第三章 不等式
3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?>
③（可加性）a b a c b c >?+>+
（同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0,
bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?>
（异向正数可除性）0,0a b a b c d c d
>><
⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）
0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b
a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式
①()2
2
2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22
.2
a b ab +≤
②（基本不等式）
2
a b
+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.
变形公式： a b +≥ 2
.2a b ab +??
≤ ???（也可用柯西不等式
22222()()()a b c d ac bd ++≥+）
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）
3
a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.
④()2
2
2
a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，
（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3
3
3
3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a
ab a b
>+≥若则
（当仅当a=b 时取等号）
0,2b a
ab a b
<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）
⑦b
a n
b n a m a m b a b <++<<++<1 其中(000)a b m n >>>>，，
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或
22.x a x a a x a
⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+
3、几个著名不等式
①平均不等式：11
22a b a b --+≤≤≤+()a b R +
∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.
（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.
变形公式：
2
22;22a b a b ab ++??≤≤
???
2
2
2
().2
a b a b ++≥
②幂平均不等式：
222212121
...(...).n n a a a a a a n
+++≥
+++ ③二维形式的三角不等式：
≥1122(,,,).x y x y R ∈
④二维形式的柯西不等式： 2
2
2
2
2
()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当
ad bc =时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++
⑥一般形式的柯西不等式：222222
1212(...)(...)
n n a a a b b b ++++++
21122(...).n n a b a b a b ≥+++
⑦向量形式的柯西不等式：
设,αβ是两个向量，则,αβαβ?≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是
12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和）
当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有
12121212()()
()()(
)(
).22
22
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或
则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：
①舍去或加上一些项，如221
31()();242
a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如
211,(1)k k k <- 211
,(1)
k k k >+
=
=<
*,1)
k N k >∈>等. 5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式2
0(0)ax bx c ++><或
2(0,40)a b ac ≠?=->解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()
0()()0()
()()0()
0()0
()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >??>?≥?≥??≠? （<≤“或”
时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8
、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 2
()0
(0)()f x a a f x a ≥?>>??>?
2
()0
(0)()f x a a f x a
≥?<>??<
? 2()0
()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >?≥??
>?≥??
?
或 2()0()()0
()[()]f x g x g x f x g x ≥??
??<
?
()0()0
()()f x g x f x g x ≥??
>?≥??>?
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当1a >时,()
()()()f x g x a
a f x g x >?>
⑵当01a <<时, ()
()()()f x g x a a f x g x >?<
规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法
⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??>?
⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0
.()()a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??
规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0)
.(0)a a a a a ≥?=?
-
⑵平方法：2
2
()()()().f x g x f x g x ≤?≤ ⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤?-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥?≥≤-≥或
③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤?-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥?≥≤-≥或
规律：关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法
解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论a 与0的大小； ⑵讨论?与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题
⑴不等式2
0ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当0a =时 0,0;b c ?=>
②当0a ≠时0
0.a >????
⑵不等式2
0ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当0a =时0,0;b c ?=<
②当0a ≠时0
0.
a
?
⑶()f x a <恒成立max ();f x a ?<
()f x a ≤恒成立max ();f x a ?≤
⑷()f x a >恒成立min ();f x a ?>
()f x a ≥恒成立min ().f x a ?≥
15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域法：
由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据0Ax By C ++>(或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，
0Ax By C ++>(或0)<表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值： 法一：角点法：
如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求： 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
利用z 的几何意义：A z y x B B =-
+,z
B
为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；
②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型： ①“截距”型：;z Ax By =+
②“斜率”型：y z x =
或;y b
z x a
-=-
③“距离”型：2
2
z x y =+或z =
22()()z x a y b =-+-或z =
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问
题简单化.
基础练习
一 选择题
1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )
A ．M >N
B ．M ＝N
C ．M D ．与x 有关 [答案] A [解析] M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋3 4>0， ∴M >N . 2．(2013·辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若a A ．1a >1 b B ．2a >2b C ．|a |>|b | D ．(12)a >(1 2)b [答案] B [解析] ∵a 3．已知a <0，－1ab >ab 2 B ．ab >a >ab 2 C ．ab 2>ab >a D ．ab >ab 2>a [答案] D [解析] ∵－1b 2>0>b >－1， 即b ab 2>a .故选D ． 4．如果a 、b 、c 满足c ac B ．bc >ac C ．cb 2 [解析] ∵c 0，c <0. ∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A 、B 、D 均正确． ∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2 5．设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a [答案] B [解析] ∵0 2a ＝1 2 lge ＝c ，∴b x 2＋1≤1 D ．x ＋1 x ≥2 [答案] C [解析] A 中x >0；B 中x ＝1时，x 2＋1＝2x ；C 中任意x ，x 2＋1≥1，故1 x 2＋1≤1；D 中当x <0时，x ＋1 x ≤0. 7．若x >1>y ，下列不等式不成立的是( ) A ．x －1>1－y B ．x －1>y －1 C ．x －y >1－y D ．1－x >y －x [答案] A [解析] 特殊值法．令x ＝2，y ＝－1，则x －1＝2－1<1－(－1)＝1－y ，故A 不正确． 8．设a ＝100.1, b ＝0.110，c ＝lg0.1，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b >c C ．b >a >c D ．c >a >b [答案] B [解析] ∵100.1>100，∴100.1>1. 又∵0.110<0.10，∴0<0.110<1. ∵lg0.1 ∴a >1,0b >c ，选B ． 9．设a ＋b <0，且a >0，则( ) A ．a 2<－ab [解析] ∵a ＋b <0，且a >0，∴0 10．已知a 2＋a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞a ＞－a 2＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 2＞a C ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2 D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2 [答案] B [解析] ∵a 2＋a <0，∴0－a 2>a ， ∴a <－a 2 [点评] 可取特值检验，∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0，令a ＝－12，则a 2＝14，－a 2＝－1 4， －a ＝12，∴12>14>－14>－1 2 ，即－a >a 2>－a 2>a ，排除A 、C 、D ，选B ． 11．设a ，b ∈R ，则(a －b )·a 2<0是a [答案] A [解析] 由(a －b )·a 2<0得a ≠0且a 12．如果a ＞0，且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，那么( ) A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 、N 的大小无法确定 [答案] A [解析] M －N ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2 ＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1 ，若 a >1，则 a 3>a 2，∴ a 3＋1 a 2＋1 >1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，若00， ∴M >N ，故选A ． 13．(2014·江西文，2)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1 R B )＝( ) A ．(－3,0) B ．(－3，－1) C ．(－3，－1] D ．(－3,3) [答案] C [解析] 本题主要考查集合的运算，∵A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3 ∴A ∩綂R B ＝{x |－3 3} B ．{x |－13≤x ≤1 3} C ．? D ．{－1 3 } [答案] D [解析] 变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－1 3. 15．不等式3x 2－x ＋2＜0的解集为( ) A ．? B ．R C ．{x |－13＜x ＜1 2} D ．{x ∈R |x ≠1 6 } [答案] A [解析] ∵△＝－23＜0，开口向上， ∴3x 2－x ＋2＜0的解集为?. 16．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4，或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4，或x ≥3} D ．{x |－4≤x ≤3} [答案] C [解析] 使y ＝x 2＋x －12有意义，则x 2＋x －12≥0. ∴(x ＋4)(x －3)≥0，∴x ≤－4，或x ≥3. 17．(2012·陕西文，1)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ．[1,2] [答案] C [解析] 本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算．M ＝{x |x >1}，N ＝{x |－2≤x ≤2}，所以M ∩N ＝{x |1 18．(2013·广东东莞市第五高级中学高二期中测试)不等式x 2＋2x －3≥0的解集为( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x ≤－3或x ≥1} D ．{x |－3≤x ≤1} [答案] C [解析] 由x 2＋2x －3≥0，得(x ＋3)(x －1)≥0， ∴x ≤－3或x ≥1，故选C ． 19．(北京学业水平测试)不等式(x －1)(2x －1)<0的解集是( ) A ．{x |1 2或x >1} D ．{x |1 2 [答案] D [解析] 方程(x －1)(2x －1)＝0的两根为x 1＝1，x 2＝12，所以(x －1)(2x －1)<0的解集为{x | 1 2 20．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0≤x <1} B ．{x |0≤x ≤2} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0≤x ≤2} [答案] D [解析] ∵N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1 21．若{x |2 D ．{x |x <13或x >1 2} [答案] D [解析] 由x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |2 由韦达定理，得x 1＋x 2＝－a ，x 1·x 2＝b ， 即a ＝－5，b ＝6. 所以不等式bx 2＋ax ＋1>0，即6x 2－5x ＋1>0，解集为{x |x <13，或x >1 2}，故选D ． 22．不等式(x －2)2(x －3) x ＋1<0的解集为( ) A ．{x |－1 B ．{x |1 C ．{x |2 D ．{x |－1 [解析] 原不等式等价于???? ? (x －3)(x ＋1)<0，x ＋1≠0， (x －2)2≠0， 解得－1 23．若0＜t ＜1，则不等式x 2－(t ＋1 t )x ＋1＜0的解集是( ) A ．{x |1 t ＜x ＜t } B ．{x |x ＞1 t 或x ＜t } C ．{x |x ＜1 t 或x ＞t } D ．{x |t ＜x ＜1 t } [答案] D [解析] 化为(x －t )(x －1 t )＜0， ∵0＜t ＜1，∴1t ＞1＞t ，∴t ＜x ＜1 t . 24．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4 D ．a ＜－4或a ＞4 [答案] A [解析] 欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则△＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4. 25．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0) [答案] D [解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x ＋2y ＜6. 26．不等式组???? ? y ＜x x ＋y ≤1 y ≥3，表示的区域为D ，点P 1(0，－2)，点P 2(0,0)，则( ) A ．P 1?D ，P 2?D B ．P 1?D ，P 2∈D C ．P 1∈ D ，P 2?D D ．P 1∈D ，P 2∈D [答案] A [解析] P 1点不满足y ≥3.P 2点不满足y ＜x .和y ≥3 ∴选A ． 27．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0>0 B ．3x 0＋2y 0<0 C ．3x 0＋2y 0<8 D ．3x 0＋2y 0>8 [答案] D [解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x 0＋2y 0－8>0. 28．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( ) A ．????? x ＋y －1≥0 x －2y ＋2≥0 B ．????? x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0 C ．? ???? x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0 D ．? ???? x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0 [答案] A [解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ． O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C ． ∴选A ． 29．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( ) [答案] B [解析] 将(±1,0)代入均满足知选B ． 30．不等式组? ???? (x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3表示的平面区域是一个( ) A ．三角形 B ．直角梯形 C ．梯形 D ．矩形 [答案] C [解析] 画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0， 取点(0,1)代入(x －y ＋5)(x ＋y )＝4>0，知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形． 31．目标函数z ＝2x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线的纵截距的相反数 D ．该直线的横截距 [答案] C [解析] z ＝2x －y 可变化形为y ＝2x －z ，所以z 的意义是该直线在y 轴上截距的相反数，故选C ． 32．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 [答案] B [解析] 可行域为图中△AOB ，当直线y ＝x －z 经过点B 时，－z 最小从而z 最大∴z max ＝1. 33．已知x 、y 满足约束条件???? ? x －y ＋5≥0x ＋y ≥0 x ≤3，则z ＝2x ＋4y 的最小值为( ) A ．5 B ．－6 C ．10 D ．－10 [答案] B [解析] 可行域为图中△ABC 及其内部的平面区域，当直线y ＝－x 2＋z 4经过点B (3，－ 3)时，z 最小，z min ＝－6. 34．若x 、y ∈R ，且???? ? x ≥1x －2y ＋3≥0 y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．9 [答案] B [解析] 不等式组表示的可行域如图所示： 画出直线l 0：x ＋2y ＝0， 平行移动l 0到l 的位置， 当l 通过点M 时，z 取到最小值． 此时M (1,1)，即z min ＝3. 35．设x 、y 满足约束条件???? ? 2x ＋y ≥4x －y ≥1 x －2y ≤2，则目标函数z ＝x ＋y ( ) A ．有最小值2，无最大值 B ．有最大值3，无最小值 C ．有最小值2，最大值3 D ．既无最小值，也无最大值 [答案] A [解析] 画出不等式组???? ? 2x ＋y ≥4x －y ≥1 x －2y ≤2 表示的平面区域，如下图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象． 当它的平行线经过点A (2,0)时，z 取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A ． 36．(2013·四川文，8)若变量x 、y 满足约束条件 ????? x ＋y ≤82y －x ≤4x ≥0y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( ) A ．48 B ．30 C ．24 D ．16 [答案] C [解析] 本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图． 作直线l 0：y ＝1 5 x ，平移直线l 0. 当l 0过点A (4,4)时可得z max ＝16，∴a ＝16. 当l 0过点B (8,0)时可得z min ＝－8，∴b ＝－8. ∴a －b ＝16－(－8)＝24. 37．若变量x 、y 满足约束条件???? ? y ≤1x ＋y ≥0 x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 [答案] B [解析] 先作出可行域如图． 作直线x －2y ＝0在可行域内平移，当x －2y －z ＝0在y 轴上的截距最小时z 值最大． 当移至A (1，－1)时，z max ＝1－2×(－1)＝3，故选B ． 38．设变量x 、y 满足约束条件???? ? 2x ＋y ≤44x －y ≥－1 x ＋2y ≥2，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( ) A ．[－3 2，6] B ．[－3 2，－1] C ．[－1,6] D ．[－6，3 2 ] [答案] A [解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线l 0：3x －y ＝0，将直线平移至经过点A (2,0)处z 有最大值，经过点B (1 2，3) 处z 有最小值，即－3 2 ≤z ≤6. 39．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件? ???? x ＋y －3≥0 x －2y ≥0，则z 的最小值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 [答案] A [解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z ＝x －y 即y ＝x －z .经过点A (2,1)时，纵截距最大，∴z 最小．z min ＝1. 40．变量x 、y 满足下列条件????? 2x ＋y ≥12 2x ＋9y ≥36 2x ＋3y ＝24 x ≥0y ≥0 ，则使z ＝3x ＋2y 最小的(x ，y )是( ) A ．(4,5) B ．(3,6) C ．(9,2) D ．(6,4) [答案] B [解析] 检验法：将A 、B 、C 、D 四选项中x 、y 代入z ＝3x ＋2y 按从小到大依次为A 、B 、D 、C ．然后按A →B →D →C 次序代入约束条件中，A 不满足2x ＋3y ＝24，B 全部满足，故选B ． 41．已知x 、y 满足约束条件???? ? 2x ＋y ≤4x ＋2y ≤4x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值是( ) A ．4 3 B ．8 3 C ．2 D ．4 [答案] B [解析] 画出可行域为如图阴影部分． 由????? x ＋2y ＝42x ＋y ＝4 ，解得A (43，43)， ∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且z max ＝8 3. 42．(2014·广东理，3)若变量x ，y 满足约束条件 ???? ? y ≤x x ＋y ≤1y ≥－1 ，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 [答案] B [解析] 作出可行域如图， 由????? y ＝x ，y ＝－1，得????? x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)； 由????? x ＋y ＝1，y ＝－1.得? ???? x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)； 由? ???? y ＝x ，x ＋y ＝1，得??? x ＝12 ，y ＝12. ∴C (12，12 )． 作直线l ：y ＝－2x ，平移l 可知，当直线y ＝－2x ＋z ，经过点A 时，z 取最小值，当y min ＝－3；当经过点B 时，z 取最大值，z max ＝3， ∴m ＝3，n ＝－3，∴m －n ＝6. 43．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( ) A ．x ＋12x B ．x 2－1＋1 x 2－1 C ．2x ＋2－ x D ．x (1－x ) 答案：C 44．已知a 、b ∈R ，且ab ≠0，则在①a 2＋b 22≥ab ；②b a ＋a b ≥2；③ab ≤????a ＋b 22；④????a ＋b 22≤a 2＋b 22 这四个不等式中，恒成立的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：C 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： 高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值 不等式知识点汇总 1、不等式的基本性质 ②（传递性）,a b b c a c >>?> ①（对称性）a b b a >?> ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>?∈>且 ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性） 0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ②（基本不等式） 2 a b +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ⑤3 3 3 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式： 22 .2 a b ab +≤ ④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3 ()a b c R + ∈、、（当且仅当 a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 2 2 .x a x a a x a >>>，，规律：小于1同加则变大， 大于1同加则变小. ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式： 112a b a b --+≤≤ +()a b R + ∈， （当且仅当a b =时取 ""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式：2 22 ;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 222 ().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121 ...(...).n n a a a a a a n +++≥+++ ③≥1122(,,,).x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式2 2 2 2 2 ()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当 ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222 123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式：222222 1212(...)(...) n n a a a b b b ++++++ 向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小） 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 最新高中数学不等式知识点归纳汇总 知识点一：绝对值三角不等式 1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|， 当且仅当ab ≥０时，等号成立． 2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c|≤ |a －b|+ |b －c|，当且仅当(a-b)(b-c) ≥０时，等号成立．知识点二：绝对值不等式的解法 1．不等式|x|a 的解集： 不等式 a>0a ＝0a<0|x|a {x|x>a ，或x<－a}{x|x ≠0}R 2．|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： (1)|ax ＋b|≤ｃ?-c ≤ax ＋b ≤ｃ； (2)|ax ＋b|≥ｃ?ax ＋b ≤-c 或ax ＋b ≥c. (3)|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型不等式的解法： 巩固专区：典例 [例1].函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________. 解析：由|x+1|+ |x+3|≥｜（x+1）-（x+3）|=2，故y 的最小值2。 [例2].不等式|2x-1| 1 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)与同解； （2）与同解，与同解； （3）与同解）； 2．一元一次不等式 情况分别解之。 3．一元二次不等式 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最 小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上， 作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。 在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 一元一次不等式知识点汇总 【知识点一】不等式的有关概念 1、不等式定义：用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式。这5个用来连接的符号统称不等号。 2、列不等式：步骤如下 （1）根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式； （2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义； （3）选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 （1）x a <表示小于a 的全体实数，在数轴上表示a 左边的所有点，不包括a 在内。 （2）x a ≥表示大于或等于a 的全体实数，在数轴上表示a 右边的所有点，包括a 在内。 （3）()b x a b a <<<表示大于b 而小于a 的全体实数。 1、不等式的基本性质 （1）基本性质1：若a b <，b c <，则a c <。（不等式的传递性） （2）基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。 ①若a b >，则a c b c +>+，a c b c ->-；②若a b <，则a c b c +<+，a c b c -<-。 （3）基本性质3：①不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立； 若a b >，且0c >，则ac bc >， a b c c >。 ②不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立。 若a b >，且0c <，则ac bc <，a b c c <。 2、比较等式与不等式的基本性质 1、一元一次不等式的概念：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次。 2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解。 3、一元一次不等式的解法：步骤如下 （1）去分母：在不等式两边同乘分母的最小公倍数；（根据基本性质3） （2）去括号：把所有因式展开；（根据单项式乘多项式法则） （3）移项：把含未知数的项移到不等式的左边，不含有未知数的项移到不等式的右边；（根据基本性质2） （4）合并同类项：将所有的同类项合并，得ax b >或ax b <（0a ≠）的形式； （5）系数化为1：不等式两边同除以未知数的系数，或乘未知数系数的倒数。（根据基本性质3） 4、一元一次不等式的应用：解有关应用题步骤如下 （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 四、列一元一次方程解应用题的步骤有： 1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。 2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。 5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。 7、作答：正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题： 1、和差倍分问题: （1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量 2、等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。 （1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝ r 2h （2）长方开的面积 周长＝2×（长+宽） S=长×宽 3、数字问题： 一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a ， 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ） （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润商品成本价 ×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) （4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折： 折后价（售价）=标价×10 x 计算。 5、行程问题：路程＝速度×时间； 时间＝路程÷速度； 速度＝路程÷时间。 （1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 6、工程问题： （1）工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间 （2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1 （3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和 （4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和 不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则 不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标 授课教案 ③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1 -= n n S S 偶 奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()2 1+n n ②()()6 1213212222++=+++n n n n Λ ③()2 2 13213333?? ??? ?+=++n n n Λ [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=?n n a ； 5，55，555，…()1109 5-=?n n a . 2 等比数列 （1）性质 当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2 =a p a q ，数列{ka n }，{ ∑=k 1 i i a }成等比数列。 3 等差、等比数列的应用 （1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等； （2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）； 若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。 典型例题 例1、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 。 例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{ n S n }的前n 项和，求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求： （1） 数列{a n }的通项公式； （2） 设1n n n a a 1b += ，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 2 1 <. 例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33， 且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。 例5、设{a n }是等差数列，n a n )21(b =，已知b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=8 1 ，求等差数列的通项a n 。 4 练习 1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2)，则它的前n 项和 S n =______。 2 设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项之和为100，后2n 项之和为200，则该等差数列的中间n 项的和等于________。 3 若不等于1的三个正数a ，b ，c 成等比数列，则(2-log b a)(1+log c a)=________。 4 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。 5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0，公比q>-1（q ≠1），设数列{b n }的通项高中数学不等式知识点总结
基本不等式知识点归纳.
高中不等式知识点总结
必修五不等式知识点总结
高中数学必修5基本不等式知识点总结
不等式知识点汇总
基本不等式知识点归纳
关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题00294
最新高中数学不等式知识点归纳汇总
高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc
基本不等式知识点和基本题型
一元一次不等式知识点汇总
一元一次不等式知识点总结
不等式知识点总结及题型归纳
不等式知识点归纳与总结
相关主题
文本预览