§2.2等差数列(二)
课时目标
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式．
2．熟练运用等差数列的常用性质．
1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m ≠n )，则a m －a n m －n
＝d . 3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与 a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q .
一、选择题
1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12
a 8的值为( ) A ．4 B ．6
C ．8
D ．10
答案 C
解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，
∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12
(2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12
a 6＝8.
2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．± 3
C ．－33
D ．－ 3 答案 D
解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，
∴a 7＝4π3
. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3
＝tan 2π3
＝－ 3. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )
A ．12
B ．8
C ．6
D ．4
答案 B
解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，
∴m ＝8.
4．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )
A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
答案 C
解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，
∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.
5．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )
A ．－182
B ．－78
C ．－148
D ．－82
答案 D
解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99
＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )
＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
6．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( )
A ．p ＋q
B ．0
C ．－(p ＋q ) D.p ＋q 2
答案 B
解析 ∵d ＝a p －a q p －q ＝q －p p －q
＝－1， ∴a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0.
二、填空题
7．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________.
答案 24
解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415
， ∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24.
8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________.
答案 1
解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35.
∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99.
∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2.
∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.
9．已知????
??1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝______. 答案
125
解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124
. 所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125. 10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14
的等差数列，则 |m －n |＝________.
答案 12
解析 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14
＋3d . 则14＋? ??
??14＋3d ＝2，∴d ＝12，∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716
， m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716
， ∴|m －n |＝12
. 三、解答题
11．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．
解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，
则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )
＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)