2014年高三二轮模拟检测
理 科 数 学
2014.5
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式：1
3
V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
球的体积公式：34
3
V R π=
，其中R 是球的半径。 第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集{}{}{}{}12345672346=1451,5U M N ==，，，，，，，，，，，，，，则等于 A. M N ? B. M N ?
C. ()
U C M N ?
D. U M C N ?
2.如果复数()2,12bi
b R i i
-∈+为虚数单位的实部和虚部互为相反数，那么b 等于
A.
B. 23
C. 2
3
- D. 2
3. 设,a b R ∈，则“()2
0a b a -<”是“a b <”的 A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4. 在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若()
222
tan a c b B +-=
，则角
B 的值为 A.
6
π B.
3
π C.
56
6
π
π或
D.
23
3
π
π或
5.已知不等式21x ->的解集与不等式2
0x ax b ++>的解集相同，则,a b 的值为 A.1,3a b ==
B.3,1a b ==
C.4,3a b =-=
D. 3,4a b ==-
6.已知函数()()1
ln 1
f x y f x x x =
=--，则的图象大致为
7.已知双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程为y =，则以它的顶点为焦点，焦点为顶
点的椭圆的离心率等于
A.
12
B.
2
D.1
8. 三棱锥S A B C -及其
三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为
A.
B.
C.
D. 9. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P
恰好取自阴影部分的概率为 A.
17
B.
16
C.
15
D.
14
10.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]222,0f x f x x +=-∈-，当时，
(
)12x
f x ?=- ??
，
若在区间()2,6-内，函数()()()log 2,0,1a y f x x a a =-+>≠恰有1个零点，则实数a 的取值范围是
A. ()1,4
B.()4,+∞
C. ()1,14,4??
?+∞
???
D. ()()0,11,4?
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.
在()
20
1的展开式中，系数为有理数的项共有___________项.
12.阅读如图所示的程序框图，若输入5i =，则输出的k 值为____________. 13.在
Rt ABC ?中，,,12
6
C B CA π
π
∠=
∠=
=，
则2A C A B
-=____________. 14.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为
1S ，外接圆面积为2S ，则
121
4
S S =.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为1V ，外接球体积为
2V ，则
1
2
V V =___________. 15.已知有限集{}()123,,,,2,n A a a a a n n N =???≥∈.如果A 中元素()11,2,3,,a i n =???满足1212n n a a a a a a ???=++???+，就称A 为“复活集”，给出下列结论：
①集合??
??
是“复活集”；
②{}1212,,,a a R a a ∈若且是“复活集”，则124a a >； ③{}*1212,,,a a N a a ∈若则不可能是“复活集”； ④若*i a R ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.
其中正确的结论是___________.（填上你认为所有正确的结论序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）
已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω???
=+><
??
?
的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间； （II ）已知ABC ?的内角分别是A ，B ，C ，若
()4
1,cos 5
f A B ==，求sinC 的值.
17.（本小题满分12分） 已知等差数列
{}
n a 的首项11a =，公差0d ≠，等比数列
{}
n b 满足
11225,,.a b a b a b
=== （I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n c 对任意*
n N ∈均有
12
112n n n
c c c a b b b +++???+=，求数列{}n c 的前n 项和n S .
18.（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=CB=a ，60ABC ∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE=a . （I ）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（II ）求二面角B —EF —D 的平面角的余弦值
.
19.（本小题满分12分）
“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，吃光盘子中的食物，得到从中央到民众的支持，为了解某地响应“光盘行动”的实际情况，某校几位同学组成研究性学习小组，从某社区[]25,55岁的人群中随机抽取n 人进行了一次调查，得到如下统计表：
（I ）求a ，b 的值，并估计本社区[]25,55岁的人群中“光盘族”所占比例；
（II ）从年龄段在[)[)35,404045与，的“光盘族”中，采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队.
（i ）已知选取2人中1人来自[)3540，中的前提下，求另一人来自年龄段[)4045，中的概率；
（ii ）求2名领队的年龄之和的期望值（每个年龄段以中间值计算）.
20.（本小题满分13分）
已知定点()01:1F l y =-，和直线，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E.
（I ）求曲线E 的方程；
（II ）若点A 的坐标为()()12,1:1,0l y kx k R k =+∈≠，直线，与曲线E 相交于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线l 于点S ，T .试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.
21.（本小题满分14分）
已知()ax
e f x x
=，其中e 为自然对数的底数.
（I ）若()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；
（II ）当1
2a =
时，求函数()[](),10f x m m m +>在上的最小值； （III ）求证：()
117
2n
i
i e i =
2014届高三二轮模拟考试
理科数学参考答案及评分标准2014-5
说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）【答案】C 【解析】因为1,5,M ?排除,B D ,A 显然不符合. （2）【答案】C 【解析】因为
22241255
b i b b
i i ----=++，且实部和虚部互为相反数，∴
2242
0,.
553
b b b ---+==-
（3）【答案】A 【解析】因为解2()0
a ba -<得0a ≠且a
b <能推出a b <，而a b <不能推出2()0
a ba -<.
（4）【答案】D 【解析】由ac
B b c a 3tan )(2
22=-+得sin B =. （5）【答案】C 【解析】解不等式21x ->得1x <或3x >，所以2
0x a x b ++=的两
个根为1 和3，由根与系数的关系知4,3
a b =-=.
（6）【答案】A 【解析】(0,1)(1,)x ∈+∞，1y x =-的图象始终位于ln y x =的图象
的上方，所以函数值为正数，排除,B D 当取2
12x e x e =<=
时，12()()f x f x >，排除C .
（7）【答案】A 【解析】由题意知在双曲线中
b
a
=2c a =，在椭圆中2a c =，所
以离心率为
12
. （8）【答案】B 【解析】由正视图和侧视图可知SC ⊥底面ABC ,A B C ?
底边AC 上的
高为B C 为4得S B 为
（9）【答案】B
【解析】由图可知阴影部分面积1
01
)6
S xd x =-=?
由几何概型可知
概率为
16
. （10）【答案】D 【解析】依题意得f (x ＋2)＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则
函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象恰有1个交点，则有01
a <<，1,
log (22)1,
a a >??+>?解得01a <<或14
a <<，即a 的取值范围是(0,1)(1,4)，选D .
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
(11)【答案】11【解析】由通项公式可知0,2,4,6,,20r =共11项. (12)【答案】3【解析】由程序框图可知输出的k 为3.
(13)【答案】2【解析】2
2
|2|4||||42A C A B A C A B A C A B -=+-?=. (14)【答案】
127
【解析】内切球半径与外接球半径之比为1:3，所以体积之比为1:27.
(15)【答案】①③④【解析】 易判断①是正确的；
②不妨设a 1+a 2=a 1a 2=t ，则由韦达定理知a 1，a 2是一元二次方程x 2-tx +t =0的两个根，由Δ>0，可得t <0，或t >4，故②错；
由周期12πππ,2362T =
-=得2,T πωπ
==所以.2=ω
当6x π=时，1)(=x f ，可得s i n
(2)1.6
?π
?+=
因为,2?π<
所以6=?π故()s i n (2).6
f x x π=+ 由图像可得)(x f 的单调递减区间为2π,,.63k k k Z ?π?
π+π+∈????
………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，s in (2)16
π
A += ,又0π
A <<， 132,666πππA ∴<+<2,.626
πππA A ∴+==
30,s i n .5
πB B <<∴=
s i n s i n ()πC A B =--)si n(B A +=
B A B A sin co s co s sin +=10
3
3453235421+=
?+?=. ……12分
(17)解：(Ⅰ)由题意251,14,a d a d =+=+且125,,a a a 成等比数列， 2
(1)14,d d ∴+=+又0d ≠，2d =， 1(1)21.n
a n d n ∴=+-=- 又223,
b a == 1
3, 3.n n q b -∴==
………………………………5分 (Ⅱ)
121
12n n n
c c c a b b b ++++=， ① 1211
,3,c
a c
b ∴=∴= 又
112121
(2)n n n c c c an b b b --+++=≥， ② ①-②得
12,n
n n n
c a a b +=-= 1
223(2),n n n c b n -∴==?≥1
3,1,23,2.n n n c n -=?
∴=??≥?
………………………………10分
当1n =时，13,n S c == 当2n ≥时，
1
12
1
123(13)32(333)32313
n n n
n n
S c c c ---=+++=+?+++=+?=- 所以， 3.n
n S = ……………12分
(18) 证明：(Ⅰ)在梯形A B C D 中，
//A B C D
， A D D C C B a ===,60A B C ∠=∴四边形A B C D 是等腰梯形， 且30,120;
D C A D A C D C B ∠=∠=∠= ?
=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC A C ⊥∴
又 平面A C F E ⊥平面A B C D ，交线为AC ，
B C ∴⊥
平面
A C F ……………
5分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知,以点C 为原点，,,C A C B C F
所在直线为,,x y z 坐标轴,建立空间直角坐标
系,则
(0,0,0),(0,,),0,0),
C B a 1
(,
,0),
(0,0,),,0,)22D a F a a -过
D
作
D G
E
F ⊥,
垂足为G . 令,0,,0,0),
F G a = (3,0,),C G C F F G a λ
=+=
1(3,,),22
D G C G C D a aa a =-=
-
由
D G
E F
⊥得,
0D G E F ?=,
11
,(0,,),
22
D G a a λ∴=∴=即
1
(0,,)
2
G D a a =-- ,,,.B C A C A C E F B C E F B F E F ⊥∴⊥∴⊥
∴二面角D
EF B --的大小就是向量G D 与向量F B 所夹的角. (0,,)F B a a =-，1c o s ,1
0||||G D F B G D F B G D F B ?<>== 即二面角D EF B --的平面角的余弦值为10
10
. ……………12分
(19)解：（Ⅰ）50
10000.05
n =
=，1(0.200.200.150.100.05)0.30
b =-++++=, 10000.30300a ∴=?=, 样本中的“光盘族”人数为
500.31000.31500.42000.53000.652000.6520++=?+?+?+???, 样本中“光盘族”所占比例为
520
521000
=% . ……………4分 （Ⅱ）（ⅰ）记事件A 为“其中1人来自年龄段[)35,40”，事件B 为“另一人来
自年龄段[)40,45”,
所以概率为11
35
28211335
8
()5
(/).()6C C C P A B P B A=C CC P A C ?==+ ……………8分
（ⅱ）设2名领队的年龄之和为随机变量ξ，则ξ的取值为75,80,85.
2112
52223155(75)(80)(85).28281
4335888C C C C P =P =P =C C C ξξξ
?======，，
所以 75808581.2
5.282814
E ξ=?+?+?= ……………12分 (20)解：(Ⅰ)由题意, 点M 到点
F 的距离等于它到直线l 的距离,
故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线.
∴曲线E 的方程为24x y =. ……………4分
（Ⅱ）设点,B C 的坐标分别为()()1122
,,,x y x y ，依题意得，2
2
11224,4x yx y ==. 由2
1,4,
y kx x y =+??
=?消去y 得2
440x k x --=， ∴12124,4x x k x x +==-. ……………6分
直线AB 的斜率2
1
1111
1
124224A B
x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124
x y x +-
=-.
令1y =-，得18
22
x x =-
+， ∴点S 的坐标为18
2,12x ??-
- ?+??
. 同理可得点T 的坐标为28
2,12x ??-
- ?+?
?
. ∴()()()12
1212
888222222x x S
T x x x x -??=---= ?++++??
()()()121212
12
1288248x x x x x x x x x x k k ---==
=+++. ∴2
ST
=
()()()2
2
2
121212
2
221614k x x x x x x k
k
k
+-+-==
. ……………8分
设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，
则()()()12
1212
44188
22222222xx x x x x x ++??=-+-=- ?++++?? ()()()1212
444444222248k k x x x x k k ++=-=-=-+++.
∴以线段S T 为直径的圆的方程为()2
222114x y S T k ??
+++= ???
()22
41k k +=.
展开得()()2
22
22414414k x x y k k k
++++=-=. ……………11分
令0x =，得()2
14y +=，解得1y =或3y =-.
∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. (13)
分
（21）解：（Ⅰ）由题意知'
()f x =2(1)
(0a x a x e e a x x x
-')=≥在[1,)+∞上恒成立. 又2
0,0a x e x >>，则10a x -≥在[1,)+∞上恒成立，
即1
a x
≥
在[1,)+∞上恒成立. 而当[1,)x ∈
+∞时，max 1()1x =，所以1a ≥，
于是实数a 的取值范围是[1,)+∞. (4)
分
（Ⅱ）当12a =时，则2
'2
e (1)
2()x x f x x -=.
当102
x ->，即2x >时，'
()0f x >； 当
1002
x x -<≠且，即202x
x <<<或时，'
()0f x <.
则()f x 的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）. (6)
分 因为0m >，所以11m
+>，
①当12m +≤，即01m <≤时，()f x 在[,1mm +]上单调递减，
所以1
2
m i n e
()(
1).1
m f x f m m +=+=+
②当21m m <<+，即12
m <<时，()f x 在[,2]m 上单调递减， 在[2,1]m +上单调递增，所以m i n e
()(
2).2
f x f == ③当2m ≥时，()f x 在[,1mm +]上单调递增，所以
2
m in ()()m f x f m m
==
. 综上，当0m <≤1时，1
2
m i n e
()(
1)1
m f x f m m +=+=+； 当12m <<时，m i n e
()(
2)2
f x f ==； 当2m ≥时，2
m in e
()()m f x f m
m
==. …………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当0x >时，2
e e ()2
x f x x =
≥，所以2
2
(0),e e x x x ≤>
可得
212
e n ≤?
………………………………11分
于
是
11
e )
n
i n ++2e ≤22
(23
e n ++++≤
2e
<2222111(1)21311e n <++++--- 2e =21111111111[1(1)]2
32435211e n n n n =
+-+-+-++-+---+
2e
=21111[1(1)]221e n n =++--+ 277
e 42e