MO GH < 即22
2212121212()()4[()()]6699
x x y y x x y y ++--+<+ 即12120x x y y +<
而22
12121212()()22
m m x x y y my my y y +=+++ 22
1(1()82m m =+-） 所以21082
m -< 即2
4m <
又因为1m >且0?>
所以12m <<。
所以m 的取值围是(1,2)。
17. [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。
由422=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92
x =。 故所求点P 的轨迹为直线92x =
。 （2）将31,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209
-） 直线MTA 方程为：03523
03
y x -+=+-，即113y x =+， 直线NTB 方程为：032010393
y x --=---，即5562y x =-。 联立方程组，解得：7103x y =???=??
， 所以点T 的坐标为10(7,)3
。 （3）点T 的坐标为(9,)m
直线MTA 方程为：
03093y x m -+=-+，即(3)12
m y x =+， 直线NTB 方程为：03093y x m --=--，即(3)6m y x =-。 分别与椭圆15
92
2=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、2223(20)20(,)2020m m N m m
--++。 （方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：222222222
203(20)202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。此时必过点D （1，0）；
当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。