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高中数学必修五第二章

数列知识点

1. 等差数列的定义与性质

定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()()

1112

n n a a n n n S na

d +-=

性质：{}n a 是等差数列

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；

（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；

（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则

m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）

n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界

项，

即：当100a d ><，，解不等式组10

0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值.

当100a d <>，，由10

0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值.

(6)项数为偶数n 2的等差数列{}

n a ，有

),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ

nd S S =-奇偶，1

n n

a a S S 偶

奇.

（7）项数为奇数12-n 的等差数列{}

n a ，

有

)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

n a S S =-偶奇，

n n S S 偶

奇. 2. 等比数列的定义与性质

定义：

n n

a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.

等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ?=

，或G =

前n 项和：()11(1)

1(1)1n n na q S a q q q =??

=-?≠?

-?（要注意！）

性质：{}n a 是等比数列

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··

（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？

1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法

如：数列{}n a ，122111

25222

n n a a a n +++=+……，求n a

解 1n =时，11

2152a =?+，∴114a = ①

2n ≥时，12121111

215222

n n a a a n --+++=-+…… ②

①—②得：

122n

n a =，∴1

2n n a +=，∴114(1)2(2)

n n n a n +=?=?≥? ［练习］数列{}n a 满足1115

n n n S S a a +++==，，求n a

注意到11n n n a S S ++=-，代入得

4n n

S S +=；

又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =

2n ≥时，113

4n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法

如：数列{}n a 中，1131

n n a n

a a n +==+，，求n a

解

3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11

n a a n

=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式

由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法

2n ≥时，21321(2)

(3)()n n a a f a a f a a f n --=?

?-=?

???-=?…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……

∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()1

11132n n n a a a n --==+≥，，求n a （

()1312n

n a =

-）

（4）等比型递推公式

1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）

可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+?=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =

-，∴1n d a c ?

?+??-?

?是首项为1

1d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -??+

=+ ?--??·，∴1111n n d d a a c c c -?

?=+- ?--??

（5）倒数法如：11212

n n a a a a +==

+，，求n a 由已知得：

1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112

n n a a +-=

∴1n a ??????

为等差数列，11

1a =，公差为12，∴()

()11111122n n n a =+-=+·， ∴2

1n a n =+

( 附：

公式法、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

、累加法、累乘法.构造等差或等比

1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、

换元法

)

4. 求数列前n 项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求11

k k k a a =+∑

解：由

()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++??

==-≠ ?+??

∴11111223111111111111n

k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++??

????????=-=-+-++-?? ?

? ? ???????????

∑∑…… 11111n d a a +??

=- ??? ［练习］求和：111

112123123n

+++

+++++++ (1)

n n a S n ===-+…………，

（2）错位相减法

若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由

n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.

如：2311234n n S x x x nx -=+++++……

①

()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……

②

①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……

1x ≠时，()()

111n

x nx

S x

x -=

---，1x =时，()

11232

n n n S n +=++++=

…… （3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++?

?=++++?

…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……

［练习］已知2

2()1x f x x =+，则

111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ??

++++

++= ? ? ???

由2

222222

111()111111x x x f x f x x x x

x ?? ?????+=+=+= ?+++????+ ???

∴原式1111

1(1)(2)(3)(4)11132342

2f f f f f f f ?

???????=++

++++=+++= ? ? ???????????????????

(附：

a.用倒序相加法求数列的前n 项和

如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写

与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n 项和

对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n 项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和。 d.用错位相减法求数列的前n 项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

即若在数列{a n·b n}中，{a n}成等差数列，{b n}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{a n}满足a n+1=a n+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成a n+1-a n=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a n，从而求出S n。

f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

鄂州二中高一数学必修五第二章数列测试题

高一数学必修5第二章数列测试卷 2010-3-26 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，) 1．如图,这是一个正六边形的序列,则第(n)个图形的边数为（）. A. 5n-1 B. 6n C. 5n+1 D.4n+2 2．在等比数列{}n a中T n表示前n项的积，若T5 =1，则（） A．1 3 = a B．1 1 = a C．1 4 = a D．1 5 = a 3. 如果 128 ,,, a a a为各项都大于零的等差数列，公差0 d≠，则 ( ) A、 5 4 8 1 a a a a>B、 5 4 8 1 a a a a=C、 1845 a a a a +>+D、5 4 8 1 a a a a< 4．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（） A. 22 B. 21 C. 19 D. 18 5．数列{a n}中, 1 a=1 ,对于所有的n≥2,n∈N*都有2 123n a a a a n ????=,则 35 a a +等于( ) A. 16 61 B. 9 25 C. 16 25 D. 15 31 6．设} {n a) (N n∈是等差数列，n S是其前n项的和，且6 5 S S<，8 7 6 S S S> =，则下列结论错误的是（） A．0 < d B．5 9 S S> C．0 7 = a D．6S与7S是n S的最大值 7．等差数列} { n a共有1 2+ n项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（）. A. 28 B. 29 C. 30 D.31 8、在等比数列{}n a中,12 a=,前n项和为 n S,若数列{}1 n a+也是等比数列,则 n S等于 A.1 22 n+- B.3n C.2n D.31 n- 9、设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若 S3 S6＝ 1 3，则 S6 S12＝( ) （A） 3 10（B） 1 3（C） 1 8（D） 1 9

高中数学必修五第二章数列学案等差数列的前n项和(2)

§2.3 等差数列的前n 项和(2) 主备人：王浩审核人：马琦学习目标 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值. 学习过程一、复习回顾 1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求5S . 2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S . 二、新课导学 ※ 探究一：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ ※探究二：记等差数列{}n a 的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇．当项数为2n 时，则有 S S nd -=奇偶；当项数为21n -时，则有n S S a -=奇偶。 ※探究三：当等差数列{}n a 的项数为21n -时，有12-n S = 。 ※ 典型例题例1、已知数列{}n a 的前n 项为212 n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列

吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212 343n S n n =++，求这个数列的通项公式. 小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为 n a =11(1) (2)n n S n S S n -=??-≥?，由此可由n S 求n a . 例2、等差数列{}m a 共有2n 项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且 2133n a a -=-，求该数列的公差d 。变式：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且745 3 n n A n B n +=+，求n n a b 。例2、已知等差数列24 54377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.